离散试卷 合肥学院王立新老师

2012—2013年 离散数学试卷一、填空1．设}7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E+ 正偶数） 则 =⋃B A 。

2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式 为 。

3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。

4．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 。

5．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。

6．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。

7．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：那么代数系统<A ，*>的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。

二、选择1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ． }},{{ΦΦ∈Φ；D ． }}{{}{Φ∈Φ。

2、下列集合中相等的有（ ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。

3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。

A ． 23 ； B ． 32 ； C ． 332⨯； D ． 223⨯。

4、设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说法正确的是（ ） A ．若R ，S 是自反的， 则S R 是自反的； B ．若R ，S 是反自反的， 则S R 是反自反的； C ．若R ，S 是对称的， 则S R 是对称的； D ．若R ，S 是传递的， 则S R 是传递的。

5、设A={1，2，3，4}，P （A ）（A 的幂集）上规定二元系如下|}||(|)(,|,{t s A p t s t s R =∧∈><=则P （A ）/ R=（ ）A ．A ；B ．P(A) ；C ．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D ．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A 上包含关系“⊆”的哈斯图为（ ）7、下列函数是双射的为（ ）A ．f : I →E , f (x) = 2x ；B ．f : N →N ⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C ．f : R →I , f (x) = [x] ；D ．f :I →N, f (x) = | x | 。

（注：I —整数集，E —偶数集， N —自然数集，R —实数集）8、图中从v1到v3长度为3 的通路有（）条。

A．0；B．1；C．2；D．3。

9、下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是（）10、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（）个4度结点。

A．1；B．2；C．3；D．4 。

三、命题符号化1、用命题逻辑把下列命题符号化：假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

2、用谓词逻辑把下列命题符号化：对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。

四、简答题1、求命题公式(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。

（5分）2、求∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x))的前束范式。

（4分）3、设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图1五、证明题1、R 是集合X 上的一个自反关系，求证：R 是对称和传递的，当且仅当< a, b> 和<a , c>在R 中有<.b , c>在R 中。

（8分）2、使用构造性证明，证明下面推理的有效性。

（每小题5分，共10分） 前提：∀x(P(x)→⌝Q(x)), ∀x(Q(x)∨R(x))，∃x ⌝R(x) 结论：∃x ⌝P(x)六、计算1、设集合A={ a ,b , c , d }上关系R={< a, b > , < b , a > , < b , c > , < c , d >} 要求 a 、写出R 的关系矩阵和关系图。

b 、用矩阵运算求出R 的传递闭包。

2、如下图所示的赋权图表示某七个城市721,,,v v v 及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。

试卷一答案：一、填空1、{0，1，2，3，4，6}；2、A C B -⊕)(；3、1；4、1；5、{<1,1>, <1,3>, <2,2>, <2,4> }；6、{<a.b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>} I A ；78、a ；a , b , c ,d ；a , d , c , d ；9、c;二、选择三、命题符号化1、用命题逻辑把下列命题符号化： 设P 表示命题“上午下雨”，Q 表示命题“我去看电影”，R 表示命题“在家里读书”，S 表示命题“在家看报”，命题符号化为：（⌝P ⇄Q ）∧(P ⇄R ∨S)2、 用谓词逻辑把下列命题符号化： 设R(x)表示“x 是实数”，E(x,y)表示“x=y ”,f(x,y)=xy, 命题符号化为： ∀x(R(x) ∧⌝E(x,0) →∃y(R(y) ∧E(f(x,y),1))))四、简答题1、(P →(Q →R))↔(R →(Q →P))⇔（⌝P ∨⌝Q ∨R ）↔(P ∨⌝Q ∨⌝R)⇔(（⌝P ∨⌝Q ∨R ）→(P ∨⌝Q ∨⌝R)) ∧ ((P ∨⌝Q ∨⌝R) →（⌝P ∨⌝Q ∨R ）). ⇔(（P ∧Q ∧⌝R ）∨ (P ∨⌝Q ∨⌝R)) ∧ ((⌝P ∧Q ∧R) ∨（⌝P ∨⌝Q ∨R ）) ⇔(P ∨⌝Q ∨⌝R) ∧(⌝P ∨⌝Q ∨R) 这是主合取范式公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为（⌝P ∧⌝Q ∧⌝R )∨（⌝P ∧⌝Q ∧R )∨（⌝P ∧Q ∧⌝R )∨（P ∧⌝Q ∧⌝R )∨（P ∧⌝Q ∧R )∨（P ∧Q ∧R ) 2、∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x)) ⇔∀x(F(x)→G(x))→(∃yF(y)→∃zG(z))⇔∀x(F(x)→G(x))→∀y ∃z(F(y)→G(z)) ⇔∃x ∀y ∃z((F(x)→G(x))→ (F(y)→G(z)))3、B 的最小元是b ，无最大元、极大元是d 和e 、极小元是b 、上界集合是{g}、下界集合是{a,b}、上确界是g 、下确界是b.五、证明1、证：“⇒” X c b a ∈∀,, 若R >c ,a <,>b ,a <∈由R 对称性知R a ,c <,>a ,b <∈>，由R 传递性得 R >c ,b <∈“⇐” 若R >b ,a <∈，R >c ,a <∈有 R >c ,b <∈ 任意 X b a ∈,，因R>a ,a <∈若R >b ,a <∈R >a ,b < ∈∴所以R 是对称的。

若R >b ,a <∈，R >c b,<∈ 则 R c b, R >a b,<>∈<∧∈ R >c ,a < ∈∴即R 是传递的。

2、证 (1) ∃x ⌝R(x) P (2) ⌝R(c) ES(1) (3) ∀x(Q(x)∨R(x)) P (4) Q(c)∨R(c) US(3) (5) Q(c) T(2)(4) I (6) ∀x(P(x)→⌝Q(x)) P(7) P(c)→⌝Q(c) US(6) (8) ⌝P(c) T(5)(7) I (9) ∃x ⌝P(x) EG(8)六、计算1、解：用库斯克（Kruskal ）算法求产生的最优树。

算法略。

结果如图：树权C(T)=23+1+4+9+3+17=57即为总造价。

a 、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001010010R M ； 关系图b 、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==00000000101001012R R R M M M⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==000000000101101023R R R M M M234000000010100101R R R R M M M M =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛== ,,4635R R R R M M M M == ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=0000100011111111432)(R R R R R t M M M M M∴ t (R)={<a , a> , <a , b> , < a , c> , <a , d > , <b , a > , < b ,b > , < b , c . > , < b , d > , < c ,d > }。