复数的代数形式及其运算
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复数代数形式的加减运算及其几何意义
在信号处理中的应用
信号合成与分解
复数代数形式的加减运算可以用于信 号的合成与分解，例如在频谱分析和 滤波器设计中。通过加减运算，可以 将信号分解为不同的频率分量，便于 分析和处理。
调制与解调
在通信系统中，复数代数形式的加减 运算用于信号的调制和解调过程。通 过加减运算，可以实现信号的相位和 幅度调整，从而实现信号的传输和接 收。
复数减法的几何意义
复数减法可以理解为在复平面上的向量减法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的差 $z_1 - z_2 = (a-c) + (b-d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的差分。
向量差分：在复平面上，将 $z_1$ 的向量起点固定，然后 平移至 $z_2$ 的起点，得到向量差。这个过程对应于复数 减法运算。
部对应横轴，虚部对应纵轴。
03
复数代数形式的几何意义
复数加法的几何意义
复数加法可以理解为在复平面上的向量加法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的和 $z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的合成。
向量合成：在复平面上，将 $z_2$ 的向量起点固定，然后平 移至 $z_1$ 的起点，得到向量和。这个过程对应于复数加法 运算。
复数代数形式的加减运算 及其几何意义
• 引言 • 复数代数形式的加减运算 • 复数代数形式的几何意义 • 复数代数形式的加减运算的应用 • 结论
Hale Waihona Puke 1引言复数的基本概念
01
复数是由实部和虚部构成的数，一 般形式为$z=a+bi$，其中$a$和 $b$是实数，$i$是虚数单位，满足 $i^2=-1$。
第一节 复数及其代数运算
若 z = x + iy ,
则 z = x − iy .
例2 计算共轭复数 = x + yi 与 z = x − yi 的积 z . 解
( x − yi )( x + yi ) = x − ( yi ) = x + y .
2 2 2 2
结论：两个共轭复数 z, z 的积是实数.
即 zz = x + y . ：
3) Im(i + z ) = 4 .
解：1) 表示与 −i 的距离等于 2 的所有复数 z 的集合 的集合. 为圆心， 为半径的圆. 此曲线是以 −i 为圆心，2 为半径的圆
y
o
2
⋅ −i
x
24
2) | z − 2i | = | z + 2 | ;
20
（3）三角表示法 ）
x = r cosθ , 利用直角坐标与极坐标的关系 y = r sinθ ,
复数可以表示成 z = r (cosθ + i sinθ ) （4）指数表示法 ） 利用欧拉公式 e iθ = cosθ + i sinθ , 复数可以表示成
z = re iθ
的指数表示式. 称为复数 z 的指数表示式
解
(5 − 5i )( −3 − 4i ) z1 5 − 5i = = z2 − 3 + 4i ( −3 + 4i )( −3 − 4i ) ( −15 − 20) + (15 − 20)i 7 1 = = − − i. 25 5 5
z1 7 1 = − + i. 5 5 z2
4
2 例1 实数 m 取何值时 , 复数 ( m − 3m − 4) +
复数的几种表示形式的转换及计算
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
T
单位：rad/s（弧度/秒）
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
⑤|12|=π
－－u1和i2反相。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点： 在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率
的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义 课件
（4）若z1=x+2i， z2=3-yi，且 z1+z2=5-6i，求z1-z2
我们知道, 两个向量的和满 足平行四边形法则, 复数可以表示 平面上的向量，那么复数的加法 与向量的加法是否具有一致性呢？
1.复数加法运算的几何意义?
符合向量加法 的平行四边形
法则.
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
例2.已知复数 z 满足 | z 2 3i |1 试求出复数 z 对应点的轨迹方程.
y
x
练习:1、已知复数m=2－3i,若复 数z满足不等式|z－m|=1,则z所对 应的点的集合是什么图形?
以点(2, －3)为圆心,1为半径的圆上
3.2.1复数代数形式的加 减运算及其几何意义
知识回顾
虚数单位: i ，并规定：i 2 1
复数: 形如a+bi(a,b∈R)的数
全体复数所形成的集合叫 做复数集，一般用字母 C 表示 .
z a bi (a R,b R)
实部 虚部
复数的分类：
复数z
a
bi
实数
b 0
纯虚数
(a,b R)
虚数
注:⑴复数的减法是加法的逆运算；
⑵易知复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何 z ,z ,z ∈C,有 123
z +z =z +z ,
1221
(z +z )+z =z +(z +z ). 12 31 23
⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
我们知道, 两个向量的和满 足平行四边形法则, 复数可以表示 平面上的向量，那么复数的加法 与向量的加法是否具有一致性呢？
1.复数加法运算的几何意义?
符合向量加法 的平行四边形
法则.
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
例2.已知复数 z 满足 | z 2 3i |1 试求出复数 z 对应点的轨迹方程.
y
x
练习:1、已知复数m=2－3i,若复 数z满足不等式|z－m|=1,则z所对 应的点的集合是什么图形?
以点(2, －3)为圆心,1为半径的圆上
3.2.1复数代数形式的加 减运算及其几何意义
知识回顾
虚数单位: i ，并规定：i 2 1
复数: 形如a+bi(a,b∈R)的数
全体复数所形成的集合叫 做复数集，一般用字母 C 表示 .
z a bi (a R,b R)
实部 虚部
复数的分类：
复数z
a
bi
实数
b 0
纯虚数
(a,b R)
虚数
注:⑴复数的减法是加法的逆运算；
⑵易知复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何 z ,z ,z ∈C,有 123
z +z =z +z ,
1221
(z +z )+z =z +(z +z ). 12 31 23
⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
复数的有关运算
z1 z1 ③. = z z 2 2
⑤. z = z
⑥. z = z ⇔ z ∈ R
数或0 数或
( z 2 ≠ 0) ⑦. z + z = 0 ⇔ Z为纯虚 为纯虚
④ . z = ( z)
n
n
四.共轭复数与模的性质及其运算 共轭复数与模的性质及其运算
① . | z1 ⋅ z2 |=| z1 | ⋅ | z2 |
| z−z1 | +| z −z2 | =2a (|z1 -z2 |=2a) (5).双曲线： z − z1 | −| z − z2 | = ±2a 双曲线： 双曲线 | (|z1 - z2 |> 2a)
(6).射线：z−z1 | −| z −z2 | =±2a 射线： 射线 |
(7).圆环 圆环: r <| z − z0 |< R 圆环 复数方程与直角坐标方程的转化
1 3 1 3 二. ω = - + i(或ω＝- - i) 的性质 2 2 2 2 2 ①. 1+ ω + ω = 0
② . ω = 1 (周 T = 3) 期
3
③. ω =
1
ω
=ω
2
④ . ω n + ω n +1 + ω n + 2 = 0
一、复数的四则运算问题
1、已知复数z = 1 + i (1)设ω = z 2 + 3 z − 4，求ω； z 2 + az + b = 1 − i，求实数a，b的值 （2）如果 2 z − z +1
a + b = 1 a = −1 ⇒ ∴ a + 2 = 1 b = 2
4 2、设z + ∈ R，z − 2 |= 2，求z | z 解：设z = x + yi( x、y ∈ R，且z ≠ 0)
⑤. z = z
⑥. z = z ⇔ z ∈ R
数或0 数或
( z 2 ≠ 0) ⑦. z + z = 0 ⇔ Z为纯虚 为纯虚
④ . z = ( z)
n
n
四.共轭复数与模的性质及其运算 共轭复数与模的性质及其运算
① . | z1 ⋅ z2 |=| z1 | ⋅ | z2 |
| z−z1 | +| z −z2 | =2a (|z1 -z2 |=2a) (5).双曲线： z − z1 | −| z − z2 | = ±2a 双曲线： 双曲线 | (|z1 - z2 |> 2a)
(6).射线：z−z1 | −| z −z2 | =±2a 射线： 射线 |
(7).圆环 圆环: r <| z − z0 |< R 圆环 复数方程与直角坐标方程的转化
1 3 1 3 二. ω = - + i(或ω＝- - i) 的性质 2 2 2 2 2 ①. 1+ ω + ω = 0
② . ω = 1 (周 T = 3) 期
3
③. ω =
1
ω
=ω
2
④ . ω n + ω n +1 + ω n + 2 = 0
一、复数的四则运算问题
1、已知复数z = 1 + i (1)设ω = z 2 + 3 z − 4，求ω； z 2 + az + b = 1 − i，求实数a，b的值 （2）如果 2 z − z +1
a + b = 1 a = −1 ⇒ ∴ a + 2 = 1 b = 2
4 2、设z + ∈ R，z − 2 |= 2，求z | z 解：设z = x + yi( x、y ∈ R，且z ≠ 0)
复数代数形式的乘除运算
如：|z+(1+2i)|表示：_________________
点(-1，-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法那么如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
1
i2
(
1
i
)
i2 2
2 2
（
2
）
( )
[
]
( )
i
1
1
i
(
1
i
)
(
1
i
)
2
1
1 (
3
2
i
)(
32
i
)4
i
（
3
）
3
2
i 3
2
i (
3
23
i
)
(
2
i
) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.（2015 新课标高考）若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ，
6.（2015 上海高考）若复数 z 满足 3 z z 1 i ，
其中 i 为虚数单位，则 z=
．
【解析】设 z a bi (a, b R ) ，则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i
点(-1，-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法那么如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
1
i2
(
1
i
)
i2 2
2 2
（
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( )
[
]
( )
i
1
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3
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（
3
）
3
2
i 3
2
i (
3
23
i
)
(
2
i
) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.（2015 新课标高考）若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ，
6.（2015 上海高考）若复数 z 满足 3 z z 1 i ，
其中 i 为虚数单位，则 z=
．
【解析】设 z a bi (a, b R ) ，则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i
(完整版)复数的代数形式及其运算
复数的代数形式及其运算第85课时课题：复数的代数形式及其运算一．教学目标：掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念,复数相等,复数的几何表示,计算复数模，共轭复数，解复数方程等。
二．教学重点：复数的几何表示，计算复数模，共轭复数,解复数方程等。
三．教学过程:（一）主要知识：1．共轭复数规律，；2．复数的代数运算规律(1）i=1，i=i,i=1，i=i;(3)i・i・i・i=1，i＋i＋i＋i=0；；3．辐角的运算规律(1)Arg（z・z）＝Argz＋Argz（3）Arg=nAr gz(n∈N）.。
.，n1.或z∈R。
要条件是|z|＝|a|.（6）z・z≠0,则4．根的规律：复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一元n次方程的虚根成对共轭出现。
5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式||z｜|z｜｜≤｜z±z｜≤｜z｜+|z|的运用.即｜z±z｜≤｜z|+|z|等号成立的条件是：z，z所对应的向量共线且同向。
|z±z|≥|z|｜z|等号成立的条件是：z,z所对立的向量共线且异向。
（二）范例分析Ⅰ.2004年高考数学题选1.(2004高考数学试题(浙江卷,6)）已知复数z1=3+4i, z2=t+i，且是实数，则实数t=（）A．B．C．?D．？2。
(2004年北京春季卷,2)当时，复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限3.(2004年北京卷，2）满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（ C ) A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆Ⅱ.主要的思想方法和典型例题分析：1．化归思想复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。
反之亦然。
这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。
【分析】这是解答题，由于出现了复数和，宜统一形式,正面求解。
复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
跟踪训练3 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围 是___[_0_,3_]__.
解析 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知， 1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示 复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的 对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内 的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0， 当点A与点C(2,0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.
复数与向量的对应关系的两个关注点
①
②
复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原 点为起点，Z(a，b)为终点的向量 一一对应的.
一个向量可以平移，其对应的复数 不变，但是其起点与终点所对应的 复数发生改变.
跟踪训练 2 (1)已知复平面内的向量O→A，A→B对应的复数分别是 －2＋i,3＋2i，则|O→B|＝____1_0___.
1234
2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
√C.第三象限
D.第四象限
解析
解析 z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.
故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限.
1234
3.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且 z1－z2为纯虚数，则a＝__－__1____.
解析 ∵O→B＝O→A＋A→B， ∴O→B对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴|O→B|＝ 12＋32＝ 10.
(2) 若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限 内，则实数a的取值范围是__(_－__∞__，__2_) __.
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考点 搜索
●复数的代数形式的四则运算，复数的 运算定律
●虚数单位 i的幂的周期性
高 考 1. 利用基本运算法则求复数式的值 . 猜 想 2. 在相关条件下求复数的值 .
1. 复数的加、减、乘、除运算按以下法
则进行.设z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R).
(1)加减法：(a+bi )±(c+di)=—(a—±—c—)+—(—b—±—d)—i . 故有|z1+z2|2+|z1-z2|2=———2—(—|z1—|2—+—|z—2|2—) ———.
2. 求复数式的值有待定系数法和方程 法两种.其中待定系数法就是通过复数的代 数形式，将复数问题转化为实数方程组求 解；方程法的基本观点是建立一个关于复 数z的方程，再解方程直接求出z的值.
zm·zn=—z—m—+n———，(zm)n= zm·n
，
(z1·z2)n= z1n ·z2n (m、n∈N*).
3. 设n∈N*，则i4n= 1 ，i4n+1= i ，
i4n+2= -1 ，i4n+3= -i .
若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=( A )
A. 4+2i
B. 2+i
(2)乘法法则：(a+bi)(c+di)
= (ac-ห้องสมุดไป่ตู้d)+(ad+bc)i .
(3)除法：
a? c?
bi di
?
(a
? cb2i（)? dc2-di）?
(ac+bd)+(bc-ad)i
c2 ? d 2
.
2. 复数加法、乘法满足 交——换—律———，结 合律及乘法对加减法的 分配律 ，实数的正
整数指数幂运算也能推广到复数集中，即
? ? 1. 计算：? 2 3 ? i ? 1 ? 2 3i
2 ? i15
?
? ??
1
?i 2
?22 ??
.
? ? i
解：原式=
2
3i ? 1
? ?2 ? i ?? [?1 ? i ?2 ]11
1 ? 2 3i
2
? i ? ?2 ? i ?? i11 ? 2 ? i.
点评： 解决有关复数混合运算问题，先 区别各运算的顺序，然后利用运算法则进行 具体的计算 .对除法运算有两种处理方式：一 是利用分子分母都乘以分母的共轭虚数；二 是通过约分，如本题第一个分式就是通过约 分得出来的.
C. 2+2i
D. 4+I
解：
z1·z2=(1+i)(3-i)=4+2i，故选A.
1? 7i
2. i是虚数单位，若 2 ? i =a+bi(a， b∈R)，则乘积ab的值是( B )
A. -15
B. -3
C. 3
D. 15
解：
1? 7i 2?i
=
?1?
7i??2 ? 5
i?
=-1+3i，
所以a=-1，b=3，所以ab=-3，故选B.
计算下列各式的值：
设复数z=4m-1+(2m+1)i，m∈R， 若z对应的点在直线x-3y=0上，则z=15+5i . 解：由条件知点(4m-1,2m+1)在直线x-3y=0上， 即得(4m-1)-3(2m+1)=0， 解得m=2，所以z=15+5i.
1. 求复数式的值，主要利用复数的运 算法则进行求解，但要注意整体代换和局 部化简，简化运算过程.
3.复数
3 2
? ?
2i 3i
?
3? 2?
2i 3i
=(
D
)
A. 0
B. 2
C. -2i
D. 2i
解：3 ? 2i ? 3 ? 2i ? ?3 ? 2i??2 ? 3i ?
2 ? 3i 2 ? 3i
13
? ?3 ? 2i ?(2 ? 3i) ? 26i ? 2i,
13
13
故选D.
题型1 求复数式的值
●复数的代数形式的四则运算，复数的 运算定律
●虚数单位 i的幂的周期性
高 考 1. 利用基本运算法则求复数式的值 . 猜 想 2. 在相关条件下求复数的值 .
1. 复数的加、减、乘、除运算按以下法
则进行.设z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R).
(1)加减法：(a+bi )±(c+di)=—(a—±—c—)+—(—b—±—d)—i . 故有|z1+z2|2+|z1-z2|2=———2—(—|z1—|2—+—|z—2|2—) ———.
2. 求复数式的值有待定系数法和方程 法两种.其中待定系数法就是通过复数的代 数形式，将复数问题转化为实数方程组求 解；方程法的基本观点是建立一个关于复 数z的方程，再解方程直接求出z的值.
zm·zn=—z—m—+n———，(zm)n= zm·n
，
(z1·z2)n= z1n ·z2n (m、n∈N*).
3. 设n∈N*，则i4n= 1 ，i4n+1= i ，
i4n+2= -1 ，i4n+3= -i .
若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=( A )
A. 4+2i
B. 2+i
(2)乘法法则：(a+bi)(c+di)
= (ac-ห้องสมุดไป่ตู้d)+(ad+bc)i .
(3)除法：
a? c?
bi di
?
(a
? cb2i（)? dc2-di）?
(ac+bd)+(bc-ad)i
c2 ? d 2
.
2. 复数加法、乘法满足 交——换—律———，结 合律及乘法对加减法的 分配律 ，实数的正
整数指数幂运算也能推广到复数集中，即
? ? 1. 计算：? 2 3 ? i ? 1 ? 2 3i
2 ? i15
?
? ??
1
?i 2
?22 ??
.
? ? i
解：原式=
2
3i ? 1
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1 ? 2 3i
2
? i ? ?2 ? i ?? i11 ? 2 ? i.
点评： 解决有关复数混合运算问题，先 区别各运算的顺序，然后利用运算法则进行 具体的计算 .对除法运算有两种处理方式：一 是利用分子分母都乘以分母的共轭虚数；二 是通过约分，如本题第一个分式就是通过约 分得出来的.
C. 2+2i
D. 4+I
解：
z1·z2=(1+i)(3-i)=4+2i，故选A.
1? 7i
2. i是虚数单位，若 2 ? i =a+bi(a， b∈R)，则乘积ab的值是( B )
A. -15
B. -3
C. 3
D. 15
解：
1? 7i 2?i
=
?1?
7i??2 ? 5
i?
=-1+3i，
所以a=-1，b=3，所以ab=-3，故选B.
计算下列各式的值：
设复数z=4m-1+(2m+1)i，m∈R， 若z对应的点在直线x-3y=0上，则z=15+5i . 解：由条件知点(4m-1,2m+1)在直线x-3y=0上， 即得(4m-1)-3(2m+1)=0， 解得m=2，所以z=15+5i.
1. 求复数式的值，主要利用复数的运 算法则进行求解，但要注意整体代换和局 部化简，简化运算过程.
3.复数
3 2
? ?
2i 3i
?
3? 2?
2i 3i
=(
D
)
A. 0
B. 2
C. -2i
D. 2i
解：3 ? 2i ? 3 ? 2i ? ?3 ? 2i??2 ? 3i ?
2 ? 3i 2 ? 3i
13
? ?3 ? 2i ?(2 ? 3i) ? 26i ? 2i,
13
13
故选D.
题型1 求复数式的值