湘教版七下《运用乘法公式进行计算》教案

2．2.3运用乘法公式进行计算

1．熟练运用乘法公式进行计算；(重点、难点)

2．通过对不同的式子采取合适的方法运算，培养学生的思维能力和解题能力．

一、情境导入

1．我们学过了哪些乘法公式？

(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

(2)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.

2．怎样计算：(a＋2b－c)(a－2b＋c)．

二、合作探究

探究点：运用乘法公式进行计算

【类型一】乘法公式的综合运用

计算：

(1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)；

(2)(a＋b)2－2(a＋b)(a－b)＋(a－b)2；

(3)(x－2y＋3z)(x＋2y－3z)；

(4)(2a＋b)2(b－2a)2.

解析：(1)可添加(2－1)，与首项结合起来用平方差公式，再把结果依次与下一项运用平方差公式；

(2)逆用完全平方公式，能简化运算；

(3)两个因式都是三项式，且各项的绝对值对应相等，所以可先运用平方差公式；

(4)先利用积的乘方把原式变形为[(b＋2a)(b－2a)]2，再利用平方差公式把中括号内的多项式的乘法展开，然后再利用完全平方公式展开即可．

解：(1)原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)＝(24－1)(24＋1)…(216＋1)＝232－1；

(2)原式＝[(a＋b)－(a－b)]2＝(a＋b－a＋b)2＝4b2；

(3)原式＝[x－(2y－3z)][x＋(2y－3z)]＝x2－(2y－3z)2＝x2－(4y2－12yz＋9z2)＝x2－4y2＋12yz－9z2；

(4)(2a＋b)2(b－2a)2＝[(b＋2a)(b－2a)]2＝(b2－4a2)2＝b4－8a2b2＋16a4.

方法总结：运用乘法公式计算时，先要分析式子的特点，找准合适的方法，能起到事半功倍的作用．同时由于减少了运算量，能提高解题的准确率．

【类型二】运用乘法公式求值

如图，立方体每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写两数之和相等．若18的对面写的是质数a，14的对面写的是质数b，35的对面写的是质数c，试求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．

解析：先求出35与18和14的差，然后根据质数的定义判断出35的对面是2，再根据相对两个面所写两数之和相等求出a 、b ，然后把所求代数式相乘，分解因式后代入进行计算即可得解．

解：由质数的特点得出，除2外其他质数必为奇数，35为奇数，如果它与奇数相加必为偶数，而18与14与奇数相加必为奇数，故35不能与奇数相加，∴35的对面是最小的质数2，∴c ＝2.∵相对两个面所写两数之和相等，∴a ＝(35＋2)－18＝19，b ＝(35＋2)－14＝23，∴2(a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca )＝(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2ac ＋c 2)＋(b 2－2bc ＋c 2)＝(a －b )2＋(a －c )2＋(b －c )2＝(19－23)2＋(19－2)2＋(23－2)2＝16＋289＋441＝746.∴a 2＋b 2＋c 2－ab

－bc －ca ＝12

×746＝373. 方法总结：本题主要考查了完全平方公式的运用，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题，本题根据质数的定义判断出c 的值是解题的关键．

已知a －b ＝3，b －c ＝2，a 2＋b 2＋c 2＝1，求ab ＋bc ＋

ca 的值．

解析：根据已知先求出a －c 的值，然后根据(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2＝2(a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca )求解．

解：因为a －b ＝3，b －c ＝2，所以a －c ＝5.因为(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2＝9＋4＋25＝38，所以2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab ＋bc ＋ca )＝38.因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以2－2(ab ＋bc ＋ca )＝38.所以ab ＋bc ＋ca ＝－18.

方法总结：运用乘法公式求值，往往涉及乘法公式的变形，并把其中某部分看作一个整体，如把a 2＋b 2与2ab 看作一个整体，利用列方程或列方程组求解．

三、板书设计

运用乘法公式进行计算

1．平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.

2．完全平方公式：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.

本节课学习了运用乘法公式进行计算，计算时要注意两个方面，一是正确运用公式，判断题目所给出的式子是否适用公式进行计算，运用公式时是用平方差公式还是完全平方公式；二是注意运算的准确性，运算时必须细心，注意符号及项数，避免出现错误．在教学中可采取小组竞赛的方式进行，提高学生的积极性和主动性