高考数学一轮复习第八章立体几何8.4直线、平面平行的判定与性质课件文新人教A版
[典题 1]
正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB，
在 AE，BD 上各一点 P，Q，且 AP＝DQ.求证：PQ∥平面 BCE.
[证明]
证法一：如图所示．作 PM∥AB 交 BE 于点 M，作
QN∥AB 交 BC 于点 N，连接 MN.
∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB， ∴AE＝BD. 又 AP＝DQ，∴PE＝QB. 又 PM∥AB∥QN， PM PE QB QN QB ∴ ＝ ＝ ， ＝ . AB AE BD DC BD PM QN ∴ ＝ . AB DC ∴PM 綊 QN，即四边形 PMNQ 为平行四边形，(2)判定定理与性质定源自 文字语言 平面外______ 一条
直线与此平面 ___________ 内的一条直线 ___________
图形表示
符号表示
判定定 理
a⊄α，b⊂α， a∥b⇒a∥α
平行，则该直 线平行于此平 面
一条直线和一 个平面平行， 则 性质 过这条直线的 定理 任一平面与此 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b
2．三种平行关系的转化图
1 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝2AD， E，F，H 分别为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点， G 是线段 OF 上一点．
(1)求证：AP∥平面 BEF； (2)求证：GH∥平面 PAD.
1 证明：(1)连接 EC，∵AD∥BC，BC＝2AD，
质 一个平面 定 如果两个平行平面 理 同时和第三个平面 相交，那么它们的
交线 平行 ________
(1)[教材习题改编]已知平面 α，β 和直线 a，b，c，且 a∥b
平行或相交 ． ∥c.若 a，b⊂α，c⊂β，则平面 α 与 β 的关系是_____________
(2)[教材习题改编]如图所示， 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，
平行 ． 平面 AB1C 与平面 A1DC1 的位置关系是________
交线 平面的______
与该直线平行
(1)[教材习题改编]在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别在边 DE DF AD，CD 上，且满足 ＝ ，则直线 EF 与平面 ABC 的关系是 EA FC
平行 ． ________
DE DF 解析：因为 ＝ ，所以 EF∥AC.又因为 AC⊂平面 ABC， EA FC EF⊄平面 ABC，所以 EF∥平面 ABC.
证法三：如图，在平面 ABEF 内，过点 P 作 PM∥BE，交 AB 于点 M，连接 QM.
∵PM⊄平面 BCE， AP AM ∴PM∥平面 BCE，且 ＝ ， PE MB 又 AE＝BD，AP＝DQ，PE＝BQ，
AP DQ AM DQ ∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴MQ∥AD. PE BQ MB QB 又 AD∥BC，∴MQ∥BC. 又 MQ⊄平面 BCE， ∴MQ∥平面 BCE. 又 PM∩MQ＝M， ∴平面 PMQ∥平面 BCE. 又 PQ⊂平面 PMQ， ∴PQ∥平面 BCE.
§8.4 直线、平面平行的判定与性质
考纲展示► 1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理 解空间中线面平行的有关性质与判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平 行关系的简单命题．
考点 1 线面平行的判定与性质
直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线 l 与平面 α 没有公共点，则称直线 l 与平面 α 平行．
∴BC 綊 AE，∴四边形 ABCE 是平行四边形，
∴O 为 AC 的中点，
又∵F 是 PC 的中点，∴FO∥AP， FO⊂平面 BEF，AP⊄平面 BEF， ∴AP∥平面 BEF.
(2)连接 FH，OH， ∵F，H 分别是 PC，CD 的中点， ∴FH∥PD，又 PD⊂平面 PAD， FH⊄平面 PAD， ∴FH∥平面 PAD. 又∵O 是 BE 的中点，H 是 CD 的中点， ∴OH∥AD，
[点石成金]
1.解决线面平行问题的解题策略
(1) 证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与 已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定 理、 线面平行的性质， 或者构造平行四边形等证明两直线平行． 注 意说明已知的直线不在平面内． (2) 判断或证明线面平行的方法：①线面平行的定义 ( 反证 法)；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质定理．
∴PQ∥MN. 又 MN⊂平面 BCE，PQ⊄平面 BCE， ∴PQ∥平面 BCE.
证法二：如图，连接 AQ 并延长交 BC 的延长线于点 K，连 接 EK，
∵AE＝BD，AP＝DQ， AP DQ ∴PE＝BQ，∴ ＝ . PE BQ
DQ AQ 又 AD∥BK，∴ ＝ ， BQ QK AP AQ ∴ ＝ ，∴PQ∥EK. PE QK 又 PQ⊄平面 BCE，EK⊂平面 BCE， ∴PQ∥平面 BCE.
(2)[教材习题改编]如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝ 2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上．若 EF∥ 平面 AB1C，则
2 线段 EF 的长度等于________ ．
解析：因为 EF∥平面 AB1C，易知 AC∥EF，又因为 E 为中 点，所以 F 为 DC 的中点，故 EF＝ 2.
相交直线与另一个 定 ________
图形表示
符号表示 a⊂α，b⊂α， a∩b＝P，a∥ β， b∥β⇒α∥β
定 平面平行，则这两 理 个平面平行
两个平面平行，则 其中一个平面内的
α ∥β ，a ⊂α ⇒a∥β α ∥β ， α∩γ＝a， β ∩γ ＝ b ⇒a∥b
平行 于另 性 直线________
又 AD⊂平面 PAD，OH⊄平面 PAD， ∴OH∥平面 PAD. 又 FH∩OH＝H， ∴平面 OHF∥平面 PAD. 又∵GH⊂平面 OHF， ∴GH∥平面 PAD.
考点 2
面面平行的判定与性质
平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面．
(2)判定定理与性质定理 语言表述 判 一个平面内的两条
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高考一轮复习通用版8.4直线平面平行的判定与性质课件(55张)
【对点训练】
1．如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
2.[2022·江苏南通市检测]《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经 十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1 000多年．在《九
线线平行”)
符号语言
因为 _l_∥__a__， _a_⊂__α__， __l⊄__α__， 所以l∥α
因为 __l∥__α__， __l⊂__β__， ______， 所以l∥b
[提醒] 应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件 必须都具备，缺一不可．
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
2.在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝AD， E为AD的中点，在线段B1C1上是否存在点F， 使得平面A1AF∥平面ECC1？若存在，请加 以证明，若不存在，请说明理由．
微专题29 函数思想破解立体几何中的问题
名师点评利用函数思想建立MN与a的函数关系式是解此题的关键， 立体几何中的最值问题，通常借助函数思想求解．
因为 _α_∥__β__， ______， ______， 所以a∥b
二、必明2个常用结论 1．平行间的三种转化关系
2．平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
关键能力—考点突破
考点一 与线、面平行相关命题的判定 [基础性]
1．设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法 正确的是( )
高考数学大一轮复习第八章立体几何4第4讲直线、平面平行的判定与性质课件文新人教A版4
又因为 G，E 分别为 A1B1，AB 的中点， 所以 A1G═∥═EB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形， 所以 A1E∥GB. 因为 A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， 所以 A1E∥平面 BCHG. 又因为 A1E∩EF＝E，所以平面 EFA1∥平面 BCHG.
[迁移探究 1] (变条件)在本例条件下，若 D 为 BC1 的中点，求 证：HD∥平面 A1B1BA. 证明：如图所示，连接 HD，A1B， 因为 D 为 BC1 的中点， H 为 A1C1 的中点， 所以 HD∥A1B， 又 HD⊄平面 A1B1BA， A1B⊂平面 A1B1BA， 所以 HD∥平面 A1B1BA.
图形语言
符号语言
因为 l∥α， l⊂β，α∩ β＝b， 所以 l∥b
2. 平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言 符号语言
一个平面内的两条_相__交__直__线__ 判定 与另一个平面平行，则这两个 定理 平面平行(简记为“线面平行⇒
面面平行”)
因为 a∥β， b∥β，a∩ b＝P，
a⊂α，b⊂α， 所以 α∥β
(教材习题改编)如果直线 a∥平面 α，那么直线 a 与平面 α 内的( ) A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交 解析：选 D.因为 a∥平面 α，直线 a 与平面 α 无公共点，因此 a 和平面 α 内的任意一条直线都不相交，故选 D.
如图，在长方体 ABCD-A′B′C′D′中，下列直线与平面 AD′C 平行的是( )
角度二 线面平行性质的应用 (2019·高考全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1
的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N 分 别是 BC，BB1，A1D 的中点．
高考数学一轮复习第八章立体几何8.4直线、平面平行的判定与性质课件文新人教A
a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b
(1)[教材习题改编]在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别在边
AD，CD 上，且满足DEAE＝DFCF，则直线 EF 与平面 ABC 的关系是 __平__行____．
解析：因为DEAE＝DFCF，所以 EF∥AC.又因为 AC⊂平面 ABC， EF⊄平面 ABC，所以 EF∥平面 ABC.
§8.4 直线、平面平行的判定与性质
考纲展示► 1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理 解空间中线面平行的有关性质与判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平 行关系的简单命题．
考点 1 线面平行的判定与性质
直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线 l 与平面 α 没有公共点，则称直线 l 与平面 α 平行．
α∥β，a ⊂α
⇒a∥β
α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b
⇒a∥b
(1)[教材习题改编]已知平面 α，β 和直线 a，b，c，且 a∥b ∥c.若 a，b⊂α，c⊂β，则平面 α 与 β 的关系是__平__行__或__相__交___．
(2)[教材习题改编]如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 平面 AB1C 与平面 A1DC1 的位置关系是___平__行___．
证法三：如图，在平面 ABEF 内，过点 P 作 PM∥BE，交 AB 于点 M，连接 QM.
∵PM⊄平面 BCE， ∴PM∥平面 BCE，且APEP＝AMMB， 又 AE＝BD，AP＝DQ，PE＝BQ，
∴APEP＝DBQQ，∴MAMB＝DQQB，∴MQ∥AD. 又 AD∥BC，∴MQ∥BC. 又 MQ⊄平面 BCE， ∴MQ∥平面 BCE. 又 PM∩MQ＝M， ∴平面 PMQ∥平面 BCE. 又 PQ⊂平面 PMQ， ∴PQ∥平面 BCE.
高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第4节 直线与平面平行的判定及其性质课件 理 新人教A版.ppt
(2)当 P 为 AM 的中点时，MC∥平面 PBD．
理由如下：如图，连接 AC 交 BD 于 O. 因为四边形 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点． 连接 OP，因为 P 为 AM 中点， 所以在△AMC 中，MC∥OP. 又 MC⊄平面 PBD，OP⊂平面 PBD，
所以 MC∥平面 PBD．
答案：D
三、易错自纠 4．直线 m，n 均不在平面 α，β 内，给出下列命题： ①若 m∥n，n∥α，则 m∥α； ②若 m∥β，α∥β，则 m∥α； ③若 m⊥n，n⊥α，则 m∥α； ④若 m⊥β，α⊥β，则 m∥α. 其中正确命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选 D 因为直线 m，n 均不在平面 α，β 内，所以若 m∥n，n∥α，则 m∥α， ①正确；若 m∥β，α∥β，则 m∥α，②正确；若 m⊥n，n⊥α，则 m∥α，③正确；若 m⊥β， α⊥β，则 m∥α，④正确．所以其中正确命判定及其性质
栏 课前 ·基础巩固 1
目
导
课堂 ·考点突破 2
航
3 课时·跟踪检测
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.理解空间直线和平面位置关系的 1.以几何体为载体，考查线线、线面、
定义.
面面平行的证明.
2.了解直线和平面的位置关系. 2.考查转化思想、空间想象能力、逻辑 1.直观想象
3.掌握直线与平面平行的判定定理 思维能力及运算能力，以多面体为载 2.逻辑推理
和性质定理，两个平面平行的判定 体、以解答题形式呈现是主要命题方
定理和性质定理.
式.
1
课前 ·基础巩固
‖知识梳理‖ 1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
高考数学一轮复习统考 第8章 立体几何 第4讲 直线、平面平行的判定及性质课件
第十三页，共八十六页。
答案
解析 因为矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，所以 O 为 BD 的 中点．在△PBD 中，因为 M 为 PB 的中点，所以 OM 为△PBD 的中位线， OM∥PD，所以 PD∥平面 AMC，OM∥平面 PCD，且 OM∥平面 PDA.因为 M∈PB，所以 OM 与平面 PBA，平面 PBC 相交．
第二十五页，共八十六页。
解析
2．(2019·湖南联考)已知 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同 的平面，下列命题中正确的是( )
A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m∥α，m∥β，则 α∥β C．若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β D．若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n
解析 A 中，两直线可能平行、相交或异面；B 中，两平面可能平行 或相交；C 中，两平面可能平行或相交；D 中，由线面垂直的性质定理可 知结论正确，故选 D.
第三十一页，共八十六页。
解析
例 3 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形 PC 的中点，在 DM 上取一点
G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.
求证：AP∥GH.
证明 如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
第二十六页，共八十六页。
解析 答案
精准设计考向，多角度探究突破 考向二 直线与平面平行(píngxíng)的判定与性质 角度 1 用线线平行证明线面平行 例 2 (1)(2019·豫东名校联考)如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为线段 AD 上的任意一点(不包 括 A，D 两点)，平面 CEC1 与平面 BB1D 交于 FG. 证明：FG∥平面 AA1B1B.
答案
解析 因为矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，所以 O 为 BD 的 中点．在△PBD 中，因为 M 为 PB 的中点，所以 OM 为△PBD 的中位线， OM∥PD，所以 PD∥平面 AMC，OM∥平面 PCD，且 OM∥平面 PDA.因为 M∈PB，所以 OM 与平面 PBA，平面 PBC 相交．
第二十五页，共八十六页。
解析
2．(2019·湖南联考)已知 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同 的平面，下列命题中正确的是( )
A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m∥α，m∥β，则 α∥β C．若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β D．若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n
解析 A 中，两直线可能平行、相交或异面；B 中，两平面可能平行 或相交；C 中，两平面可能平行或相交；D 中，由线面垂直的性质定理可 知结论正确，故选 D.
第三十一页，共八十六页。
解析
例 3 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形 PC 的中点，在 DM 上取一点
G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.
求证：AP∥GH.
证明 如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
第二十六页，共八十六页。
解析 答案
精准设计考向，多角度探究突破 考向二 直线与平面平行(píngxíng)的判定与性质 角度 1 用线线平行证明线面平行 例 2 (1)(2019·豫东名校联考)如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为线段 AD 上的任意一点(不包 括 A，D 两点)，平面 CEC1 与平面 BB1D 交于 FG. 证明：FG∥平面 AA1B1B.
2020版高考数学一轮复习第八章立体几何第4讲直线、平面平行的判定及性质课件理新人教A版
A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β C．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2
答案 D
解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平 行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.故选D.
答案
解析
2．已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是 ()
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 答案 B 解析 由题可知，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A 错误；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂ α，故C错误；若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α或n与α相交，故D错误．
第4讲
直线、平面平行的判 定及性质
基础知识整合
1．直线与平面平行 (1)判定定理
(2)性质定理
2．平面与平面平行 (1)判定定理
(2)性质定理
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. 2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b. 3．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝
a 3
，过P，
M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
答案
22 3a
答案
解析 如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD.
∴MN∥PQ.
又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.
又∵AP＝a3， ∴PADD＝DCDQ＝PAQC＝23.
答案
解析 矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△ PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，OM∥PD，则PD∥平 面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面 PBA，平面PBC相交．
答案 D
解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平 行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.故选D.
答案
解析
2．已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是 ()
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 答案 B 解析 由题可知，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A 错误；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂ α，故C错误；若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α或n与α相交，故D错误．
第4讲
直线、平面平行的判 定及性质
基础知识整合
1．直线与平面平行 (1)判定定理
(2)性质定理
2．平面与平面平行 (1)判定定理
(2)性质定理
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. 2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b. 3．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝
a 3
，过P，
M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
答案
22 3a
答案
解析 如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD.
∴MN∥PQ.
又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.
又∵AP＝a3， ∴PADD＝DCDQ＝PAQC＝23.
答案
解析 矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△ PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，OM∥PD，则PD∥平 面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面 PBA，平面PBC相交．
2025届高中数学一轮复习课件《直线、平面平行的判定及性质》ppt
本题的核心条件，特殊的位置关系，必有点 F 特殊的数量关系．
(1)求证：EF∥平面 ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥 P-ABC 的体积．此条件暗示 △POF 的特殊性，即平面 POF⊥平面 ABC.
高考一轮总复习•数学
第18页
(1)证明：如图，连接 DE.设 AF＝tAC，t∈[0,1]，则B→F＝B→A＋A→F＝(1－t)B→A＋tB→C，A→O＝ －B→A＋12B→C.由 BF⊥AO，AB⊥BC，
第25页
高考一轮总复习•数学
∵∠DAB＝120°，AD＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD＝30°，∠ADC＝∠CDB＋∠ADB＝60°＋30°＝90°， ∴AD⊥CD，∴MB∥AD. 又 MB⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， ∴MB∥平面 PAD. ∵EM∩MB＝M，EM，MB⊂平面 EMB， ∴平面 EMB∥平面 PAD，∵EB⊂平面 EMB，∴EB∥平面 PAD.
高考一轮总复习•数学
第28页
题型
面面平行的判定与性质
典例 2(2024·四川绵阳中学月考)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点．求证：
(1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 思考判定定理，即需要两组平行线的关系．
高考一轮总复习•数学
第32页
对点练 2(2024·四川达州一诊)如图所示，设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，P 是 棱 AD 上一点，且 AP＝a3，过 B1，D1，P 的平面交平面 ABCD 于 PQ，Q 在直线 CD 上，则 PQ＝( )
A.2 3 2a B. 3 2a C. 2 2a D.2 3 3a
(1)求证：EF∥平面 ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥 P-ABC 的体积．此条件暗示 △POF 的特殊性，即平面 POF⊥平面 ABC.
高考一轮总复习•数学
第18页
(1)证明：如图，连接 DE.设 AF＝tAC，t∈[0,1]，则B→F＝B→A＋A→F＝(1－t)B→A＋tB→C，A→O＝ －B→A＋12B→C.由 BF⊥AO，AB⊥BC，
第25页
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∵∠DAB＝120°，AD＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD＝30°，∠ADC＝∠CDB＋∠ADB＝60°＋30°＝90°， ∴AD⊥CD，∴MB∥AD. 又 MB⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， ∴MB∥平面 PAD. ∵EM∩MB＝M，EM，MB⊂平面 EMB， ∴平面 EMB∥平面 PAD，∵EB⊂平面 EMB，∴EB∥平面 PAD.
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题型
面面平行的判定与性质
典例 2(2024·四川绵阳中学月考)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点．求证：
(1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 思考判定定理，即需要两组平行线的关系．
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第32页
对点练 2(2024·四川达州一诊)如图所示，设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，P 是 棱 AD 上一点，且 AP＝a3，过 B1，D1，P 的平面交平面 ABCD 于 PQ，Q 在直线 CD 上，则 PQ＝( )
A.2 3 2a B. 3 2a C. 2 2a D.2 3 3a
2019高考数学一轮复习-第八章-立体几何-8.4-直线、平面平行的判定与性质课件-理-新人教A版
关闭
由面面平行的判定定理和性质知A,B,D正确.对于C,位于两个平行平面内
的直线也可能异面.
关闭
C
解析
答案
知识梳理
1
考点自测
2
3
4
5
5.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底
面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP= 3 ,过
P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=
在Rt△ABH中,∠BAD=60°,AB=2,故BH= √3
.
∵DE⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴DE⊥AD.
由(1)知BC∥EF,且AD∥BC,
∴AD∥EF,∴DE⊥EF.
1
1
1
∴三棱锥 B-DEF 的体积 V=3×S△DEF×BH=3 × 2×1×1×√3 =
√3
.
6
考点1
考点2
考点3
则这两个平面平行(客观题可用).
考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练3
如图所示的几何体ABCEFD中,△ABC,△DFE都是等边三角形,且
所在平面平行,四边形BCED是边长为2的正方形,且所在平面垂直
于平面ABC.
(1)求几何体ABCEFD的体积;
(2)证明:平面ADE∥平面BCF.
考点1
考点2
考点3
1
即2×2×1×h=√3,解得 h=√3.
∴三棱锥 A-CDE 的高为√3.
考点1
考点2
考点3
考点4
思考判断或证明线面平行的常用方法有哪些?
解题心得1.判断或证明线面平行的常用方法有:
(1)利用线面平行的定义(无公共点);
由面面平行的判定定理和性质知A,B,D正确.对于C,位于两个平行平面内
的直线也可能异面.
关闭
C
解析
答案
知识梳理
1
考点自测
2
3
4
5
5.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底
面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP= 3 ,过
P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=
在Rt△ABH中,∠BAD=60°,AB=2,故BH= √3
.
∵DE⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴DE⊥AD.
由(1)知BC∥EF,且AD∥BC,
∴AD∥EF,∴DE⊥EF.
1
1
1
∴三棱锥 B-DEF 的体积 V=3×S△DEF×BH=3 × 2×1×1×√3 =
√3
.
6
考点1
考点2
考点3
则这两个平面平行(客观题可用).
考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练3
如图所示的几何体ABCEFD中,△ABC,△DFE都是等边三角形,且
所在平面平行,四边形BCED是边长为2的正方形,且所在平面垂直
于平面ABC.
(1)求几何体ABCEFD的体积;
(2)证明:平面ADE∥平面BCF.
考点1
考点2
考点3
1
即2×2×1×h=√3,解得 h=√3.
∴三棱锥 A-CDE 的高为√3.
考点1
考点2
考点3
考点4
思考判断或证明线面平行的常用方法有哪些?
解题心得1.判断或证明线面平行的常用方法有:
(1)利用线面平行的定义(无公共点);
2021版高考数学一轮复习第八章立体几何第4讲直线、平面平行的判定与性质课件文新人教A版
线面平行的判定与性质(多维探究) 角度一 线面平行的证明
在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别是 BC，CC1，C1D1，A1A 的中 点．求证： (1)BF∥HD1； (2)EG∥平面 BB1D1D.
【证明】 (1)如图所示，取 BB1 的中点 M，连接 MH，MC1，易证四边形 HMC1D1 是平 行四边形， 所以 HD1∥MC1. 又因为在平面 BCC1B1 中，BM═ ∥FC1， 所以四边形 BMC1F 为平行四边形， 所以 MC1∥BF， 所以 BF∥HD1.
FD 于点 P，交棱 FA 于点 Q.
证明：PQ∥平面 ABCD.
【证明】 因为底面 ABCD 为矩形，所以 AD∥BC，
AD∥BC
AD⊂平面ADF⇒BC∥平面 ADF，
BC⊄平面ADF
BC∥平面ADF BC⊂平面BCPQ
⇒BC∥PQ，
平面BCPQ∩平面ADF＝PQ
PQ∥BC PQ⊄平面ABCD
线 c，即 a∥c，又 a∥b，所以 b∥c，b⊄α，c⊂α，所以 b∥α.
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是
()
A．α 内有无数条直线与 β 平行
B．α 内有两条相交直线与 β 平行
C．α，β 平行于同一条直线
D．α，β 垂直于同一平面
解析：选 B.对于 A，C，D 选项，α 均有可能与 β 相交，故排除 A，C，D 选项，选 B.
线都不相交，故选 D.
2．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH 为截面，则四边形 EFGH 的 形状为__________．
解析：因为平面 ABFE∥平面 DCGH，又平面 EFGH∩平面 ABFE＝EF，平面 EFGH∩ 平面 DCGH＝HG，所以 EF∥HG.同理 EH∥FG，所以四边形 EFGH 是平行四边形． 答案：平行四边形
2019届高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8-4 直线、平面平行的判定与性质课件 文
∴四边形 BDC1D1 为平行四边形，∴DC1∥BD1. 又 DC1⊄平面 A1BD1，BD1⊂平面 A1BD1， ∴DC1∥平面 A1BD1， 又∵DC1∩DM＝D，DC1、DM⊂平面 AC1D， ∴平面 A1BD1∥平面 AC1D.
证明面面平行的 4 种方法 (1)面面平行的定义． (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行． 其中(2)用的最多，当题目中涉及垂直关系较多时，可考虑(3)．
考点一 平行关系的判断——基础考点 (1)(2015·北京卷)设 α，β 是两个不同的平面，m 是 直线且 m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设 m，n 表示不同直线，α，β 表示不同平面，则下列结论 中正确的是( )
∴OH∥AD，OH⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD，∴OH∥平面 PAD.
又 FH∩OH＝H， ∴平面 OHF∥平面 PAD. 又∵GH⊂平面 OHF，∴GH∥平面 PAD.
证明线面平行的 3 种方法 (1)线面平行的定义：一般用反证法． (2)线面平行的判定定理：关键是在平面内找(或作)一条直线 与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程． (3)面面平行的性质定理：两平面平行时，其中一个平面内的 任何直线都平行于另一个平面．
[证明] (1)连接 EC， ∵AD∥BC，BC＝12AD，
∴BC 綊 AE， ∴四边形 ABCE 是平行四边形，
∴O 为 AC 的中点． 又∵F 是 PC 的中点，∴FO∥AP， FO⊂平面 BEF，AP⊄平面 BEF， ∴AP∥平面 BEF. (2)连接 FH，OH， ∵F，H 分别是 PC，CD 的中点， ∴FH∥PD，∵FH⊄平面 PAD，PD⊂平面 PAD，∴FH∥平面 PAD. 又∵O 是 BE 的中点，H 是 CD 的中点，
证明面面平行的 4 种方法 (1)面面平行的定义． (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行． 其中(2)用的最多，当题目中涉及垂直关系较多时，可考虑(3)．
考点一 平行关系的判断——基础考点 (1)(2015·北京卷)设 α，β 是两个不同的平面，m 是 直线且 m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设 m，n 表示不同直线，α，β 表示不同平面，则下列结论 中正确的是( )
∴OH∥AD，OH⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD，∴OH∥平面 PAD.
又 FH∩OH＝H， ∴平面 OHF∥平面 PAD. 又∵GH⊂平面 OHF，∴GH∥平面 PAD.
证明线面平行的 3 种方法 (1)线面平行的定义：一般用反证法． (2)线面平行的判定定理：关键是在平面内找(或作)一条直线 与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程． (3)面面平行的性质定理：两平面平行时，其中一个平面内的 任何直线都平行于另一个平面．
[证明] (1)连接 EC， ∵AD∥BC，BC＝12AD，
∴BC 綊 AE， ∴四边形 ABCE 是平行四边形，
∴O 为 AC 的中点． 又∵F 是 PC 的中点，∴FO∥AP， FO⊂平面 BEF，AP⊄平面 BEF， ∴AP∥平面 BEF. (2)连接 FH，OH， ∵F，H 分别是 PC，CD 的中点， ∴FH∥PD，∵FH⊄平面 PAD，PD⊂平面 PAD，∴FH∥平面 PAD. 又∵O 是 BE 的中点，H 是 CD 的中点，