导数应用课件4
大学高等数学ppt课件第二章4导数的应用
介于 x1与 x2之间
y
y f (x)
o
a y
•
bx
y f (x) •
oa
bx
于是有函数单调性的判别定理
◆函数单调性的判别定理
设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，则 （1） 如果函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内有 f (x) 0，则函数在
例5 证明不等式 ex 1x (x0) 证明 令 f(x)ex 1x
则
f (x) ex 1
当 x 0 时 ， f ( x ) 0 , 故 函 数 在 0 , + 内 单 调 增 加
所 以 ， x 0 , ,有 f( x ) f( 0 ) 0
第四节 导数的应用
学习重点
函数的单调性的判别 函数极值及最值的确定方法 曲线凹凸向的判别及拐点的确定
◆函数的单调性
函数单调递增，则
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
函数单调递减，则
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
由Lagrange中值定理：
f ( ) f ( x1 ) f ( x2 )
xx0,x0 f (x) 0
则 y f (x) 在点 x 0 处取得极小值；
（ 3 ） xx0,x0 xx0,x0
f (x)同号
则 y f (x) 在点 x 0 处无极值；
x0 x 0 x0 x y
x0 x 0 x0 x
练习 求 y f(x ) x 3 3x 2的 单 调 区 间 和 极 值 2
如 y=x2 在区间 [-1，2] 内，只有极小值。 （3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数； （4）极值一定在区间内部取得。
高考数学一轮复习第三章导数及其应用4导数的综合应用课件新人教A版2
-15考点1
考点2
考点3
当x变化时,g(x),g'(x)的变化情况如下表:
2
-∞,
3
x
g'(x)
+
0
单调递增↗
g(x)
2
,4
3
2
3
68
27
则函数 g(x)的极大值为 g
-
4
(4,+∞)
0
+
-m 单调递减↘ -16-m 单调递增↗
2
3
=
68
27
-m,极小值为 g(4)=-16-m.
∴要使 g(x)的图象与 x 轴有三个不同的交点,
则欲证
12 - 22
>2a,
只需证 2a(12 − 22 )>3x2-x1.
只需证 2a(12 − 22 )>2(x2-x1)+(x1+x2).
只需证 a(x1-x2)+
1 - 2
1 + 2
1
> .
2
因为 f'(x1)=0,f'(x2)=0,ax1=-ln x1,ax2=-ln x2,
(3)证明：由题设c>1,
设g(x)=1+(c-1)x-cx,
则g'(x)=c-1-cxln c,
ln
令 g'(x)=0,解得 x0=
-1
ln
ln
.
当 x<x0 时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当 x>x0 时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
由(2)知 1<
-1
ln
微积分课件 第4章 导数的应用 4
2021年11月3日星期三
注 ①a可以取-∞，b可以取+∞； ②条件可以减弱。如可导性可以减弱为在(a,b)内除
有限个点外f ′(x)>0(或<0)。即：区间内个别点导数为零,不影响 区间的单调性. 如：
y x3, y x0 0, 但在(,)上单调增加.
③条件中是开区间，结果中是闭区间。 例如 对y=(x+1)3(x-2 )，y′=(x+1)2(4x-5)。当x>5/4时 y′>0，因此y在[5/4,+∞)上递增。类似地， x ≤ 5/4时y′≤0，且导 数等于零的点有两个，因此y在(-∞,5/4]上递减。
定义 f(x)在x0的某领域U(x0)有定义，若对任意x∈Uo(x0)有
f (x) f (x0 ) f (x) f (x0 )
则称f(x0)为f(x)的极大(小)值，x0为f(x)的极大(小)值点。极大值 (点)和极小值(点)统称为极值(点)。
14
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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y
y f (x)
5
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3. 利用单调性证明不等式
方法是将不等式化为右端为零的形式，左端设为f(x)，
然后求导分析f(x)的单调性。
例 证 明x 0时 ln(1 x) x x 2 。 2(1 x)
证明
设f
(x)
ln(1
x) (x
x2 2(1
)， x)
f
( x)
x2 2(1 x)2
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2021年11月3日星期三
二、最值 1. 闭区间情况
极值是局部性质，把所有的极值都综合考虑可求最值。我们知 道，闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必有最大值、最小值， 显然f(x)的最值点要么是极值点，要么是区间的端点，因此只 要求出所有的极值点，把它们的函数值与两端点的函数值相比 较，最大的即为最大值，最小的为最小值。
导数在实际生活中的应用PPT教学课件
为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高
与底面半径比为多少？
解:设桶底面半径为R,
则 桶 高 为h
V
R2
桶的用料为
S(R)
2
R2
2
R
V
R2
2 R2 2V ,
R
S'(R)
4
R
2V R2
,
令S'(R)
4
R
2V R2
0,
解得R
V
2
h R
此时，h
V
R2
V
3
V
2
2
4V 2 V
2
即h 2R
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值。
答：当罐高与底的直径想等时，所用材料最省。
例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,
价格p与产量q的函数关系式为 p 25 1 q. 求产量q为何值 8
时,利润L最大。
分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出 利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.
3、辨别真伪
我是历史 小专家
（1）汉武帝时大力推行儒学教育，在长安兴
办太学。（
）
X （2）董仲舒建议汉高祖，允许诸侯王把自己 的封地分给子弟，建立较小的侯国。（ ）
（3）汉文帝时，西汉在政治、经济、军事和
X 思想上实现了大一统，进入鼎盛时期（ ）
通过本课的学习你知道 了哪些历史人物?你最欣赏或 最钦佩谁?说说你喜欢或钦佩 他的理由。
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
导数的应用教学课件ppt
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数积的导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
幂法则
对于一个函数f(x)，其导数为f'(x)，则(x^n)'=nx^(n-1)。
导数计算的常见问题与解决方案
常见问题
在导数计算中，容易出现一些错误，如符号错误、运算错误 、化简错误等。
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速 度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中， 某个变量的变化趋势，通常用符 号lim表示。
导数的定义
与其他学生或老师交流讨论，及时解决学习中遇 到的问题。
THANKS
导数的深入研究
1
深入理解导数的定义和计算方法，包括高阶导 数和复合函数的导数。
2
研究导数在函数性质、曲线形状、极值等方面 的应用，以及在实际问题中的应用。
3
探讨导数在数学中的地位和作用，以及与其他 数学分支的联系。
导数在未来的应用前景
分析导数在金融、经济、工程等领域 的应用前景，例如最优化问题、供应 链管理、计算机图形学等。
导数的应用教学课件ppt
xx年xx月xx日Biblioteka contents目录
• 导数的概念及背景 • 导数的计算 • 导数在函数性质研究中的应用 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步探讨与展望
01
高等数学与工程数学课件第四章导数应用.ppt
思考题 1.极值点与驻点的关系是什么? 2.说明极值与最值的区别. 3.极值存在的必要条件是什么?
答案 答案 答案
课堂练习题 1.求y = x2 2x 3的极值.
2.求出y x4 2x2 1的全部驻点.
答案 答案
第三节 函数的最大值和最小值
在工农业生产和科学实验中，常要遇到在一定条件下，怎 样用料最省、效率最高或性能最好等问题，这些问题归纳到 数学上，即为函数最大值或最小值问题.
在x 0处无极值以上三题中都有y'x0 0, y''x0 0,所以说情形(3)失 效,失效时必须用定理2来判定驻点是否为极值点.
例2 求函数f (x)(x2 1)3 1的极值.
解 因为f '(x) 6x(x2 1)2,令f '(x) 0,得驻点x 1,x 0,x 1
所以f ''(x) 6(x2 1)2 6x2(x2 1)2x 6(x2 1)(5x2 1). 又因为f ''(0)60,所以函数f (x)在x 0处取得极小值为f (0)0.
0
0
可导, 如果
(1)当x x0时, f '(x)0;当x x0时; f '(x)0,则函数f (x) 在点x0处取得极大值f (x0);
(2)当x x0时, f '(x)0;当x x0时; f '(x)0,则函数f (x) 在点x0处取得极小值f (x0);
(3)当x从x0时的左侧变化到右侧时, f '(x)不变号,则f (x) 在x0处无极值.
定理 设函数y f (x)在(a,b)内可导,若f '(x)0,x(a,b)则f (x)在 (a,b)上为增函数;若f '(x)0,x(a,b)则f (x)在(a,b)上为减函数.( 一阶导数符号和函数单调性是否为充要条件?)
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件 (4)
3．依据导数的定义求y＝x2，y＝1x，y＝ x的导数填表.
原函数 f(x)＝x2 f(x)＝1x f(x)＝ x
导函数
f ′(x)＝___2_x______
f ′(x)＝__－__x_12_____ 1
f ′(x)＝___2__x_____
常用函数的导数
(1)求函数f(x)＝π的导数． (2)求函数y＝1x在点(1,1)处的切线方程．
当y＝c表示路程关于时间的函数时，常数c表明路程不 变化，因此一直处于静_止______状态，故瞬时速度为0 ______， 因此y′＝0_______；
当y＝x表示路程关于时间的函数时，路程的改变量等 于时间的改变量，因此物体做匀速直线运动，瞬时速度为 ___1____，故y′＝__1____.
[分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即可．
[解析]
设P(x0，y0)，则kl1＝y′|x＝x0＝2
1 x0
.
∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2 x0，
∴直线l2的方程为y－y0＝－2 x0(x－x0)．
∵点P(x0，y0)在l2的方程中令y＝0，
则－ x0＝－2 x0(x－x0)．
[解析] (1)∵π为常数，∴f ′(x)＝0. (2)∵k＝y′＝－x12， 当x＝1时，k＝－1， ∴切线方程为：y－1＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0.
[方法规律总结] 符合常用函数特点的函数求导数可依据结论直接写出结果， 不必再按定义 求解．
导数的应用 如图，设直线l1与曲线y＝ x相切于点P，直线l2 过点P且垂直于l1，若l2交x轴于点Q，又作PK垂直x轴于点K， 求KQ的长．
第二步，建联系确定解题步骤． 只要设出切点坐标，则过点P的两曲线切线的斜率相等，由此可求出切点坐标，代入f(x)解析 式中可求出a. 第三步，规范解答．
《导数的应用》课件
2
导数在求解函数极值中的应用
通过导数的应用，学习如何求解函数的最大值和最小值，解决实际生活和工作中
的问题。
四、导数在函数图像的研究中的应用
1
函数的凸凹性及拐点的概念
探讨函数的凸凹性和拐点的概念，了解
导数在研究函数图像中的应用
通过导数的分析研究，揭示函数图像的
特点和变化规律，为实际问题提供解决
《导数的应用》PPT课件
通过本次PPT课件，我们将一起探讨导数的应用。从介绍导数的概念和定义开
始，到深入研究导数在不同领域中的实际应用，让我们一同领略导数的魅力
与重性。
一、介绍导数
导数的概念及定义
探索导数的基本概念和数学定义，为后续的应用打下坚实的基础。
导数的几何意义和物理意义
深入理解导数在几何和物理领域中的意义，揭示导数的实际应用背后的奥秘。
导数在经济学中的应用案例
理解边际利润的概念和计算方法，揭示导数在
通过实际案例，探索导数在经济学领域中的广
经济学中的重要作用。
泛应用，展示数学与经济学的紧密联系。
七、导数在自然科学中的应用
1
自然科学中导数的应用案例
通过具体案例，展示导数在自然科学领域中的实际应用和价值。
2
数学与其他学科的交叉应用 ✨
思路。
2
导数在研究函数图像中的重要应用。
五、导数在曲线运动中的应用
曲线运动的基本概念及公式 ♀️⏱️
导数在曲线运动中的应用
介绍曲线运动的基本概念和运动方程，为导数在曲
探索导数在曲线运动中的实际应用，解析曲线运动
线运动中的应用打下基础。
的速度、加速度等关键概念。
六、导数在经济学中的应用
2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第四讲幂函数与二次函数课件
当 x＝0 时，－3＜0，符合题意；
当 x≠0 时，a＜321x－312－61，
易得1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当 x＝1 时，右边取得 最小值12，所以 a＜12.
综上，实数 a 的取值范围是－∞，21. 答案：－∞，21
答案：B
考向 2 二次函数的单调性 通性通法：处理函数的单调性问题要注意数形结合思想的应 用，尤其是求给定区间上的二次函数最值的问题，要先“定性” (作草图)，再“定量”(看图求解).
[例 2](多选题)若函数 f(x)＝(x－1)·|x＋a|在区间(1，2)上单调递
增，则满足条件的实数 a 的值可能是( )
方法二(分离参数)：当 x∈[1，3]时，f(x)<－m＋5 恒成立， 即当 x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6<0 恒成立. ∵x2－x＋1＝x－122＋34>0， 又 m(x2－x＋1)－6<0， ∴m<x2－6x＋1.
∵函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1，3]上的最小值为67， ∴只需 m<67即可. 综上所述，m 的取值范围是－∞，67.
公共点
在(－∞，0]上单 在 R 上 在[0， 在(－∞，0)
调递减；在[0， 单调递 ＋∞)上 和(0，＋∞)
＋∞)上单调递增 增
单调递增 上单调递减
(1，1)
【名师点睛】巧记幂函数 y＝xα的图象 五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正 抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图象是抛物线型(α＞1 时 的图象是竖直抛物线型，0＜α＜1 时的图象是横卧抛物线型)， α＜0 时的图象是双曲线型.Ｋ
导数的应用四+零点问题.学生版
第13讲导数的应用四：零点问题一、三次函数零点问题经典精讲【例1】（2017春•腾冲县月考）已知函数y32﹣2x（Ⅰ）求函数在点（0，0）处的切成方程（Ⅱ）若函数y32﹣2x的图象与函数y＝k的图象恰有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．二、零点个数判断经典精讲【例2】（2013•陕西）已知函数f（x）＝e x，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（Ⅱ）证明：曲线y＝f（x）与曲线y有唯一公共点．【例3】（2018春•伊通县期末）已知函数f（x）．（1）若a＝﹣1，求函数f（x）的极值，并指出是极大值还是极小值；（2）若a＝1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的下方．【例4】（2018秋•全国期末）已知函数f（x）＝ax（3a+1）lnx+a，a∈R．（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，试判断函数f（x）的零点个数，并说明理由．三、证明零点个数问题经典精讲【例5】（2019•云南一模）已知e是自然对数的底数，函数f（x）与F（x）＝f（x）﹣x的定义域都是（0，+∞）．（2）求证：函数F（x）只有一个零点x0，且x0∈（1，2）．【例6】（2017秋•保山期末）已知函数．（2）讨论f（x）的单调性；（3）若函数f（x）在x∈[1，e]上无零点，求a的取值范围．总结：四、对两个零点的加工处理经典精讲【例7】（2017秋•保山期末）已知函数f（x）＝e x﹣ax（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线为x+y﹣1＝0，求实数a的值；（3）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求证：x1+x2＞2．五、与横轴交点问题经典精讲【例8】（2018•玉溪模拟）已知函数f（x）x3﹣x2+ax﹣a（a∈R）．（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．六、两个图像交点个数问题经典精讲【例9】（2017春•水富县期末）已知函数f（x）＝x2+2ax+2lnx（a∈R），g（x）＝2e x+3x2（e为自然对数的底数）．（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象有两个不同的交点，求实数a的取值范围．七、讨论零点个数经典精讲【例10】（2017•常德一模）已知函数f（x）＝xlnx﹣mx的图象与直线y＝﹣1相切．（Ⅱ）若g（x）＝ax3，设h（x）＝f（x）﹣g（x），讨论函数h（x）的零点个数．课后习题1．（2016春•玉溪月考）已知函数．（1）求f（x）在x＝1处的切线方程；（2）函数y＝f（x）﹣b有三个零点，求b的取值范围；2．（2014•西安一模）已知函数f（x）＝x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）x3x2的下方．3．（2012春•腾冲县期末）已知函数f（x）x3﹣x2+ax﹣a（a∈R）．（1）当a＝﹣3时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．4．（2015•碑林区一模）设函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x+m（a＞0）（1）若函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，求实数a的取值范围；（2）a＝1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；5．（2018秋•昆明月考）已知函数f（x）＝lnx﹣ax，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）存在两个零点x1，x2，使lnx1+lnx2﹣m＞0，求m的最大值．6．（2018秋•五华区月考）已知函数f（x）＝lnx﹣a（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）当a＝1时，证明：对任意的k＞0，函数g（x）＝kx﹣1+f（x）有且只有一个零点．7．（2017•昭通二模）已知函数f（x）＝x﹣alnx，a∈R．（Ⅰ）研究函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数f（x）有两个不同的零点x1、x2，且x1＜x2．（1）求a的取值范围；（2）求证：x1x2＞e2．8．（2017•云南二模）已知e是自然对数的底数，f（x）＝me x，g（x）＝x+3，φ（x）＝f（x）+g（x），h（x）＝f（x）﹣g（x﹣2）﹣2017．（1）设m＝1，求h（x）的极值；（2）设m＜﹣e2，求证：函数φ（x）没有零点；9．（2017•昆明二模）设函数f（x）＝x2e﹣x，g（x）＝xlnx．（1）若F（x）＝f（x）﹣g（x），证明：F（x）在（0，+∞）上存在唯一零点；10．（2017春•五华区月考）设函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a≥﹣e，讨论函数f（x）的零点的个数．11．（2016秋•昭通期末）设函数f（x）＝x2﹣2lnx（I）求f（x）的单调区间；（II）求f（x）在，上的最大值和最小值；（III）若关于x的方程f（x）＝x2﹣x﹣a在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．12．（2015•北京）设函数f（x）klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．13．（2013•昭通模拟）已知函数f（x）＝lnx（a∈R）．（1）当a时，如果函数g（x）＝f（x）﹣k仅有一个零点，求实数k的取值范围；（2）当a＝2时，试比较f（x）与1的大小．1．解：（1）函数．可得f′（x）＝x2﹣4，f′（1）＝﹣3，f（1），f（x）在x＝1处的切线方程：y3（x﹣1），即：9x+3y﹣10＝0（2）函数．可得f′（x）＝x2﹣4＝0，可得：极大值，极小值．要函数y＝f（x）﹣b有三个零点，即y＝f（x）与y＝b的图象有三个交点，则b的取值范围为：＜＜．2．（1）解：∵f（x）＝x2+lnx，∴f′（x）＝2x，∵x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（1）＝1，最大值是f（e）＝1+e2；（2）证明：令F（x）＝f（x）﹣g（x）lnx，则F′（x）＝x﹣2x2，∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数，∴F（x）＜F（1）＜0，即f（x）＜g（x），∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．3．解：（1）f（x）x3﹣x2﹣3x+3，所以f′（x）＝x2﹣2x﹣3．解x2﹣2x﹣3＝0，得：x＝﹣1或x＝3，所以x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0；x∈（﹣1，3）时，f′（x）＜0；x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0．根据极值的定义知：x＝﹣1时，f（x）取到极大值f（﹣1）；x＝3时，f（x）取到极小值f（3）＝﹣6．（2）∵f′（x）＝x2﹣2x+a，∴△＝4﹣4a＝4（1﹣a）．①若a≥1，则△≤0，∴f′（x）≥0在R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增．∵f（0）＝﹣a＜0，f（3）＝2a＞0，∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．②若a＜1，则△＞0，∴f′（x）＝0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2，（x1＜x2）．∴x1+x2＝2，x1x2＝a．∵x12﹣2x1+a＝0，∴a＝﹣x12+2x1．∴f（x1）x1[x12+3（a﹣1）]同理f（x2）x2[x22+3（a﹣1）]令f（x1）•f（x2）＞0，解得a＞0．而当0＜a＜1时，f（0）＝﹣a＜0，f（3）＝2a＞0，故当0＜a＜1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．综上所述，a的取值范围是（0，+∞）．4．解：（1）∵f（x）＝x3+ax2﹣a2x+m（a＞0），∴f′（x）＝3x2+2ax﹣a2，∵f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，∴方程f′（x）＝3x2+2ax﹣a2＝0在[﹣1，1]上没有实数根，由△＝4a2﹣12×（﹣a2）＝16a2＞0，二次函数对称轴x＜0，当f′（x）＝0时，即（3x﹣a）（x+a）＝0，解得x＝﹣a或x，∴＜＞，或＜1（a＜﹣3不合题意，舍去），解得a＞3，∴a的取值范围是{a|a＞3}；（2）当a＝1时，f（x）＝x3+x2﹣x+m，∵f（x）有三个互不相同的零点，∴f（x）＝x3+x2﹣x+m＝0，即m＝﹣x3﹣x2+x有三个互不相同的实数根．令g（x）＝﹣x3﹣x2+x，则g′（x）＝﹣（3x﹣1）（x+1）令g′（x）＞0，解得﹣1＜x＜；令g′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）和（，+∞）上为减函数，在（﹣1，）上为增函数，∴g（x）极小＝g（﹣1）＝﹣1，g（x）极大＝g（）；∴m的取值范围是（﹣1，）；5．解：（1）函数f（x）＝lnx﹣ax的定义域为（0，+∞），f′（x），当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，令f′（x）＝0，得x＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．综上所述，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（2）∵lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，即lnx1＝ax1，lnx2＝ax2，两式相减得：lnx1﹣lnx2＝a（x1﹣x2），即a．由已知lnx1+lnx2＞m，得a（x1+x2）＞m，∵x1＞0，x2＞0，∴a＞，即＞．不妨设0＜x1＜x2，则有＜，令t，则t∈（0，1），∴lnt＜，即lnt＜0恒成立，设g（t）＝lnt（0＜t＜1），则g′（t）．令h（t）＝t2+2（1﹣m）t+1，h（0）＝1，h（t）的图象开口向上，对称轴方程为t＝m﹣1．方程t2+2（1﹣m）t+1＝0的判别式△＝4m（m﹣2）．①当m≤1时，h（t）在（0，1）上单调递增，h（t）＞h（0）＝1，∴g′（t）＞0．g（t）在（0，1）上单调递增，∴g（t）＜g（1）＝0在（0，1）上恒成立；②当1＜m≤2时，△＝4m（m﹣2）≤0，h（t）≥0在（0，1）上恒成立，∴g′（t）＞0．g（t）在（0，1）上单调递增，∴g（t）＜g（1）＝0在（0，1）上恒成立；③当m＞2时，h（t）在（0，1）上单调递减，∵h（0）＝1，h（1）＝4﹣2m＜0，∴存在t0∈（0，1），使得h（t0）＝0，当t∈（0，t0）时，h（t）＞0，g′（t）＞0，当t∈（t0，1）时，h（t）＜0，g′（t）＜0，∴g（t）在（0，t0）上单调递增，在（t0，1）上单调递减，当t∈（t0，1）时，有g（t）＞g（1）＝0，∴g（t）＜0在（0，1）上不恒成立．综上所述，m的取值范围为（﹣∞，2]，m的最大值为2．6．（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x），当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值；当a＞0时，由f′（x）＝0，得x，当0＜x＜时，f′（x）＞0，得f（x）的单调递增区间是（0，）；当x＞时，f′（x）＜0，得f（x）的单调递减区间是（，+∞），故f（x）的极大值为f（）＝ln2，f（x）无极小值．（2）证明：当a＝1时，函数g（x）＝kx﹣1lnx，欲证对任意的k＞0，函数g（x）有且只有一个零点，即证方程kx﹣1lnx＝0有且只有一个正实数根，由kx﹣1lnx＝0，得k（x＞0），令φ（x）（x＞0），则φ′（x）（x＞0），令h（x）lnx﹣2，则h′（x）（x＞0），由h′（x）＝0，得x＝16，当0＜x＜16时，h′（x）＞0，则h（x）在（0，16）上单调递增；当x＞16时，h′（x）＜0，则h（x）在（16，+∞）上单调递减，所以h（x）≤h（16）＝4（ln2﹣1）＜0，于是φ′（x）＜0，则φ（x）在（0，+∞）上单调递减．设p（x）lnx（x＞0），则p′（x），由p′（x）＝0，得x＝4，当0＜x＜4时，p′（x）＜0，则p（x）在（0，4）上单调递减；当x＞4时，p′（x）＞0，则p（x）在（4，+∞）上单调递增，所以p（x）≥p（4）＝2﹣2ln2＞0，即当x＞0时，p（x）lnx＞0，所以当x＞0时，φ（x）＞，对任意的k＞0，有：①当k≥2时，0＜x＜＜1，有φ（x）＞＞k；当x＞1时，有φ（x）＜φ（1）＝2≤k，又φ（x）在（0，+∞）上单调递减，所以存在唯一的x1∈（，1]，有φ（x1）＝k；②当0＜k＜2时，0＜x＜（＞），有φ（x）＞＞k，当x＞＞1（＞）时，有φ（x）＜k，又φ（x）在（0，+∞）上单调递减，所以存在唯一的x2∈（，），有φ（x2）＝k，综上所述，对任意的k＞0，方程kx﹣1lnx＝0有且只有一个正实数根，即函数g（x）有且只有一个零点．7．解：（Ⅰ）f（x）的定义域（0，+∞），′..（2分）①若a≤0，则f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）单调递增函数．②若a＞0，令f'（x）＝0解得x＝a，则f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增；…．（4分）（Ⅱ）证明：因为f（x）有两个不同的零点，由①知＞＜＞（6分）且0＜x1＜a＜x2，要证＞，即证lnx1+lnx2＞2＞＞＞由于a＞x1，则2a﹣x1＞a，即证f（x2）＞f（2a﹣x1）f（x1）＞f（2a﹣x1）…（8分）设g（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），只需证g（x）＞0即可，g（x）＝（x﹣alnx）﹣[（2a﹣x）﹣aln（2a﹣x）]，′＜（10分）可知g（x）在x∈（0，a）是单调递减函数，故g（x）＞g（a）＝0，得证.＞..（12分）8．（1）解：∵f（x）＝me x，g（x）＝x+3，m＝1，∴f（x）＝e x，g（x﹣2）＝x+1，∴h（x）＝f（x）﹣g（x﹣2）﹣2017＝e x﹣x﹣2018．∴h'（x）＝e x﹣1，由h'（x）＝0得x＝0．∵e是自然对数的底数，∴h'（x）＝e x﹣1是增函数．∴当x＜0时，h'（x）＜0，即h（x）是减函数；当x＞0时，h'（x）＞0，即h（x）是增函数．∴函数h（x）没有极大值，只有极小值，且当x＝0时，h（x）取得极小值．∴h（x）的极小值为h（0）＝﹣2017．（2）证明：∵f（x）＝me x，g（x）＝x+3，∴φ（x）＝f（x）+g（x）＝m•e x+x+3，∴φ'（x）＝m•e x+1．∵m＜﹣e2＜0，∴φ'（x）＝m•e x+1是减函数．由φ'（x）＝m•e x+1＝0解得．当∈∞，时，φ'（x）＝m•e x+1＞0，此时函数φ（x）是增函数，当∈，时，φ'（x）＝m•e x+1＜0，此时函数φ（x）是减函数，∴当时，函数φ（x）取得最大值，最大值为．∵m＜﹣e2，∴2﹣ln（﹣m）＜0，∴φ（x）＜0，∴当m＜﹣e2时，函数φ（x）没有零点．9．（1）证明：函数F（x）的定义域为（0，+∞），因为F（x）＝x2e﹣x﹣xlnx，当0＜x≤1时，F（x）＞0，而＜，所以F（x）在（1，2）存在零点．因为′，当x＞1时，＜，＜，所以′＜＜，则F（x）在（1，+∞）上单调递减，所以F（x）在（0，+∞）上存在唯一零点．（2）解：由（1）得，F（x）在（1，2）上存在唯一零点x0，x∈（0，x0）时，f（x）＞g（x）；x∈（x0，+∞）时，f（x）＜g（x），∴ℎ，∈，，∈，．当x∈（0，x0）时，由于x∈（0，1]，h（x）≤0；x∈（1，x0）时，h'（x）＝lnx+1＞0，于是h（x）在（1，x0）单调递增，则0＜h（x）＜h（x0），所以当0＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）．当x∈[x0，+∞）时，因为h'（x）＝x（2﹣x）e﹣x，x∈[x0，2]时，h'（x）≥0，则h（x）在[x0，2]单调递增；x∈（2，+∞）时，h'（x）＜0，则h（x）在（2，+∞）单调递减，于是当x≥x0时，h（x）≤h（2）＝4e﹣2，所以函数h（x）的最大值为h（2）＝4e﹣2，所以λ的取值范围为[4e﹣2，+∞）．10．解：（1）函数f（x）定义域为R，f′（x）＝x（e x﹣1+a），（i）若a≥0，当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增．（ii）若a＜0，令f′（x）＝0，得x＝0或x＝1+ln（﹣a），①a时，f′（x）≥0，所以函数f（x）在R上单调递增；②当＜a＜0时，1+ln（﹣a）＜0，当x＜1+ln（﹣a）或x＞0时，f′（x）＞0，当1+ln（﹣a）＜x＜0时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，1+ln（﹣a）），（0，+∞）上单调递增，在（1+ln（﹣a），0）单调递减；③当a＜时，1+ln（﹣a）＞0，当x＞1+ln（﹣a）或x＜0时，f′（x）＞0，当0＜x＜1+ln（﹣a）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，0），（1+ln（﹣a），+∞）上单调递增，在（0，1+ln（﹣a））单调递减；（2）当a＝0时，函数f（x）只有一个零点x＝1；当a＞0时，由（1）得函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，且f（0）＜0，f（1）＞0，取x0＜﹣3且x0＜1+lna，则f（x0）＞（x0﹣1）a[3]＞0，所以函数f（x）有两个零点；当a＜0时，由（1）得函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（0）＜0，f（2）＝e+2a＞0，而x＜0时，f（x）＜0，所以函数f（x）只有一个零点．当﹣e≤a＜时，由（1）得函数f（x）在（0，1+ln（﹣a））单调递减，在（1+ln（﹣a），+∞）上单调递增，且f（1+ln（﹣a））＜f（0）＜0，f（3）＝2e2a≥2e2e＞0，而x＜0时，f（x）＜0，所以函数f（x）只有一个零点．11．解：（I）由函数f（x）＝x2﹣2lnx知其定义域为{x|x＞0}，∵f′（x）＝2x，令f'（x）＞0，解得：x＞1；令f'（x）＜0，解得：0＜x＜1∴函数f（x）单调增区间是（1，+∞）；减区间是（0，1）；（II）由f′（x）＝0，解得：x＝1或﹣1（舍），由（I）知f（x）在[，1]上递减，在[1，e]上递增，当x＝1时，f（x）取最小值f（1）＝1，又f（）2，f（e）＝e2﹣2，且e2﹣2＞2，∴f（x）在[，e]上的最小值为1，最大值为e2﹣2；（III）方程f（x）＝x2﹣x﹣a，即x﹣2lnx﹣a＝0，记g（x）＝x﹣2lnx﹣a，∵g′（x），由g′（x）＞0，得x＞2或x＜0（舍去），g′（x）＜0得0＜x＜2，∴g（x）在[1，2]上递减，在[2，3]上递增，为使方程f（x）＝x2﹣x﹣a在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根，只需g（x）＝0在[1，2]和[2，3]上各有一个实根，于是＜，即＜，∴2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3，即实数a的取值范围是（2﹣2ln2，3﹣2ln3]．12．解：（1）由f（x）＞，f'（x）＝x由f'（x）＝0解得xf（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：所以，f（x）的单调递增区间为（，），单调递减区间为（0，）；f（x）在x处的极小值为f（），无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k＝e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）＝0所以x是f（x）在区间（1，）上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且＞，＜，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．13．解：（1）当a时，g（x）＝lnx k，g'（x）0解方程得方程的根为：x1＝2，x2由g（x）定义域可知x＞0；∵当0＜x＜时g'（x）＞0，g（x）增函数，当＜x＜2时g'（x）＜0，g（x）减函数，当x＞2时g'（x）＞0，g（x）增函数，∴f（x）的极大值是，极小值是∴g（x）在x处取得极大值3﹣ln2﹣k，在x＝2处取得极小值ln2﹣k；∵函数g（x）＝f（x）﹣k仅有一个零点∴当3﹣ln2﹣k＜0或ln2﹣k＞0时g（x）仅有一个零点，∴k的取值范围是k＞3﹣ln2或＜．（2）当a＝2时，，定义域为（0，+∞），令ℎ，∵ℎ′＞，∴h（x）在（0，+∞）是增函数∵h（1）＝0∴①当x＞1时，h（x）＞h（1）＝0，即f（x）＞1；②当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）＝0，即f（x）＜1；③当x＝1时，h（x）＝h（1）＝0，即f（x）＝1．。
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极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.
y
f ( x3 )
f ( x4 )
f ( x1 )
f ( x2 )
O
a
x1
x2
x3
x4
b
令 6 x 2 12 x 0，解得 x 2或 x 0， f ( x )是增函数； 因此， 当 x (,0) 时，
f ( x )是增函数； 当 x (2,) 时， 再令 6 x 2 12 x 0 ，解得 0 x 2 ，
因此， f ( x )是减函数； 当 x (0,2)时，
函数y=f(x)在x0取极值的充分条件是: （1）f′ (x0)=0 (2)在x0附近的左侧 f′ (x0)>0(<0)，右侧 f’(x0)<0(>0)
【求函数极值的步骤】
（1） 求导数f′(x)； （2） 解方程 f′(x)=0 （3） 通过列表检查f′(x)在方程f′(x)=0的 根的左右两侧的符号，进而确定函数的 极值点与极值.
函数的极值
【复习与思考】 已知函数 f(x)=2x3-6x2+7 (1)求f(x)的单调区间,并画出其图像; (2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这 两点附近的函数值有什么关系?
知识回顾
利用函数的导数 讨论函数
2 解：f ( x ) 6 x 12 x
f ( x) 2x3 6x2 7 的单调性．
①可导函数必有极值；
。
如y x
3
②可导函数在极值点的导数一定等于零； ③函数的极小值一定小于极大值 （设极小值、极大值都存在）；
④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。
注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义
的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间 上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来 说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。
f’(x0)=0
(3)如果在x0两侧的符号相同 ， 则f ( x0 )不是极值。
注：导数为0的点不一定是极值点．
观察与思考：极值与导数有x0)=0; 反之,若f’(x0)=0,则x0不一定是极值点.
函数y=f(x)在一点的导数为0是函数在这点取极值的必要条件， 而非充分条件。
(-2,2) -
2 0
4 极小值 3
( 2,)
+
y
y
28 当 x 2 时，y有极大值，并且 y极大值 3 4 当 x 2 时，y有极小值，并且 y极小值 3
2 3 例、求函数 f ( x ) ( x 1) 1 的极值．
解： y 6 x( x 2 1)2
练习：
2.函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( D)
A.导数y′由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B.导数y′由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
3 2 2 f ( x ) x ax bx a 函数 在 x 1时有极值10， 3. 则a，b的值为（ C） A . a 3, b 3 或 a 4, b 11 B . a 4, b 1 或 a 4, b 11 C .a 4, b 11 D . 以上都不对
例题讲解
1 3 例、求函数 f ( x ) x 4 x 4 的极值． 3 2 解： y x 4 ( x 2)( x 2) 令 y 0 ，解得 x1 2, x2 2 当x变化时，y, y 的变化情况如下表：
x
(,2)
+
-2 0
28 极大值 3
，
f (1) 10 解:由题设条件得： / f (1) 0
解之得
a 3 a 4 或 b 3 b 11
x
观察上述图像,试指出该函数的极值点与极值, 并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
【关于极值概念的几点说明】
(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附 近的大小情况; (2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的 极大值未必大于极小值;
(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端 点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区 间的内部取得，也可能在区间的端点取得。
分析函数
f ( x) 2x3 6x2 7 在 x 0, x 2 附近的函数
值分别与 f (0), f (2)的关系.
【函数极值的定义】
设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， (1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的 函数值都大，即f(x)<f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0)
令 y 0 ，解得 x1 1, x 2 0, x 3 1 当x变化时，y, y 的变化情况如下表：
x y y
(,1)
—
-1 0 无极值
(-1,0) —
0 0 极小值0
(0,1) +
1 0 无极值
(1,)
+
当 x 0 时，y有极小值，并且 y极小值 0
练习1.判断下面4个命题，其中是真命题的序号为 ②
【问题探究】 函数y=f(x)在极值点的导数值为多少? 在极值点附近的导数符号有什么规律?
y
f ( x3 )
f ( x4 )
f ( x1 )
f ( x2 )
O
a
x1
x2
x3
x4
b
x
一般地，当函数 f ( x ) 在点 x 0 处连续时，判断 f ( x 0 ) 是极 大（小）值的方法是： （1）如果在 x 0 附近的左侧 f ( x0 ) 0 ，右侧 f ( x0 ) 0 ，那 么 f ( x 0 )是极大值． （2）如果在 x 0 附近的左侧 f ( x0 ) 0 ，右侧 f ( x0 ) 0 ，那 么 f ( x 0 )是极小值．