二次函数基本知识点梳理及训练
二次函数
考点一
一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
1．结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式；②x的最高次数是2；③二次项系数a≠0.
2．二次函数的三种基本形式
一般形式：y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，且a≠0)；
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是图象与x轴交点的横坐标．
考点二二次函数的图象和性质
考点三
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与
a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系
考点四
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：
考点五
1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标．则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．
3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式
考点六
二次函数的应用包括两个方法
①用二次函数表示实际问题变量之间关系．
②用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围．
(1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是( )
A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2) D．(1，－4)
(2)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为( )
A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋2
(3)函数y＝x2－2x－2的图象如下图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是( )
A．－1≤x≤3 B．－1
(4)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：
①b2－4ac>0；②abc>0；③8a＋c>0；④9a＋3b＋c<0.
其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(5)为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额x(元)之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z(元)会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．
(1)在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元
(2)在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；
(3)要使该商场销售彩电的总收益w(元)最大，政府应将每台补贴款额x定为多少元并求出总收益w的最大值．
【举一反三】
1．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
2．抛物线y＝(x－2)2＋3的顶点坐标是( )
A．(2,3) B．(－2,3) C．(2，－3) D．(－2，－3)
3．抛物线y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)的对称轴是直线( )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝－3 D．x＝3
4．二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象如何平移就得到y＝－2x2的图象( )
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
5．把二次函数y ＝－14x 2－x ＋3用配方法化成y ＝a(x －h)2
＋k 的形式( )
A ．y ＝－14(x －2)2＋2
B ．y ＝14(x －2)2
＋4
C ．y ＝－14(x ＋2)2
＋4 D ．y ＝? ??
??12x －122＋3
6．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列关系式不正确．．．
的是( )
A ．a ＜0
B ．abc ＞0
C ．a ＋b ＋c ＞0
D ．b 2
－4ac ＞0
7．若A(－134，y 1)、B(－54，y 2)、C(14，y 3)为二次函数y ＝x 2
＋4x －5的图象上的三个点，则y 1、y 2、y 3的大小
关系是( )
A ．y 1 B ．y 2 C ．y 3 D ．y 1 8．已知二次函数y ＝x 2 －2x －3的图象与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C ，顶点为D. (1)求点A 、B 、C 、D 的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象． (2)说出抛物线y ＝x 2 －2x －3可由抛物线y ＝x 2 如何平移得到 (3)求四边形OCDB 的面积． 一、选择题(每小题3分，共36分) 1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该抛物线有( ) A．最小值－3 B．最大值－3 C．最小值2 D．最大值2 2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0 3．若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－2)2＋k，则b、k的值分别为( ) A．0,5 B．0,1 C．－4,5 D．－4,1 4．抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2－2x－3，则b、c的值为( ) A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2 5．如图，已知抛物线y ＝x 2 ＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，点A 、B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0,3)，则点B 的坐标为( ) A ．(2,3) B ．(3,2) C ．(3,3) D ．(4,3) 6．二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝a x 与正比例函数y ＝(b ＋c)x 在同一坐标系中的 大致图象可能是( ) 7．在抛物线y ＝x 2 －4上的一个点是( ) A ．(4,4) B ．(1，－4) C ．(2,0) D ．(0,4) 8．已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A ．a>0 B ．c<0 C ．b 2 －4ac<0 D ．a ＋b ＋c>0 9．对于反比例函数y ＝k x ，当x>0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数y ＝kx 2 ＋kx 的大致图象是( ) 10．二次函数y ＝－12(x －4)2 ＋5的图象的开口方向、顶点坐标分别是( ) A ．向上、(4,5) B ．向上、(－4,5) C ．向下、(4,5) D ．向下、(－4,5) 11．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( ) A ．y ＝x 2－x －2 B ．y ＝－12x 2＋12x ＋1 C ．y ＝－12x 2－12 x ＋1 D ．y ＝－x 2 ＋x ＋2 12.在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，动点P 从点C 沿CA 以1 cm/s 的速度向点A 运动，同时动点Q 从点C 沿CB 以2 cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的△CPQ 的面积y(cm 2 )与运动时间x(s)之间的函数图象大致是( ) 二、填空题(每小题4分，共20分) 13．若二次函数y ＝－x 2 ＋2x ＋k 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2 ＋2x ＋k ＝0的一个解x 1 ＝3，另一个解x 2＝________. 14．函数y＝(x－2)(3－x)取得最大值时，x＝________. 15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a、b、c满足a＋b＋c＝0和9a－3b＋c＝0，则该二次函数图象的对称轴是直线________． 16．如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A(3,0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________． 17．如右上图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米． 三、解答题(共44分) 18．(15分)已知抛物线y ＝－x 2 ＋2x ＋2. (1)该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________． (2)选取适当的数据填入下表，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； (3)若该抛物线上两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)的横坐标满足x 1>x 2>1，试比较y 1与y 2的大小． 19．(14分)如图，已知二次函数y ＝－12 x 2 ＋bx ＋c 的图象经过A(2,0)、B(0，－6)两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．