河南省驻马店市2019-2020学年高一下学期期末考试数学(文)试题(PDF版)
2019-2020学年河南省驻马店市高一下学期期末数学试卷(文科) (解析版)
2019-2020学年河南省驻马店市高一第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．sin（﹣210°）等于（）A．B．C．﹣D．﹣2．数据的信息除了通过各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述．平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差这些统计量反映了数据的集中趋势或离散程度，下列表述不正确的是（）A．平均数、中位数、众数刻画了一组数据的集中趋势B．平均数、中位数、众数一定出现在原数据中C．极差、方差、标准差刻画了一组数据的离散程度D．平均数、中位数、众数、极差、标准差单位与原数据单位保持一致3．已知0＜α＜，＜β＜0，sin，cos，则sin（α+β）的值是（）A．B．C．D．4．“互联网+”时代，全民阅读的内涵已然多元化，倡导读书成为一种生活方式，某校为了解高中学生的阅读情况，从该校1800名高一学生中，采用分层抽样方法抽取一个容量为200的样本进行调查，其中女生有88人．则该校高一男生共有（）A．1098人B．1008人C．1000人D．918人5．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．﹣1B．﹣2C．2D．7．在△ABC中，D是BC边上的中点，F是AD上的一点，且满足＝，连接CF并延长交AB于E，若＝，则λ的值为（）A．B．C．D．8．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56B．46，45，53C．47，45，56D．45，47，53 9．有以下变换方式：①先向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的倍；②先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；③先将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度；④先将每个点的橫坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度．其中能将函数y＝2sin（x+）的图象变为函数y＝2sin x的图象的是（）A．①和④B．①和③C．②和④D．②和③10．意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达芬奇的经典之作﹣﹣《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷．某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6.9cm，BC＝7.1cm，AC＝12.6cm，根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间（）A．B．C．D．11．已知sinα，cosα是关于x的x2+ax﹣a＝0（a∈R）方程的两个根，则a的值是（）A．﹣1±B．1±C．﹣1D．1﹣12．已知||＝||＝2，•＝0，（﹣）•（﹣）＝0，若|﹣|＝2，则||最大值为（）A．2B．1C．2D．4二、填空题（共4小题）.13．已知向量＝（﹣1，），＝（，y），且•＝2，则在上的投影是．14．已知扇形AOB的圆心角为60°，半径为6，那么扇形所含弓形的面积是．15．小明和小丽是同一个小区同校同年级不同班的俩个中学生，约定每星期天下午在4：00～5：00之间的任何一个时间随机地在小区附近的固定图书馆里共同学习．俩人商量好提前到达图书馆的人最多等对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人自行离开．则每次俩人能够见面的概率是．16．水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取4个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据．已知样本平均数为6，样本方差为5，则样本数据中的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知单位向量，的夹角为60°，向量＝+，＝﹣t，t∈R．（Ⅰ）若∥，求t的值；（Ⅱ）若t＝2，求向量，的夹角．18．化简求值：（Ⅰ）；（Ⅱ）4cos50°﹣tan40°．19．这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件．中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起．在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智，某市某校学生也运用数学知识展开了对这次疫情的研究，一名同学在疫情初期数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期x和全国累计报告确诊病例数量y（单位：万人）之间的关系如表：日期x1234567确诊病例数量1.4 1.72.0 2.4 2.83.1 3.5y（万人）（Ⅰ）根据表中的数据，y＝a +bx适宜作为确诊病例数量y关于日期x的回归方程类型，请求出此线性回归方程；（精确到0.01）（Ⅱ）预测2月16日全国累计报告确诊病例数．（精确到0.01）参考数据：①y i＝16.9；②x i y i＝7.5．其中，a i＝a1+a2+a3+……+a n．参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n）其回归方程v＝+u 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：①＝＝；②＝．20．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式及对称中心坐标；（Ⅱ）先将f（x）的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到g（x）的图象，求函数y＝g（x）在x∈[，]上的单调减区间和最值．21．党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态．为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目．现统计了4月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案：方案一：每满80元可立减8元；方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折．若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案．22．已知向量＝（sin（ωx），cos（ωx）），＝（cos（ωx），﹣cos（ωx））且函数f（x）＝•的两条对称轴之间的最小距离为．（Ⅰ）若方程f（x）﹣m＝0恰好在x∈[，]有两个不同实根x1，x2，求实数m的取值范围．（Ⅱ）设函数g（x）＝ax+，且{y|y＝g（x），x∈[1，2]}＝{y|y＝f（x），x∈[，]}，求实数a的值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的代号为A、B、C、D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．sin（﹣210°）等于（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】原式先利用正弦函数为奇函数化简，角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解：sin（﹣210°）＝﹣sin210°＝﹣sin（180°+30°）＝sin30°＝．故选：A．2．数据的信息除了通过各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述．平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差这些统计量反映了数据的集中趋势或离散程度，下列表述不正确的是（）A．平均数、中位数、众数刻画了一组数据的集中趋势B．平均数、中位数、众数一定出现在原数据中C．极差、方差、标准差刻画了一组数据的离散程度D．平均数、中位数、众数、极差、标准差单位与原数据单位保持一致【分析】直接根据平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的定义判断即可．解：因为刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数、众数等；刻画一组数据离散程度统计量有极差、方差、标准差等，平均数、中位数、众数、极差、标准差单位与原数据单位保持一致；而众数一定出现在原数据中，但平均数、中位数不一定出现在原数据中、故选：B．3．已知0＜α＜，＜β＜0，sin，cos，则sin（α+β）的值是（）A．B．C．D．【分析】先利用同角基本关系式，求出cosα，sinβ的值，然后利用两角和的正弦公式求出sin（α+β）的值．解：因为0＜α＜，＜β＜0，sin，cos，∴，．∴sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝＝．故选：C．4．“互联网+”时代，全民阅读的内涵已然多元化，倡导读书成为一种生活方式，某校为了解高中学生的阅读情况，从该校1800名高一学生中，采用分层抽样方法抽取一个容量为200的样本进行调查，其中女生有88人．则该校高一男生共有（）A．1098人B．1008人C．1000人D．918人【分析】由题意利用分层抽样的定义和方法，求出该校男生人数．解：设该校男生有x人，由题意可得＝，求得x＝1008，故选：B．5．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用列举法求出所拨数字可能有9个数字，其中有5个奇数，由此能求出所拨数字为奇数的概率．解：在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，所拨数字可能为610，601，511，160，151，115，106，61，16，共9个数字，其中有5个奇数，则所拨数字为奇数的概率为p＝．故选：C．6．执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．﹣1B．﹣2C．2D．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，观察S的取值规律即可得解．解：模拟执行程序框图，可得S＝2，k＝2第1次执行循环，S＝﹣1，k＝3，第2次执行循环，S＝，k＝4，第3次执行循环，S＝2，k＝5，…观察规律可得S的取值周期为3，由2020＝673×3+1可得，当k＝2021不满足条件，即退出循环，输出S的值为．故选：D．7．在△ABC中，D是BC边上的中点，F是AD上的一点，且满足＝，连接CF并延长交AB于E，若＝，则λ的值为（）A．B．C．D．【分析】过点D作EC的平行线，得到BE的中点G，再用平行线分线段成比例定理得到AE：EG＝AF：FD，然后求出AE：EB的值．解：如图：过点D作DG∥EC交AB于G，∵＝，故F为AD的中点；∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴BG＝GE．∵DG∥EC，∴AE：EG＝AF：FD＝1：1．∴AE：EB＝1：2．故选：D．8．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56B．46，45，53C．47，45，56D．45，47，53【分析】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：＝46．众数是45，极差为：68﹣12＝56．故选：A．9．有以下变换方式：①先向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的倍；②先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；③先将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度；④先将每个点的橫坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度．其中能将函数y＝2sin（x+）的图象变为函数y＝2sin x的图象的是（）A．①和④B．①和③C．②和④D．②和③【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：①先将函数y＝2sin（x+）的图象向右平移个单位长度，可得y＝2sin（x﹣+）＝2sin的图象，再将每个点的横坐标缩短为原来的倍，可得y＝2sin x的图象，故①满足条件．②将函数y＝2sin（x+）的图象先向左平移个单位长度，可得y＝2sin（•x++）＝2cos的图象；再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，可得y＝2cos的图象，故②不满足条件．③将函数y＝2sin（x+）的图象先将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，可得函数y＝2sin（x+）的图象；再向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin（x++）＝2cos的图象，故③不满足条件．④将函数y＝2sin（x+）的图象先将每个点的橫坐标缩短为原来的倍，可得函数y＝2sin（x+）的图象；再向右平移个单位长度，可得y＝2sin x的图象，故④满足条件，故选：A．10．意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达芬奇的经典之作﹣﹣《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷．某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6.9cm，BC＝7.1cm，AC＝12.6cm，根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间（）A．B．C．D．【分析】取AB＝BC≈7，设∠ABC＝2θ．可得sinθ≈＝0.9，根据α+2θ＝π，利用倍角公式即可得出结论．解：取AB＝BC≈7，设∠ABC＝2θ．则sinθ≈＝0.9．设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α．则α+2θ＝π，∴cosα＝cos（π﹣2θ）＝﹣cos2θ＝2sin2θ﹣1＝0.62．∵cos＝＝0.707，cos＝＝0.5．∴α∈．故选：B．11．已知sinα，cosα是关于x的x2+ax﹣a＝0（a∈R）方程的两个根，则a的值是（）A．﹣1±B．1±C．﹣1D．1﹣【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得△＝a2+4a≥0，可得a≥0，或a≤﹣4，又，可求（sinα+cosα）2＝a2，可得a2+2a﹣1＝0，解方程即可得解a的值．解：∵sinα，cosα是关于x的x2+ax﹣a＝0（a∈R）方程的两个根，∴△＝a2+4a≥0，可得a≥0，或a≤﹣4，∴，∴（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝1﹣2a＝a2，可得a2+2a﹣1＝0，解得a＝﹣1+，或﹣1﹣（舍去），∴a的值是．故选：C．12．已知||＝||＝2，•＝0，（﹣）•（﹣）＝0，若|﹣|＝2，则||最大值为（）A．2B．1C．2D．4【分析】不妨设＝（2，0），＝（0，2），＝（x，y），结合（﹣）•（﹣）＝0和平面向量的坐标运算可得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，若令＝，＝，则|﹣|＝＝2，且点C的轨迹是以O'（1，1）为圆心，r＝为半径的圆，当O、O'和C三点共线（O'在O和C中间），且D在OC的延长线上时，||＝最大，为2r+|CD|．解：不妨设＝（2，0），＝（0，2），＝（x，y），因为（﹣）•（﹣）＝0，所以（x﹣2，y）•（x，y﹣2）＝0，即（x﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，若令＝，＝，则|﹣|＝＝2，且点C的轨迹是以O'（1，1）为圆心，r＝为半径的圆，当O、O'和C三点共线（O'在O和C中间），且D在OC的延长线上时，||＝最大，为2r+|CD|＝．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量＝（﹣1，），＝（，y），且•＝2，则在上的投影是1．【分析】根据平面向量数量积的坐标运算可列出关于y的方程，解之得y的值，再由平面向量数量积的定义可知，在上的投影为＝，代入数据进行运算即可得解．解：因为＝（﹣1，），＝（，y），所以•＝＝2，解得y＝3．所以在上的投影为＝＝．故答案为：1．14．已知扇形AOB的圆心角为60°，半径为6，那么扇形所含弓形的面积是6π﹣9．【分析】利用扇形的面积计算公式、三角形的面积计算公式即可得出．解：弓形ACB的面积＝S扇形OACB﹣S△OAB＝×62×﹣×62×sin＝6π﹣9．故答案为：6π﹣9．15．小明和小丽是同一个小区同校同年级不同班的俩个中学生，约定每星期天下午在4：00～5：00之间的任何一个时间随机地在小区附近的固定图书馆里共同学习．俩人商量好提前到达图书馆的人最多等对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人自行离开．则每次俩人能够见面的概率是．【分析】设小明到达图书馆的时间为4点x分，小丽到达图书馆的时间为4点y分．建立平面直角坐标系，|x﹣y|≤10 时可相见，利用几何概型能求出这两人能相见的概率．解：设小明到达图书馆的时间为4点x分，小丽到达图书馆的时间为4点y分．建立平面直角坐标系，如图，|x﹣y|≤10 时可相见，即阴影部分，∴这两人能相见的概率为：P＝＝．故答案为：．16．水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取4个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据．已知样本平均数为6，样本方差为5，则样本数据中的最小值是3．【分析】根据题意，设样本数据从小到大依次为x1，x2，x3，x4，由平均数、方差公式计算可得2≤x1≤4，按x1的值分情况讨论，求出其他数据，验证是否能满足样本平均数为6，样本方差为5，即可得答案．解：根据题意，设样本数据从小到大依次为x1，x2，x3，x4，若样本数据x1，x2，x3，x4的平均数为6，方差为5，则有＝（x1+x2+x3+x4）＝6，即x1+x2+x3+x4＝24，又由每个班抽取的人数互不相同，则有x1≤4s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]＝5，则有（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2＝20，又由每个班抽取的人数互不相同，则有（x1﹣6）2≤18，则有2≤x1＜6则有2≤x1≤4，若x1＝2，此时（x1﹣6）2＝16，则有（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2＝4，必有x2＝4，x3＝6，x4＝8，此时样本的平均数＝＝5，不符合题意；若x1＝4，此时x2＝5，x3＝6，x4＝7，此时样本的方差s2＝[（5﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]＝，不符合题意；若x1＝3，则有x2+x3+x4＝21，（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2＝11，此时样本数据为3，5，7，9，符合题意；故样本数据中的最小值是3；故答案为：3三、解答题：本大题共6小题，共0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知单位向量，的夹角为60°，向量＝+，＝﹣t，t∈R．（Ⅰ）若∥，求t的值；（Ⅱ）若t＝2，求向量，的夹角．【分析】（Ⅰ）根据题意，设＝k，则有（+）＝k（﹣t）＝﹣kt+k，分析可得，解可得t的值；（Ⅱ）根据题意，设向量，的夹角为θ；由数量积的计算公式可得||、||以及•，又由cosθ＝计算可得答案．解：（Ⅰ）根据题意，向量＝+，＝﹣t，若∥，则设＝k，则有（+）＝k（﹣t）＝﹣kt+k，则有，解可得t＝﹣1；（Ⅱ）根据题意，设向量，的夹角为θ；若t＝2，则＝﹣2，则||2＝（﹣2）2＝3，则||＝，又由＝+，则||2＝（+）2＝3，则||＝，又由•＝（+）（﹣2）＝﹣，则cosθ＝＝＝﹣，又由0≤θ≤π，则θ＝；故向量，的夹角为．18．化简求值：（Ⅰ）；（Ⅱ）4cos50°﹣tan40°．【分析】（Ⅰ）利用两角和与差的正弦函数公式化简即可求解；（Ⅱ）利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解．解：（Ⅰ）＝＝＝2sin60°＝；（Ⅱ）4cos50°﹣tan40°＝＝＝＝＝＝．19．这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件．中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起．在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智，某市某校学生也运用数学知识展开了对这次疫情的研究，一名同学在疫情初期数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期x和全国累计报告确诊病例数量y（单位：万人）之间的关系如表：日期x1234567确诊病例数量1.4 1.72.0 2.4 2.83.1 3.5y（万人）（Ⅰ）根据表中的数据，y＝a+bx适宜作为确诊病例数量y关于日期x的回归方程类型，请求出此线性回归方程；（精确到0.01）（Ⅱ）预测2月16日全国累计报告确诊病例数．（精确到0.01）参考数据：①y i＝16.9；②x i y i＝7.5．其中，a i＝a1+a2+a3+……+a n．参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n）其回归方程v＝+u 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：①＝＝；②＝．【分析】（Ⅰ）由已知求得与的值，可得y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）中求得的线性回归方程中，取x＝16求得y值即可．解：（Ⅰ），y i＝16.9≈2.414．∴＝≈0.354．≈0.998．∴y关于x的线性回归方程为；（Ⅱ）把x＝16代入，得．∴预测2月16日全国累计报告确诊病例数为6.6万人．20．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式及对称中心坐标；（Ⅱ）先将f（x）的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到g（x）的图象，求函数y＝g（x）在x∈[，]上的单调减区间和最值．【分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用三角函数的图象的对称性，得出结论．（Ⅱ）由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性、余弦函数的定义域和值域，得出结论．解：（Ⅰ）根据函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A＝2，•＝+，∴ω＝2．再根据五点法作图，2×+φ＝0，∴φ＝﹣，故有f（x）＝2cos（2x﹣）．根据图象可得，（﹣，0）是f（x）的图象的一个对称中心，故函数的对称中心为（kπ﹣，0），k∈Z．（Ⅱ）先将f（x）的图象纵坐标缩短到原来的倍，可得y＝cos（2x﹣）的图象，再向右平移个单位，得到y＝cos（2x﹣π）＝﹣cos2x的图象，最后将图象向上平移1个单位后得到g（x）＝﹣cos2x+1的图象．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ，可得g（x）的减区间为[kπ﹣，kπ]，k∈Z，结合x∈[，]，可得g（x）的单调减区为[，]．2x∈[，]，故当2x＝π时，g（x）取得最大值为﹣（﹣1）+1＝2；当2x＝时，g（x）取得最小值为﹣+1．21．党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态．为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目．现统计了4月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案：方案一：每满80元可立减8元；方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折．若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案．【分析】（1）由题意可求“水果达人”的频率为（0.0075+0.005）×20＝0.25，今儿可求样本中“水果达人”的人数为100×0.25＝25，进而求得消费金额不低于100元的人数为25×＝10人，即可求得抽取的5人中消费金额不低于100元的人数n＝10×＝2．（2）由（1）得，抽取的5人中消费金额低于100元的有3人，记为A，B，C，消费金额不低于100元的有2人，记为a，b，即可列出所有的基本事件共有10种，其中满足题意的有7种，即可求得P＝＝．（3）依题意可得该游客要购买110元的水果，分别计算两种方案所需支付金额，即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）样本中，“水果达人”的频率为（0.0075+0.005）×20＝0.25，…1分所以样本中“水果达人”的人数为100×0.25＝25…2分如图可知，消费金额在[80，100）与[100，120]的人数比为3：2，其中消费金额不低于100元的人数为25×＝10人，…3分所以，抽取的5人中消费金额不低于100元的人数n＝10×＝2．…4分（2）由（1）得，抽取的5人中消费金额低于100元的有3人，记为A，B，C消费金额不低于100元的有2人，记为a，b所有基本事件如下：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b），…6分共有10种，其中满足题意的有7种，…7分所以P＝＝．…8分（3）依题意可得该游客要购买110元的水果，…9分若选择方案一，则需支付（80﹣8）+30＝102元，…10分若选择方案二，则需支付50+（80﹣50）×0.9+（100﹣80）×0.8+（110﹣100）×0.7＝100元，…11分所以选择方案二更优惠．…12分22．已知向量＝（sin（ωx），cos（ωx）），＝（cos（ωx），﹣cos（ωx））且函数f（x）＝•的两条对称轴之间的最小距离为．（Ⅰ）若方程f（x）﹣m＝0恰好在x∈[，]有两个不同实根x1，x2，求实数m的取值范围．（Ⅱ）设函数g（x）＝ax+，且{y|y＝g（x），x∈[1，2]}＝{y|y＝f（x），x∈[，]}，求实数a的值．【分析】先结合平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式将函数f（x）化简为f（x）＝sin（2ωx﹣）﹣，再根据函数的周期性求得ω＝1，从而得f（x）＝sin（2x﹣）﹣．（Ⅰ）根据正弦型函数图象性质，判断函数在x∈[，]上的单调性，然后计算出最大值、最小值和端点处的函数值，即可得解；（Ⅱ）易知{y|y＝f（x），x∈[，]}＝[，0]，再分两类：a＞0和a＜0，并结合一次函数的单调性，列出关于a的方程，解之即可．解：f（x）＝•＝sin（ωx）cos（ωx）﹣＝sin（2ωx）﹣[cos（2ωx）+1]＝sin（2ωx﹣）﹣．因为函数的两条对称轴之间的最小距离为，所以2×＝，解得ω＝1．所以f（x）＝sin（2x﹣）﹣．（Ⅰ）当x∈[，]时，由正弦函数的图象性质可知，f（x）在上递增，在上递减，在上递增，所以f（x）max＝f（）＝，f（x）min＝f（）＝，且，，所以．（Ⅱ）当x∈[，]时，2x﹣∈，所以sin（2x﹣）∈，所以f（x）∈[，0]．当a＞0时，g（x）在x∈[1，2]上递增，满足，此时无解；当a＜0时，g（x）在x∈[1，2]上递减，满足，解得．综上所述，．。
河南省驻马店市2019-2020学年高一下期末质量检测数学试题含解析
河南省驻马店市2019-2020学年高一下期末质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为(2,0)B -，若将军从山脚下的点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．4B ．5C ．26 D ．32【答案】C【解析】【分析】求出点A 关于直线的对称点，再求解该对称点与B 点的距离，即为所求.【详解】 根据题意，作图如下：因为点()2,0A ，设其关于直线3x y +=的对称点为()100,A x y故可得00001122322y x x y ⎧-⨯=-⎪-⎪⎨+⎪+=⎪⎩，解得003,1x y ==，即()13,1A故“将军饮马”的最短总路程为()()221321026A B =++-=故选：C. 【点睛】本题考查点关于直线的对称点的坐标的求解，以及两点之间的距离公式，属基础题.2．已知向量(1,0),(1,1)a b ==，则下列结论正确的是 A ．a b =B ．2a b ⋅=C ．a b -与a 垂直D ．a b【答案】C【解析】【分析】可按各选择支计算．【详解】 由题意1a =，2b =，A 错；1a b ⋅=，B 错；()(0,1)(1,0)0a b a -⋅=-⋅=，∴()a b a -⊥，C 正确；∵不存在实数λ，使得b a λ≠，∴//a b 不正确，D 错，故选C ．【点睛】本题考查向量的数量积、向量的平行，向量的模以及向量的垂直等知识，属于基础题．3．要得到函数y ＝cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度 【答案】B【解析】∵cos(2)cos[2()]36y x x ππ=+=+， ∴要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数cos2y x =的图像向左平移6π个单位． 选B ．4．已知集合A ＝｛x｜0≤x≤3｝，B ＝｛x R ｜－2＜x ＜2｝则A∩B =( ) A ．{0,1}B ．{1}C ．[0,1]D ．[0,2)【答案】A【解析】【分析】 可解出集合A ，然后进行交集的运算即可．【详解】A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x ∈R|﹣2＜x ＜2}；∴A∩B ＝{0，1}．故选：A ．【点睛】本题考查交集的运算，是基础题，注意A 中x .5．直线l 过()1,1-且在x 轴与y 轴上的截距相等，则l 的方程为（ ）A ．2y x =+B ．y x =-C ．2y x =+和y x =-D ．2y x =-+ 【答案】B【解析】【分析】对直线l 是否过原点分类讨论，若直线l 过原点满足题意，求出方程；若直线不过原点，在x 轴与y 轴上的截距相等，且不为0，设直线l 方程为1x y a a +=将点( 1.1)-代入，即可求解. 【详解】若直线l 过原点方程为y x =-，在x 轴与y 轴上的截距均为0，满足题意；若直线l 过原点，依题意设方程为1x y a a+=， ( 1.1)-代入方程无解.故选:B.【点睛】本题考查直线在,x y 上的截距关系，要注意过原点的直线在x 轴上的截距是y 轴上的截距的任意倍，属于基础题.6．l ：20x y -=的斜率为A ．﹣2B ．2C ．12D ．12- 【答案】B【解析】【分析】先化成直线的斜截式方程即得直线的斜率.【详解】由题得直线的方程为y=2x,所以直线的斜率为2.故选：B【点睛】本题主要考查直线斜率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .且1111S π=，则6tan 3a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A B ．C ．D 【答案】C【解析】【分析】 根据等差数列性质可知11611S a =，求得6a ，代入可求得结果.【详解】 ()1111161111112a a S a π+=== 6a π∴=62tan tan 33a ππ⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭ 本题正确选项：C【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够灵活应用等差数列下标和的性质，属于基础题.8．已知02πα-<<，则点(cot ,cos )αα在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】∵02πα-<<，∴0?cos ＞α，0tan ＜α，•1tan cot αα= ，∴0cot α＜，∴点()cot ,cos αα在第二象限，故选B.点睛：本题主要考查了由三角函数值的符号判断角的终边位置，属于基础题；三角函数值符号记忆口诀记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.9．11sin6π的值为 ( )A ．12-B ．12C ．D 【答案】B【解析】【分析】直接利用诱导公式结合特殊角的三角函数求解即可.【详解】111sin sin 2sin 6662ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭,故选B. 【点睛】本题主要考查诱导公式以及特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题. 10．《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斜稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（ ）A ．57.08斜B ．171.24斛C ．61.73斛D ．185.19斛 【答案】C【解析】【分析】根据圆锥的周长求出底面半径，再计算圆锥的体积，从而估算堆放的稻谷数．【详解】设圆锥形稻谷堆的底面半径为r 尺，则底面周长为230l r π==尺，解得15r π=尺，又高为4h =尺， 所以圆锥的体积为221115900()4100333V r h ππππ===≈（立方尺）； 又10061.731.62≈（斛)， 所以估算堆放的稻谷约有61.73（斛)．故选：C ．【点睛】本题考查了椎体的体积计算问题，也考查了实际应用问题，是基础题．11．设函数21(0)()lg (0)x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2()()20f x af x -+=恰有6个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(2,B ．()C ．()3,4D ．()4 【答案】B【解析】【分析】由已知中函数21(0) ()lg(0)x xf xx x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x的方程2()()20f x af x-+=恰有6个不同的实数解，可以根据函数()f x的图象分析出实数a的取值范围．【详解】函数21(0)()lg(0)x xf xx x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如下图所示：关于x的方程2()()20f x gf x-+=恰有6个不同的实数解，令t＝f（x），可得t2﹣at+2＝0，（*）则方程（*）的两个解在（1，2]，可得2120422012280aaaa-+>⎧⎪-+≥⎪⎪⎨<<⎪⎪->⎪⎩，解得()22,3a∈，故选：B.【点睛】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，再利用数形结合是解答本题的关键．12．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】D【解析】【分析】写出所有等可能事件，求出事件“至少有一个黑球”的概率为56，事件“都是红球”的概率为16，两事件的概率和为1，从而得到两事件对立.【详解】记两个黑球为,A B ，两个红球为1,2，则任取两球的所有等可能结果为： 1,2,1,2,,12,A A B B AB ，记事件A 为“至少有一个黑球”，事件B 为：“都是红球”， 则51(),()66P A P B ==，因为()()1P A P B +=，所以事件A 与事件B 互为对立事件. 【点睛】本题考查古典概型和对立事件的判断，利用两事件的概率和为1是判断对立事件的常用方法.二、填空题：本题共4小题13．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5133,91a S ==，则111a a +=________． 【答案】10【解析】【分析】由等差数列求和的性质可得13713S a =，求得7a ，再利用性质11157a a a a +=+可得结果.【详解】因为1371391S a ==，所以77a =，所以5710a a +=，故1115710.a a a a +=+=故答案为10【点睛】本题考查了等差数列的性质，熟悉其性质是解题的关键，属于基础题.14．已知{(,)|0}M x y y y ==≠，{(,)|}Nx y y x b ==+，若M N ≠∅，则b 的取值范围是__________．【答案】(-【解析】数形结合法，注意y y≠0等价于x 2＋y 2＝9(y ＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜2时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点．15．函数cos x y =的定义域为__________； 【答案】(2,2]()22k k k z ππππ-++∈【解析】【分析】 根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，列出不等式组，解出即可．【详解】依题意可得，cos 01sin 0x x ≥⎧⎨+≠⎩，解得222222k x k x k ππππππ⎧-+≤≤+⎪⎪⎨⎪≠-+⎪⎩即2222k x k ππππ-+<≤+， 故函数的定义域为(2,2]()22k k k z ππππ-++∈． 故答案为：(2,2]()22k k k z ππππ-++∈．【点睛】 本题主要考查函数定义域的求法，涉及三角不等式的解法，属于基础题．16．若()()()12f k k k k =+++++()2k k N *∈，则()()1f k f k +-=________. 【答案】33k +【解析】【分析】观察式子特征，直接写出()1f k +，即可求出()()1f k f k +-。
2020年7月2019～2020学年度驻马店高一下期末理数试题及参考答案
驻马店市2019～2020学年度第二学期期终考试高一（理科）数学试题参考答案一、选择题：1-12：ABCBC DDCAB AC二、填空题：13.314.215.8716.4三、解答题：17.解：（Ⅰ）依题可取1l 的方向向量为)3,1(1-=e ，····································································1分32,312,//1=-=-∴m me a 解得： ，·········································································3分故所求32=m ；·······················································································································4分（Ⅱ）取2l 的方向向量为),1(2t e =，······························································································5分则由3cos=π得：0,1231212≠+⨯-=t t t又，·································8分3=∴t 解得：.····················································································································10分18.解：（Ⅰ）（Ⅱ）分632331133130tan 45tan 130tan 45tan )3045tan(8cos 15cos 8cos 15sin 15sin 8sin )815cos(15cos 8sin )815sin(15sin 8sin 7cos 15cos 8sin 7sin ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⨯+-=︒︒+︒-︒=︒-︒=︒︒︒︒=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒=︒︒-︒︒︒+︒分12320cos )6050sin(320cos 50cos 2350sin 2320cos )3050sin(50cos 220cos 20sin 40sin 220cos 20sin 20cos 70cos 420tan 70cos 4⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=︒︒+︒=︒︒+︒=︒︒-︒+︒=︒︒+︒=︒︒+︒︒=︒+︒19.解：（Ⅰ）根据表中的数据:bx a y +=适宜作为确诊病例数量y 关于日期x 的回归方程类型;···································2分（Ⅱ）由已知数据得：414.279.16,4≈==y x ，·······························································4分()354.09410149414.2475.77771271≈++++++⨯⨯-=--=∴∑∑==i ii ii x x yx yx b ，·················································6分998.04354.0414.2≈⨯-=-=x b y a ,··············································································8分所以，y 关于x 的回归方程为：135.0+=x y ;···································································9分（III）把16=x 代入回归方程得：6.611635.0=+⨯=y ,·················································11分所以预测2月16日全国累计报告确诊病例数为6.6万人.················································12分20.解：（Ⅰ）由所给图像知；21272,1,2=⇒-==-==ωππωπT B A ，········································2分1)2cos(2)(-+=∴φx x f ，把点)1,12(π代入得：1)6cos(=+φπ，即Z k k ∈=+,26πφπ，又6,2πφπφ-=∴< ，···························································3分1)62cos(2)(--=∴πx x f ;····································································································4分由图可知⎪⎭⎫⎝⎛-1,3π是其中一对称中心，故所求对称中心坐标为：Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛-+,1,23ππ.···································································5分（Ⅱ）易知11662cos 2211621)(+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππx x f x g .化简得()21)2sin(+=x x g ,·······································································································9分当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈43,12ππx 时：由Z k k x k ∈+≤≤+-,22222ππππ得增区间是：⎦⎤⎢⎣⎡4,12ππ；······································10分则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,62ππx ，当22π=x 即，4π=x 时，()x g 有最大值：23，····························11分当43π=x 时，()x g 有最小值：2121432sin -=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯π.················································12分21.解：（Ⅰ）由图可知，消费金额在[)100,80“水果达人”的人数为：300075.020200=⨯⨯人，···················1分消费金额在[]120,100“水果达人”的人数为：20005.020200=⨯⨯人，··················2分分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人,这5人中消费金额不低于100元的人数为：22030205=+⨯人；········································································································4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，消费金额在[)100,80的3个“水果达人”记为A,B,C,消费金额在[]120,100的2个“水果达人”记为a,b,所有基本事件有：(A,B），（A,C），（B,C），（A,a），（A,b），（B,a），（B,b），（C,a），（C,b）(a,b）共N=10种，······················································································································5分2人中至少有1人购买金额不低于100元的有n=7种，·······················································6分所求概率为107==N n .···············································································································8分（III）依题可知该游客要购买110元的水果，············································································9分若选择方案一，则需支付()10230880=+-元，·····························································10分若选择方案二，则需支付1007.0108.0209.03050=⨯+⨯+⨯+元，·······················11分所以应该选择方案二更优惠.···································································································12分22.解：依题)(cos 3)cos()sin()(2x x x b a x f ωωω-=⋅=[]1)2cos(23)2sin(21+-=x x ωω2332sin(--=πωx ·······················································································2分又因为两条对称轴之间的最小距离为2π，所以由ωππ2222=⨯得：1=ω，23)32sin()(--=∴πx x f ;··································································································4分（Ⅰ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈67,3ππx 时，由图像性质知：)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,3ππ上递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,125ππ上递减，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,1211ππ上递增,·······················5分当125π=x 时，)(x f 取得最大值232-，当1211π=x 时，)(x f 取得最小值232+-,且2367,023-=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛πππf f f ,················································································6分所以⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-⎦⎤ ⎝⎛-+-∈232,023,232 m ,6116521ππ或=+x x ;···································8分（Ⅱ）易知[]0,365,2,)(-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=ππx x f y y ，··································································9分当0>a 时：)(x g 在[]2,1∈x 上递增，满足：⎩⎨⎧+=+=-ba ba 203，解得：32,3-==b a ····································································································10分当0<a 时：)(x g 在[]2,1∈x 上递减，满足：⎩⎨⎧+=+=-ba ba 023解得：3,3=-=b a ····································································································11分综上所述：⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧-==33323b a b a 或.···················································································12分。
河南省驻马店市现代学校2019年高一数学文下学期期末试卷含解析
河南省驻马店市现代学校2019年高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等比数列﹛a n﹜中，对任意的n∈N+，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2为（）A．（4n﹣1）B．（2n﹣1）C．（2n﹣1）2 D．4n﹣1参考答案：A【考点】等比数列的前n项和．【分析】在等比数列﹛a n﹜中，对任意的n∈N+，a1+a2+…+a n=2n﹣1，可知：当n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1=2n﹣1﹣1，a n=2n﹣1．当n=1时上式也适合．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵在等比数列﹛a n﹜中，对任意的n∈N+，a1+a2+…+a n=2n﹣1，∴当n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1=2n﹣1﹣1，∴a n=2n﹣1．当n=1时，a1=2﹣1=1，上式也适合．∴等比数列﹛a n﹜的首项为1，公比q=2．∴当n≥2时，==4．∴a12+a22+…+a n2==．故选：A．【点评】本题考查了递推式的意义、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力一ujsnl，属于基础题．2. 已知函数的图像关于直线对称且在区间上单调，则可取数值的个数为（）A．1 B．2 C ．3 D．4参考答案：B考点：正弦函数的图象和性质及综合运用.【易错点晴】三角函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以三角函数的解析式和图象性质为背景,考查的是三角函数的最大值最小值等有关知识和综合运用.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,建立方程组,或然后解方程组求出或,从而使得问题获解.3. 定义域为R的函数f(x)是偶函数，且在[0，5]上是增函数，在[5，＋∞]上是减函数，又f(5)=2，则f(x) （）A．在[－5，0]上是增函数且有最大值2； B．在[－5，0]上是减函数且有最大值2；C．在[－5，0]上是增函数且有最小值 2 ；D．在[－5，0]上是减函数且有最小值2参考答案：B4. 已知数列满足,且,其前n项之和为,则满足不等式的最小整数n是(A)5 (B)6 (C)7 (D)8参考答案：C5. 设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．参考答案：B略6. （5分）直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，则系数A，B，C需满足条件（）A．C=0，AB＜0 B．AC＜0，BC＜0 C．A，B，C同号D．A=0，BC＜0参考答案：C考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：化直线的一般式方程为斜截式，由直线通过二、三、四象限可得直线的斜率小于0，在y轴上的截距小于0，从而得到A，B，C同号．解答：由Ax+By+C=0，得，∵直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，∴，则A，B，C同号．点评：本题考查了直线的一般式方程化斜截式，是基础题．7. （5分）直线y=3与函数y=|x2﹣6x|图象的交点个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个参考答案：A考点：函数的图象．专题：计算题．分析：函数y=|x2﹣6x|可讨论x去掉绝对值，得到分段函数，画出图象，然后画出y=3，观察交点个数．解答：由函数的图象可得，显然有4个交点，故选A．点评：本题考查了函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．8. 函数的定义域为（）A．(2,3) B. (3,+∞) C. [1,2)∪(3,+∞) D. (2,3)∪(3,+∞)D9. 设函数是单调递增的一次函数，满足，则（）A. B. C. D.参考答案：D10. 下列各函数中，与y= x表示同一个函数的是（）A. B. C. D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 椭圆的焦距为2，则 .参考答案：3或5略12. 若函数f（x）=log a（ax2﹣2x+1）在区间[2，3]是减函数，则a取值范围为．参考答案：（，1）【考点】复合函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令t=ax2﹣2x+1，则t＞0在区间[2，3]上恒成立．再分0＜a＜1、a＞1两种情况，分别根据二次函数的单调性、对数函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=log a（ax2﹣2x+1）在区间[2，3]是减函数，令t=ax2﹣2x+1，则t＞0在区间[2，3]上恒成立．①当0＜a＜1时，∵f（x）=g（t）=log a t，故二次函数t在区间[2，3]上为增函数，再根据二次函数t的图象的对称轴为x=＞1，故有，求得＜a＜1；②当a＞1时，根据二次函数t的图象的对称轴为x=＜1，故二次函数t在区间[2，3]上为增函数，函数f（x）=log a（ax2﹣2x+1）在区间[2，3]是增函数，不满足条件．综上可得，a取值范围为（，1），故答案为：（，1）．【点评】本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．13. 在锐角△ABC中，，则。
河南省驻马店市2019-2020学年高一上学期期末数学(理)试题(解析版)
驻马店市2019~2020学年度第一学期期终考试高一（理科）数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的代号为A 、B 、C 、D 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,3A =，{}24B x x =<，则A B =I （ ）A. {}1,2,3B. {}1,2C. {}2D. {}1【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合B,再根据集合的交集运算即可得A B I . 【详解】因为集合{}1,2,3A =,{}24B x x =<即{}22B x x =-<<由集合的交集运算可得{}{}{}1,2,3221A B x x ⋂=⋂-<<= 故选:D【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,一元二次不等式的解法,属于基础题.2.已知函数()()21,1ln 1,1x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()1f f e +=（ ） A. 2- B. 2C. 4-D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数解析式,先求得()1f e +的值,再代入即可求得()()1f f e +的值.【详解】因为函数()()21,1ln 1,1x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩则()()1ln 111f e e +=+-=所以()()()211112f f e f +==+=故选:B【点睛】本题考查了分段函数中函数值的求法,属于基础题.3.已知正六边形ABCDEF 的边长为2，按照斜二测画法作出它的直观图A B C D E F ''''''，则直观图A B C D E F ''''''的面积为（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先求得正六边形的面积,根据直观图面积=4S S 直原即可求得直观图的面积. 【详解】正六边形ABCDEF 的边长为2,则2624S ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭所以由=4S S 直原代入可得直观图A B C D E F ''''''的面积=4S =直 故选:D【点睛】本题考查了斜二测画法平面图形与直观图的关系,属于基础题. 4.下列不等式中解集是{}13x x -<<的是（ ） A. ()2log 12x +< B. 2230x x -->C. 128x <<D. ()1212x +<【答案】A 【解析】 【分析】根据选项,依次解四个不等式即可判断选项.【详解】对于A,变形可得()22log 1log 4x +<则1410x x +<⎧⎨+>⎩,解不等式组得13x -<<,即不等式()2log 12x +<的解集为{}13x x -<<,所以A 正确;对于B,2230x x -->因式分解可得()()310x x -+>,解得3x >或1x <-,即不等式2230x x -->的解集为{}31x x x ><-或,所以B 错误;对于C,128x <<,变形可得03222x <<,所以03x <<,即不等式128x <<的解集为{}03x x <<,所以C 错误;对于D, ()1212x +<,变形可得1410x x +<⎧⎨+≥⎩,解得03x ≤<,即不等式()1212x +<的解集为{}03x x ≤<,所以D 错误.综上可知,正确的为A 故选:A【点睛】本题考查了对数不等式与指数不等式的解法,一元二次不等式及根式不等式的解法,属于基础题. 5.下列函数中既是奇函数又在区间(),-∞+∞上单调递增的是（ ）A. 2x xe e y -+=B. 2222x xx xy ---=+C. 1y x x=+ D. 33x x y -=-【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数定义()()f x f x -=-,即可判断函数是否为奇函数;根据函数的解析式,即可判断函数在(),-∞+∞上的单调性.【详解】对于A,2x x e e y -+=,定义域为R,则()()2x xe ef x f x -+-==,所以为偶函数,所以A 错误; 对于B, ,定义域为R,则()()22222222x x xx xx x f x f x -------==-=-++,所以为奇函数;将解析式变形可得222222211122222141x x x x x x x x x y ------⨯--==+=+=+++++,因为4x y =为单调递增函数,所以2141x y -=++在R 上为单调递增函数,所以B 正确; 对于C,1y x x =+,定义域为0x ≠,因而1y x x=+在区间(),-∞+∞上不具有单调性,所以C 错误; 对于D,33xx y -=-,定义域为R,()()()3333x x x xf x f x ---=-=--=-,所以为奇函数;因为()133xx y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,所以在区间(),-∞+∞上单调递减,所以D 错误.综上可知,B 为正确选项. 故选:B【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数为奇函数及单调性,属于基础题.6.若直线1l ：220ax y +-=与直线2l ：()110x a y +--=平行，则实数a =（ ） A.23B. 1-C. 2D. 1-或2【答案】B 【解析】 【分析】根据平行直线的斜率相等关系,解方程即可求得a 的值.【详解】当0a =或1a =时,两条直线平行不成立,所以0a ≠且1a ≠因为直线1l :220ax y +-=,变形可得12ay x =-+ 直线2l :()110x a y +--=,变形可得1111y x a a =-+-- 因为直线1l 与直线2l 平行 所以112a a =---且111a ≠- 化简得220a a --=,即()()210a a -+=且2a ≠综上可知,1a =- 故选:B【点睛】本题考查了两条直线平行的关系,根据直线的平行关系求参数,注意截距不相等的条件,属于基础题.7.设l m ，为两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若//l α，m α⊂，则//l m B. 若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥ C. 若//αβ，l α⊂，则//l β D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,结合特殊位置形式即可判断. 【详解】对于A,若//l α,m α⊂,则//l m 或l 与m 异面,所以A 错误; 对于B, 若αβ⊥,l α⊂,则l β∥或l 与β相交,所以B 错误;对于C, 若//αβ,l α⊂,则由平面与平面平行性质可知//l β,所以C 正确; 对于D, 若αβ⊥,//l α,则l β⊥,//l β或l 与β相交,所以D 错误. 综上可知正确的为C 故选:C【点睛】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断,对空间想象能力要求较高,属于基础题.8.若实数x 满足3log 41x =，则22x x -+=（ ） A.52B.C.D.103【答案】C 【解析】 【分析】先求得x ,再根据对数的运算及换底公式化简即可求解.【详解】实数x 满足3log 41x =,则1222232log 311log 3log 3log 4log 42x ==== 则22x x -+112222log 3log 322-=+12121333==+故选:C【点睛】本题考查了对数的运算与换底公式的应用,指数幂的化简求值,属于基础题.9.直线l：0x m +=与圆C ：22410x y x +-+=交于A ，B 两点，若ABC ∆为等边三角形，则m 值是（ ） A. 1 B. 5- C. 1或5- D. 5【答案】C 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程,由直线与圆相交形成等边三角形,结合点到直线的距离及垂径定理即可求得m 的值.【详解】圆C ：22410x y x +-+=,化为标准方程可知()2223x y -+=所以圆心坐标为()2,0.半径为r =由点到直线距离公式可知弦心距为d =直线l 与圆C 交于,A B 两点且ABC ∆为等边三角形根据垂径定理可得2d=,2=化简得23m +=解得1m =或5m =- 故选:C【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,点到直线距离公式及垂径定理的应用,属于基础题.10.已知某空间几何体的三视图如图所示，每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为（ ）A.13B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图,画出空间几何体,由几何体即可求得其表面积. 【详解】根据三视图,画出空间几何体如下图所示:则四棱锥B ADC -是棱长为的正四棱锥则(2444B ADC ADC S S -==⨯=故选:D【点睛】本题考查了三视图及简单应用,由三视图还原空间几何体,四棱锥表面积的求法,属于中档题. 11.已知函数()y f x =的定义域为R ，()2y f x =+为偶函数，对任意的1x ，2x ，当122x x ≤≤时，()()12120f x f x x x ->-，则关于t 的不等式()()12224t t f f ++<-的解集为（ ）A. (),1-∞B. ()1,+∞C. ()21,log 6D. ()2,log 6-∞【答案】A【解析】 【分析】根据函数()2y f x =+为偶函数,可知函数()y f x =的图像关于2x =对称,结合当122x x ≤≤时,()()12120f x f x x x ->-即可得函数()y f x =的单调情况.由不等式()()12224t t f f ++<-,可知12224t t ++>-.再根据函数的单调性及对称性即可解不等式求得t 的取值范围.【详解】函数()y f x =的定义域为R,()2y f x =+为偶函数 所以由函数图像的平移变换可知,()y f x =的图像关于2x =对称 又因为当122x x ≤≤时,()()12120f x f x x x ->-即()y f x =在2x <时为单调递增函数,在2x <时为单调递减函数,函数图象示意图如下图所示:因为不等式()()12224t t f f ++<-中,满足12224t t ++>-结合函数图像,由函数的对称性与单调性可知需满足12224t t ++<-（舍）或12224t t +->- 令2t m =,代入不等式12224t t +->-可化为224m m ->-,解得2m <,即22t <,所以1t < 综上可知, t 的取值范围为(),1-∞ 故选:A【点睛】本题考查了函数图像的平移变化,根据函数的单调性解不等式,换元法解不等式的应用.综合性较强,属于中档题.12.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M ，N 为线段BC ，1CC 上的动点，过点1A ，M ，N 的平面截该正方体所得截面记为S ，则下列命题正确的个数是（ ）①当0BM =且01CN <<时，S 为等腰梯形；②当M ，N 分别为BC ，1CC 的中点时，几何体11A D MN 的体积为112；③当M ，N 分别为BC ，1CC 的中点时，异面直线AC 与MN 成角60°；④无论M 在线段BC 任何位置，恒有平面11A D M ⊥平面1BC D A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线的夹角及平面与平面垂直的判定,四棱锥体积公式可依次判断选项.【详解】对于①,当0BM =时,M 与B 重合,01CN <<, 过点1A ,,M N 的平面截正方体所得截面S 如下图所示:由平面与平面平行的性质可知1//A B QN 且1A B QN ≠,1A Q BN = 则截面S 为等腰梯形,所以①正确;对于②,当M,N 分别为BC,1CC 的中点时,位置关系如下图所示:作111,NE D C MF A D ⊥⊥,因111,NE A D NE D C ⊥⊥,且1111A D D C D ⋂=所以NE ⊥平面11A D CM 所以NE 为四棱锥11NA D M -的高则MF ==,24NENC ==此时1132D M A M ====则1111111222A D MS A D MF ∆=⨯⨯=⨯=所以四棱锥11NA D M -的体积为1111111332412N A D M A D M V S NE -∆=⨯⨯=⨯=,所以②正确;对于③,当M,N 分别为BC,1CC 的中点时,连接11,AD D C由M,N 分别为BC,1CC 的中点,可知1//MN AD则1AD 与AC 所成的角即为异面直线AC 与MN 所成的角. 根据正方体的性质可知,1AD C ∆为等边三角形,即160AD C ∠=o 因而异面直线AC 与MN 所成的角为60o ,所以③正确;对于④无论M 在线段BC 任何位置,平面11A D CB 即为平面11A D M 因为11111,C D D C A D C D ⊥⊥且1111A D D C D ⋂=所以1C D ⊥平面11A D CB 而1C D ⊂平面1BC D所以平面11A D CB ⊥平面1BC D即平面11A D M ⊥平面1BC D所以④正确.综上可知,正确的有①②③④故选:D【点睛】本题考查了空间中平面与平面垂直的判定,异面直线夹角的求法,四棱锥的体积求法,综合性强,对空间想象能力和空间思维能力要求高,属于难题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题.13.若函数()2213f x x x +=+，则()5f =______. 【答案】10【解析】【分析】根据函数解析式,先求得自变量的值,再代入即可求解.【详解】函数()2213f x x x +=+ 令215x +=解得2x =所以()2523210f =+⨯=故答案为:10【点睛】本题考查了已知复合函数解析式,求函数值,属于基础题.14.已知空间直角坐标系中的点M ，N 的坐标分别为()5,5,8，()1,1,4-.则线段MN 的中点到坐标原点的距离为______.【答案】7【解析】【分析】根据M,N 的坐标求得中点坐标,结合空间中两点间距离公式即可求解.【详解】空间直角坐标系中的点M,N 的坐标分别为()5,5,8,()1,1,4-则中点坐标为()2,3,6由空间中两点距离公式可知, MN 的中点到坐标原点的距离为7d ===故答案为:7 【点睛】本题考查了空间直角坐标系中点公式,两点间距离公式的用法,属于基础题.15.三棱锥A BCD -满足AB BC ⊥，BC CD ⊥，22AB BC CD ===，3AD =.则该三棱锥外接球的表面积是______.【答案】9π【解析】【分析】根据线段关系,可判断出AB BD ⊥,即AB ⊥平面BCD .将三棱锥补全为长方体,即可求得其外接球的半径,进而得外接球的表面积.【详解】因BC CD ⊥,2,1BC CD ==所以BD =因2,3AB AD ==所以在ABD ∆中,满足222AD AB BD =+即90ABD ∠=o所以三棱锥在长方体中的位置如下图所示:即四棱锥的外接球即为长方体的外接球因为3AD =所以三棱锥A BCD -外接球半径322AD r == 则三棱锥A BCD -的表面积为294494S r πππ==⨯= 故答案为:9π【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积求法,将含有多个直角的棱锥放在长方体或正方体中研究外接和内切问题是常用方法,属于中档题.16.已知函数()()()2433,0log 1,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨+≥⎪⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且函数()2212g x x x ax =-+-在()0,∞+内有两个零点，则实数a 的取值范围是______. 【答案】1324⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【解析】【分析】根据分段函数单调性的分析方法,对()f x 可求得a 的部分取值范围.通过分离参数,可化简()g x ,通过画出函数图像求得a 的部分取值范围,综合即可求得a 的取值范围.【详解】()()()2433,0log 1,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨+≥⎪⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减 所以满足43020130a a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪>⎪⎩,解得304a <≤ ()2212g x x x ax =-+-在()0,∞+内有两个零点 即22120x x ax -+-=有两个解 即2212x x a x -+=.令()2212x x h x x -+=当01x <≤时, ()221122x x h x x x-+== 当1x <时, ()2221211222x x x h x x x x x-+-===- 画出函数()h x 的图像如下图所示:由函数图像可知,当()2212x x a h x x -+==有两个交点时,12a > 综上可知,13,24a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为:13,24⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查由分段函数单调性求参数取值范围,函数零点的定义及分类讨论思想的应用,构造函数法求参数的取值范围,综合性强,属于难题.三、解答题：本大题共6小题，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合(){}lg 7A x y x ==-，132212log 44x B x -⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}C x x a =<，全集为实数集R .（1）求A B I ，()()R R A B U 痧； （2）如果B C ≠∅I ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}37x x ≤<，{|3x x <或}7x ≥；（2）2a >.【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义条件及对数函数定义域要求,解得集合A.解指数不等式,求得集合B,即可根据交集、并集和补集运算求解.（2）根据集合的交集为空集,结合不等式关系即可求得a 的取值范围.【详解】（1）(){}lg 7A x y x ==-由二次根式有意义条件及对数函数定义域可得3070x x -≥⎧⎨->⎩ 解得37x ≤< 则{}37A x x =≤<,所以{|3R A x x =<ð或}7x ≥132212log 44x B x -⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 化简可得13212222x --<<,即12312x -<-< 解得28x << 则{}28B x x =<<,所以{|2R B x x =≤ð或}8x ≥由集合的交集与补集运算可知 {}37A B x x ⋂=≤<()(){|3R R A B x x ⋃=<痧或}7x ≥；（2）由（1）知{}28B x x =<<,{}C x x a =<由B C ≠∅I所以当2a >时,B C ≠∅I故a 的取值范围为2a >【点睛】本题考查了函数定义域的求法,集合交集、并集与补集的混合运算,根据集合的关系求参数的取值范围,属于基础题.18.计算下列各式的值：（1）()1233810.0082725M -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭；（2）3log 225334log 3log 25log 36log 4lg 5lg 3log 9N =+--++. 【答案】（1）2；（2）4.【解析】【分析】（1）根据分数指数幂的运算,化简即可求解.（2）由对数的运算与换底公式,化简即可求解.【详解】（1）根据分数指数幂运算,化简可得()1233810.0082725M -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭()123333210.2325-⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦5211330.0425=-+⨯2=（2）由对数的运算及换底公式,展开化简可得3log 225334log 3log 25log 36log 4lg 5lg 3log 9N =+--++()225333322log 3log 5log 4log 9log 4lg5lg3log 21log 32=++--++⨯⨯23lg 22log 31lg5lg3lg3=+-++⨯()221lg 52=+-+⨯2211=+-+4=.【点睛】本题考查了分数指数幂的化简求值,对数的运算与换底公式的应用,属于基础题.19.已知ABC V 的顶点坐标为()0,5A ，()1,2B -，()5,4C -.（1）求ABC V 的BC 边上的高所在直线的方程；（2）求直线AB 的方程及ABC V 的面积.【答案】（1）50x y -+=；（2）AB 方程是750x y +-=，面积是18.【解析】【分析】（1）根据两点间斜率公式,先求得直线BC 的斜率.结合垂直时两直线斜率关系求得高所在直线的斜率,再由斜截式即可求得高所在的直线方程.（2）根据两点间斜率公式,先求得直线AB 的斜率,再由斜截式即可求得直线AB 的方程.【详解】（1）根据两点的斜率公式,可得()42151BC k --==--- 根据两条直线垂直时的斜率关系可知,所求直线的斜率为1而高线经过点()0,5A ,由直线斜截式方程得5y x =+故所求直线方程是50x y -+= （2）根据两点的斜率公式,可得()52701AB k --==-- 又因为经过点()0,5A ,所以由直线斜截式方程得75y x =-+故直线AB 方程是750x y +-= 由两点间距离公式可得AB ==,由点到直线距离公式可得AB 的距离是d ==所以ABC ∆面积是1182ABC S ∆=⨯= 【点睛】本题考查了两点间的斜率公式,斜截式方程的用法,两点间距离公式及点到直线的距离公式应用,属于基础题.20.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，4AB BC AC ===，3PA AD ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点.的（1）证明：//MN 平面PAB ；（2）求三棱锥B CMN -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）取BP 的中点T ,连接,AT TN ,根据中位线定理及空间中平行线的传递性,可证明=//AM TN ,即可知四边形AMNT 是平行四边形,进而由线面平行定理即可证明//MN 平面PAB .（2）根据4AB BC AC ===,可求得ABC S ∆.由PA ⊥底面ABCD 求得P ABC V -.由//AD BC 可知BCA BCM S S ∆∆=,即B CMN N BCM N BCA V V V ---==.因为N 为PC 的中点,即可知12B CMN N BCM N ABC P ABC V V V V ----===. 【详解】（1）由已知得223AM AD == 取BP 的中点T ,连接,AT TN ,如下图所示:由N PC 中点,则TN //BC 且12TN BC =又=1//2AM BC 则=//AM TN 所以四边形AMNT 是平行四边形所以MN //AT而MN ⊄平面PAB ,AT ⊂平面PAB所以//MN 平面PAB（2）ABC ∆中4AB BC AC ===1442∆=⨯⨯=ABC S又PA ⊥底面ABCD ,得13P ABC ABC V S PA -∆=⨯=因//AD BC ,得B CMN N BCM N BCA V V V ---==又N 为PC 的中点所以12B CMN N BCM N ABC P ABC V V V V ----====【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定,三棱锥体积的的求法.对三棱锥的形式,通过转换顶点的方法,求得其体积是常用方法,属于中档题.21.已知函数()122x x b f x a++=+，（,a b ∈R ）是定义在R 上的奇函数. （1）求a ，b 的值；（2）判断并证明()f x 的单调性；（3）若存在()0,2t ∈，使不等式()()230f t kt f t -+-<成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2a =，1b =-；（2）()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数，证明见解析；（2）()1,+∞.【解析】【分析】（1）根据()f x 是定义在R 上的奇函数,由()00f =代入即可求得b 的值.再由定义()()f x f x -=-代入即可求得a 的值.（2）先判断函数的单调性,再根据定义,通过作差法即可证明函数的单调性.（3）根据函数的单调性和奇偶性,即可将不等式化简为31k t t+>+在()0,2t ∈上有解,结合基本不等式即可求得k 的取值范围.【详解】（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数∴()00f =,即1b =- 此时()1212x x f x a+-=+由()()f x f x -=-恒成立得11212122x x x x a a--++--=-++ 解得2a =所以2a =,1b =-（2）由（1）知()1212x x f x a+-=+ 判断()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数.证明:任取,12x x <,则21220x x ->且()()211122220x x ++++>∴()()21f x f x - 21211121212222x x x x ++--=-++ ()()()21211142202222x x x x ++-=>++即：()()21f x f x >,故由函数单调性定义知：()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数；（3）由（1）、（2）知()f x 是定义在R 上的奇函数且单调递增,∴由()()230f t kt f t -+-<：()()()233f t kt f t f t -<--=- 也就是说关于t 的不等式23t kt t -<-在()0,2t ∈上有解,∴()213k t t +>+在()0,2t ∈上有解. 即31k t t+>+在()0,2t ∈上有解,∵t =时,3t t +取得最小值为∴1k +>即所求()1,k ∈+∞【点睛】本题考查了根据奇函数求参数的值,利用定义证明函数的单调性,根据单调性及奇函数性质解不等式,属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：()()224220x y ++-=与y 轴交于O ，P 两点，圆2C 过O ，P两点且与直线1l ：12y x =-相切. （1）求圆2C 的方程； （2）若直线2l ：y kx =与圆1C ，圆2C 的交点分别为点M ，N （不同于原点），试判断线段MN 的垂直平分线是否过定点；若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）22240x y x y +--=；（2）是，()3,4-. 【解析】【分析】（1）对于圆1C 的方程,令0x =即可求得,O P 的坐标.设出圆2C 的方程,将,O P 的坐标代入,结合21OC l ⊥即可求得圆2C 的方程.（2）联立直线2l 与圆1C ,求得交点M 的坐标, 联立直线2l 与圆2C 可得N 点坐标.进而求得线段MN 的中点坐标.当斜率0k ≠时,表示出线段MN 的垂直平分线方程,即可求得所过定点坐标;当0k =时,由M 和N 点坐标,即可求得线段MN 的垂直平分线过的定点坐标.【详解】（1）1C ：()()224220x y ++-=,令0x =,得10y =,24y =,故()0,0O ,()0,4P 设圆2C 的方程220x y Dx Ey F ++++=将()0,0O ,()0,4P 的坐标代入圆的方程得4E =-,0F =,故2,22D C ⎛⎫- ⎪⎝⎭由题意知21OC l ⊥,得2D =-故圆2C 的方程为22240x y x y +--= （2）由22840y kx x y x y =⎧⎨++-=⎩得2224848,11k k k M kk ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 由22240y kx x y x y =⎧⎨+--=⎩得2224242,11k k k N k k ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭ 线段MN 的中点为2224343,11k k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当0k ≠时,线段MN 的垂直平分线方程为2224314311k k k y x k k k --⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭即()()222444314311k k k y x k k k k +----=-+++()2243143411k k y x k k k k +--+=-+++()2214343411k ky x k k k k -+=-+-+++()134y x k =-++此时线段MN 的垂直平分线过()3,4-当0k =时,()8,0M -,()2,0N此时线段MN 的垂直平分线为3x =-,也过()3,4-综上可知, 线段MN 的垂直平分线所过定点的坐标为()3,4-【点睛】本题考查了圆的方程求法,直线与圆的位置关系的应用,直线过定点的求法,综合性强,属于难题.。
河南省驻马店市2019-2020学年高一上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析
驻马店市2019∼2020学年度第一学期期终考试高一（文科）数学试题一、选择题1.已知集合{}{}1,2,323,|1A B x x -==+>-，则A B =（ ）A. {}1B. {}2C. {}1,2D. {}1,2,3【答案】A 【解析】 【分析】化简集合B ，根据交集的定义，即可求解. 【详解】{}{}1|3|22B x x x x =+>=-<-，A B ={}1.故选:A.【点睛】本题考查集合间运算，属于基础题.2.已知函数()()21,1ln 1,1x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()1f f e +=（ ）A. 2-B. 2C. 4-D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数解析式,先求得()1f e +的值,再代入即可求得()()1f f e +的值.【详解】因为函数()()21,1ln 1,1x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩则()()1ln 111f e e +=+-= 所以()()()211112f f e f +==+=故选:B【点睛】本题考查了分段函数中函数值的求法,属于基础题.3.已知ABC ∆的边长为2，按照斜二测画法作出它的直观图'''A B C ，则直观图'''A B C 的面积为（ ）A.C.4【答案】C 【解析】 【分析】由斜二测作图原理，可得直观图的高是原图形高的1224⨯=，底边长不变，即可求出结论.【详解】ABC ∆的边长为222= 以ABC ∆一边AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立坐标系，则直观图的高是原图形高的4，底边长不变，所以直观图的面积为4故选:C.【点睛】本题考查斜二测画直观图，熟练掌握直观图的面积是原图面积的4倍，是解题的关键，属于基础题.4.下列不等式中解集是{}13x x -<<的是（ ） A. ()2log 12x +<B. 2230x x -->C. 128x <<D.()1212x +<【答案】A 【解析】 分析】根据选项,依次解四个不等式即可判断选项. 【详解】对于A,变形可得()22log 1log 4x +<则1410x x +<⎧⎨+>⎩,解不等式组得13x ,即不等式()2log 12x +<的解集为{}13x x -<<,所以A 正确;对于B,2230x x -->因式分解可得()()310x x -+>,解得3x >或1x <-,即不等式2230x x -->的解集为{}31x x x ><-或,所以B 错误;对于C,128x <<,变形可得03222x <<,所以03x <<,即不等式128x <<的解集为{}03x x <<,所以C 错误;对于D, ()1212x +<,变形可得1410x x +<⎧⎨+≥⎩,解得03x ≤<,即不等式()1212x +<的解集为{}03x x ≤<,所以D 错误.综上可知,正确的为A 故选:A【点睛】本题考查了对数不等式与指数不等式的解法,一元二次不等式及根式不等式的解法,属于基础题.5.下列函数中既是奇函数又在区间(),-∞+∞上单调递增的是（ ）A. 2x xe e y -+=B. 2222x xx xy ---=+ C. 1y x x=+ D. 33xx y -=-【答案】B 【解析】 分析】根据奇函数定义()()f x f x -=-,即可判断函数是否为奇函数;根据函数的解析式,即可判断函数在(),-∞+∞上的单调性.【详解】对于A,2x x e e y -+=,定义域为R,则()()2x xe ef x f x -+-==,所以为偶函数,所以A 错误;对于B, ,定义域为R,则()()22222222x x xx xx x f x f x -------==-=-++,所以为奇函数;将解析式变形可得222222211122222141x x x x x x x x x y ------⨯--==+=+=+++++,因为4xy =为单调递增函数,所以2141x y -=++在R 上为单调递增函数,所以B 正确; 对于C,1y x x =+,定义域为0x ≠,因而1y x x=+在区间(),-∞+∞上不具有单调性,所以C 错误; 对于D,33xx y -=-,定义域为R,()()()3333x x x xf x f x ---=-=--=-,所以为奇函数;因为()133xx y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,所以在区间(),-∞+∞上单调递减,所以D 错误. 综上可知,B 为正确选项. 故选:B【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数为奇函数及单调性,属于基础题. 6.若直线1:260l ax y ++=与直线()2:110l x a y +--=平行，则实数a =（ ）A.23B. 1-C. 2D. 1-或2【答案】D 【解析】 【分析】由直线平行或重合系数关系得到关于a 的方程，求出a 的值，代入方程验证，排除重合，即可求解.【详解】直线平行或重合，则(1)20a a --=， 即220a a --=，解得1a =-或2a =， 当1a =-时，直线1:260l x y --=， 直线2:210l x y --=，此时12l l //， 当2a =，直线1:30l x y ++=， 直线2:10l x y +-=，此时12l l //.故选:D.【点睛】本题考查两直线方程为一般式时，直线的位置与方程的关系，属于基础题. 7.设l ，m 为两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若//l α，m α⊂，则//l m B. 若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥ C. 若//a β，l α⊂，则l β// D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】C 【解析】 【分析】选项A ，根据线面平行的定义，,l m 没有公共点，不一定平行，所以错误；选项B ，αβ⊥，l α⊂，直线l 是否垂直β不能确定，所以不正确；选项C ，是面面平行的性质定理，所以正确；选项D ，αβ⊥，//l α，直线l 不一定垂直β，所以不正确；或通过正方体线面关系，举出选项A ，B ，D 不成立的例子.【详解】选项A ，，//,l m αα⊂，,l m 没有公共点，,l m 可能是异面直线，所以错误；选项B ，在正方体1AC 中，平面1111A B C D ⊥平面11AA D D ，11A C ⊂平面1111D C B A ，而11A C 不垂直平面11AA D D ，所以错误；选项C ，是面面平行的性质定理，所以正确；选项D ，平面1111A B C D ⊥平面11AA D D ，//AD 平面1111D C B A ， 而AD 显然不垂直平面11AA D D ，所以错误. 故选:C.【点睛】本题考查空间平行、垂直的判断，熟记有关平行、垂直定理是解题的关键，或通过特殊图形线面关系判断结论错误，属于基础题.8.若0.302a =.，3log 0.3b =，0.3log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A. c a b >>B. c b a >>C. a b c >>D.a cb >>【答案】A 【解析】 【分析】将,,a b c 分别与0,1对比，即可求出结论.【详解】0.300020.21,01a <<=∴<<.,33log 0.3log 10,0b <=∴<, 0.30.3log 0.2log 0.31,1c >=∴>,c a b >>.故选:A.【点睛】本题考查用函数单调性比较数的大小，要注意与特殊的数对比，属于基础题. 9.直线:30l x y m ++=与圆22410C x y x -++=：交于A ，B 两点，若线段AB 的长恰等于圆C 的半径，则m 值是（ ） A. 1 B. 5-C. 1或5-D. 5【答案】C 【解析】【分析】22410C x y x -++=：化为标准方程，求出圆心(2,0)C ，半径为3，由已知条件结合弦长公式可得圆心到直线的距离为32，求出圆心到直线的距离，得到关于m 的方程，求解即可得出结论.【详解】22410C x y x -++=：化为22(2)3x y -+=， 圆心(2,0)C ，半径为3，线段AB 的长恰等于圆C 的半径， 圆心到直线l 的距离为3|2|,|2|322m m +=+=， 解得1m =或5m =-. 故选:C.【点睛】本题考查圆的性质，考查直线与圆位置关系，相交弦长、半径、圆心到直线的距离关系，是解题的关键，属于基础题.10.已知某空间几何体的三视图如图所示，每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为（ ）A.13B. 3C. 634D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图,画出空间几何体,由几何体即可求得其表面积. 【详解】根据三视图,画出空间几何体如下图所示:则四棱锥B ADC -是棱长为22 则(234422834B ADC ADC S S -==⨯⨯=故选:D【点睛】本题考查了三视图及简单应用,由三视图还原空间几何体,四棱锥表面积的求法,属于中档题.11.已知函数()y f x =的定义域为R ，()2y f x =+为偶函数，对任意的1x ，2x ，当122x x ≤<时，()()12120f x f x x x ->-，则关于t 的不等式()()422t f f +<-的解集为（ ）A. (),1-∞B. ()1,+∞C. ()21,log 6D.()2,log 6-∞【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得()y f x =在[2,)+∞上是增函数，根据()2y f x =+为偶函数，可得()2(2)f x f x +=-+，(2)f -=(6)f ，不等式化为()42(6)t f f +<，而42,6[2,)t+∈+∞，所以不等式等价转化为t 426,44t+<<，即可求出结论. 【详解】对任意的1x ，2x ，当122x x ≤<时，()()()()12121212()f x f x f x f x x x x x --=--,由()()()()121212120,00,f x f x x x f x f x x x -->∴-<-<，()()12f x f x <，()y f x =在[2,)+∞上是增函数，()2y f x =+为偶函数，可得()2(2)f x f x +=-+，(2)(6)f f ∴-=，()()42(62)t f f f +<-=，42,6[2,)t +∈+∞，原不等式转化为t 426,44t +<<，解得1t <. 故选:A.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性，利用函数单调性解抽象不等式，偶函数的对称转化是难点，属于中档题.12.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M ，N 为线段BC ，1CC 上的动点，过点1A ，M ，N 的平面截该正方体所得截面记为S ，则下列命题：①当0BM =且01CN <<时，S 为等腰梯形；②当M ，N 分别为BC ，1CC 的中点时，//MN 平面11AB D ；③当M ，N 分别为BC ，1CC 的中点时，异面直线AC 与MN 成角60︒；④无论M 在线段BC 任何位置，恒有平面11A D M ⊥平面1BC D ；其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】①当0BM =，M 与B 重合，过1,,A M N 的平面为平面1A BN ，如图1，根据面面平行的性质定理，可得截面S 与平面11CC D D 交线NE ，E 在11C D 上，满足1//A B NE ，进而证明1A E BN =，1,A B NE ≠可得截面S 是等腰梯形，所以①正确；②当M ，N 分别为BC ，1CC 的中点时，如图2，连1BC ，可证1//MN AD ，由线面平行的判定定理，可得②正确；③由②1//MN AD ，1D AC ∠或补角为直线AC 与MN 成角，而1ACD ∆为正三角形，0160D AC ∠=，所以③正确；④如图3，在正方体中可证111,AC BD AC BC ⊥⊥，进而1A C ⊥平面1BC D ，所以平面11A BCD ⊥平面1BC D ，而平面11A D M 即为平面11A BCD ，所以④正确. 【详解】①当0BM =，M 与B 重合，过1,,A M N 的平面为平面1A BN ， 如图1，设平面1A BN 与平面11CC D D 交于NE ，E11C D 上，连1,CD A E ，则平面1A BN 截该正方体所得截面S 为四边形1A BNE ， 正方体中，平面11//AA B B 平面11CC D D ，截面1A BNE 分别与平面11,AA B B 平面11CC D D 交于1,A B NE ， 所以1//A B NE ，因为四边形11A BCD 是平行四边形，11//A B CD ， 所以1//CD NE ，因为正方体1AC ，有11CC C D =，所以1CN D E =，11Rt BCN Rt A D E ∆≅∆，所以1A E BN =，01CN <<，N 在线段1CC 上，不与端点重合，所以111,CD NE CD A B ≠=，所以1NE A B ≠， 截面S 是等腰梯形，所以①正确；②当M ，N 分别为BC ，1CC 的中点时，如图2，连1BC ， 则1//MN BC ，在正方体中11//AD BC ，所以1//MN AD ，MN ⊄平面11AB D ，1AD ⊂平面11AB D ，所以//MN 平面11AB D ，所以②正确；③由②可得1//MN AD ，1D AC ∠或补角为直线AC 与MN 成角，因为正方体中，11AC CD D A ==，所以0160D AC ∠=，即直线AC 与MN 成角为060，所以③正确；④如图3，连接11,AC A C ,在正方体中，1,AC BD CC ⊥⊥平面ABCD ，BD ⊂平面1,ABCD CC BD ⊥，所以BD ⊥平面111,AA C C A C ⊂平面11AAC C ，所以BD ⊥1A C ，同理11BC A C ，1BD BC B =，所以1A C ⊥平面1BC D ，1AC ⊂平面11A BCD ，平面11A BCD ⊥平面1BC D ， 点M 在BC 上，平面11A D M 即为平面11A BCD ，所以④正确. 故选:D.【点睛】本题考查正方体的性质、面面平行的性质、线面平行的判定、线面垂直与面面垂直的判定、异面直线所成的角，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题. 二、填空题13.若函数()2213f x x x +=+，则()5f =______.【答案】10【解析】 【分析】根据函数解析式,先求得自变量的值,再代入即可求解. 【详解】函数()2213f x x x +=+令215x += 解得2x = 所以()2523210f =+⨯=故答案为:10【点睛】本题考查了已知复合函数解析式,求函数值,属于基础题.14.已知空间直角坐标系中的点M ，N 的坐标分别为()5,5,8，()1,1,4-.则线段MN 的中点到坐标原点的距离为______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据M,N 的坐标求得中点坐标,结合空间中两点间距离公式即可求解. 【详解】空间直角坐标系中的点M,N 的坐标分别为()5,5,8,()1,1,4- 则中点坐标为()2,3,6由空间中两点距离公式可知, MN 的中点到坐标原点的距离为7d ===故答案为:7【点睛】本题考查了空间直角坐标系中点公式,两点间距离公式的用法,属于基础题. 15.已知正方体的外接球的体积为323π，则该正方体的表面积是___________. 【答案】32 【解析】 【分析】根据正方体的外接球直径为正方体的对角线，由已知求出球的半径，得到正方体的对角线，进而求出正方体的边长，即可求出结论.【详解】设正方体的边长为a ，其外接球的半径为R ，则有R =， 依题意332,2343R R ππ∴==，2163a ∴=， 所以正方体的表面积为2632a =. 故答案为:32.【点睛】本题考查正方体与球的接、切问题，解题的关键是要抓住球的直径与正方体的关系，属于基础题.16.已知函数()2212f x x x ax =+-－在()0,∞+有两个零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1(,)2+∞ 【解析】 【分析】对x 分类讨论去绝对值，化简函数22101()2211ax x f x x ax x -+<≤⎧=⎨-->⎩，利用韦达定理分析方程22210x ax --=解的情况，可得出函数()f x 的零点分布，根据零点存在性定理，即可求出结论.【详解】22101()2211ax x f x x ax x -+<≤⎧=⎨-->⎩，若方程22210x ax --=有解，根据韦达定理两根的乘积为12-， 两根异号，所以只有一个正根，所以()f x 一个零点在(0,1]， 另一个零点在(1,)+∞，(0)10=>f ， 所以1(1)210,2f a a =-+<>. 故答案为:1(,)2+∞.【点睛】本题考查分段函数的零点，以及零点存在性定理，解题的关键要熟悉二次函数零点的特征，属于中档题. 三、解答题17.已知函数()()17f x g x -的定义域是A ，集合{}132212{|1}4,4|x B x og C x x a -=<<=<，全集为实数集R .（1）求A B ，()()R R A B ；（2）如果BC ≠∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|37}A B x x =≤<，()(){|3R RA B x x =<或7}x ≥；（2）2a >【解析】 【分析】（1）根据函数的有意义的条件，列出不等式，求出集合A ，根据指数函数的单调性，化简集合B ，求出,R R C A C B ，即可得出结论；（2）由集合,B C 关系，利用数轴确定集合C 的端点位置，即可求解.【详解】解：（1）由3070x x -≥⎧⎨->⎩得{|37},{|3R A x x C A x x =≤<=<或7}x ≥ 由{|28},{|2R B x x C B x x =<<=≤或8}x所以()(){|37},{|3R R AB x xC A C B x x =≤<=<或7}x ≥（2）由（1）知{|28},{|}B x x C x x a =<<=<，由BC ≠∅知，当2a >时，BC ≠∅.【点睛】本题考查函数的定义域，考查集合间的运算，以及集合关系求参数，属于基础题. 18.计算下列各式的值： （1）()1233810.0082725M -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭； （2）3log 225334log 3log 25log 36log 4lg 5lg 3log 9N =+--++. 【答案】（1）2；（2）4. 【解析】【分析】（1）根据分数指数幂的运算,化简即可求解. （2）由对数的运算与换底公式,化简即可求解. 【详解】（1）根据分数指数幂运算,化简可得()1233810.0082725M -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭()123333210.2325-⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦5211330.0425=-+⨯ 2=（2）由对数的运算及换底公式,展开化简可得3log 225334log 3log 25log 36log 4lg 5lg 3log 9N =+--++ ()225333322log 3log 5log 4log 9log 4lg5lg3log 21log 32=++--++⨯⨯23lg 22log 31lg5lg3lg3=+-++⨯()221lg 52=+-+⨯2211=+-+4=.【点睛】本题考查了分数指数幂的化简求值,对数的运算与换底公式的应用,属于基础题. 19.已知ABC 的顶点坐标为()0,5A，()1,2B -，()5,4C -.（1）求ABC 的BC 边上的高所在直线的方程； （2）求直线AB 的方程及ABC 的面积.【答案】（1）50x y -+=；（2）AB 方程是750x y +-=，面积是18. 【解析】 【分析】（1）根据两点间斜率公式,先求得直线BC 的斜率.结合垂直时两直线斜率关系求得高所在直线的斜率,再由斜截式即可求得高所在的直线方程.（2）根据两点间斜率公式,先求得直线AB 的斜率,再由斜截式即可求得直线AB 的方程. 【详解】（1）根据两点的斜率公式,可得()42151BC k --==---根据两条直线垂直时的斜率关系可知,所求直线的斜率为1 而高线经过点()0,5A,由直线斜截式方程得5y x =+故所求直线方程是50x y -+=（2）根据两点的斜率公式,可得()52701AB k --==--又因为经过点()0,5A,所以由直线斜截式方程得75y x =-+故直线AB 方程是750x y +-=由两点间距离公式可得AB ==,由点到直线距离公式可得AB 的距离是d ==所以ABC ∆的面积是1182ABCS ∆=⨯= 【点睛】本题考查了两点间的斜率公式,斜截式方程的用法,两点间距离公式及点到直线的距离公式应用,属于基础题.20.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，4AB BC AC ===，3PA AD ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点.（1）证明：//MN 平面PAB （2）求点A 到平面PBC 的距离. 【答案】（1）证明见解析（267【解析】 【分析】（1）取BP 的中点，连接,AT TN ，可得//TN BC 且12TN BC =，结合已知条件，可证 四边形AMNT 是平行四边形，进而有//MN AT ，即可证明结论；（2）根据等体积法P ABC A PBC V V --=，由已知求出,PB PC ,PBC S ∆,ABC S ∆，即可求出点A 到平面PBC 的距离.【详解】解：（1）由已知得223AM AD ==， 取BP 的中点T ，连接,AT TN ， 由N 为PC 中点， 知//TN BC 且12TN BC =， 又1//2AM BC ，得//AM TN ， 所以四边形AMNT 是平行四边形， 有//MN AT ，MN ⊄平面PAB ，AT ⊂平面PAB ，故//MN 平面PAB .（2）ABC ∆中，134,44432ABC AB BC AC S ∆====⋅⋅⋅= 又PA ⊥底面ABCD ， 得1433P ABC ABC V S PA -∆=⋅= PBC ∆中5,4PB PC BC ===，221122122PBCS BC PB BC ∆⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭设点A 到平面PBC 的距离为h ，1,432213P ABC A PBC P ABC V V V h ---===⋅⋅67h =，故点A 到平面PBC 的距离为67h =.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等体积法求点到面的距离，属于中档题.21.已知函数()2333xx xf x -⋅=+，（1）判断函数()()1y g x f x ==-的奇偶性，并求函数()y g x =的值域； （2）若实数m 满足()()20g m g m +->，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）函数()y g x =是奇函数，()1,1-；（2）()1,+∞. 【解析】【分析】（1）先由题意得到()()33133---=-=+x xx xg x f x ，根据函数奇偶性的概念，即可判断其奇偶性；根据2113-+>x 得到220213x-+＜＜，进而可求出函数值域；（2）先判断函数()2232113313--⋅=-=-++x x x xg x 的单调性，再由其奇偶性，即可将不等式化为()()()22>--=-g m g m g m ，进而可求出结果.【详解】（1）因为()()2333113333---⋅==-=--=++x x xx xx x y g x f x ， ∴()()3333x xx xg x g x ----==-+，所以函数()g x 是奇函数， ∵2113-+>x ，∴220213x -+＜＜，∴2211113x---+＜＜， 所以函数()y g x =的值域是()1,1-． （2）因为213-=+x y 在R 上单调递减，所以()2232113313--⋅=-=-++x x x xg x 在R 上是单调递增函数， 所以()y g x =在R 上是单调递增函数，且是奇函数，由()()20g m g m +->得，()()()22>--=-g m g m g m ， ∵()y g x =在R 上是单调递增函数，∴2>-m m ，∴1m ， ∴实数m 的取值范围是()1,+∞．【点睛】本题主要考查判断函数奇偶性，求函数值域，以及由函数的奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2214)()(220C x y ++-=:与y 轴交于O ，P 两点，圆2C 过O ，P 两点且与直线11:2l y x =-相切. （1）求圆2C 的方程；（2）若直线2:l y kx =与圆1C ，圆2C 的交点分别为点M ，N .求证：以线段MN 为直径的圆恒过点P .【答案】（1）22240x y x y +--=；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知求出,O P 坐标，设圆2C 的方程：220x y Dx Ey F ++++=，切线2l 过原点O ，得出O 为切点，2OC 的斜率为2，结合,O P 两点坐标，即可求出方程； （2）根据条件12k ≠-，2k ≠，要证以线段MN 为直径的圆恒过点P ,只需证PM PN ⊥，即证1PM PN k k ⋅=-，直线2l 分别与圆12,C C 方程联立，求出,M N 点坐标，进而求出,PM PN k k ，即可得证.【详解】解析：（1）221:(4)(2)20C x y ++-=令0x =，得120,4,(0,0)(0,4),y y O P ==设圆2C 的方程：220x y Dx Ey F ++++= 将点(0,0),(0,4)O P 代入，得4,0E F =-=，故2,22D C ⎛⎫- ⎪⎝⎭由题意知21OC l ⊥，2222OC k D =-=得2D =-， 故圆2C 的方程为22240x y x y +--=.（2）因直线y kx =与圆1C 、圆2C 都有两不同交点， 易知12k ≠-，2k ≠. 由22840y kxx y x y =⎧⎨++-=⎩，整理得22(1)()480k x k x -+=-， 得2481k kx -+=或0x =（舍去）， 得2224848,11k k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭由22240y kx x y x y =⎧⎨+--=⎩， 整理得22(42))10(x k k x ++-=， 解得2421k x k +=+或0x =（舍去）， 得2224242,11k k k N k k ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭ 2224842114821PM k k k k k k k k----+==--+ 2224242142211PN k k k k k k k k +--+==+++ 因1PM PN k k ⋅=-，有PM PN ⊥，故以线段MN 为直径的圆恒过点P .【点睛】本题考查圆的方程，以及直线与圆位置关系，考查运算求解能力、分析问题和解决问题的能力，属于中档题.。
2019-2020学年河南省驻马店市高一下学期期末考试数学(理)试题解析
绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1．19sin 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C ．12D 答案：C利用诱导公式计算即可得解. 解：19191sin sin sin 3sin 66662πππππ⎛⎫⎛⎫-=-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C . 点评：本题考查三角函数诱导公式的应用，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题.2．数据的信息除了通过各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差这些统计量反映了数据的集中趋势或离散程度，下列表述不正确．．．的是（） A ．平均数、中位数、众数刻画了一组数据的集中趋势 B ．平均数、中位数、众数一定出现在原数据中 C ．极差、方差、标准差刻画了一组数据的离散程度D ．平均数、中位数、众数、极差、标准差单位与原数据单位保持一致 答案：B根据平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的概念依次判断选项即可得到答案. 解：由题知：众数一定出现在原始数据中，而平均数，中位数不一定在原始数据中， 所以B 表述不正确. 故选：B 点评：本题主要考查平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的概念理解，属于简单题. 3．已知02πα<<，02πβ-<<，5sin 13α=，4cos 5β=，则()sin αβ+的值是（） A ．1665B ．5665 C ．1665-D ．5665-答案：C利用同角三角函数的基本关系求得cos α、sin β的值，然后利用两角和的正弦公式可求得()sin αβ+的值. 解：02πα<<，02πβ-<<，5sin 13α=，4cos 5β=，12cos 13α∴==，3sin 5β==-， 因此，()5412316sin sin cos cos sin 13513565αβαβαβ⎛⎫+=+=⨯+⨯-=- ⎪⎝⎭. 故选：C. 点评：本题考查利用两角和的正弦公式求值，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力，属于基础题.4．“互联网+”时代，全民阅读的内涵已然多元化，倡导读书成为一种生活方式.某校为了解高中学生的阅读情况，从该校1800名高一学生中，采用分层抽样方法抽取一个容量为200的样本进行调查，其中女生有88人.则该校高一男生共有（） A ．1098人 B ．1008人C ．1000人D ．918人答案：B先计算出男生的抽样比，再乘以总体容量即可得该校高一男生人数. 解：依题意200个样本中，男生有200-88=112人，所以男生的抽样比为1121420025=， 所以该校高一男生共有141800100825⨯=人. 故选：B. 点评：本题考查了分层抽样，属于基础题.5．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（）A ．310B ．14C ．15D ．18答案：C根据题意，确定总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数之比即为所求概率. 解：由题意，阳数为：1,3,5,7,9，阴数为2,4,6,8，从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，共有5420⨯=种不同的结果； 这两个数之和等于11的有：()3,8，()5,6，()7,4，()9,2，共4种不同的结果，因此，所求概率为41205=. 故选：C. 点评：本题主要考查求古典概型的概率，熟记概率计算公式即可，属于基础题型. 6．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（）A ．1-B ．2-C ．2D ．12答案：D列举出前四次循环，可知，该算法循环是以3为周期的周期循环，利用周期性可得出输出的S 的值. 解：第一次循环，02020k =≤成立，1112S ==--，011k =+=； 第二次循环，12020k =≤成立，()11112S ==--，112k =+=；第三次循环，22020k =≤成立，12112S ==-，213k =+=； 第四次循环，32020k =≤成立，1112S ==--，314k =+=； 由上可知，该算法循环是周期循环，且周期为3，依次类推，执行最后一次循环，20202020k =≤成立，且202036731=⨯+，此时12S =， 202012021k =+=，20212020k =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为12. 故选：D. 点评：本题考查利用程序框图计算输出结果，推导出循环的周期性是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.7．在ABC 中，D 是BC 边上的一点，F 是AD 上的一点，且满足2AD AB AC =+和20FD FA +=，连接CF 并延长交AB 于E ，若AE EB λ=，则λ的值为（） A ．12B ．13 C ．14D ．15答案：C首先过D 做//DG CE ，交AB 于G ，根据向量加法的几何意义得到D 为BC 的中点，从而得到G 为BE 的中点，再利用相似三角形的性质即可得到答案. 解：如图所示，过D 做//DG CE ，交AB 于G .因为2AD AB AC =+，所以D 为BC 的中点. 因为//DG CE ，所以G 为BE 的中点， 因为20FD FA +=，所以:1:2AF FD =.因为//DG CE ，所以::1:2AE EG AF FD ==，即12AE EG =. 又因为EG BG =，所以14AE EB =， 故14AE EB =. 故选：C 点评：本题主要考查了向量加法运行的几何意义，同时考查了相似三角形的性质，属于中档题. 8．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名同学在10次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲得分的中位数为76分，乙得分的平均数是75分，则下列结论正确的是（）A ．76x =甲B ．甲数据中3x =，乙数据中6y =C ．甲数据中6x =，乙数据中3y =D ．乙同学成绩较为稳定 答案：C由甲得分的中位数为76分，乙得分的平均数是75分，结合茎叶图中的数据求出,x y 的值即可判断. 解：解：因为甲得分的中位数为76分，所以第5个数70x +和第6个数76的平均数为76， 所以6x =，因为乙得分的平均数是75分， 所以1(56686870727080868889)7510y ++++++++++=，解得3y =，所以C 正确，B 错误， 甲得分的平均数为1(64657171767677808288)7510+++++++++=，所以A 错误 因为甲的数据比较集中，所以甲的方差较小，成绩较稳定，所以D 错误， 故选：C 点评：此题考查了茎叶图，中位数，平均数，方差等知识，属于基础题. 9．有以下变换方式： ①先向右平移53π个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的12倍； ②先向左平移56π个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍； ③先将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移53π个单位长度； ④先将每个点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移56π个单位长度.其中能将函数12cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像变为函数2sin y x =的图像的是（）A ．①和④B ．①和③C ．②和④D ．②和③答案：A由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 解：解：①先将函数12cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移53π个单位长度，可得152cos 2sin 2632x y x ππ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭的图象，再将每个点的横坐标缩短为原来的12倍，可得2sin y x =的图象，故①满足条件． ②将函数12cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象先向左平移56π个单位长度，可得152cos 2sin 212324x y x πππ⎛⎫⎪⎛⎫=++=-+⎝⎝ ⎭⎭⎪的图象；再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，可得n 42si 4x y π⎛⎫⎪⎝=-⎭+的图象，故②不满足条件．③将函数12cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象先将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，可得函数12cos 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；再向左平移53π个单位长度，可得函数152cos 2cos 412344x y x πππ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故③不满足条件． ④将函数12cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象先将每个点的橫坐标缩短为原来的12倍，可得函数2cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；再向右平移56π个单位长度，可得52cos 2sin 63y x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭的图象，故④满足条件， 故选：A ． 点评：本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于中档题．10．意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达芬奇的经典之作一《蒙娜丽莎》举世闻名｡画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷，某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据: 6.9,7.1,12.6AB cm BC cm AC cm ===，根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间（）A ．(,)64ππB ．(,)43ππC ．5(,)312ππD ．5(,)122ππ 答案：B取7AB BC =≈，设2ABC θ∠=，可得3(,)38ππθ∈，进而得出结论．解：解：取7AB BC =≈，设2ABC θ∠=，则12.62sin 0.97θ≈=∈，3(,)38ππθ∴∈，232(,)34ππθ∈，设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α， 则2αθπ+=， (,)43ππα∴∈， 故选：B ． 点评：本题主要考查直角三角形的边角关系、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知sin α，cos α是关于x 的()20x ax a a R +-=∈方程的两个根，则33sin cos αα+的值是（）A 2B 1C ．3+D ．答案：A首先利用韦达定理得到sin cos a αα+=-，sin cos a αα=-，根据同角三角函数关系得到1a =-+33sin cos αα+即可. 解：由题知：sin α，cos α是关于x 的()20x ax a a R +-=∈方程的两个根，所以240a a ∆=+≥，解得0a ≥或4a ≤-. 因为sin cos a αα+=-，sin cos a αα=-.所以()2222sin cos sin cos 2sin cos 12a a αααααα+=++=-=，即2210a a +-=，解得：1a =-+（1a =-.()()3322sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα+=++-()12a a =-+=.故选：A 点评：本题主要考查同角三角函数关系，同时考查了韦达定理和立方和公式，属于简单题. 12．已知2a b ==，2a b ⋅=-，()()0c a c b -⋅-=，若2d c -=，则d 最大值为（）A ．B ．2+C ．3+D ．答案：C首先根据题意建立空间直角坐标系，设()2,0OA a ==，(OB b ==-，(),OC x y c ==，OD d =.根据()()0c a c b -⋅-=得到C 点在以1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为圆心，r =2d c -=得到2CD =，再求d 最大值即可.解：因为2a b ==，2a b ⋅=-，所以1cos 2a ba bθ⋅==-，即120θ=.建立空间直角坐标系，设()2,0OA a ==，(OB b ==-，(),OC x y c ==，OD d =.()2,c a x y -=-，(1,c b x y -=+，因为()()0c a c b -⋅-=，所以()()(210x x y y -++-=，即221322x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 点在以12⎛ ⎝⎭为圆心，r =.因为2d c OD OC CD -=-==，所以maxmaxmax223dODOC ==+==故选：C 点评：本题主要考查点与圆的位置关系，同时考查了向量的坐标运算，属于难题. 二、填空题13．已知向量(1,3a =-，()3,b y =，且23a b a ⎛⎫-⊥ ⎪ ⎪⎝⎭，则b 在a 上的投影是______.根据平面向量数量积的坐标运算可列出关于y 的方程，解之得y 的值，再由平面向量数量积的定义可知，a 在b 上的投影为cos ,a bb a b a<>=，代入数据进行运算即可得解．解：解：因为向量(1,3a =-，()3,b y =，且23a b a ⎛⎫-⊥ ⎪ ⎪⎝⎭，())231,3333a b y y ⎛⎫-=--=-⎪ ⎪⎝⎭所以2303a b a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以()3103y ⎫-⨯-+=⎪⎪⎭解得3y = 所以()3,3b =所以b 在a上的投影为23cos ,13a b b a b a <>===+．点评：本题考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查学生的运算能力，属于基础题． 14．已知扇形AOB 的圆心角为α，周长为4.那么当其面积取得最大值时，α的值是______. 答案：2设扇形所在圆的半径为r ，根据题意，得到()0,2απ∈，42r α=+，由扇形面积公式，以及基本不等式，即可求出结果. 解：设扇形所在圆的半径为r ，由题意，24r r α+=，()0,2απ∈，所以42r α=+， 因此扇形面积为：()2218814224S r ααααα===≤=+++，当且仅当4αα=，即2α=时，取得最大值.故答案为：2. 点评：本题主要考查求扇形面积的最值，熟记扇形面积公式以及基本不等式即可，属于常考题型.15．小明家的晚报在下午5：30~6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00~7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐，那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是______. 答案：78根据题意，设晚报被送到的时间为下午x 时，小明家晚餐开始的时间为下午y 时，得到5.56.567x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，记件A 表示：“晚报在晚餐之前被送到”，对应x y ≤，分别求出对应的面积，面积比即为所求概率. 解：设晚报被送到的时间为下午x 时，小明家晚餐开始的时间为下午y 时， 由题意可得： 5.5 6.567x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，其表示的区域是边长为1的正方形区域，面积为1S =；又事件“晚报在晚餐之前被送到”即为：x y ≤，设事件A 表示：“晚报在晚餐之前被送到”，如图中阴影部分所示，由 6.5x y x =⎧⎨=⎩得 6.5x y ==，由6x yy =⎧⎨=⎩得6x y ==，所以阴影部分的面积为：()()11176.567 6.51288S S =-⨯-⨯-=-=， 则()178S P A S ==.故答案为：78. 点评：本题主要考查几何概型的问题，熟记与面积有关的几何概型的概率计算公式即可，属于常考题型.16．水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发.市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本数据中的最小值是______. 答案：4首先设5个班抽取的人数由小到大分别为12345,,,,x x x x x ，根据题意得到()()()()()22222123457777720x x x x x -+-+-+-+-=，再求数据中的最小值即可. 解：设5个班抽取的人数由小到大分别为12345,,,,x x x x x ，由题知：()()()()()222221234517777745x x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦， 即()()()()()22222123457777720x x x x x -+-+-+-+-=. 若13x =时，则()()()()2222234577774x x x x -+-+-+-=， 则()()()()222223457,7,7,7x x x x ----四个数为：1,1,1,1或4,0,0,0， 此时2345,,,x x x x 一定有相同的数，与已知矛盾.若14x =时，则()()()()22222345777711x x x x -+-+-+-=， 则()()()()222223457,7,7,7x x x x ----四个数为：1,0,1,9， 此时12345,,,,x x x x x 为4,6,7,8,10，符合题意. 故答案为：4 点评：本题主要考查方差的定义，熟记定义为解题的关键，属于中档题. 三、解答题17．已知直线110+-=l y 的一个方向向量为()2,a m =-，m R ∈；直线()2:200l tx y t -+=≠的方向向量为b .（1）求m 的值；（2）若两直线1l 、2l 的夹角为3π，求t 的值.答案：（1）m =（2）t =.（1）根据直线1l 的方程可取直线1l 的一个方向向量为(11,e =，由1//a e 结合平面向量共线的坐标表示可求得实数m 的值；（2）根据直线2l 的方程可取直线2l 的一个方向向量为()21,e t =，由1212cos3e e e e π⋅=结合平面向量数量积的坐标运算可求得实数t 的值. 解：（1）依题可取1l 的一个方向向量为(11,e =-，1//a e ，(2m ∴=-⨯=；（2）取2l 的一个方向向量为()21,e t =，则由1212cos3e e e e π⋅=得：12=又0t ≠，解得t =.点评：本题考查直线的方向向量，同时也考查了利用平面向量共线以及平面向量的夹角求参数，考查计算能力，属于基础题. 18．化简求值： （1）sin 7sin8cos15cos7sin8sin15︒+︒︒︒-︒︒；（2）4cos70tan 20︒+︒.答案：（1）2；（2（1）利用两角差的正弦、余弦、正切公式计算可得；（2）利用同角三角函数的基本关系及诱导公式以及两角和的正弦公式计算可得； 解： 解： （1）sin 7sin8cos15cos7sin8sin15︒+︒︒︒-︒︒()()sin 158sin8cos15cos 158sin8sin15︒︒-︒+︒︒=-︒-︒︒sin15cos8cos15cos8︒︒︒=︒()tan 4530=︒-︒tan 45tan 301tan 45tan 30︒-︒=+︒︒1-=2=-（2）4cos70tan 20︒+︒4cos70cos 20sin 20cos 20︒︒︒+=︒4sin 20cos 20sin 20cos 20︒︒+=︒︒2sin 40sin 20cos 20︒︒+=︒()2cos50sin 5030cos 20︒+︒-︒=︒350cos5022cos 20︒+︒=︒()5060cos 20+︒︒=︒=点评：本题考查同角三角函数的基本关系及三角恒等变换公式的应用，属于中档题.19．这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起.在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智，某市某校学生也运用数学知识展开了对这次疫情的研究，一名同学在疫情初期数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期x 和全国累计报告确诊病例数量y （单位：万人）之间的关系如下表：（1）根据表中的数据，y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为确诊病例数量y 关于日期x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（精确到0.01） （3）预测2月16日全国累计报告确诊病例数. 参考数据如下表：表中i ω=117ni i ωω==∑，1231ni n i a a a a a ==++++∑.参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v 其回归方程v u αβ=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：①()()()1122211n ni i ii i i nniii i u v nuv uu v vunuuuβ====---==--∑∑∑∑，②v u αβ=-.答案：（1）y a bx =+适宜作为确诊病例数量y 关于日期x 的回归方程类型；（2）0.351y x =+；（3）6.6万人. （1）直接由表格中的数据可知y a bx =+适宜作为确诊病例数量y 关于日期x 的回归方程类型；（2）由表格中的数据求得b 与a 的值，则y 关于x 的线性回归方程可求； （3）在（2）中求得的线性回归方程中，取16x =求得y 值即可． 解： 解：（1）根据表中的数据：y a bx =+适宜作为确诊病例数量y 关于日期x 的回归方程类型；（2）由已知数据得：4x =，16.92.4147y =≈，∴()71721777.574 2.4140.3549410149i ii ii x y x yb x x ==--⨯⨯==≈++++++-∑∑，2.4140.35440.998a y bx =-≈-⨯=，所以，y 关于x 的回归方程为：0.351y x =+；（3）把16x =代入回归方程得：0.35161 6.6y =⨯+=， 所以预测2月16日全国累计报告确诊病例数为6.6万人. 点评：本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，属于中档题． 20．已知函数()()cos 0,0,2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示.（1）求()f x 的解析式及对称中心坐标； （2）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向右平移6π个单位，最后将图像向上平移1个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在3,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调增区间和最值.答案：（1）()2cos 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；对称中心坐标为：,132k ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，k Z ∈；（2）增区间是：,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；最大值：32，最小值：12-.（1）首先根据图象得到函数的最大值和最小值，求出,A B 值，根据周期得到ω，把,112π⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得到ϕ，从而得到()f x ，再求对称中心即可. （2）首先根据图象变换得到()g x ，再求单调区间和最值即可.解：（1）由图知：13A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，解得2A =，1B =-，72212T πππωω-==⇒=，所以()()2cos 21f x x ϕ=+-， 把点,112π⎛⎫⎪⎝⎭代入得：cos 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即26k πϕπ+=，k Z ∈，又因为2πϕ<，所以6πϕ=-，即()2cos 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； 令262x k πππ-=+，k Z ∈，解得32kx ππ=+，k Z ∈ 故所求对称中心坐标为：,132k ππ⎛⎫+-⎪⎝⎭，k Z ∈. （2）()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12倍，得到1cos 262y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再向右平移6π个单位，得到111cos 2cos 2sin 2662222y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将图像向上平移1个单位，得到1()sin 22g x x =+ 由22222k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，解得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈,因为3,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以增区间为,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为32,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当22x π=时，()g x 有最大值32，当322x π=时，()g x 有最小值12-. 点评：本题第一问考查了三角函数图象，第二问考查了三角函数的变换，同时考查了单调区间和最值，属于中档题.21．党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态.为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率； （3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案， 方案一：每满80元可立减8元；方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠. 答案：（1）2；（2）710；（3）应该选择方案二更优惠. （1）由题意可求出金额在[)80,100“水果达人”的人数30人和消费金额在[]100,120“水果达人”的人数20人，然后利用分层抽样的比求出5人中消费金额不低于100元的人数为20523020⨯=+人；（2）由（1）可知抽取的5人中消费金额在[)80,100的有3人，分别记为A ，B ，C ，消费金额在[]100,120的有2人，记为a ，b ，即可列出所有的基本事件共有10种，其中满足条件的有7种，从而可求出概率；（3）由题意可得该游客要购买110元水果，分别计算两种方案所需支付金额，即可得解. 解：解：（1）由图可知，消费金额在[)80,100“水果达人”的人数为：200200.007530⨯⨯=人，消费金额在[]100,120“水果达人”的人数为：200200.00520⨯⨯=人，分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，这5人中消费金额不低于100元的人数为：20523020⨯=+人；（2）由（1）得，消费金额在[)80,100的3个“水果达人”记为A ，B ，C ， 消费金额在[]100,120的2个“水果达人”记为a ，b ， 所有基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),B C ，(),A a ，(),A b ，(),B a ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),a b 共10N =种，2人中至少有1人购买金额不低于100元的有7n =种， 所求概率为710n N ==. （3）依题可知该游客要购买110元的水果， 若选择方案一，则需支付()80830102-+=元，若选择方案二，则需支付50300.9200.8100.7100+⨯+⨯+⨯=元， 所以应该选择方案二更优惠. 点评：此题考查了频率分布直方图，古典概型，函数等基础知识，考查了数据分析能力，运算求解能力，考查了化归与转化思想，属于中档题.22．已知向量()()()sin ,cos a x x ωω=，()()()cos ,b x x ωω=且函数()f x a b =⋅的两条对称轴之间的最小距离为2π. （1）若方程()0f x m -=恰好在7,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个不同实根1x ，2x ，求实数m 的取值范围及12x x +的值. （2）设函数()g x ax b =+，且()[]{}()5|,1,2|,,26y y g x x y y f x x ππ⎧⎫⎡⎤=∈==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，求实数a ，b 的值. 答案：（1）230,m ⎛⎡-∈ ⎢ ⎝⎦⎣⎭，1256x x π+=或116π；（2）a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 先把()()()sin ,cos a x x ωω=，()()()cos ,b x x ωω=代入中()f x a b =⋅化简，再两条对称轴之间的最小距离为2π，可知函数的半个周期为2π，从而可求出ω的值，（1）根据正弦函数的图像性质，判断函数()f x 在7,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调性，再求出最大值、最小值和端点处的函数值，从而得解； （2）易知()5|,,[26y y f x x ππ⎧⎫⎡⎤=∈=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，再分两类：0a >和0a <，并结合一次函数的单调性，列出关于a 和b 的方程求解即可. 解：解：依题2()sin()cos()()f x a b x x x ωωω=⋅=-]1sin(2)cos(2)12x x ωω=+sin 232x πω⎛⎫=--⎪⎝⎭. 又因为两条对称轴之间的最小距离为2π，所以由2222ππω⨯=得：1ω=，∴()sin 232f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； （1）当7,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，(2),233x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 由2332x πππ≤-≤，得5312x ππ≤≤，由32232x πππ≤-≤，得5111212x ππ≤≤，由32223x πππ≤-≤，得117126x ππ≤≤ 所以()f x 在5,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在117,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增， 当512x π=时，()f x当1112π=x 时，()f x取得最小值22-， 且032f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，76f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以230,m ⎛⎡-∈ ⎢ ⎝⎦⎣⎭，1256x x π+=或116π； （2）易知5|(),,26y y f x x ππ⎧⎫⎡⎤⎡⎤=∈=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭， 当0a >时：()g x 在[]1,2x ∈上递增，满足：02a b ab ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩， 解得：a =b =-，当0a <时：()g x 在[]1,2x ∈上递减，满足：20a b ab ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得：a =b =综上所述：a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 点评：此题考查了平面向量数量积的运算、三角函数与三角恒等变换的综合应用，熟练掌握正弦函数的图像与性质是解题的关键，考查运算能力，属于中档题.。
【精选3份合集】驻马店市名校2019-2020学年高一数学下学期期末检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a b b c +≥-B ．ac bc ≥C ．20c a b>-D ．()20a b c -≥2．设,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数为 ①若αβ⊥，,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥ ②若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则n m ∥ ③若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥④若,,m n m n αβ⊥∥∥，则αβ⊥ A ．1B ．2C ．3D ．43．在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1A O ，下列说法正确的是（ ） A ．11//AO D C B ．1A O BC ⊥ C ．1//A O 平面11B CDD ．1A O ⊥平面11AB D4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，则8a =（ ） A ．21B ．15C ．12D ．95．已知角A 、B 是ABC 的内角，则“A B <”是“sin sin A B <”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．150化成弧度制为（ ） A ．56πB ．4π C ．23π D ．3π 7．若a b c >>，则以下不等式一定成立的是( ) A ．ab bc >B ．22a b >C ．33a c >D ．22ab cb >8．若不等式210ax bx ++>的解集为1{1}2x x -<<，则（ ） A ．2,1a b ==- B ．2,1a b == C ．2,1a b =-=-D ．2,1a b =-=4PQR π∠=，M 为QR 的中点，5PM =，则A 的值为（ ）A ．62B ．52C ．1633D ．83310． “”是“直线(m+1)x+3my+2=0与直线(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF ∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（）A ．2,3]B ．2,5]C ．2,6]D ．2,7]12．已知向量()2,1a =-，()1,b x =，a b ⊥，则x =（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．2二、填空题：本题共4小题13．在等比数列{}n a 中，12010a =，公比13q =，若()*12n nb a a a n N =∈，则nb达到最大时n 的值为____________． 14．若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________. 15．函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的递增区间为______. 16．已知225sin sin 240αα+-=，α为第二象限角，则cos 2α=________（1）证明：数列{}1n n a a +-是等差数列，并求数列{}1n n a a +-的通项； （2）求数列{}n a 的通项，并求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ； （3）若()21nnn a b n nλ=+-，且{}n b 是单调递增数列，求实数λ的取值范围.18．某种笔记本的单价是5元，买({1,2,3,4,5})x x ∈个笔记本需要y 元，试用函数的三种表示法表示函数()y f x =.19．（6分）已知A 、B 、C 是ABC 的内角，且5AC =，6AB =. （1）若9cos 16B =，求ABC 的外接圆的面积： （2）若BC x =，且ABC 为钝角三角形，求正实数x 的取值范围.20．（6分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//BC AD ，点E 在线段AD 上，且//CE AB .（1）求证：CE ⊥平面PAD ； （2）若1==PA AB ，3AD =，2CD =P ABCD -的体积；21．（6分）已知函数23()sin cos 32f x x x x =+-. （1）求()y f x =的最小正周期，并求其单调递减区间；（2）ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3()2f A =-，且A 为钝角，2a =，求ABC 面积的最大值.22．（8分）ABC 的内角的对边,,A B C 分别为,,a b c . （1）求证:2222a b c bccosA =+-；（2）在边BC 上取一点P ，若1,BP CP AP t ===.求证:22212b c t +=-.参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2019-2020学年驻马店市高一(下)期末数学试卷(文科)
2019-2020学年驻马店市高一(下)期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知tanα=3，则cos(π2−2α)=()A. 35B. 310C. 34D. 3√10102.某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则x+y的值为()A. 7B. 8C. 9D. 103.sin160°cos10°−cos20°sin350°=()A. √32B. −√32C. 12D. −124.将参加夏令营的600名学生编号：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到483在第Ⅱ营区，从484到600在Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为()A. 25，16，9B. 26，16，8C. 25，17，8D. 24，17，95.如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据，若从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润(利润=收入−支出)都低于40万的概率为()A. 15B. 25C. 35D. 456.按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是输入x计算的值输出结果x是否()A. 6B. 21C. 156D. 2317.已知平面向量的夹角为且，在中，，，为中点，则A. 2B. 4C. 6D. 88.下列说法正确的是()A. 数据4、4、6、7、9、6的众数是4B. 一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C. 数据3，5，7，9的标准差是数据6、10、14、18的标准差的一半D. 频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数9.函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)+b的图象如图，则f(x)的解析式和S=f(0)+f(1)+f(2)+⋯f(2013)的值分别为()A. f(x)=12sin2πx+1,S=2013 B. f(x)=12sin2πx+1,S=201312C. f(x)=12sinπ2x+1,S=2014 D. f(x)=12sinπ2x+1,S=20141210.在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如图所示将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD)有15cm，跨接了6个坐位的宽度(AB)，每个座位宽度为43cm，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是()(sin0.23≈0.23)A. 250cmB. 260cmC. 295 cmD. 305cm11.若△ABC的内角A满足sinA⋅cosA=13，则sinA+cosA=()A. √153B. −√153C. 53D. −5312.已知向量a⃗=(1,n)，b⃗ =(m+n,m)，若a⃗⋅b⃗ =1且m，n∈R∗，则m+n的最小值为()A. √3−1B. √2−1C. 2√3−1D. 2√2−2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知两个单位向量e1⃗⃗⃗ 、e2⃗⃗⃗ 的夹角为120°，向量m⃗⃗⃗ =3e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ ，则|m⃗⃗⃗ |=______．14.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，BH//DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE 和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为．15.点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB⌢的长度小于1的概率为_____________．16.已知样本数据a1，a2，…，a2018的方差是0.01，如果有b i=10a i−2(i=1,2，…，2018)，那么数据b1，b2，…，b2018的标准差为______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗=(−2sinx,√3(cosx+sinx))，b⃗ =(cosx,cosx−sinx)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ (x∈R)．(Ⅰ)求f(x)在x∈[−π2,0]时的值域；(Ⅱ)已知数列a n=n2f(nπ2−11π24)(n∈N+)，求{a n}的前2n项和S2n．18.在平面直角坐标系xOy中，设向量a⃗=(1,2sinθ)，b⃗ =(sin(θ+π3),1)，θ∈R．(1)若a⃗⊥b⃗ ，求tan2θ的值；(2)若a⃗//b⃗ ，且θ∈(0,π2)，求θ的值．19.某地区2009年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份20092010201120122013年份代号x12345人均纯收入y 2.8 3.2 4.2 4.85(1)用最小二乘法求y关于x的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2009年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．20. 已知定义在区间上的函数的图像关于直线对称，当时，函数．(1)求的值；(2)求的表达式；(3)若关于的方程有解，那么将方程在取某一确定值时所求得的所有解的和记为，求的所有可能取值及相应的的取值范围．21. 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，．(1)求图中的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()与数学成绩相应分数段的人数()之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数．分数段22.已知．(1)求；(2)若与平行，求的值；(3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：由tanα=3，得cos(π2−2α)=sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=2×31+32=35．故选：A．利用诱导公式变形，再化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及诱导公式的应用，是基础题．2.答案：B解析：解：由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83，80+x，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知x=3．由茎叶图可知乙班学生的总分为76+81+82+80+y+91+91+96=597+y，又乙班学生的平均分是86，总分又等于86×7=602.所以597+y=602，解得y=5，可得x+y=8．故选：B．对甲组数据进行分析，得出x的值，利用平均数求出y的值，解答即可．本题主要考查统计中的众数与平均数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到x+y的值．3.答案：C解析：解：sin160°cos10°−cos20°sin350°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12．故选：C．直接利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．本题考查诱导公式以及两角和与差的三角函数的应用，是基本知识的考查．4.答案：A解析：解：从600名学生中抽取容量为50的样本，组距是60050=12；又抽得第一个号码为003，∵3+12(k−1)≤300，∴k≤994+1，且994+1的整数部分是25，∴从001到300应抽取的人数是25；又∵3+12(k−1)≤483，∴k≤41，∴从301到483应抽取的人数是41−25=16；∴从484到600应抽取的人数是50−41=9；即三个营区被抽中的人数依次为25、16、9．故选：A．先计算组距是多少，再利用第一个号码为003，列出不等式3+12(k−1)≤300，求出对应各营区被抽中的人数．本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目．5.答案：A解析：解：如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据，从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数n=C62=15，由折线图得7月至12月这6个月中利润(利润=收入−支出)低于40万的有9月，10月，12月，∴这2个月的利润(利润=收入−支出)都低于40万包含的基本事件个数m=C32=3，∴这2个月的利润(利润=收入−支出)都低于40万的概率为P=mn =315=15．故选：A．从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数n=C62=15，由折线图得7月至12月这6个月中利润(利润=收入−支出)低于40万的有9月，10月，12月，由此能求出这2个月的利润(利润=收入−支出)都低于40万的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.答案：B解析：解：模拟执行程序框图，可得x=3x=6不满足条件x >8，x =21满足条件x >8，输出结果x 的值为21． 故选：B ．根据程序可知，输入x ，计算出x(x+1)2的值，不满足条件，然后再把x(x+1)2作为x ，再计算x(x+1)2的值即可得解．此题考查的知识点是代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，属于基础题．7.答案：A解析：试题分析：，考点：向量加法数乘运算 点评：求向量模利用转化成向量运算8.答案：C解析：试题分析：A 项中众数是4，6两个；B 项中标准差是方差的算术平方根；D 项中频率分布直方图小矩形的面积等于该组的频率，因此C 正确 考点：众数，方差标准差，频率分布直方图点评：众数是出现次数最多的数，方差或标准差越小，数据越稳定，频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为19.答案：D解析：解：由图可知A =1.5−0.52=12，周期T =2πω=4，解得ω=π2，图象可看作由y =Asin(ωx +ϕ)图象向上平移1个单位得到，故b =1， ∴f(x)=12sin(π2x +ϕ)+1，把点(0,1)代入可得1=12sinϕ+1，即sinϕ=0，故可取ϕ=0，∴f(x)=12sin π2x +1， 又f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=4∴S =f(0)+f(1)+f(2)+⋯f(2013) =503×4+f(0)+f(1)=201412故选D由图象可得A值，可得函数的周期，结合图象的变换可得解析式，计算函数在1个周期的值的和，由周期性可得．本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的周期性的应用，属中档题．10.答案：B解析：本题主要考查了弧长公式的应用，熟练弧长公式的应用是解题的关键，考查了数形结合思想和分析问题的能力．AB⏜为弯管，AB为6个坐位的宽度，利用勾股定理求出弧AB所在圆的半径r，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解．解：如图所示，AB⏜为弯管，AB为6个坐位的宽度，则AB=6×43=258cm，CD=15cm，设弧AB所在的圆的半径为r，则r2=(r−CD)2+AC2=(r−15)2+1292，解得r≈562cm，≈0.23，可得sin∠AOD=129562可得∠AOB≈0.46，可得AB⏜的长≈562×0.46=258.5cm．比较各个选项，可得260cm是最接近的．故选：B．11.答案：A解析：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．所求式子平方后利用同角三角函数间的基本关系化简，将sin A cosA的值代入，开方即可求出值．>0，∴sinA>0，cosA>0，解：∵sinA⋅cosA=13∴(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=5，3则sinA+cosA=√15．3故选A12.答案：D)2，当且仅当m=n时，等号成立．解析：解：由题意可得a⃗⋅b⃗ =m+n+mn=1≤(m+n)+(m+n2即(m+n)2+4(m+n)−4≥0，解得−2−2√2≥m+n(舍去)，或m+n≥−2+2√2，故选D．)2，解此不等式求出m+n的最小值．由题意可得a⃗⋅b⃗ =m+n+mn=1≤(m+n)+(m+n2本题主要考查两个向量数量积公式的应用，基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件．13.答案：√19，解析：解：∵e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是单位向量，∴e1⃗⃗⃗ 2=e2⃗⃗⃗ 2=1，e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =1×1×cos120°=−12m⃗⃗⃗ 2=(3e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )2=9e1⃗⃗⃗ 2+4e2⃗⃗⃗ 2−12e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =19，∴|m⃗⃗⃗ |=√19，故答案为：√19计算m⃗⃗⃗ 2，开方得出|m⃗⃗⃗ |.本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．π+414.答案：52解析：本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．设大圆的半径为R ，利用已知条件求出OQ 、OD 的长，利用tan∠ODC =求出大圆的半径R ，再根据图中线段关系得出△AOH 为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可．解：作AM 垂直于EF ，交OH 、DG 于S 、N ，垂足为M ，过点O 作OQ 垂直于DQ ，垂足为Q ， ∵A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，∴EM =AM =7， 又∵EF =12，MN =DE =2，∴NG =MF =12−7=5，AN =AM −NM =7−2=5， ∴∠AGD =45°，∵BH // DG ，∴∠AHO =45°， 由于AG 是圆弧的切线，∴AG ⊥OA ，∠AOH =∠ACN =45°， 设大圆的半径为R ，则AS =OS =√2， OQ =SN =5√2，DQ =DN −QN =7−√2 ∵tan∠ODC =35，∴5−√27−R √2=35，解得R =2√2，图中阴影部分面积分为扇形AOB 和直角△AOH 的面积减去小半圆的面积， 所以S 阴影=135360×π×(2√2)2+12×2√2×2√2−12×π×1=52π+4． 故答案为：52π+4．15.答案：23解析：本题考查的知识点是几何概型的意义，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．解：如图所示，∵劣弧AM=AN=1，∴劣弧MN=1，则劣弧AB的长度小于1的概率为P=AM+AN圆周长=23故答案为23.16.答案：1解析：解：数据b1，b2，…，b2018的方差为102×0.01=1，所以标准差为1．故答案为：1．结论：若数据x1，x2，…，x n的平均数为x−，方差为s2，则数据mx1+a，mx2+a，…，mx n+a的平均数为mx−+a，方差为m2s2．本题考查方差、标准差，考查学生的运算能力和数学核心素养，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)f(x)=a⃗⋅b⃗ =−sin2x+√3cos2x=2sin(2x+2π3)，当x∈[−π2,0]时，2x+2π3∈[−π3,2π3]，可得：2sin(2x+2π3)∈[−√3,2]…4分(Ⅱ)∵a n=n2f(nπ2−11π24)=2n2sin[2(nπ2−11π24)+2π3]=2n2sin(nπ−π4)，∴S2n=√2[12−22+32−42+⋯+(2n−1)2−(2n)2]，又∵(2n−1)2−(2n)2=−4n+1，∴解得：S2n=√2×(−3−4n+1)n2=√2(−2n2−n)…10分解析：(Ⅰ)利用平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用可求解析式f(x)=2sin(2x+2π3)，由x∈[−π2,0]，可求2x+2π3的范围，利用正弦函数的图象和性质即可求值域．(Ⅱ)利用(Ⅰ)可得a n=2n2sin(nπ−π4)，可求得S2n=√2[12−22+32−42+⋯+(2n−1)2−(2n)2]，利用(2n−1)2−(2n)2=−4n+1，由等差数列的求和公式即可得解．本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，数列的求和，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18.答案：解：(1)若a⃗⊥b⃗ ，则sin(θ+π3)+2sinθ=0，即12sinθ+√32cosθ+2sinθ=0，即52sinθ=−√32cosθ，则tanθ=−√35，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−2√351−325=−10√322=−5√311．(2)若a⃗//b⃗ ，则2sinθsin(θ+π3)−1=0，即(12sinθ+√32cosθ)⋅2sinθ−1=0，得sin2θ+√3cosθsinθ−1=0，即√3cosθsinθ−cos2θ=0，即cosθ(√3sinθ−cosθ)=0，∵θ∈(0,π2)，∴cosθ≠0，则√3sinθ−cosθ=0，则√3sinθ=cosθ，即tanθ=√33，即θ=π6．解析：(1)利用向量垂直的坐标关系，建立方程，结合正切的倍角公式进行计算即可．(2)根据向量平行的坐标公式，建立方程进行求解．本题主要考查了同角三角函数的基本关系，向量的应用，结合向量垂直，向量平行的坐标公式，建立方程关系，结合三角函数的倍角公式进行转化是解决本题的关键，难度不大．19.答案：解：(1)由题意，x=15×(1+2+3+4+5)=3，y=15×(2.8+3.2+4.2+4.8+5)=4，∴b=66−5×3×455−5×32=0.6，a=4−0.6×3=2.2．∴y关于x的线性回归方程为y=0.6x+2.2；(2)由(1)知，b=0.6>0，故2009年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.6千元．将2015年的年份代号x=7代入y=0.6x+2.2，得：y=0.6×7+2.2=6.4，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.4千元．解析：(1)根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．(2)根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的x的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件．20.答案：(1)0，；(2)(3)当时，有两解，；当时，有三解，；当时，有四解，。
河南省驻马店市2019-2020学年高一上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析
驻马店市2019~2020学年度第一学期期终考试高一（理科）数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的代号为A 、B 、C 、D 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,3A =，{}24B x x =<，则AB =（ ）A. {}1,2,3B. {}1,2C. {}2D. {}1【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合B,再根据集合的交集运算即可得A B .【详解】因为集合{}1,2,3A =,{}24B x x =<即{}22B x x =-<<由集合的交集运算可得{}{}{}1,2,3221A B x x ⋂=⋂-<<= 故选:D【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,一元二次不等式的解法,属于基础题.2.已知函数()()21,1ln 1,1x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()1f f e +=（ ）A. 2-B. 2C. 4-D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数解析式,先求得()1f e +的值,再代入即可求得()()1f f e +的值.【详解】因为函数()()21,1ln 1,1x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩则()()1ln 111f e e +=+-= 所以()()()211112f f e f +==+=故选:B【点睛】本题考查了分段函数中函数值的求法,属于基础题.3.已知正六边形ABCDEF 的边长为2，按照斜二测画法作出它的直观图A B C D E F ''''''，则直观图A B C D E F ''''''的面积为（ ）A.【答案】D 【解析】 【分析】先求得正六边形的面积,根据直观图面积=4S S 直原即可求得直观图的面积. 【详解】正六边形ABCDEF 的边长为2,则2624S ⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭所以由=4S S 直原代入可得直观图A B C D E F ''''''的面积=42S =直 故选:D【点睛】本题考查了斜二测画法平面图形与直观图的关系,属于基础题. 4.下列不等式中解集是{}13x x -<<的是（ ） A. ()2log 12x +<B. 2230x x -->C. 128x <<D.()1212x +<【答案】A 【解析】 【分析】根据选项,依次解四个不等式即可判断选项. 【详解】对于A,变形可得()22log 1log 4x +<则1410x x +<⎧⎨+>⎩,解不等式组得13x ,即不等式()2log 12x +<的解集为{}13x x -<<,所以A 正确;对于B,2230x x -->因式分解可得()()310x x -+>,解得3x >或1x <-,即不等式2230x x -->的解集为{}31x x x ><-或,所以B 错误;对于C,128x <<,变形可得03222x <<,所以03x <<,即不等式128x <<的解集为{}03x x <<,所以C 错误;对于D, ()1212x +<,变形可得1410x x +<⎧⎨+≥⎩,解得03x ≤<,即不等式()1212x +<的解集为{}03x x ≤<,所以D 错误.综上可知,正确的为A 故选:A【点睛】本题考查了对数不等式与指数不等式的解法,一元二次不等式及根式不等式的解法,属于基础题.5.下列函数中既是奇函数又在区间(),-∞+∞上单调递增的是（ ）A. 2x xe e y -+=B. 2222x xx xy ---=+ C. 1y x x=+ D. 33xx y -=-【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数定义()()f x f x -=-,即可判断函数是否为奇函数;根据函数的解析式,即可判断函数在(),-∞+∞上的单调性.【详解】对于A,2x x e e y -+=,定义域为R,则()()2x xe ef x f x -+-==,所以为偶函数,所以A 错误;对于B, ,定义域为R,则()()22222222x x xx xx x f x f x -------==-=-++,所以为奇函数;将解析式变形可得222222211122222141x x x x x x x x x y ------⨯--==+=+=+++++,因为4xy =为单调递增函数,所以2141x y -=++在R 上为单调递增函数,所以B 正确; 对于C,1y x x =+,定义域为0x ≠,因而1y x x=+在区间(),-∞+∞上不具有单调性,所以C 错误; 对于D,33xx y -=-,定义域为R,()()()3333x x x xf x f x ---=-=--=-,所以为奇函数;因为()133xx y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,所以在区间(),-∞+∞上单调递减,所以D 错误. 综上可知,B 为正确选项. 故选:B【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数为奇函数及单调性,属于基础题.6.若直线1l ：220ax y +-=与直线2l ：()110x a y +--=平行，则实数a =（ ） A.23B. 1-C. 2D. 1-或2【答案】B 【解析】 【分析】根据平行直线的斜率相等关系,解方程即可求得a 的值.【详解】当0a =或1a =时,两条直线平行不成立,所以0a ≠且1a ≠因为直线1l :220ax y +-=,变形可得12ay x =-+ 直线2l :()110x a y +--=,变形可得1111y x a a =-+-- 因为直线1l 与直线2l 平行 所以112a a =---且111a ≠- 化简得220a a --=,即()()210a a -+=且2a ≠综上可知,1a =-故选:B【点睛】本题考查了两条直线平行的关系,根据直线的平行关系求参数,注意截距不相等的条件,属于基础题.7.设l m ，为两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若//l α，m α⊂，则//l m B. 若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥ C. 若//αβ，l α⊂，则//l β D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,结合特殊位置形式即可判断. 【详解】对于A,若//l α,m α⊂,则//l m 或l 与m 异面,所以A 错误; 对于B, 若αβ⊥,l α⊂,则l β∥或l 与β相交,所以B 错误;对于C, 若//αβ,l α⊂,则由平面与平面平行性质可知//l β,所以C 正确; 对于D, 若αβ⊥,//l α,则l β⊥,//l β或l 与β相交,所以D 错误. 综上可知正确的为C 故选:C【点睛】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断,对空间想象能力要求较高,属于基础题.8.若实数x 满足3log 41x =，则22x x -+=（ ）A.52D.103【答案】C 【解析】 【分析】先求得x ,再根据对数的运算及换底公式化简即可求解.【详解】实数x 满足3log 41x =,则1222232log 311log 3log 3log 4log 42x ==== 则22x x -+112222log 3log 322-=+1212133==+故选:C【点睛】本题考查了对数的运算与换底公式的应用,指数幂的化简求值,属于基础题. 9.直线l：0x m ++=与圆C ：22410x y x +-+=交于A ，B 两点，若ABC ∆为等边三角形，则m 值是（ ） A. 1 B. 5- C. 1或5- D. 5【答案】C 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程,由直线与圆相交形成等边三角形,结合点到直线的距离及垂径定理即可求得m 的值.【详解】圆C ：22410x y x +-+=,化为标准方程可知()2223x y -+=所以圆心坐标为()2,0.半径为r =由点到直线距离公式可知弦心距为d =直线l 与圆C 交于,A B 两点且ABC ∆为等边三角形根据垂径定理可得2d r =,2=化简得23m +=解得1m =或5m =- 故选:C【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,点到直线距离公式及垂径定理的应用,属于基础题. 10.已知某空间几何体的三视图如图所示，每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为（ ）A.13B. 23C. 634+D. 83【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图,画出空间几何体,由几何体即可求得其表面积. 【详解】根据三视图,画出空间几何体如下图所示:则四棱锥B ADC -是棱长为22 则(234422834B ADC ADC S S -==⨯⨯=故选:D【点睛】本题考查了三视图及简单应用,由三视图还原空间几何体,四棱锥表面积的求法,属于中档题.11.已知函数()y f x =的定义域为R ，()2y f x =+为偶函数，对任意的1x ，2x ，当122x x ≤≤时，()()12120f x f x x x ->-，则关于t 的不等式()()12224t t f f ++<-的解集为（ ）A. (),1-∞B. ()1,+∞C. ()21,log 6D.()2,log 6-∞【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()2y f x =+为偶函数,可知函数()y f x =的图像关于2x =对称,结合当122x x ≤≤时,()()12120f x f x x x ->-即可得函数()y f x =的单调情况.由不等式()()12224t t f f ++<-,可知12224t t ++>-.再根据函数的单调性及对称性即可解不等式求得t 的取值范围.【详解】函数()y f x =的定义域为R,()2y f x =+为偶函数 所以由函数图像的平移变换可知,()y f x =的图像关于2x =对称 又因为当122x x ≤≤时,()()12120f x f x x x ->-即()y f x =在2x <时为单调递增函数,在2x <时为单调递减函数,函数图象示意图如下图所示:因为不等式()()12224t t f f ++<-中,满足12224t t ++>-结合函数图像,由函数的对称性与单调性可知需满足12224t t ++<-（舍）或12224t t +->- 令2t m =,代入不等式12224t t +->-可化为224m m ->-,解得2m <,即22t <,所以1t <综上可知, t 的取值范围为(),1-∞ 故选:A【点睛】本题考查了函数图像的平移变化,根据函数的单调性解不等式,换元法解不等式的应用.综合性较强,属于中档题.12.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M ，N 为线段BC ，1CC 上的动点，过点1A ，M ，N 的平面截该正方体所得截面记为S ，则下列命题正确的个数是（ ）①当0BM =且01CN <<时，S 为等腰梯形；②当M ，N 分别为BC ，1CC 的中点时，几何体11A D MN 的体积为112；③当M ，N 分别为BC ，1CC 的中点时，异面直线AC 与MN 成角60°；④无论M 在线段BC 任何位置，恒有平面11A D M ⊥平面1BC D A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线的夹角及平面与平面垂直的判定,四棱锥体积公式可依次判断选项.【详解】对于①,当0BM =时,M 与B 重合,01CN <<, 过点1A ,,M N 的平面截正方体所得截面S 如下图所示:由平面与平面平行的性质可知1//A B QN 且1A B QN ≠,1A Q BN = 则截面S 为等腰梯形,所以①正确;对于②,当M,N 分别为BC,1CC 的中点时,位置关系如下图所示:作111,NE D C MF A D ⊥⊥,因111,NE A D NE D C ⊥⊥,且1111A D D C D ⋂=所以NE ⊥平面11A D CM 所以NE 为四棱锥11NA D M -的高则112MF =+=,2224NE NC ==此时2222111131122D M A M AA AB BM ⎛⎫==++=++= ⎪⎝⎭则111111212222A D M S A D MF ∆=⨯⨯=⨯⨯=所以四棱锥11N A D M -的体积为111111221332412N A D M A D M V S NE -∆=⨯⨯=⨯⨯=,所以②正确;对于③,当M,N 分别为BC,1CC 的中点时,连接11,AD D C由M,N 分别为BC,1CC 的中点,可知1//MN AD则1AD 与AC 所成的角即为异面直线AC 与MN 所成的角.根据正方体的性质可知,1AD C ∆为等边三角形,即160AD C ∠=因而异面直线AC 与MN 所成的角为60,所以③正确;对于④无论M 在线段BC 任何位置,平面11A D CB 即为平面11A D M因为11111,C D D C A D C D ⊥⊥且1111A D D CD ⋂=所以1C D ⊥平面11A D CB而1C D ⊂平面1BC D所以平面11A D CB ⊥平面1BC D即平面11A D M ⊥平面1BC D所以④正确.综上可知,正确的有①②③④故选:D【点睛】本题考查了空间中平面与平面垂直的判定,异面直线夹角的求法,四棱锥的体积求法,综合性强,对空间想象能力和空间思维能力要求高,属于难题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题.13.若函数()2213f x x x +=+，则()5f =______. 【答案】10【解析】【分析】根据函数解析式,先求得自变量的值,再代入即可求解.【详解】函数()2213f x x x +=+ 令215x +=解得2x =所以()2523210f =+⨯=故答案为:10【点睛】本题考查了已知复合函数解析式,求函数值,属于基础题.14.已知空间直角坐标系中的点M ，N 的坐标分别为()5,5,8，()1,1,4-.则线段MN 的中点到坐标原点的距离为______.【答案】7【解析】【分析】根据M,N 的坐标求得中点坐标,结合空间中两点间距离公式即可求解.【详解】空间直角坐标系中的点M,N 的坐标分别为()5,5,8,()1,1,4-则中点坐标为()2,3,6由空间中两点距离公式可知, MN 的中点到坐标原点的距离为7d === 故答案为:7【点睛】本题考查了空间直角坐标系中点公式,两点间距离公式的用法,属于基础题.15.三棱锥A BCD -满足AB BC ⊥，BC CD ⊥，22AB BC CD ===，3AD =.则该三棱锥外接球的表面积是______.【答案】9π【解析】【分析】根据线段关系,可判断出AB BD ⊥,即AB ⊥平面BCD .将三棱锥补全为长方体,即可求得其外接球的半径,进而得外接球的表面积.【详解】因BC CD ⊥,2,1BC CD ==所以BD =因2,3AB AD ==所以在ABD ∆中,满足222AD AB BD =+即90ABD ∠=所以三棱锥在长方体中的位置如下图所示:即四棱锥的外接球即为长方体的外接球因为3AD =所以三棱锥A BCD -外接球半径322AD r == 则三棱锥A BCD -的表面积为294494S r πππ==⨯= 故答案为:9π【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积求法,将含有多个直角的棱锥放在长方体或正方体中研究外接和内切问题是常用方法,属于中档题.16.已知函数()()()2433,0log 1,0ax a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨+≥⎪⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且函数()2212g x x x ax =-+-在()0,∞+内有两个零点，则实数a 的取值范围是______. 【答案】1324⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【解析】【分析】根据分段函数单调性的分析方法,对()f x 可求得a 的部分取值范围.通过分离参数,可化简()g x ,通过画出函数图像求得a 的部分取值范围,综合即可求得a 的取值范围.【详解】()()()2433,0log 1,0ax a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨+≥⎪⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减 所以满足43020130a a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪>⎪⎩,解得304a <≤ ()2212g x x x ax =-+-在()0,∞+内有两个零点即22120x x ax -+-=有两个解 即2212x x a x -+=.令()2212x x h x x -+=当01x <≤时, ()221122x x h x x x-+== 当1x <时, ()2221211222x x x h x x x x x-+-===- 画出函数()h x 的图像如下图所示:由函数图像可知,当()2212x x a h x x -+==有两个交点时,12a > 综上可知,13,24a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为:13,24⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查由分段函数单调性求参数取值范围,函数零点的定义及分类讨论思想的应用,构造函数法求参数的取值范围,综合性强,属于难题.三、解答题：本大题共6小题，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合(){}3lg 7A x y x x ==--，132212log 44x B x -⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}C x x a =<，全集为实数集R .（1）求A B ，()()R R A B ；（2）如果B C ≠∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}37x x ≤<，{|3x x <或}7x ≥；（2）2a >.【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义条件及对数函数定义域要求,解得集合 A.解指数不等式,求得集合B,即可根据交集、并集和补集运算求解.（2）根据集合的交集为空集,结合不等式关系即可求得a 的取值范围.【详解】（1）(){}lg 7A x y x ==- 由二次根式有意义条件及对数函数定义域可得3070x x -≥⎧⎨->⎩解得37x ≤< 则{}37A x x =≤<,所以{|3R A x x =<或}7x ≥132212log 44x B x -⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭化简可得13212222x --<<,即12312x -<-< 解得28x << 则{}28B x x =<<,所以{|2R B x x =≤或}8x ≥由集合的交集与补集运算可知{}37A B x x ⋂=≤<()(){|3R R A B x x ⋃=<或}7x ≥；（2）由（1）知{}28B x x =<<,{}C x x a =<由B C ≠∅所以当2a >时,BC ≠∅ 故a 的取值范围为2a >【点睛】本题考查了函数定义域的求法,集合交集、并集与补集的混合运算,根据集合的关系求参数的取值范围,属于基础题.18.计算下列各式的值：（1）()1233810.0082725M -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭；（2）3log 225334log 3log 25log 36log 4lg 5lg 3log 9N =+--++. 【答案】（1）2；（2）4.【解析】【分析】 （1）根据分数指数幂的运算,化简即可求解.（2）由对数的运算与换底公式,化简即可求解.【详解】（1）根据分数指数幂运算,化简可得()1233810.0082725M -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭()123333210.2325-⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 5211330.0425=-+⨯ 2=（2）由对数的运算及换底公式,展开化简可得3log 225334log 3log 25log 36log 4lg 5lg 3log 9N =+--++ ()225333322log 3log 5log 4log 9log 4lg5lg3log 21log 32=++--++⨯⨯23lg 22log 31lg5lg3lg3=+-++⨯ ()221lg 52=+-+⨯2211=+-+4=.【点睛】本题考查了分数指数幂的化简求值,对数的运算与换底公式的应用,属于基础题.19.已知ABC 的顶点坐标为()0,5A ，()1,2B -，()5,4C -.（1）求ABC 的BC 边上的高所在直线的方程；（2）求直线AB 的方程及ABC 的面积.【答案】（1）50x y -+=；（2）AB 方程是750x y +-=，面积是18.【解析】【分析】（1）根据两点间斜率公式,先求得直线BC 的斜率.结合垂直时两直线斜率关系求得高所在直线的斜率,再由斜截式即可求得高所在的直线方程.（2）根据两点间斜率公式,先求得直线AB 的斜率,再由斜截式即可求得直线AB 的方程.【详解】（1）根据两点的斜率公式,可得()42151BC k --==--- 根据两条直线垂直时的斜率关系可知,所求直线的斜率为1而高线经过点()0,5A ,由直线斜截式方程得5y x =+故所求直线方程是50x y -+=（2）根据两点的斜率公式,可得()52701AB k --==-- 又因为经过点()0,5A ,所以由直线斜截式方程得75y x =-+故直线AB 方程是750x y +-=由两点间距离公式可得AB ==,由点到直线距离公式可得AB 的距离是d ==所以ABC ∆面积是1182ABC S ∆=⨯= 【点睛】本题考查了两点间的斜率公式,斜截式方程的用法,两点间距离公式及点到直线的距离公式应用,属于基础题.20.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，4AB BC AC ===，3PA AD ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点.（1）证明：//MN 平面PAB ；（2）求三棱锥B CMN -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】【分析】（1）取BP 的中点T ,连接,AT TN ,根据中位线定理及空间中平行线的传递性,可证明=//AM TN ,即可知四边形AMNT 是平行四边形,进而由线面平行定理即可证明//MN 平面PAB .（2）根据4AB BC AC ===,可求得ABC S ∆.由PA ⊥底面ABCD 求得P ABC V -.由//AD BC 可知BCA BCM S S ∆∆=,即B CMN N BCM N BCA V V V ---==.因为N 为PC 的中点,即可知12B CMN N BCM N ABC P ABC V V V V ----===. 【详解】（1）由已知得223AM AD == 取BP 的中点T ,连接,AT TN ,如下图所示:由N PC 中点,则TN //BC 且12TN BC =又=1//2AM BC 则=//AM TN 所以四边形AMNT 是平行四边形所以MN //AT而MN ⊄平面PAB ,AT ⊂平面PAB所以//MN 平面PAB（2）ABC ∆中4AB BC AC ===14422∆=⨯⨯⨯=ABC S又PA ⊥底面ABCD ,得13P ABC ABC V S PA -∆=⨯=因//AD BC ,得B CMN N BCM N BCA V V V ---==又N 为PC 的中点所以12B CMN N BCM N ABC P ABC V V V V ----====【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定,三棱锥体积的的求法.对三棱锥的形式,通过转换顶点的方法,求得其体积是常用方法,属于中档题.21.已知函数()122x x b f x a++=+，（,a b ∈R ）是定义在R 上的奇函数. （1）求a ，b 的值；（2）判断并证明()f x 的单调性；（3）若存在()0,2t ∈，使不等式()()230f t kt f t -+-<成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）2a =，1b =-；（2）()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数，证明见解析；（2）()1,-+∞. 【解析】【分析】（1）根据()f x 是定义在R 上的奇函数,由()00f =代入即可求得b 的值.再由定义()()f x f x -=-代入即可求得a 的值.（2）先判断函数的单调性,再根据定义,通过作差法即可证明函数的单调性.（3）根据函数的单调性和奇偶性,即可将不等式化简为31k t t+>+在()0,2t ∈上有解,结合基本不等式即可求得k 的取值范围.【详解】（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数∴()00f =,即1b =- 此时()1212x x f x a+-=+ 由()()f x f x -=-恒成立得11212122x x x x a a--++--=-++ 解得2a =所以2a =,1b =-（2）由（1）知()1212x x f x a+-=+ 判断()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数.证明:任取,12x x <,则21220x x ->且()()211122220x x ++++>∴()()21f x f x - 21211121212222x x x x ++--=-++ ()()()21211142202222x x x x ++-=>++即：()()21f x f x >,故由函数单调性定义知：()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数；（3）由（1）、（2）知()f x 是定义在R 上的奇函数且单调递增,∴由()()230f t kt f t -+-<：()()()233f t kt f t f t -<--=- 也就是说关于t 的不等式23t kt t -<-在()0,2t ∈上有解,∴()213k t t +>+在()0,2t ∈上有解.即31k t t+>+在()0,2t ∈上有解,∵t =时,3t t+取得最小值为∴1k +>()1,k ∈+∞【点睛】本题考查了根据奇函数求参数的值,利用定义证明函数的单调性,根据单调性及奇函数性质解不等式,属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：()()224220x y ++-=与y 轴交于O ，P 两点，圆2C 过O ，P 两点且与直线1l ：12y x =-相切. （1）求圆2C 的方程；（2）若直线2l ：y kx =与圆1C ，圆2C 的交点分别为点M ，N （不同于原点），试判断线段MN 的垂直平分线是否过定点；若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）22240x y x y +--=；（2）是，()3,4-. 【解析】【分析】（1）对于圆1C 的方程,令0x =即可求得,O P 的坐标.设出圆2C 的方程,将,O P 的坐标代入,结合21OC l ⊥即可求得圆2C 的方程.（2）联立直线2l 与圆1C ,求得交点M 的坐标, 联立直线2l 与圆2C 可得N 点坐标.进而求得线段MN 的中点坐标.当斜率0k ≠时,表示出线段MN 的垂直平分线方程,即可求得所过定点坐标;当0k =时,由M 和N 点坐标,即可求得线段MN 的垂直平分线过的定点坐标.【详解】（1）1C ：()()224220x y ++-=,令0x =,得10y =,24y =,故()0,0O ,()0,4P 设圆2C 的方程220x y Dx Ey F ++++=将()0,0O ,()0,4P 的坐标代入圆的方程得4E =-,0F =,故2,22D C ⎛⎫-⎪⎝⎭由题意知21OC l ⊥,得2D =-故圆2C 的方程为22240x y x y +--= （2）由22840y kx x y x y =⎧⎨++-=⎩得2224848,11k k k M kk ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 由22240y kx x y x y =⎧⎨+--=⎩得2224242,11k k k N k k ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭ 线段MN 的中点为2224343,11k k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当0k ≠时,线段MN 的垂直平分线方程为2224314311k k k y x k k k --⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭即()()222444314311k kk y x k k k k +----=-+++ ()2243143411k k y x k k k k +--+=-+++ ()2214343411k k y x k kk k -+=-+-+++ ()134y x k=-++ 此时线段MN 的垂直平分线过()3,4-当0k =时,()8,0M -,()2,0N此时线段MN 的垂直平分线为3x =-,也过()3,4-综上可知, 线段MN 的垂直平分线所过定点的坐标为()3,4-【点睛】本题考查了圆的方程求法,直线与圆的位置关系的应用,直线过定点的求法,综合性强,属于难题.。