平稳时间序列模型的建立

i1
Q统计量：Box和Pierce共同推导出
原假设：延迟期数小于或等于m的序列值之间相互独立
结论： H 0 ： 1 2 m 0 , m 1
当Q<χ21-α(k)时，接受原假设，认为序列{Xt}是独立的，不用 进行建模了。
当统计量的相伴概率p>0.05时，接受原假设；当p<0.05时，拒 绝原假设，{Xt}是平稳非白噪声序列，尝试建立ARMA模型。
数据图检验法
1994年-1995年香港环境数 据序列
(a) 表示因循环和呼吸问题 前往医院就诊的人数；
(b) 表示二氧化硫的日平均 水平；
(c) 表示二氧化氮的日平均 水平；
(d) 表示可吸入的悬浮颗粒 物的日平均水平
数据图检验法
优点：简单，方便，直观 缺点：主观性强
自相关和偏相关系数图检验法
2 i
X
2
S
*2 N
1 N 1
N i 1
Xi X
2
1 N 1
N i 1
X
2 i
N N 1
X
2
样本标准差：S*
1N N 1 i1
Xi X
2
分布特征参数
偏度：
S k
1 N
N i1
X
i S*
X
3
峰度：
K
1 N
N i1
X
i S*
X
4
标准偏度系数： g 1
ARMA(p,q)模型定阶的F准则
ARMAp,q残差平方和Q0; ARMAp1,q1残差平方和Q1
H0: p 0,q 0 检验统计量： FQ 1Q 02 :F2,Npq
Q 0 Npq
结论
若F>Fα ，则拒绝原假设，模型阶数仍有上升的可能； 若F<Fα ，则接受原假设，认为ARMA(p-1,q-1)合适。
特征参数包括：
位置特征参数，散度特征参数，分布特征参数
位置特征参数
样本均值： X
1 N
N
Xi
i1
极小值：
X
1
m in
1 i N
X
i
极大值：
X
N
m ax
1 i N
X
i
散度特征参数
极差：
L X N X 1
样本方差：
S
2 N
1 N
N i 1
Xi X
2
1 N
N i 1
X
模型
模型方程 自相关系数 偏相关系数
AR(p)
φ(B)Xt=εt
拖尾
p步截尾
MA(q)
Xt=θ(B)εt
q步截尾
拖尾
ARMA(p,q) φ(B)Xt=θ(B)εt
检验原理：
拖尾
拖尾
若序列Xt的样本自相关系数和偏相关系数既不截尾，又 不拖尾，则可以肯定该序列是非平稳的。
自相关和偏相关系数图检验法
时间序列数据的预处理
预处理：
直观分析 特征分析 相关分析
直观分析
直观分析包括：离群点的检验和处理，缺损值的补足， 指标计算范围的统一等等.
离群点(outlier)：指一个时间序列中远离序列一般水 平的极端大值和极端小值。通常是由于系统外部干扰 而形成的，可以根据序列值与平滑值两者间的差异来 判断.
原理： M 1 : y1X 12X 2 LrX r M 2:y1X 12X 2 Lr sX r s
检验后面s个回归因子对因变量的影响是否显著
H 0 :r s 1 r s 2 L r 0
设样本容量为N，上述两个模型的残差平方和分别是Q0
与Q1，则检验统计量为 FQ1Q0 s: Fs,Nr
一般取k ≈ N/10
纯随机性检验
纯随机性检验
平稳性检验
时间序列的平稳性是时间序列建模的重要前提。 目的：检验相关序列值{Xt}之间是否是平稳的 检验的对象：
序列是否具有常数均值和常数方差？ 序列的自相关函数是否仅与时间间隔有关，而与时间的
起止点无关？
平稳性检验
常用的检验方法：
尝试拟合 AR(1),MA(1), ARMA (1,1) 模型
第五节 平稳序列模型参数的矩估计
第六节 平稳时间序列模型的定阶
模型的定阶
问题： 如何ARMA(p,q)的中p和q？ 定阶的方法：
残差方差图定阶法 F-检验定阶法 最佳准则函数法
AIC准则 BIC准则
F检验定阶法
在回归分析中，F检验法常被用来考察两个回归模型是 否具有显著差异。
数据图检验法 自相关和偏相关系数图检验法 特征根检验法 参数检验法 逆序检验法 游程检验法
数据图检验法
以时间为横轴，变 量Xt的取值为纵轴
平稳的特点
无明显的趋势性或 周期性
在一直线附近做小 幅波动
1990年12月19日-2008年11月6日上 证A股指数日数据(除去节假日， 共4386个数据)
Q0 Nr
F检验定阶法
FQ1Q0 s: Fs,Nr
Q0 Nr
M1: y1X12X2LrXr M2: y1X12X2LrsXrs H0: rs1 rs2L r 0
结论：对于给定的显著性水平α
若F>Fα(s,N-r)，则拒绝原假设，认为后面s个回归因子对 因变量的影响是显著的，表明M1合适；
分类：
AIC准则法 BIC准则法
AIC准则
背景： AIC准则是日本统计学家赤池Akaike于1973年提出的， 全称为最小信息量准则，或AIC准则(Akaike information criterion)。该准则确定出一个准则函数，既考虑拟合模 型对原始数据的拟合程度，也考虑模型中所含待定参 数的个数，适用于ARMA模型的检验。
如果有超过5%的样本自(偏) 相关系数都落入2倍标准差 的范围之外，或者是由显著非零的自(偏)相关系数衰减 为小值波动的过程比较缓慢或者非常连续，这时通常视 为自(偏) 相关系数拖尾。
模型识别
1950年-1998年北京城乡居民定期储蓄比例
尝试拟合 AR(1)模型
模型识别
连续读取70个化学反应数据
Bartlett定理：
如果一个时间序列是纯随机的，得到一个观察期数为n
的观察序列，那么该序列的延迟非零期的样本自相关系
数
ˆk ~&N0,1n, k0
若 ˆk1.96 n2 n, k0，则自相关系数为零的
可能性是95%，可认为数据是不相关的.
纯随机性检验
k
2
检验统计量： Q Nˆi : 2k
尝试拟合AR(1)模型
尝试拟合MA(1)模型
自相关和偏相关系数图检验法
尝试拟合AR(1)，MA(1)， ARMA (1,1) 模型
自相关和偏相关系数图检验法
自相关和偏相关系数图检验法
特征根检验法
原理：
自回归部分特征方程的特征根在复平面的单位圆内
检验步骤：
先拟合适应性模型； 求出该模型自回归部分特征方程的特征根； 若特征根|λi|<1，则该序列平稳.
最佳准则函数法
由于自相关函数(ACF)和偏相关函数(PACF)定阶法具有 很强的主观性，是一种较为粗略的方法，而最佳准则函 数定阶法则可以帮助我们在一些所选的模型中选择相对 最优的模型。
最佳准则函数法，即确定出一个准则函数。建模时按照 信息准则函数的取值确定模型的优劣，以决定取舍，使 准则函数达到极小的是最佳模型。
第三章 平稳时间序列模型的建立
第三章 平稳时间序列模型的建立
第一节 时间序列的采集、直观分析和特征分析 第二节 时间序列的相关分析 第三节 平稳时间序列的零均值处理 第四节 平稳时间序列的模型识别 第五节 平稳时间序列模型参数的矩估计 第六节 平稳时间序列模型的定阶 第七节 平稳时间序列模型的检验 第八节 平稳时间序列模型的建模方法
第三节 平稳时间序列的零均值处理
ARMA模型：自回归移动平均模型
中心化ARMA(p,q)模型
Xt 1Xt12Xt2LpXtpt 1t12t2Lqtq p0,q0
Et0, vart2, Est0,st EXst0, st
非中心化ARMA(p,q)模型
X t 0 1 X t 1 2 X t 2 L p X t p t 1 t 1 2 t 2 L q t q
1 6N
N i1
X
i S*
X
3
标准峰度系数： g 2
N
1
2 4 N
N i1
X
i S*
X
4 3
第二节 时间序列的相关分析
时间序列的相关分析
相关分析：
纯随机性检验 平稳性检验 正态性检验
纯随机性检验
定义：纯随机性检验，又称白噪声检验，是检验
时间序列观察值之间是否具有相关性.
若F<Fα(s,N-r)，则接受原假设，认为这s个回归因子对因 变量的影响是不显著的，表明M2合适。
AR(p)模型定阶的F准则
1967年，瑞典控制论专家K.J.Aström教授将F检验准则用于 对时间序列模型的定阶。
原理(模型阶数简约原则 parsimony principle)：
设Xt(1≤t≤N)是零均值平稳序列，用模型AR模型拟合
当 或 ˆ在k 延迟ˆ k k若干阶之后衰减为小值波动时，什 么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作拖 尾呢？
模型识别
Bartlett定理：零均值的平稳时间序列Xt：
若自相关系数q步截尾，则
ˆ k
~& N
0
,
1 N
,
kq
若偏相关系数p步截尾，则
ˆ k k
~& N
0,
1 N
,
kp
95％的置信区间：P