初二三角形压轴题分类解析

B

A O D

C

E 图

济南初中数学压轴 --------姜姜老师

北师大版七年级下三角形综合题归类

一、 双等边三角形模型

1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角

形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；

（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.

同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；

(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.

图c

3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证：

CD BE =，△AMN 是等边三角形．

（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说

明理由；

（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，

请说明理由．

图9 图

10

C

B

O D

图

A

E

同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =；

（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180o ，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.

4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ．

（1）证明：△ABG ≌△ADE ；

（2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由；

（3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面积 为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明．

5.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE DB =，连接AE CD ，． （1）求证：AGE DAC △≌△；

（2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论．

C

G

A

E

D

B

F

二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容） 考点1：利用垂直证明角相等

1. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC

交CF 的延长线于D ．

求证：（1）AE ＝CD ； （2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长．

C

F

G E

D

B

A

H

图

2.（西安中考）如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C

在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 。

图(1) 图(2) 图(3)

(1)试说明: BD=DE+CE.

(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD

(3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 写出结论,可不说明理由。

3. 直线CD经过BCA

∠的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且BEC CFAα

∠=∠=∠．

（1）若直线CD经过BCA

∠的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若90,90

BCAα

∠=∠=

o o，则EF AF

-（填“>”，“<”或“=”号）；

②如图2，若0180

BCA

<∠<

o o，若使①中的结论仍然成立，则α

∠与BCA

∠应满足的关系是；（2）如图3，若直线CD经过BCA

∠的外部，BCA

α

∠=∠，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．

A

B

C

E

F D

D

A

B

C

E F

A

D

F

C

E

B

图1 图2 图3

考点2：利用角相等证明垂直

1. 已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系

2. 如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． (1)求证：CD=BF ； (2)求证：AD ⊥CF ；

(3)连接AF ，试判断△ACF 的形状.

拓展巩固：如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．

3. 如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC . （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；

（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使E 点落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由

.

4.如图1，ABC ∆的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也 在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =

（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的 数量关系和位置关系；

（2） 将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接 ,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长

线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成

B

A

C

E

F

Q

P

D A

A

B

C

D

E F

图9