高中数学导数典型例题精讲(详细版)

导数经典例题精讲

令狐采学

导数知识点

导数是一种特殊的极限

几个常用极限：（1）1

lim 0n n

→∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）0

0lim x x

x x →=，0011

lim

x x x x →=.

两个重要的极限 ：（1）0

sin lim

1x x

x

→=；（2）

1lim 1x

x e x →∞

??

+= ???

(e=2.718281845…). 函数极限的四则运算法则：若0

lim ()x x f x a →=，0

lim ()x x

g x b →=，则 (1)

()()0

lim x x f x g x a b

→±=±????；

(2)()()0lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0lim 0x x f x a b g x b

→=≠. 数列极限的四则运算法则：若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞

==，则(1)

()lim n n n a b a b

→∞

±=±；

(2)()lim n n n a b a b →∞

?=?(3)()lim 0n n n a a

b b b

→∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常数)

)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）

00000()()()lim

lim x x x x f x x f x y

f x y x x

=?→?→+?-?''

===??. .瞬时速度：00()()

()lim lim

t t s s t t s t s t t t

υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()()

()lim lim

t t v v t t v t a v t t t

?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()()

lim lim x x y f x x f x x x

?→?→?+?-==??.

函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数

(1)0

='C （C 为常

数）.(2)'1()()n n x nx n Q -=∈.(3)x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -='

(4)x

x 1)(ln ='；e a x x

a log 1)(log ='. (5)

x x e e =')(;a a a x x ln )(='.

导数的运算法则

（1）'

'

'

()u v u v ±=±.（2）'

'

'

()uv u v uv =+.（3）''

'2

()(0)u u v uv v v v -=

≠. 复合函数的求导法则

设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=. 【例题解析】

考点1 导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.

例1．()f x '是31()213

f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是．

[考查目的]本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程]()2

2()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=

故填3.

例2.设函数()1

x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='

{|()0}

x f

x >,若M P,则实数

a 的取值范围是 ( )

A.(-∞,1)

B.(0,1)

C.(1,+∞)

D. [1,+∞)

[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

[解答过程]由0,,1;, 1.

1

x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时

综上可得M P 时, 1.a ∴>

考点2 曲线的切线

（1）关于曲线在某一点的切线

求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线

若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题

例3.已知函数3211()3

2

f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极

值点．

（I ）求24a b -的最大值； （II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，

若l 在点A 处穿过函数()y f x =

的图象（即动点在点A 附近沿曲线

()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．

思路启迪：用求导来求得切线斜率.

解答过程：（I ）因为函数3211()3

2

f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内

分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，

设两实根为

12x x ，（12x x <），则21x x -=且2104x x <-≤．于

是

04，20416a b <-≤，且当11x =-，

23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．

（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是

(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21

(1)32

y a b x a =++--，

因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象，

所以21

()()[(1)]32

g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，

则

1x =不是()g x 的极值点．

而()g x 321121(1)3

2

3

2

x ax bx a b x a =++-++++，且

22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．

若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点． 所以11a =--，即2a =-，又由

248

a b -=，得1b =-，故

3

21()3

f x x x x =

--． 解法二：同解法一得21

()()[(1)]32

g x f x a b x a =

-++--

2133

(1)[(1)(2)]322

a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，

所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）． 当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．

设233()1222a a h x x x ???

?=++-+ ? ??

?

?

?

，则

当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．

由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102

a h =?++=，

所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3

f x x x x =--．

例4.若曲线4

y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为

（ ）

A ．430x y --=

B ．450x y +-=

C ．430x y -+=

D ．430x y ++=

[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.

[解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4

y x =在某一点的导数为4，而3

4y x '=，所以4

y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=. 故选A.

例5．过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+2

5=0相切的直线的方程

为 ( )

A.y=-3x 或y=3

1x B. y=-3x 或y=-3

1x C.y=-3x 或y=-3

1x D.

y=3x 或y=3

1x

[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.

[解答过程]解法1：设切线的方程为,0.y kx kx y =∴-= 又()()

()2

2

5

21,2,1.2

x y -++=∴-圆心为 故选A.

解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,

2

222?

?- ???

由 故选A.

例6.已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ，2C 有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 思路启迪：先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.

解答过程：函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ，曲线1C 在点P(12112,x x x +)处的切线方程为))(2(2)2(11121x x x x x y -+=+-，即211)1(2x x x y -+=①

曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即

a x x x y ++-=2

222②

若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线，则①式和②式都是l 的方程，故得

1,12

22121+=--=+x x x x ，消去2x 得方程，012212

1=+++a x x

若△=0)1(244=+?-a ，即2

1-=a 时，解得2

11-=x ，此时点P 、Q 重合.

∴当时2

1-=a ，1C 和2C 有且只有一条公切线，由①式得公切线方

程为14

y x =- .

考点3 导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:

1.. 求函数的解析式;

2. 求函数的值域;

3.解决单调性问题;

4.求函数的极值（最值）;

5.构造函数证明不等式. 典型例题

例7．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.

[解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点. 故选A.

例8 .设函数3

2()2338f x x

ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．

（Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．

思路启迪：利用函数3

2()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值

构造方程组求a 、b 的值．

解答过程：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，

因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=． 即6630241230a b a b ++=??

++=?

，

．

解得3a =-，4b =．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，

2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．

当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>． 所以，当1x =时，

()

f x 取得极大值

(1)58f c

=+，又

(0)8f c

=，

(3)98f c =+．

则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立， 所以

298c c +<，

解得 1c <-或9c >，

因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，．

例9.函数y x x =

+-+243

的值域是_____________.

思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。

解答过程：由24030

x x +≥+≥??

?得，x ≥-2，即函数的定义域为[,)-+∞2. y x x x x x x '=

+-+=

+-++?+1241232324

2243， 又2

32428

2324

x x x x x +-+=

++++，

∴当x ≥-2时，y '>0， ∴

函数

y x x =+-+243

在

(,)

-+∞2上是增函数，而

f ()-=-21

，

∴=+-+y x x 243的值域是[,)-+∞1.

例10．已知函数()θθcos 16

3

cos 3423

+

-=x x

x f ，其中θ,R x ∈为参数，且

π

θ20≤≤．

（1）当时0cos =θ，判断函数()x f 是否有极值；

（2）要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围； （3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()x f 在区间()a a ,12-内都是增函数，求实数a 的取值范围．

[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.

[解答过程]（Ⅰ）当cos 0θ=时，3

()4f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞内是增函

数，故无极值.

（Ⅱ）2

'()126cos f x x

x θ

=-，令'()0f x =，得1

2cos 0,2

x

x θ==

. 由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论. ①当

cos 0θ>时，

随x 的变化'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：

()

f x 在

cos 2

x θ=

cos f(

)2

θ

3cos 13

(

)cos 2416

f θθθ=-+. 要使cos ()02

f θ>，必有2

13

cos (cos

)04

4θθ-->，可得0cos θ<<

由于0cos θ≤≤

3116

2

2

6

ππππθθ<<<<或.

错误！未找到引用源。当时cos 0θ<，随x 的变化，'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：

()0f x x =在(0)f ，且3

(0)cos .16

f θ=

若(0)0f >，则cos 0θ>.矛盾.所以当cos 0θ<时，()f x 的极小值不会大于零.

综上，要使函数()f x 在(,)-∞+∞内的极小值大于零，参数θ的取值范围为311(,)(,)62

2

6

ππππ?.

（错误！未找到引用源。）解：由（错误！未找到引用源。）知，函数()f x 在区间(,)-∞+∞与cos (,)2

θ+∞内都是增函数。

由题设，函数()(21,)f x a a -在内是增函数，则a 须满足不等式组

210

a a a -<≤或211

21cos 2

a a

a θ

-<-≥ 由（错误！未找到引用源。），参数时311(,)(,)62

2

6

ππππθ∈?时，30cos θ<<.

要使不等式121cos 2

a θ-≥关于参数θ恒成立，必有3

21a -≥

，即43

a +

≤.

综上，解得0a ≤或43

1a +

≤<.

所以a 的取值范围是43(,0)[,1)+

-∞?.

例11．设函数f(x)=ax －(a+1)ln(x+1)，其中a ≥-1，求f(x)的单调区间.

[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力

[解答过程]由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，且'

1()(1),1

ax f x a x -=≥-+

（1）当10a -≤≤时，'

()0,

f

x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减，

（2）当0a >时，由'

()0,f x =解得1.x a

=

'()

f x 、()f x 随x 的变化情况如下表

x

1

(1,)a

-

1a

1

(,)a

+∞ '()f x

— 0 +

()f x

极小值

从上表可知

当1(1,)x a ∈-时，'

()0,f x <函数()f x 在1(1,)a

-上单调递减.

当1(,)x a

∈+∞时，'

()0,f

x >函数()f x 在1(,)a

+∞上单调递增.

综上所述：当10a -≤≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减. 当0a >时，函数()f x 在1(1,)a

-上单调递减，函数()f x 在1(,)a

+∞上单

调递增.

例12．已知函数3

2()f x ax

bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数

'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：

（Ⅰ）0

x 的值；

（Ⅱ）,,a b c 的值.

[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在(),1-∞上()'0

f x >，在()

1,2上()'0f x <，在()2,+∞上()'0f x >,

故()f x 在∞∞（-，1），（2，+）上递增，在(1,2)上递减， 因此()f x 在1x =处取得极大值，所以0

1x =

（Ⅱ）'

2

()32,f x ax

bx c =++

由'

'

'

f f f （1）=0，（2）＝0，（1）＝5，

得320,

1240,

5,a b c a b c a b c ++=??++=??++=?

解得2,9,12.a b c ==-=

解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）设'

2

()(1)(2)32,f x m x x mx

mx m =--=-+

又'

2

()32,f x ax

bx c =++

所以3,,23

2

m a b m c m ==-=

由(1)5f =，即325,3

2

m m m -+=得6,m =

所以2,9,12a b c ==-=

例13．设3=x 是函数()()

()R x e b ax x

x f x ∈++=-32

的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()x f 的单调区间； （Ⅱ）设0>a ，()x

e a

x g ??

? ?

?+

=4252

.若存在[]4,0,2

1

∈εε使得()()12

1<-εεg f 成立，

求a 的取值范围.

[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.

[解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a －2)x ＋b －a ]e3－x,

由f `(3)=0，得－[32＋(a －2)3＋b －a ]e3－3＝0，即得b ＝－3－2a ，

则f `(x)＝[x2＋(a －2)x －3－2a －a ]e3－x

＝－[x2＋(a －2)x －3－3a ]e3－x ＝－(x －3)(x ＋a+1)e3－x. 令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a －1，由于x ＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a≠－4. 当a<－4时，x2>3＝x1，则

在区间（－∞，3）上，f `(x)<0，f (x)为减函数； 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数. 当a>－4时，x2<3＝x1，则

在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0，f (x)为减函数； 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值

域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－（2a ＋3）e3<0，f (4)＝（2a ＋13）e －1>0，f (3)＝a ＋6，

那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a ＋3）e3，a ＋6]. 又2

25()()4

x g x a

e =+

在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋4

25，（a2＋4

25）e4]，

由于（a2＋4

25）－（a ＋6）＝a2－a ＋41＝（2

1-a ）2≥0，所以只

须仅须

（a2＋4

25）－（a ＋6）<1且a>0，解得0

3.

故a 的取值范围是（0，2

3）.

例14已知函数321()(2)13

f x ax bx b x =-+-+

在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >；

（2）若z=a+2b,求z 的取值范围。

[解答过程]求函数()f x 的导数2()22f x ax bx b '=-+-．

（Ⅰ）由函数()f x 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，知12x x ，是()0f x '=的两个根． 所以12()()()f x a x x x x '=--

当1x x <时，()f x 为增函数，()0f x '>，由10x x -<，20x x -<得0a >． （Ⅱ）在题设下，

12012

x x <<<<等价于

(0)0(1)0(2)0f f f '>??

'?

即

202204420b a b b a b b ->??

-+-?

．

化简得20

3204520b a b a b ->??-+?

．

此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：

203204520b a b a b -=-+=-+=，，．

所围成的ABC △的内部，其三个顶点分别为：

46(22)(42)77A B C ??

???

，，，，，． z 在这三点的值依次为

16687，，． 所以z 的取值范围为1687

?? ???

，

． 小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性 规划有机结合．

考点4 导数的实际应用 建立函数模型,利用 典型例题

例15.用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

[解答过程]设长方体的宽为x （m ），则长为2x(m)，高为

??? ?

?

-=-=

230(m)35.44

1218＜＜x x x

h .

故长方体的体积为

从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='

b

a 2 1

2 4

O 4677A ?? ?

??，

(42)C ，

(22)

B ，

令V′（x ）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.

当0＜x ＜1时，V′（x ）＞0；当1＜x ＜3

2时，V′（x ）＜0，

故在x=1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值。

从而最大体积V ＝V′（x ）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m.

答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m3。

例16．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：

313

8(0120).12800080

y x x x =

-+<≤已知甲、乙两地相距100千米.

（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

[解答过程]（I ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540

=小

时， 要耗没313

(

40408) 2.517.512800080

?-?+?=（升）. 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x

小

时，设耗油量为

()

h x 升，依题意得

3213100180015

()(8).(0120),1280008012804

h x x x x x x x =-+=+-<≤

令'()0,h x =得80.x =

当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数；当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数.

当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h =

因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. 【专题训练】 一、选择题

1. y=esinxcos(sinx)，则y′(0)等于( ) A.0B.1C.－1D.2

2.经过原点且与曲线y=5

9++x x 相切的方程是( )

A.x+y=0或25

x +y=0B.x －y=0或25

x +y=0

C.x+y=0或25

x －y=0D.x －y=0或25x －y=0

3.设f(x)可导，且f′(0)=0,又x

x f x )(lim 0

'→=－1,则f(0)( )

A.可能不是f(x)的极值

B.一定是f(x)的极值

C.一定是f(x)的极小值

D.等于0

4.设函数fn(x)=n2x2(1－x)n(n 为正整数)，则fn(x)在［0,1］上的最大值为( ) A.0B.1C.n

n

)221(+-

D.1)2

(

4++n n n

5、函数y=(x2-1)3+1在x=-1处( )

A 、

有极大值 B 、无极值 C 、有极小值 D 、无法确定极值情况

6.f(x)=ax3+3x2+2，f’(-1)=4，则a=( )

A 、3

10 B 、3

13 C 、3

16 D 、3

19

7.过抛物线y=x2上的点M （4

1,21）的切线的倾斜角是( )

A 、300

B 、450

C 、600

D 、900

8.函数f(x)=x3-6bx+3b 在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是( )

A 、（0，1）

B 、（-∞，1）

C 、（0，+∞）

D 、（0，2

1）

9.函数y=x3-3x+3在[2

5,2

3-]上的最小值是( )

A 、 8

89

B 、1

C 、8

33D 、5

10、若f(x)=x3+ax2+bx+c ，且f(0)=0为函数的极值，则( ) A 、c≠0 B、当a>0时，f(0)为极大值 C 、b=0 D 、当a<0时，f(0)为极小值

11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A 、（2，3） B 、（3，+∞）C 、（2，+∞）D 、（-∞，3） 12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中( ) A 、至少有2个元素 B 、至少有3个元素 C 、至多有1个元素 D 、恰好有5个元素 二、填空题

13.若f′(x0)=2,k

x f k x

f k 2)()(lim 00

--→ =_________.

14.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________.

15.函数f(x)=loga(3x2+5x －2)(a ＞0且a≠1)的单调区间_________.

16.在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.

三、解答题

17.已知曲线C ：y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l 与C 切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.

18.求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p∈N+)，在[0，1]内的最大值.

19.证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数. 20.求函数的导数 (1)y=(x2－2x+3)e2x; (2)y=

3

1x

x -.

21.有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s

的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4

m 时，梯子上端下滑的速度.

22.求和Sn=12+22x+32x2+…+n2xn－1

,(x≠0,n∈N*).

23.设f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间.

24.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x 的两个极值点. (1)试确定常数a 和b 的值；

(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由. 25.已知a 、b 为实数，且b ＞a ＞e,其中e 为自然对数的底，求证：ab ＞ba.

26.设关于x 的方程2x2－ax －2=0的两根为α、β(α＜β),函数f(x)=1

42+-x a x .

(1)求f(α)·f(β)的值；

(2)证明f(x)是［α，β］上的增函数；

(3)当a 为何值时，f(x)在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？ 【参考答案】

一、1.解析：y′=esinx ［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=1. 答案：B

2.解析：设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=0

x y ,另一方面，

y′=(5

9++x x )′=

2

)5(4+-x ,故

y′(x0)=k,即

)5(9)

5(4

000002

0++==+-x x x x y x 或x02+18x0+45=0得x0(1)=－

3,y0(2)=－15,对应有y0(1)=3,y0(2)=5

35

15915=+-+-,因此得两个切点A(－3，3)或B(－15,5

3),从而得y′(A)=

3

)53(4

+-- =－1及y′(B)=

251

)

515(42

-=+-- ,由于切线过原点，故得切线：lA:y=－x 或lB:y=－25

x .

答案：A

3.解析：由x

f x )0(lim 0

'→=－1,故存在含有0的区间(a,b)使当x∈(a,b),x≠0

时x

f )0('＜0,于是当x∈(a,0)时f′(0)＞0,当x∈(0,b)时，f′(0)＜0,这

样f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减. 答案：B

4.解析：∵f′n(x)=2xn2(1－x)n －n3x2(1－x)n-1=n2x(1－x)n-1

［2(1－x)－nx ］,令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=n

+22,易知fn(x)在

x=

n

+22时取得最大值，最大值fn(

n

+22)=n2(n

+22)2(1－

n

+22)n=4·(n

+22)n+1.

答案：D

5、B

6、A

7、B

8、D

9、B 10、C 11、B 12、

C

二、13.解析：根据导数的定义：f′(x0)=k

x f k x

f k ---+→)()]([(lim 00

(这时

k x -=?)

答案：－1

14.解析：设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),

f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！ 答案：n!

15.解析：函数的定义域是x ＞3

1或x ＜－2,f′(x)=

2

53log 2-+x x e

a .(3x2+5x

－2)′=)

2)(13(log )56(+-?+x x e x a

,

①若a ＞1,则当x ＞3

1时，logae ＞0,6x+5＞0,(3x －1)(x+2)＞

0,∴f′(x)＞0,∴函数f(x)在(3

1,+∞)上是增函数，x ＜－2时，f′(x)

＜0.∴函数f(x)在(－∞,－2)上是减函数.

②若0＜a ＜1,则当x ＞3

1时，f′(x)＜0,∴f(x)在(3

1,+∞)上是减函

数，当x ＜－2时，

f′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,－2)上是增函数.

答案：(－∞,－2)

16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h ，那么h=AO+BO=R+

2

2x R -,解得

x2=h(2R －h),于是内接三角形的面积为 S=x·h=

,)2()2(432h Rh h h Rh -=?-

从而)2()

2(2

143

21

4

3

'--='-

h Rh h Rh

S

3

23221

43)2()23()46()2(21h h R h R h h Rh h Rh --=

--=-.