2020高考数学微专题空间几何体的表面积和体积(55张)
微专题八 空间几何体的表面积和体积
1 4
解析：解法 1(割补法)：设△ABC 的面积为 S，三棱柱的高为 h，则 V1＝VA1-ABC
－VM-ABC＝13Sh－13S×12h＝16Sh，V2＝VABC-A1B1C1－VA1-ABC＝Sh－13Sh＝23Sh，所以
VV12＝S6h·23Sh＝14.
解法
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题八 空间几何体的表面积和体积
【思维变式题组训练】 1. 有一根长为 6 cm，底面半径为 0.5 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕 4 圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为 ________cm.
36＋16π2 解析：由题意得如图所示，可知铁丝的长度至少为 62＋4π2＝ 36＋16π2.
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题八 空间几何体的表面积和体积
例 3 将 2 张边长均为 1 分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影 部分．
(1) 在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及 底面半径； (2) 在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最 大值．
微专题八 空间几何体的表面积和体积
(2)
32 π
解析：不妨设 V1＝27，V2＝9π，故 V1＝a3＝27，即 a＝3，所以 S1＝6a2
＝54.
如图所示，又 V2＝13h×πr2＝13πr3＝9π，即 r＝3，所以 l＝ 2r，
即 S2＝12l×2πr＝
2πr2＝9
2π，所以SS12＝9
54 ＝3 2π
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题八 空间几何体的表面积和体积
列表：
x
12，12＋
3 6
12＋3 6Fra bibliotek12＋ 63，1
V′(x)
＋
0
－
V(x)
极大值
所以当
x＝12＋
63时，Vmax＝
3 36 .
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题八 空间几何体的表面积和体积
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题八 空间几何体的表面积和体积
2. 表面积为 12π 的圆柱，则当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ________．
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题八 空间几何体的表面积和体积
1 2
解析：因为 S 表＝2πr2＋2πrh＝12π，所以 r2＋rh＝6，即 h＝6－r r2>0，解得 0<r< 6.
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题八 空间几何体的表面积和体积
2. 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 M 为棱 AA1 的中点，记三棱锥 A1-MBC 的体积为 V1，四棱锥 A1-BB1C1C 的体积为 V2，则VV12的值是________．
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考情分析 典型例题 课后作业
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题八 空间几何体的表面积和体积
【思维变式题组训练】 1. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为 6π，则该圆锥的体积等于 ________． 3π 解析：设圆锥的底面半径为 r，母线为 l ，高为 h，则由题意可得 l＝2r.因为 S 侧＝πrl＝2πr2＝6π，所以 r＝ 3，l＝2 3，则 h＝ l2－r2＝ 12－3＝3，所以圆锥的 体积为 V＝13πr2h＝13π×3×3＝3π.
又 V＝πr2h＝πr26－r r2＝πr(6－r2)(0<r< 6)． 令 f(r)＝πr(6－r2)，所以 f′(r)＝π(6－3r2)．令 f′(r)＝π(6－3r2)＝0，r＝ 2.
可得 f(r)在(0， 2)上单调递增，在( 2， 6)上单调递减，故 f(r)max＝f( 2)，此时 r ＝ 2，h＝2 2.
体积的最值以及测量问题，难度为中档题.
年份 2017 2018 2019
填空题 T6组合体的体积 T10组合体的体积 T9 长方体和三棱锥体积
解答题 T18空间几何体为背景的应用题
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题八 空间几何体的表面积和体积
典课 型时 例作 题业
目标 1 空间几何体的表面积与体积 例 1 (1) 现有一个底面半径为 3 cm，母线长为 5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高 温熔化后铸成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径为________cm. (1) 3 9 解析：因为圆锥底面半径为 3 cm，母线长为 5 cm，所以圆锥的高为 52－32 ＝4 (cm)，其体积为13π×32×4＝12π (cm3)，设铁球的半径为 r，则43πr3＝12π，所以
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微专题八 空间几何体的表面积和体积
(1) 解析：设圆锥的母线长及底面半径分别为 l，r，
则14×2πl＝2πr， l＋r＋ 2r＝ 2，
解得r＝5 l＝20
223－2， 2－8 23 .
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题八 空间几何体的表面积和体积
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微专题八 空间几何体的表面积和体积
所以 VD-ABC1＝VC1-ABD＝13×C1B1×S△ABD＝13×2×12＝13.
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微专题八 空间几何体的表面积和体积
(2) 将矩形 ABCD 绕边 AB 旋转一周得到一个圆柱，AB＝3，BC＝2，圆柱上底面 圆心为 O，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥 O-EFG 体积的最 大值是________．
该铁球的半径是3 9 cm.
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微专题八 空间几何体的表面积和体积
(2) 设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 V1，S1，底面半径和高均为 r 的圆 锥的体积和侧面积分别为 V2，S2，若VV12＝3π，则SS12的值为________．
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考情分析 典型例题 课后作业
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微专题八 空间几何体的表面积和体积
(2) 4 解析：因为将矩形 ABCD 绕边 AB 旋转一周得到一个圆柱，AB＝3，BC＝2， 圆柱上底面圆心为 O，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形， 所以三棱锥 O-EFG 的高为圆柱的高，即高为 AB， 所以当三棱锥 O-EFG 体积取最大值时，△EFG 的面积最大， 当 EF 为直径，且 G 在 EF 的垂直平分线上时，(S△EFG)max＝12×4×2＝4, 所以三棱锥 O-EFG 体积的最大值(VO-EFG)max＝13×(S△EFG)max×AB＝13×4×3＝4.
柱的体积为________.
π 4
解析： 由题设条件可知，该四棱锥为正四棱锥，其高为 2.因为圆柱的一个底
面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，所以圆柱底面的直径为四棱锥底面对角线
长的一半，即半径 r＝12.又因为圆柱另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，所以
圆柱的高 h＝1，从而圆柱的体积 V＝πr2h＝π×14×1＝π4.
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题八 空间几何体的表面积和体积
目标 2 空间几何体的最值问题 例 2 (1) 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝ 90°，点 D 为侧棱 BB1 上的动点．则当 AD＋DC1 最小时，三棱锥 D-ABC1 的体积为 ________．
(2) 设被完全覆盖的长方体底面边长为 x，宽为 y，高为 z，
则2x＋y＋z＝2z＝1，1，
z＝1－x， 解得y＝x－12.
则长方体的体积：
V＝xyz＝xx－12(1－x)＝－x3＋32x2－12x，12<x<1.
所以 V′(x)＝－3x2＋3x－12.令 V′(x)＝0 得，x＝12＋ 63或 x＝12－ 63(舍去)．
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题八 空间几何体的表面积和体积
1 (1) 3
解析：将侧面展开如图，所以由平面几何性质可得：AD＋DC1≥AC1，当且
仅当 A，D，C1 三点共线取到．此时 BD＝1，所以 S△ABD＝12×AB×BD＝12.在直三
棱柱 ABC-A1B1C1 中，有 BB1⊥CB，又 AB⊥CB，易得 CB⊥平面 ABD，所以 C1B1 ⊥平面 ABD，即 C1B1 是三棱锥 C1-ABD 的高，
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题八 空间几何体的表面积和体积
(3) 118.8 解析： 长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 6×6×4＝144(cm3)，四边形 EFGH 是菱形，面积为其对角线乘积的一半，S 菱形 EFGH＝12×6×4＝12(cm2)，四棱 锥 O-EFGH 的高为 3 cm，其体积为13×12×3＝12(cm3)，所以长方体 ABCD-A1B1C1D1 挖去四棱锥 O-EFGH 后所得的几何体的体积为 132 cm3,132×0.9＝118.8(g)，所以 制作该模型所需原料的质量为 118.8 g.
2(
等
积
转
换
)
：
V1
＝
VB-A1MC
＝
1 2
VB-A1AC
＝
1 2
VA1-ABC
，
V2
＝
2VA1-BC1B1
＝
2VB-A1B1C1＝2VA1-ABC，所以VV12＝14.
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考情分析 典型例题 课后作业
2020高考数学总复习空间几何体的表面积和体积PPT课件
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面 展开图
侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl
S ＝ 圆台侧 π(r＋r′)l
2.多面体的侧面积和表面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧 面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．
A.17 27
B.5 C.10 D.1
9
27
3
(2)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的 体积等于________cm3.
(3)三棱锥 P-ABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱
锥
D-ABE
的体积为
V 1，P-A B C
的体积为
V
2，则VV
1＝________.
2
又∵长方体表面积重叠一部分， ∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.
1．空间几何体的体积是每年高考的热点，题型为选择题和填 空题．
2．高考对空间几何体的体积的考查常有以下几个命题角度： (1)求简单几何体的体积； (2)求组合体的体积； (3)求以三视图为背景的几何体的体积．
[例 2] (1)如图，网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm)， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与 原来毛坯体积的比值为( )
2．直角三角形两直角边 AB＝3，AC＝4，以 AB 为轴旋转一
周所得的几何体的体积为( )
A．12π
B．16π
C．9π
D．24π
解析：选 B 以 AB 为轴旋转一周所得到的几何体为圆
2020新课标高考总复习数学72空间几何体的表面积与体积
＝13×3
2
3×45＝2
5
3 .
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抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究
悟真题 透析解 题策略
提素能 高效题 组训练
2014 ·新课标高考总复习 ·数学（B ·理）
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2014 ·新课标高考总复习 ·数学（B ·理）
抓主干 双基知 能优化
研考向
2．(2012年高考上海卷)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半
能优化
图和俯视图如图所示，则它的体积的最大值为________，最小值为
研考向
要点知 识探究
________．
悟真题 透析解 题策略
提素能 高效题 组训练
解析：由俯视图及正视图可得，如图所示，由图示可得体积的最 大值为14，体积的最小值为9.
答案：14 9
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2014 ·新课标高考总复习 ·数学（B ·理）
抓主干
双基知
考向三 几何体的展开与折叠
能优化
研考向
[例 3] 如图，在直棱柱 ABC-A′B′C′中，底面是边长为 3 的等
要点知
识探究 边三角形，AA′＝4，M 为 AA′的中点，P 是 BC 上一点，且由 P 沿棱
悟真题 透析解
柱侧面经过棱 CC′到 M 的最短路线长为
29，设这条最短路线与 CC′
2014 ·新课标高考总复习 ·数学（B ·理）
抓主干 双基知 能优化
研考向
要点知 识探究
(3)S△PCN＝12×CP×CN＝12×2×45＝45.
悟真题
透析解
题策略
在三棱锥 M-PCN 中，M 到面 PCN 的距离，
提素能 高效题 组训练
2020版高考数学第八章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积课件
1 法二(估值法)： 由题意， 知2V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又 V 圆柱＝π×32× 10 ＝90π，所以 45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有 63π 符合．
【答案】
(1)C
(2)B
角度二
求组合体的体积
(2019· 福州市质量检测)如图，网格纸上小正方形的边 长为 1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积 为( )
【解析】
)
B．18 3 D．54 3
(1)设圆柱的底面半径为 r，则 r ＝1
2 2
12 3 －2 ＝4，所
3 3π 以，圆柱的体积 V＝4π×1＝ 4 ，故选 B.
1 2 (2)设等边三角形 ABC 的边长为 x，则2x sin 60°＝9 3，得 x 6 ＝6.设△ABC 的外接圆半径为 r， 则 2r＝ ， 解得 r＝2 3， sin 60° 所以球心到△ABC 所在平面的距离 d＝ 42－（2 3）2＝2，则 点 D 到平面 ABC 的最大距离 d1＝d＋4＝6， 所以三棱锥 DABC 1 1 体积的最大值 Vmax＝3S△ABC×6＝3×9 3×6＝18 3.
(2017· 高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为 3，2，1， 其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为________．
解析：依题意得，长方体的体对角线长为 32＋22＋12＝ 14， 14 记长方体的外接球的半径为 R，则有 2R＝ 14，R＝ 2 ，因此 球 O 的表面积等于 4πR2＝14π. 答案：14π
【答案】
A
求空间几何体的体积的常用方法
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(
)
A．16 C．12
2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第48讲空间几何体的表面积与体积含答案
V ＝ Sh第 48 讲 空间几何体的表面积与体积1．了解柱、锥、台及球的表面积和体积的计算公式．2．通过对空间几何体的表面积与体积的计算，进一步理解简单几何体的结构特征．知识梳理1．侧面积与全面积把柱、锥、台体的侧面沿着它们的一条侧棱(或母线)剪开后展开在一个平面内，展开图的面积 是它们的侧面积．侧面积与底面积的和称为全面积或表面积．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3．空间几何体的表面积和体积公式名称几何体柱体(棱柱和圆柱)锥体 (棱锥和圆锥)台体 (棱台和圆台)球表面积S 表面积＝S 侧＋2S 底S 表面积＝S 侧＋S 底S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下S 表面积＝4πR 2体积V ＝Sh1 3 1V ＝3(S 上＋S 下＋ S 上· S 下)h4 V 球＝3πR 31．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接的常用结论 (1)正方体的棱长为 a ，球的半径为 R. ①若球为正方体的外接球，则 2R ＝ 3a ； ②若球为正方体的内切球，则 2R ＝a ；③若球与正方体的各棱相切，则 2R ＝ 2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a ，b ，c ，外接球的半径为 R ，则 2R ＝ a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1. 3．球的截面的性质(1)过球心的平面截球所得的截面是一个圆，称为球的大圆，不过球心的平面截球所得的截面 也是圆，称为球的小圆．(2)球的截面的性质：①球的小圆圆心与球心连接的线段与小圆面 垂直 ；②该球心到球的截面的距离为 d ，小圆的半径 r ，球的半径 R ，则 R 2＝ d 2＋r 2 .底面面积 S ＝ ×6×3＝9，所以 V ＝ Sh ＝ ×9×3＝9.热身练习1．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于(D)A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．6由三视图的正视图可知此三棱柱为底面边长为 2，侧棱长为 1 的正三棱柱，所以 S 侧＝3×2×1＝6.2．(2016· 全国卷Ⅱ)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 (C)A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是 2 3，底面半径是 2，因此其母线长为 4.下面是一个圆柱，圆柱的高是 4，底面半径是 2，因此该几何体的表面积是 S ＝π×22＋2π×2×4＋π×2×4＝28π，故选 C.3．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体 积为(B)A ．6B ．9C ．12D ．18由题意知，此几何体是三棱锥，其高 h ＝3.121 13 34．(2015· 安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(B)其中侧面 ABD ⊥底面 BCD ，另两个侧面 ABC ，ACD 为等边三角形，则有 S 表面积2× ×2×12 ＋2× 3×( 2)2＝2＋ 3.A ．12π B. πA ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2根据三视图还原几何体如图所示，1 ＝45．(2016· 全国卷Ⅱ)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(A)323C ．8πD ．4π设正方体棱长为 a ，则 a 3＝8，所以 a ＝2.所以正方体的体对角线长为 2 3，所以正方体外接球的半径为 3，所以球的表面积为 4π·( 3)2 ＝12π，故选 A.求简单几何体的表面积与体积某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5＝ ×2×2＋ ×1× 5＋ ×1× 5＋ ×2× 51．(2016· 北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为.所以该四棱柱的体积为 V ＝(1＋2)×1 ×1＝ .先将三视图还原为几何体，再求解表面积．作出三棱锥的示意图如图，在△ABC 中，作 AB 边上的高 CD ，连接 SD .在三棱锥 S －ABC 中，SC ⊥底面 ABC ，SC ＝1，底面三角形 ABC 是等腰三角形，AC ＝BC ，AB 边上的高 CD ＝2，AD ＝BD ＝1，斜高 SD ＝ 5，AC ＝BC ＝ 5.所以 S 表＝△S ABC ＋△S SAC ＋S △SBC ＋△S SAB1 1 1 12 2 2 2＝2＋2 5.C(1)本题考查三棱锥的三视图和表面积．通过还原几何体考查空间想象能力，通过求解表面积考查运算求解能力．(2)求几何体的体积和表面积，要紧扣公式中的基本量，注意量与量之间的转化．(3)当几何体不是正棱柱、正棱锥和正棱台时，求侧面积，要注意判断侧面的形状，并对每一 个侧面的面积分别求出后再相加．3 2先根据三视图还原几何体，再利用体积公式计算．由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为 1，其底面为上底长为 1，下底长为 2，高为 1 的等腰 梯形，32 2求组合体的表面积与体积(1)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 16＋20π，则 r ＝A ．1B ．2C ．4D ．8(2)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余 部分体积的比值为A. B. 6 5其表面积为 ×4πr 2＋πr 2＋πr ×2r ＋2r ×2r ＝5πr 2＋4r 2＝16＋20π，故剩余几何体的体积为 a 3－ a 3＝ a 3.所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 .的半径．若该几何体的体积是 ，则它的表面积是(A)1 1 8 71 1 C. D.(1)由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，如右图所示：圆柱的半径与球的半径都为 r ，圆柱的高为 2r ，12解得 r ＝2.(2)由三视图得，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，截去四面体 A －A 1B 1D 1，如图所示． 设正方体的棱长为 a ，1 1 1则 V A －A 1B 1D 1＝3×2a 3＝6a 3，1 5 6 615(1)B (2)D(1)求组合体体积的基本思路是通过分割、补形或采用间接法的手段，先将几何体变为一个或几个规则的，体积易求的几何体，再计算．(2)空间几何体的表面积是空间几何体暴露在外的面积，求组合体的表面积，通常是采用 “分 割”或“补形”转化为常规的柱、锥、台、球等，先求出这些柱、锥、台、球的表面积，再通过求 和或作差求得原几何体的表面积．2．(1)(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直28π34设球的半径为R，则πR3－×πR3＝π，因此它的表面积为×4πR2＋πR2＝17π.V＝4×2×2＋π×22×4＝16＋8π.A．π B.24球心O到圆柱底面圆心O′的距离d＝.所以r＝11－()2＝.A．17πB．18πC．20πD．28π(2)(经典真题)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π(1)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体1去掉上半球的，得到的几何体如图．414283833解得R＝2.7384(2)原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)．12球的有关计算(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()3π4ππC. D.设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，12由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R，d满足R2＝r2＋d2，322所以圆柱的体积为 V ＝πr 2h ＝ π×1＝ .所以等边△ABC 的外接圆的半径为 r ＝ 3AB ＝2 3.所以三棱锥 D －ABC 体积的最大值为 ×9 3×6＝18 3.3 3π4 4B球的有关计算是全国卷高考的热点之一，处理这类问题，要掌握球的截面的两个性质：①球心与截面圆心的连线垂直于截面；②球的半径 R 与截面圆的半径 r 及球心到截面的距离 d 满足 R 2＝r 2＋d 2.3．(2018· 全国卷Ⅲ)设 A ，B ，C ，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角 形且其面积为 9 3，则三棱锥 D －ABC 体积的最大值为(B)A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3由等边△ABC 的面积为 9 3可得 3 4 AB 2＝9 3，所以 AB ＝6，3设球的半径为 R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为 d ，则 d ＝ R 2－r 2＝ 16－12＝2. 所以三棱锥 D －ABC 高的最大值为 2＋4＝6，131．棱柱、棱锥、棱台的表面积多采用累加的方式求解，特别地，若为正棱柱 (棱锥、棱台)则 各侧面面积相等，可用乘法计算．2．求几何体体积常用方法有公式法、割补法和求差法(即整体减去局部)．3．解决球的内接和外切问题的关键是弄清楚几何体的哪一个几何量 (线段长)“充当”了球的 直径(或半径)的角色，如：球的内接正方体的对角线就是球的直径，球的外切正方体的棱长就是球 的直径．为此通常作出轴截面，将空间问题转化为平面问题．在轴截面中，球心在对称图形的轴线 上．4．球的体积和表面积计算的关键在于求出半径，可用球的截面性质，借助题设给定的等量关 系，建立关于球半径的方程来解题．。
专题22 几何体的表面积与体积(原卷版)
专题22 几何体的表面积与体积命题规律内 容 典 型１ 以简单几何体为研究该简单几何体某个面的面积 2020年高考全国Ⅰ卷文3 ２ 研究几何体的表面积 2020年高考浙江卷14 ３ 研究几何体的体积2020年高考江苏卷9 ４ 以几何体中空间角或为条件研究几何体的体积 2018年高考全国I 卷文数５以几何体中空间角或某个截面为条件研究几何体的侧面积2018年高考全国II 卷文数命题规律一 以简单几何体为载体研究该几何体某个面的面积【解决之道】利用简单几何体的性质与题中条件即可解决此类问题. 【三年高考】1.【2020年高考全国Ⅰ卷文理3】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A BC D 命题规律二研究几何体的表面积【解决之道】根据几何体性质与题中条件即可计算出几何体的侧面积与底面积即可求出几何体的表面积 【三年高考】1.．【2020年高考浙江卷14】已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为 ．2.【2018年高考全国I 卷文数】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A ．B ．12πC ．D ．10π2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O −EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =AA =，，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.3.【2019.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.4.【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD的体积是 .5．【2018年高考江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．6.【2018年高考天津卷文数】如图，已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1–BB 1D 1D 的体积为__________．命题规律四 以几何体中空间角为条件研究几何体的体积【解决之道】对此类问题，根据几何体的特征，列出基本量的方程（组），解出基本量，根据体积积公式即可求出几何体的体积.. 【三年高考】1.【2018年高考全国I 卷文数】在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．C ．D ．命题规律五 以几何体中空间角或某个截面为条件研究几何体的侧面积【解决之道】对此类问题，根据几何体的特征，列出基本量的方程（组），解出基本量，根据侧面积公式即可求出侧面积.. 【三年高考】1.【2018年高考全国II 卷文数】已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为__________．2.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）。
高中数学课件：空间几何体的表面积与体积共54页
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要you
2020高考(理科)二轮复习：第9讲 空间几何体的三视图、表面积与体积(可编辑PPT)
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考点三 多面体与球的切、接问题
与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外高考接导航.解题时要 认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关 系,并作出合适的截面图.
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例 (2018课标全国Ⅲ,10,5分)设A,B,C,D是同一个高半考导径航为4的球的 球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9 3,则三棱锥DABC体积的最大值为 ( ) A.12 3 B.18 3 C.24 3 D.54 3
B. 7 63
C. 2 3 3
D. 3 23
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答案 A 由三视图知,该几何体的左侧为“堑堵”,其底面是
直角边长分别为 3 ,1的直角三角形,高为1;右侧为“阳马”,一条 高考导航
长为 3 的侧棱垂直于底面,且底面是边长为1的正方形,如图所示,
所以该几何体的体积V= 1×1× 3×1+ 1× 3×1×1= 5 3 .故选A.
高考导航
A.4π B.2π C. 4 D.π
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答案 B 由题意知,该几何体的直观图如图所示,该几何体为
圆柱的一部分.设底面扇形的圆心角为α,由tan
α=高1考3导=航 3
,得α= .
3
故底面面积为 1 × ×22= 2 ,该几何体的体积为 2 ×3=2π.
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1.图1所示的是一个棱长为2的正方体被削去一个高角考后导航所得到的 几何体的直观图,其中DD1=1,AB=BC=AA1=2.若此几何体的俯视 图如图2所示,则可以作为其正视图的是 ( )
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答案 C 由直观图和俯视图知,正视图中点D1的射影是B1,所 以正视图是选项C中的图形.A中少了虚线,故不正确.
2020高考数学二轮微专题空间几何体的表面积和体积考点考向考题(5页)
2020高考数学二轮微专题空间几何体的表面积和体积考点考向考题在近几年的高考题中，对于空间几何体的表面积和体积小题必有一题，难度为中档题，在2016年、2017年都出现了以空间几何体为背景的应用题，考察了几何体体积的最值以及测量问题，难度为中档题.目标1 空间几何体的表面积与体积例1 (1) 现有一个底面半径为3 cm ，母线长为5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径为________cm.(2) 设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若V 1V 2＝3π，则S 1S 2的值为________．(3) 学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O -EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.点评：【思维变式题组训练】1. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于________．2. 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1-MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1-BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．3. 如图，在一个圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则此圆柱底面的半径是________cm.4. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________.目标2空间几何体的最值问题例2(1) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点．则当AD＋DC1最小时，三棱锥D-ABC1的体积为________．(2) 将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB＝3，BC＝2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O-EFG 体积的最大值是________．例3将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．(1) 在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面半径；(2) 在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．点评：【思维变式题组训练】1. 有一根长为6 cm，底面半径为0.5 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为________cm.2. 表面积为12π的圆柱，则当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为________．3. 在一个半径为1的半球材料中截取三个高度均为h的圆柱，其轴截面如图所示，设三个圆柱体积之和为V＝f(h)．(1) 求f(h)的解析式，并写出h的取值范围；(2) 求三个圆柱体积之和V的最大值．。
重磅-2020高考数学 专题知识考点： 第2节 空间几何体的表面积与体积 课件 文.ppt
10.已知某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为
()
A．1
1 B.2
1
1
C.3
D.6
解析：由题意可知，该几何体的体积为V＝13·S正方形·1＝13.
答案： C
11．在△ABC中，AB＝2，BC＝3， ∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周所形 成的几何体的体积为________．
第七单元 立体几何
第二节 空间几何体的表面积与体积
知识汇合
柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积
体积
圆柱 S侧＝2πrl
V＝ Sh ＝π r2h
圆锥 S侧＝π rl
V＝
1 3Sh
＝ 13πr2h
＝13πr2
l2－r2
圆台 S侧＝π(r1＋r2)l
V＝ 1 (S上＋S下＋ ＝13π(r321＋r22＋r1r2)h
A. 2倍
B. 4倍
C. 8倍
D. 16倍
2. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧
面积等于
()
A. 3B. 2 C. 2 D. 6 3 3. 若一个球的体积为4 π3，则它的表面积为 ．
4. 一个长方体有共顶点的三个面的面积分别是 2，3，.则6这个长
方体外接球的直径是( )
A. 2
5. A 解析：如图，设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h. ∵πR=2πr，∴r=R/2,又∵l=R，
h l2 r2 R2 R2 3R , 42
圆锥的体积V 1 R2 3R
3
42
3 R3 .
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6.已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是 ()
A. 4＋ 2 C. 3＋ 2