平稳时间序列模型及其特征 (1)
时间序列模型的特征讲义
时间序列模型的特征讲义时间序列模型特征讲义1. 数据的趋势性特征：时间序列模型通常需要分析数据的趋势性，即数据是否存在明显的上升或下降趋势。
有三种常见的数据趋势性特征：a. 上升趋势：数据随时间逐渐增加。
b. 下降趋势：数据随时间逐渐减少。
c. 平稳趋势：数据在长期内保持相对稳定，没有明显的上升或下降趋势。
2. 数据的季节性特征：某些数据在特定的时间段内会有重复的模式出现，这种特征被称为季节性特征。
常见的季节性特征包括：a. 季节性上升：数据在特定时间段内逐渐增加。
b. 季节性下降：数据在特定时间段内逐渐减少。
c. 季节性波动：数据在特定时间段内上升和下降交替出现。
3. 数据的周期性特征：周期性特征是指数据在一定时间间隔内出现循环模式的情况。
与季节性特征不同，周期性特征在更长的时间尺度上存在。
常见的周期性特征包括：a. 周期性上升：数据在一定时间间隔内逐渐增加。
b. 周期性下降：数据在一定时间间隔内逐渐减少。
c. 周期性波动：数据在一定时间间隔内上升和下降交替出现。
4. 数据的随机性特征：除了趋势性、季节性和周期性特征外，数据可能还包含随机性特征。
随机性特征表示数据在某一时间点的取值不受前一时间点的取值影响，具有随机性。
随机性特征使得时间序列模型无法准确预测未来的取值，需要通过其他方法进行处理。
5. 数据的自相关性特征：自相关性特征描述了数据点与其过去时间点的相关性。
自相关性越高，当前数据点与其过去时间点的关系越密切，可以通过自相关函数（ACF）进行衡量。
自相关性特征在时间序列模型中通常用于选择合适的滞后阶数（lag order）。
6. 数据的季节性相关性特征：季节性相关性特征描述了数据点与其过去季节性时间点的相关性。
季节性相关性越高，当前数据点与其过去季节性时间点的关系越密切，可以通过季节性自相关函数（SACF）进行衡量。
季节性相关性特征在时间序列模型中也用于选择合适的滞后阶数。
7. 数据的外部因素特征：在时间序列模型中，还需要考虑可能影响数据变动的外部因素。
《时间序列分析》讲义 第三章 平稳时间序列分析
k
1 k1 2 k2，k
2
自相关系数
自相关系数的定义
k
k 0
平稳AR(p)模型的自相关系数递推公式
k 1k 1 2 k 2 p k p
常用AR模型自相关系数递推公式
AR(1)模型 k 1k , k 0
AR(2)模型
1,
k
1
1 2
1k1 2 k2
k 0 k 1 k2
自回归系数多项式
(B) 11B 2B2 pBp
特征方程
中心化AR(p)模型
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
可以看成p阶常系数非齐次线性差分方程
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
它对应的齐次方程的特征方程为
p 1 p1 p1 p 0
1 12
协方差函数
在平稳AR(p)模型两边同乘xt-k，再求期望
E(xt xtk ) 1E(xt1xtk ) p E(xt p xtk ) E(t xtk )
根据
E( t xtk ) 0 ,k 1
得协方差函数的递推公式
k 1 k1 2 k 2 p k p
例题
例3.3 求平稳AR(1)模型的协方差
12
2 2
,
0,
k 0 k 1
k 2 k 3
偏自相关系数
滞后k偏自相关系数由Yule-Walker方程 确定
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
齐次线性差分方程
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p 0
齐次线性差分方程的解
特征方程
p a1p1 a2p2 ap 0
特征方程的根称为特征根，记作1,2,…,p
平稳时间序列的判断条件
平稳时间序列的判断条件平稳时间序列是指在时间维度上具有平稳性的序列，即其统计特性不随时间的推移而发生变化。
平稳时间序列的判断条件包括以下几个方面：1. 均值平稳：时间序列的均值不随时间的推移而发生变化。
2. 方差平稳：时间序列的方差不随时间的推移而发生变化。
3. 自相关函数平稳：时间序列的自相关函数只与时间间隔有关，而与时间的起点无关。
4. 偏自相关函数平稳：时间序列的偏自相关函数只与时间间隔有关，而与时间的起点无关。
如果一个时间序列满足以上四个条件，则可以认为它是平稳时间序列。
在实际应用中，可以通过计算时间序列的均值、方差、自相关函数和偏自相关函数来判断其是否平稳。
如果一个时间序列不满足平稳条件，可以考虑以下几种处理方法：1. 差分法：对时间序列进行差分处理，即计算相邻两个时间点之间的差值。
通过多次差分，可以将非平稳时间序列转化为平稳时间序列。
例如，对于一个非平稳的时间序列 $X_t$，可以计算其一阶差分 $D(X_t) = X_t - X_{t-1}$，如果一阶差分仍然不平稳，可以继续计算二阶差分、三阶差分等，直到得到一个平稳的时间序列。
2. 季节性调整：如果时间序列存在季节性波动，可以使用季节性调整方法将季节性因素去除，从而使时间序列变得平稳。
季节性调整方法包括季节性指数平滑法、季节性差分法等。
3. 单位根检验：可以使用单位根检验来判断时间序列是否存在单位根。
如果时间序列存在单位根，则说明它是非平稳的；如果不存在单位根，则说明它是平稳的。
常用的单位根检验方法包括ADF 检验、PP 检验等。
4. 模型拟合：如果时间序列不满足平稳条件，可以尝试使用非平稳时间序列模型进行拟合，如自回归求和移动平均（ARIMA）模型、广义自回归条件异方差（GARCH）模型等。
这些模型可以捕捉时间序列的非平稳特征，从而更好地描述时间序列的变化规律。
需要根据具体情况选择合适的处理方法，以便更好地分析和预测时间序列。
平稳时间序列模型
（1）一个平稳的时间序列总可以找到生成它
的平稳的随机过程或模型； （2）一个非平稳的随机时间序列通常可以通 过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳 的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。
（六） 中国GDPP的 ARMA(p,q)模型
ARMA(1,1) ARMA(2,2)
ARIMA(8,2,7)非对称
p阶自回归模型,简记为AR(p)：
xt 0 1 xt 1 2 xt 2 p xt p t 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t
0 且 1 1 2 p , Var( x ) t
（二）向量自回归模型定义 VAR（Vector AutoRegression，向量自回归）
•1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。 •VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归 模型。
q 阶移动平均模型，
xt t 1 t 1 2 t 2 q t q q 0 2 E ( t ) 0，Var ( t ) , E ( t s ) 0, s t
特别当
0
时，称为中心化
MA(q) 模型
二、自回归模型
（一） AR模型的定义 1阶自回归模型,记为AR(1)： xt=0+1xt-1+t (1) E(t)=0,Var(t)=2, E(ts)=0, st 若序列是弱平稳的,则 E(xt)=, Var(xt)=0, Cov(xt, xt-k)=k 由(1)可得 E(xt)=0+1E(xt-1) 0 因此
第2章 平稳时间序列分析
zt
(c1
c2t
cd t d1)1t
cd
t
1 d
1
cptp
复根场合
zt
rt (c1eit
c2eit
) c3t3
c
t
pp
非齐次线性差分方程的解
非齐次线性差分方程的特解
使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解zt
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
推导出
0
1 1 p
Green函数定义
设零均值平稳序列 {xt , t 0, 1, 2,...} 能够表示为
xt Gjt j t : WN (0, 2 ) j0
则称上式为平稳序列 {xt } 的传递形式，式中的加权系数 G j
称为Green函数，其中 G0 1 。
Green函数的含义
几个例题
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
几个例题
(5) yt 1.6yt1 0.9yt2 (6) yt 1.6yt1 1.1yt2
有关。
2.时间序列的协方差函数与自相关函数
协方差函数：
(t, s) E( Xt t ) X s s
(x t ) y s dFt,s (x, y) 其中，Ft,s (x, y) 为 ( X t , X s )的二维联合分布。
自相关函数：
(t, s) (t, s) / (t,t) (s, s)
特征根判别
AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单 位圆内
第二章平稳时间序列模型——ACF和PACF和样本ACFPACF
第⼆章平稳时间序列模型——ACF和PACF和样本ACFPACF⾃相关函数/⾃相关曲线ACFAR(1)模型的ACF：模型为：当其满⾜平稳的必要条件|a1|<1时（所以说，⾃相关系数是在平稳条件下求得的）：y(t)和y(t-s)的⽅差是有限常数，y(t)和y(t-s)的协⽅差伽马s除以伽马0，可求得ACF如下：由于{rhoi}其在平稳条件|a1|<1下求得，所以平稳0<a1<1则⾃相关系数是直接收敛到0-1<a1<0则⾃相关系数是震荡收敛到0对于AR(2)模型的ACF：（略去截距项）两边同时乘以y(t)，y(t-1)，y(t-2)......得到yule-Walker⽅程，然后结合平稳序列的⼀些性质（yule-Walker⽅程法确确实实⽤了协⽅差只与时间间隔有关的性质），得到⾃相关系数如下：rho0恒为1（⼆阶差分⽅程）令⼈惊喜的是，这个⼆阶差分⽅程的特征⽅程和AR(2)模型的是⼀致的。
所以，我们的rho本就是在序列平稳的条件下求得，所以{rhoi}序列也平稳。
当然，其收敛形式取决于a1和a2MA(1)模型的ACF:模型为：由于y(t)的表达式是由⽩噪声序列中的项组成，所以不需要什么平稳条件，就可以求得rho的形式如下：对于MA(p)模型，rho(p+1)开始，之后都为0.所以说，到了p阶之后突然阶段，变为0了。
ARMA(1,1)模型的ACF：模型为：还是使⽤yule-Walker⽅程法（⽤到了序列平稳则协⽅差只与时间间隔有关的性质）得到：所以有：ARMA(p,q)模型的ACF：ARMA(p,q)的⾃相关系数满⾜：（式1）前p个rho值（rho1，rho2...rhop）可以看做yule-Walker⽅程的初始条件，其他滞后值取决于特征⽅程。
（其实是这样的，rho1，rho2...rhop实际上能写出⼀个表达式，⽽rho(p+1)开始，就满⾜⼀个差分⽅程，⽽这个⽅程对应的特征根（即式1）⽅程和AR(p)对应的⼀模⼀样），所以，他会从之后q期开始衰减。
时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析是一种广泛应用于统计学和经济学领域的建模方法，用于研究随时间变化的数据。
它的目的是揭示和预测数据中隐含的模式和关系，以便更好地理解和解释现象，并做出相应的决策。
时间序列分析模型可以分为统计模型和机器学习模型两类。
一、统计模型1.平稳时间序列模型：平稳时间序列是指在统计学意义上均值和方差都是稳定的序列。
常用的平稳时间序列模型包括：自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）和季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）等。
-自回归移动平均模型（ARMA）是根据时间序列数据的自相关和移动平均性质建立的模型。
它将序列的当前值作为过去值的线性组合来预测未来值。
ARMA(p,q)模型中，p表示自回归项的阶数，q表示移动平均项的阶数。
-自回归整合移动平均模型（ARIMA）在ARMA模型基础上引入差分操作，用于处理非平稳时间序列。
ARIMA(p,d,q)模型中，d表示差分的次数。
-季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）是ARIMA模型的扩展，在存在季节性变化的时间序列数据中应用。
SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型中，s表示季节周期。
2.非平稳时间序列模型：非平稳时间序列是指均值和/或方差随时间变化的序列。
常用的非平稳时间序列模型包括：趋势模型、季节性调整模型、自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）等。
- 趋势模型用于描述数据中的趋势变化，例如线性趋势模型（y = ax + b）和指数趋势模型（y = ab^x）等。
-季节性调整模型用于调整季节性变化对数据的影响，常见的方法有季节指数调整和X-12-ARIMA方法。
-自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）在非平稳时间序列中引入差分操作进行模型建立。
二、机器学习模型机器学习模型在时间序列分析中发挥了重要作用，主要应用于非线性和高维数据的建模和预测。
平稳时间序列模型概述
平稳时间序列模型概述平稳时间序列模型是一种常见的时间序列分析方法，用于对事物在一定时间范围内的变化进行建模和预测。
平稳时间序列模型假设时间序列的均值和方差在任意时刻都保持不变，即不受时间的影响。
平稳时间序列模型有许多不同的形式，其中最常见的是自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARMA）。
ARMA模型由自回归（AR）部分和移动平均（MA）部分组成，描述了时间序列的自相关和滞后误差，可以用来预测未来的观测值。
SARMA模型在ARMA模型的基础上加入了季节性因素，适用于存在明显季节性变化的时间序列。
ARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} + \epsilon_t -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项。
SARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} + \gammaX_{t-m} + \phi_1\gamma X_{t-m-1} + \dots + \phi_p\gammaX_{t-m-p} + \epsilon_t \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项，\( \gamma \)是季节性系数，\( X_{t-m},\dots, X_{t-m-p} \)是过去的季节性观测值。
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第一章平稳时间序列模型及其特征第一节模型类型及其表示一、自回归模型（AR）由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。
最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。
用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型：X t=φX t-1+εt（常记作AR(1)。
其中｛X t｝为零均值（即已中心化处理）平稳序列，φ为X t对X t－1的依赖程度，εt为随机扰动项序列（外部冲击）。
如果X t 与过去时期直到X t-p的取值相关，则需要使用包含X t－X t-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。
P阶自回归模型的一1 ，……般形式为：X t=φ1 X t－1+φ2 X t－2+…+φp X t－p+εt（为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。
设B为滞后算子，即BX t=X t-1, 则B(B k-1X t)=B k X t=X t-k B(C)=C(C为常数)。
利用这些记号，（X t=φ1BX t+φ2B2X t+φ3B3X t+……+φp B p X t+εt从而有：（1-φ1B-φ2B2-……-φp B p）X t=εt记算子多项式φ（B）＝（1-φ1B-φ2B2-……-φp B P）,则模型可以表示成φ（B）X t=εt ( 例如，二阶自回归模型X t=0.7X t-1+0.3X t-2+0.3X t-3+εt可写成（1-0.7B-0.3B2）X t=εt二、滑动平均模型（MA）有时，序列X t的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况下，X t可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即X t=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q ( 此模型常称为序列X t的滑动平均模型，记为MA(q)，其中q为滑动平均的阶数，θ1，θ2…θq为参滑动平均的权数。
相应的序列X t称为滑动平均序列。
使用滞后算子记号，（X t=（1-θ1B-θ2B2-……- θq B q）q t=θ(B)εt ( 三、自回归滑动平均模型如果序列｛X t｝的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为：X t=φ1X t-1+φ2X t-2+……+φp X t-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q( 简记为ARMA(p, q)。
利用滞后算子，此模型可写为φ（B）X t=θ(B)εt（第二节线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性首先介绍两个概念。
① 序列的传递形式：设｛Y t ｝为随机序列，｛εt ｝为白噪声，若｛Y t ｝可表示为：Y t =εt +G 1εt-1+G 2εt-2+……+G k εt-k +……=G(B) εt且∞<∑∞1k G ，则称｛Y t ｝具有传递形式，此时｛Y t ｝是平稳的。
系数｛G k ｝称为格林函数。
它描述了系统对过去冲击的动态记忆性强度。
② 序列的逆转形式：若｛Y t ｝可表示为：εt = Y t -π1 Y t-1-π2 Y t-2-……-πk Y t-k -……=π(B) Y t 且∞<∑∞1k π，则称｛Y t ｝具有逆转形式（或可逆形式）。
一、 MA 模型1. MA 模型本身就是传递形式。
2. MA(q)总是平稳的（由上一章的例），MA （∞）在系数级数绝对收敛的条件下平稳。
3. MA(q)模型的可逆性条件。
先以MA （1）(Y t =εt -θ1εt-1)为例进行分析。
MA(1)的可逆性条件为：11<θ。
如果引入滞后算子表示MA(1)，则Y t =（1-θ1B ）εt ，可逆条件11<θ等价于θ(B)=1-θ1B=0的根全在单位圆外。
对于一般的MA(q)模型，利用滞后算子表示有： Y t =（1-θ1B-θ2B 2-……- θq B q ）εt = θ(B)εt其可逆的充要条件是：θ(B) =0的根全在单位圆外（证明见Box-Jenkins ，P79）。
在可逆的情况下，服从MA(q)模型的序列可以表示成无穷阶的AR 模型：θ-1(B)Y t =εtMA(q)的可逆域：使θ(B) =0的根全在单位圆之外的系数向量（θ1，θ2，……，θq ）所形成的集合。
例：求MA(2)的可逆域。
解：由2211----=t t t t Y εθεθε，其特征方程为： 该方程的两个根为：由二次方程根与系数的关系，有当MA （2）平稳时，根的模21λλ与都必须大于1，因此必有： 由根与系数的关系，可以推出如下式子：由于21θθ、是实数，21λλ与必同为实数或共轭复数。
又因为1>i λ，因此故反之，如果12<θ，且112<±θθ。
那么从11212<=λλθ可以推出至少有一个1>i λ，例如，假设11>λ，则根据1)11)(11(121<-λλ可推出0)11)(11(21>λλ，由0111>λ可以推出0112>λ，从而12>λ。
因此，01)(221=--=B B B θθθ的根在单位圆之外。
（平稳域为一三角形）。
二、 AR 模型1. AR(P)模型本身就是一种逆转形式。
2. 平稳性。
先以AR(1)(Y t =ϕ1Y t-1+εt ),进行分析。
AR(1)平稳的条件为11<ϕ，它等价于ϕ(B)=1-ϕ1B=0的根在单位圆外。
3、在平稳的情况下，AR(1)有传递形式： （1-ϕ1B ）Y t =εt j t j j t t BY -∞=∑=-=εϕεϕ01111一般地，对于AR(P)模型：ϕ(B) Y t =εt ，序列｛Y t ｝平稳的充要条件是：ϕ(B)=0的根全在单位圆外。
此时，Y t 有传递形式：Y t =ϕ-1(B) εtAR(P)的平稳域：使ϕ(B)=0的根全在单位圆外的AR 系数向量（ϕ1，ϕ2，……，ϕp ，）的全体形成的集合。
练习：求AR(1)与AR(2)的平稳域。
三、ARMA （p,q ）模型 1、平稳性与传递形式首先考察ARMA(1，1)的平稳性: Y t –φ1Y t-1=εt –θ1εt-1 Y t 平稳 ︱φ1︱＜1 （与AR （1）的平稳域相同）此结论表明，ARMA （1,1）序列的平稳性仅与自回归系数有关，而与滑动平均系数无关。
而且平稳条件与AR （1）的平稳条件相同。
在平稳的条件下，Y t 有上述形式的传递形式。
一般地，服从ARMA （p,q ）模型的序列Y t 平稳的充要条件是：φ（B ）=0的根全在单位圆外。
在平稳的条件下，Y t 有传递形式 Y t =φ-1（B ）θ（B ）εt 2、可逆性对于ARMA （1,1），假定可逆形式为εt =π（B ）Y t =（1–π1B –π2B 2–…–πk B k –…）Y t代入ARMA （1,1）的滞后算子表示形式，采用类似前面的方法，比较同次冥系数可得εt = Y t –（φ1–θ1）Y t-1–θ1（φ1–θ1）Y t-2–…–θ1 k-1（φ1–θ1）Y t-k –… 根据前面的定义（可逆性定义），应有︱φ1︱＜1。
因此，ARMA （1,1）可逆的条件是︱φ1︱＜1，它仅与滑动系数有关，而与自回归系数无关。
而且可逆条件与MA （1）的可逆条件相同。
一般地，服从ARMA （p,q ）模型的序列Y t ，其具有可逆性的条件是： θ（B ）=0的根全在单位圆外。
在可逆的条件下，Y t 的逆转形式为 εt =θ-1（B ）φ（B ）Y t 3、传递性与可逆性的重要意义第三节 线性时间序列模型的自相关函数与偏自相关函数 一、 自相关函数 1、MA （q ）模型的自相关函数 设｛Y t ｝服从:Y t =θ（B ）εt =εt –θ1εt-1–…–θq εt-q = –∑=qj 0θj εt-j ,θ0=–1则｛Y t ｝的s 阶自协方差函数为：γs =∑=qj 0θj θs+j σ2= σ2(θ0θs +θ1θs+1+…+θq-s θq ) (s ≤q)（θ0= -1 ） 0 (s>q) 由上式，有γ0=σ2（1+θ12+…+θq 2） 故｛Y t ｝的自相关函数（ACF ）为： ρs =γs ／γ0=qs q s s q q s q s s >≤≤=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++--+10,,,01122111θθθθθθθ 上式表明，MA （q ）模型的记忆仅有q 个时段，Y t 的自协方差函数或自相关函数（ACF ）q 步截尾。
这是MA （q ）模型的典型特征。
MA （q ）的典型特征：ρs 在q 步截尾。
2、 AR （p ）模型的自相关函数首先考察AR （1） (Y t =φ1Y t-1+εt )的自相关函数的特征。
Y t 的自协方差函数为：γs =Cov(Y t , Y t+s )=φ1γs-1从而 γs =φ1γs-1=φ12υs-2=…=φ1s γ0 自相关函数（ACF ）为： ρs =γs ／γ0=φ1s当︱φ1︱＜1，ρs —>0,即自相关函数ρs 随s 的增大而衰减至零。
这种现象称为拖尾性。
对于一般的AR （p ），序列的自相关函数的特征分析如下：设Y t=φ1Y t-1+φ2Y t-2+…+φp Y t-p+εt=φ(B) Y t+εt则自协方差函数：γs=φ1γs-1+φ2γs-2+…+φpγs-p这是一个关于｛｝的线性差分方程。
s上式两边同除γ0，得关于自相关函数（ACF）的线性差分方程。
ρs=φ1ρs-1+φ2ρs-2+…+φpρs-p在AR（p）平稳的条件下，φ（B）=0有p个在单位圆外的根а1、а2，…，аp。
根据线性差分方程解的有关理论，自相关函数（ACF）服从的线性差分方程φ(B)ρs=0的通解为：ρs=c1а1-s+ c2а2-s +…+ c pаp-s由于︱аj︱＞1，因此ρs将按指数衰减（实根情形）或正弦振荡衰减（复根情形）。
这种特性称为AR（p）的拖尾性。
AR（p）的典型特征是：ρs拖尾（衰减）3、ARMA（p,q）的自相关函数设ARMA（p,q）的形式为：Y t=φ1Y t-1+φ2Y t-2+…+φp Y t-p+εt–θ1εt-1–…–θqεt-q则Y t的s阶自协方差函数为：γs=φ1γs-1+φ2γs-2+…+φpγs-p+E(Y tεt+S)–θ1E(Y tεt+S-1) –…–θE(Y tεt+S-q)q①当0≤s≤q时，εt+S，εt+S-1，…，εt+S-q中有一部分位于t 时刻以前（t+ s-i≤t s-i≤0），Y t与这一部分外部冲击有关，从而γs除了受自回归系数的影响外，还受一部分滑动平均系数的影响。