四年级奥数第4讲数阵图.docx
奥数知识点 简单数阵图
简单数阵图一、辐射型数阵图从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。
突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和。
先求重叠数。
数总和+中心数×重复次数＝公共的和×线数重叠部分=线总和-数总和/线总和=公共的和×线数数和：指所有要填的数字加起来的和中心数：指中间那数字，即重复计算那数字（重叠数）重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1公共的和：指每条直线上几个数的和线数：指算公共和的线条数例1、把1-5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数与竖列三数之和都等于9。
例2、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以：总和数=(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
例3、把1~5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等例4、将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。
但由例1、例2的分析知道，(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线三数之和×2，每条直线上三数之和=(15+重叠数)÷2。
四年级奥数：数阵图
四年级奥数：数阵图（一）我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵，其解题的关键在于“重叠数”。
本讲和下一讲，我们学习三阶方阵，就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图，解题的关键仍然是“重叠数”。
我们先从一道典型的例题开始。
例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。
分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。
我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45，正好是三个横行数字之和，所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。
也就是说，每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。
在1～9这九个数字中，三个不同的数相加等于15的有：9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2，8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。
因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。
因为中心方格中的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在两对角线上，所以它应同时出现在上述的四个算式中，只有5符合条件，因此应将5填在中心方格中。
同理，四个角上的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在一条对角线上，所以它应同时出现在上述的三个算式中，符合条件的有2，4，6，8，因此应将2，4，6，8填在四个角的方格中，同时应保证对角线两数的和相等。
经试验，有下面八种不同填法：上面的八个图，都可以通过一个图的旋转和翻转得到。
例如，第一行的后三个图，依次由第一个图顺时针旋转90°，180°，270°得到。
又如，第二行的各图，都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。
所以，这八个图本质上是相同的，可以看作是一种填法。
例1中的数阵图，我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。
一般地，将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为三阶幻方。
四年级奥数：数阵图
四年级奥数：数阵图（一）我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵，其解题的关键在于“重叠数本讲和下一讲，我们学习三阶方阵，就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图，解题的关键仍然是“重叠数”。
我们先从一道典型的例题开始。
例1 把1～9 这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。
分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。
我们可以这样去想：因为1～9 这九个数字之和是45，正好是三个横行数字之和，所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。
也就是说，每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。
在1～9 这九个数字中，三个不同的数相加等于15的有：9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2，8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。
因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。
因为中心方格中的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在两对角线上，所以它应同时出现在上述的四个算式中，只有5 符合条件，因此应将5填在中心方格中。
同理，四个角上的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在一条对角线上，所以它应同时出现在上述的三个算式中，符合条件的有2，4，6，8，因此应将2，4，6，8 填在四个角的方格中，同时应保证对角线两数的和相等。
经试验，有下面八种不同填法：上面的八个图，都可以通过一个图的旋转和翻转得到。
例如，第一行的后三个图，依次由第一个图顺时针旋转90°，180°，270°得到。
又如，第二行的各图，都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。
所以，这八个图本质上是相同的，可以看作是一种填法。
例1 中的数阵图，我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。
一般地，将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为三阶幻方。
小学数学奥数基础教程(四年级)目录.doc
小学数学奥数基础教程(四年级)目录（含答案）.word文档下载地址.文档贡献者：与你的缘.第1讲速算与巧算（一）练习1第2讲速算与巧算（二）练习2第3讲高斯求和练习3第4讲数的整除性（一）练习4第5讲弃九法练习5第6讲数的整除性练习6第7讲找规律（一）练习7第8讲找规律（二）练习8第九讲数字迷（一）练习9第10讲数字迷（二）练习10第11讲归一问题与归总问题练习11第12讲年龄问题练习12第13讲鸡兔同笼问题与假设法练习13第14讲盈亏问题与比较法（一）练习14第15讲盈亏问题与比较法（二）练习15第16讲数阵图（一）练习16第17讲数阵图（二）练习17第18讲数阵图（三）练习18第19讲乘法原理练习19第20讲加法原理（一）练习20第21讲加法原理（二）练习21第22讲还原问题（一）练习22第23讲还原问题（二）练习23第24讲页码问题练习24第25讲智取火柴练习25第26讲逻辑问题（一）练习26第27讲逻辑问题（二）练习27第28讲逻辑问题（二）练习28第29讲抽屉原理（一）练习29第30讲抽屉原理（二）练习30情感语录1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了11.如此情深，却难以启齿。
其实你若真爱一个人，内心酸涩，反而会说不出话来12.生命中有一些人与我们擦肩了，却来不及遇见；遇见了，却来不及相识；相识了，却来不及熟悉，却还要是再见13.对自己好点，因为一辈子不长；对身边的人好点，因为下辈子不一定能遇见14.世上总有一颗心在期待、呼唤着另一颗心15.离开之后，我想你不要忘记一件事：不要忘记想念我。
四年级奥数数阵
数阵知识导航数阵图就是将一些数，按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
它的类型一般分为三种：辐射型数阵图；封闭型数阵图；复合型数阵图。
辐射型数阵图：从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图。
一般地，有M条射线，每条射线有N个数的图形称为M—N图。
辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“射线条数”-1，即M-1.对于辐射型数阵图，有：已知各数之和+重叠数×重叠次数=射线上各数之和×射线条数。
封闭型数阵图：一个数阵图，如果它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为封闭型数阵图。
封闭型M—N图有M个重叠数，重叠次数都是1次。
对于封闭型数阵图因为重叠数只重叠一次，所以：已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数。
（主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字只和，最后填出数阵图。
）精典例题例1：将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
思路点拨：题中要求射线上数字和是___，每条射线上的和是____×____=____。
题上已知各数之和：_________________。
所以重叠数是____-____=____。
模仿练习：把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都相等。
（1+2+3+4+5）+ 重叠数 = 每条线上的和×215 + 重叠数 = 每条线上的和×2每条线上的和 =因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是，，。
若“重叠数”= ，则每条线上的和为：；若“重叠数”= ，则每条线上的和为：；若“重叠数”= ，则每条线上的和为： .由此可知，此题共有三种情况，具体填法如下：例2：把1~7填入下图中,使每条线段上三个○内的数的和等于10思路点拨：已知各数之和+重叠数×重叠次数=射线上各数之和×射线条数。
四年级奥数第4讲数阵图
第4讲数阵图一.常识要点在平庸的数学王国中,有一类异常有味的数学问题,它变更多端,惹人入胜,奥妙无限.它就是数阵,一座真正的数字迷宫,它对爱好探讨数字纪律的人有着极大的吸引力,以至有些人留连个中,用平生的精神来研讨它的变更.那么,到底什么是数阵呢？我们先不雅察下面两个图：左上图中有3个大圆,每个圆周上都有四个数字,有意思的是,每个圆周上的四个数字之和都等于13.右上图就更有意思了,1～9九个数字被排成三行三列,每行的三个数字之和与每列的三个数字之和,以及每条对角线上的三个数字之和都等于15,是不是很奥妙！上面两个图就是数阵图.一些数按照必定的规矩,填在某一特定图形的划定地位上,这种图形,我们称它为“数阵图”,数阵图的种类繁多,壮丽多彩,这里只介绍两种数阵图,即凋谢型数阵图和关闭型数阵图.二.精讲精练例1：把1～5这五个数分离填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9.解析：中央方格中的数很特别,横行的三个数有它,竖列的三个数也有它,我们把它叫做“重叠数”.也就是说,横行的三个数之和加上竖列的三个数之和,只有重叠数被加了两次,即重叠了一次,其余各数均被加了一次.因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9,所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9,重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3.重叠数求出来了,其余各数就好填了(见右图).演习1：1.把1～5这五个数分离填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8和10.2.将1～7这七个天然数填入左下图的七个○内,使得每条边上的三个数之和都等于10.例2：把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等.解析：与例1不合之处是已知“重叠数”为5,而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数.所以,必须先求出这个“和”.依据例1的剖析知,两条直线上的三个数相加,只有重叠数被加了两遍,其余各数均被加了一遍,所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10.是以,两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5.在剩下的四个数1, 2, 3, 4中,只有1+4=2+ 3=5.故有右图的填法.演习2：1.将 10～20填入左下图的○内,个中15已填好,使得每条边上的三个数字之和都相等.例3：把1～5这五个数填入右图中的○里,使每条直线上的三个数之和相等.解析：例1是知道每条直线上的三数之和,不知道重叠数;例2是知道重叠数,不知道两条直线上的三个数之和;本例是这两样都不知道.但由例1.例2的剖析知道,(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和×2,所以,每条直线上三数之和等于(15+重叠数)÷2.因为每条直线上的三数之和是整数,所以重叠数只可能是1,3或5.若“重叠数”=1,则两条直线上三数之和为(15+1)÷2=8.若“重叠数”=3,则两条直线上三数之和为(15+3)÷2=9.若“重叠数”=5,则两条直线上三数之和为(15+5）÷2=10.填法见右下图.由以上几例看出,求出重叠数是解决数阵问题的症结.(1)若已知每条直线上各数之和,则重叠数等于(直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数.如例1.(2)若已知重叠数,则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数.如例2.(3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道,则要从重叠数的可能取值剖析评论辩论,如例3. 演习3：1、将3～9这七个数分离填入下图的○里,使每条直线上的三个数之和等于20.2.将1～11这十一个数分离填入右上图的○里,使每条直线上的三个数之和相等,并且尽可能大. :例4：将1~6,使每条边上的三个○内的数的和都等于9.解析：因为1＋2＋39,则三条边上的和为9×3 = 27, 27－21 = 6,这个6就是因为三个极点都被反复算了一次.所以三个极点的和为6,在1-6中,只能选1.2.3 填入三个极点中,再将4.5.6填入别的的三个圈即可.a .b .c .d f .演习4：1.把1-8个数分离填入○中,使每条边上三个数的和相等.例5：把20以内的质数分离填入下图的一个○中,使得图顶用箭头衔接起来的四个数之和都相等.解析：由上图看出,三组数都包含左.右两头的数,所以每组数的中央两数之和必定相等.20以内共有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数,两两之和相等的有5＋19＝7＋17＝11＋13,于是得到下图的填法.演习5：1.将1~8个数分离填入图中,使每个圆圈上五个数和分离为20,21,22.例6：在右图的六个○内各填入一个质数（可取雷同的质数）,使它们的和等于20,并且每个三角形（共5个）极点上的数字之和都相等.解析：因为大三角形的三个极点与中央倒三角形的三个极点正好是图中的六个○,又因为每个三角形极点上的数字之和相等,所以每个三角形极点上的数字之和为20÷2＝10.10分为三个质数之和只能是2＋3＋5,由此得到右图的填法.演习6：1.把1~9,填入下图中,使每条线段三个数和及四个极点的和也相等.2.把1~12这十二个数,填入下图中的12个○内,使每条线段上四个数的和相等,两个齐心圆上的数的和也相等.三、课后巩固1.把1~8这8个数,分离填入图中的方格内(每个数必须用一次),使“十一”三笔中每三个方格内数的和都相等.2.把1~9个数分离填入○中,使每条边上四个数的和相等.3.把1~10填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等.4.把4~9填入下图中,使每条线上三个数的和相等,都是18.5.将1~9这九个数分离填入图中○内,使每条线段三个数相等.6. 把1~8这8个数填入下图,使每边上的加.减.乘.除成立.7.把0~9填入104个小三角形构成的大三角形的和相等.8.图有五个圆,它们订交互相分成9个区域,如今两个区域里已经填上10与6,请在别的七个区域里分离填进2.3.4.5.6.7.9七个数,使每圆内的和都等于15.9.把1~8,.10.将1-12这十二个数分离填入图中的十二个小圆圈里,使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和26.11.将1~10这十个数分离填入下图中的十个○内,使每条线段上四个○内数的和相等,每个三角形三个极点上○内数的和也相等.。
四年级奥数：数阵图
四年级奥数：数阵图（一）我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵,其解题的关键在于“重叠数”.本讲和下一讲,我们学习三阶方阵,就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图,解题的关键仍然是“重叠数”.我们先从一道典型的例题开始.例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中,使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等.分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几.我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45,正好是三个横行数字之和,所以每一横行的数字之和等于45÷3=15.也就是说,每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15.在1～9这九个数字中,三个不同的数相加等于15的有：9＋5＋1,9＋4＋2,8＋6＋1,8＋5＋2,8＋4＋3,7＋6＋2,7＋5＋3,6＋5＋4.因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字.因为中心方格中的数既在一个横行中,又在一个竖列中,还在两对角线上,所以它应同时出现在上述的四个算式中,只有5符合条件,因此应将5填在中心方格中.同理,四个角上的数既在一个横行中,又在一个竖列中,还在一条对角线上,所以它应同时出现在上述的三个算式中,符合条件的有2,4,6,8,因此应将2,4,6,8填在四个角的方格中,同时应保证对角线两数的和相等.经试验,有下面八种不同填法：上面的八个图,都可以通过一个图的旋转和翻转得到.例如,第一行的后三个图,依次由第一个图顺时针旋转90°,180°,270°得到.又如,第二行的各图,都是由它上面的图沿竖轴翻转得到.所以,这八个图本质上是相同的,可以看作是一种填法.例1中的数阵图,我国古代称为“纵横图”、“九宫算”.一般地,将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中,如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等,那么这样的图称为三阶幻方.在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等,而不要求两条对角线上的三数之和也相等,则解不唯一,这是因为在例1的解中,任意交换两行或两列的位置,不影响每行或每列的三数之和,故仍然是解.例2用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻方.分析与解：给出的九个数形成一个等差数列,对照例1,1～9也是一个等差数列.不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数,即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数,即13,17,21,25,而且对角两数的和相等,即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见右图）.与幻方相反的问题是反幻方.将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同,这样填好后的图称为三阶反幻方.例3将前9个自然数填入右图的9个方格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同,并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.分析与解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻,所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线.经试验有下图所示的三种情况：按照从1到9和从9到1逐一对这三种情况进行验算,只有第二种情况得到下图的两个解.因为第二种情况是螺旋形,故本题的解称为螺旋反幻方.例4将九个数填入左下图的九个空格中,使得任一行、任一列以及两条证明：因为每行的三数之和都等于k,共有三行,所以九个数之和等于3k.如右上图所示,经过中心方格的有四条虚线,每条虚线上的三个数之和都等于k,四条虚线上的所有数之和等于4k,其中只有中心方格中的数是“重叠数”,九个数各被计算一次后,它又被重复计算了三次.所以有九数之和+中心方格中的数×3=4k,3k+中心方格中的数×3=4k,注意：例4中对九个数及定数k都没有特殊要求.这个结论对求解3×3方格中的数阵问题很实用.在3×3的方格中,如果要求填入九个互不相同的质数,要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等,那么这样填好的图称为三阶质数幻方.例5求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方.分析与解：由例4知中间方格中的数为267÷3＝89.由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中,每组的三个数中都有89,所以每组的其余两数之和必为267-89＝178.两个质数之和为178的共有六组：5+173＝11＋167＝29＋149＝41＋137＝47+131＝71+107.经试验,可得右图所示的三阶质数幻方.练习161.将九个连续自然数填入3×3的方格内,使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于66.2.将1,3,5,7,9,11,13,15,17填入3×3的方格内,使其构成一个幻方.3.用2,4,6,12,14,16,22,24,26九个偶数编制一个幻方.4.在下列各图空着的方格内填上合适的数,使每行、每列及每条对角线上的三数之和都等于27.5.将右图中的数重新排列,使得每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等.6.将九个质数填入3×3的方格内,使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于21.7.求九个数之和为657的三阶质数幻方.第17讲数阵图（二）例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数）,使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.解：由上一讲例4知中间方格中的数为7.再设右下角的数为x,然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21,如下图所示填上各数（含x）.因为九个数都不大于12,由16－x≤12知4≤x,由x+2≤12知x≤10,即4≤x≤10.考虑到5,7,9已填好,所以x只能取4,6,8或10.经验证,当x＝6或8时,九个数中均有两个数相同,不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）.这两个解实际上一样,只是方向不同而已.例2将九个数填入右图的空格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有证明：设中心数为d.由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d.由此计算出第一行中间的数为2d——b,右下角的数为2d-c（见下图）.根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c）,3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c,d——c＋b＝d——a＋c,2c＝a＋b,a＋bc＝2.值得注意的是,这个结论对于a和b并没有什么限制,可以是自然数,也可以是分数、小数；可以相同,也可以不同.例3在下页右上图的空格中填入七个自然数,使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90.解：由上一讲例4知,中心数为90÷3＝30；由本讲例2知,右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）.其它数依次可填（见右下图）.例4在右图的每个空格中填入个自然数,使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等.解：由例2知,右下角的数为（8＋10）÷2=9；由上一讲例4知,中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图）,且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21.由此可得右下图的填法. 例5在下页上图的每个空格中填一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.解：由例2知,右下角的数为（6＋12）÷2=9（左下图）.因为左下图中两条虚线上的三个数之和相等,所以,“中心数”＝（10＋6）-9＝7.其它依次可填（见右下图）.由例3～5看出,在解答3×3方阵的问题时,上讲的例4与本讲的例2很有用处.练习171.在左下图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.2.在右上图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于24.3.下列各图中的九个小方格内各有一个数字,而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等,求x.4.在左下图的空格中填入七个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于48.5.在右上图的每个空格中填入一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.6.在右图的每个空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21.第18讲数阵图（三）数阵问题是多种多样的,解题方法也是多种多样的,这就需要我们根据题目条件灵活解题.例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中,使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等.分析与解：由上图看出,三组数都包括左、右两端的数,所以每组数的中间两数之和必然相等.20以内共有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数,两两之和相等的有5＋19＝7＋17＝11＋13,于是得到下图的填法.例2在右图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1,2,3,4.分析与解：如左下图所示,受列及对角线的限制,a处只能填1,从而b处填3；进而推知c处填4,d处填3,e处填4,……右下图为填好后的数阵图.例3将1～8填入左下图的○内,要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内.分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻,而2～7中的任何一个数都与两个数相邻,所以这两个○内只能填1和8.2只能填在与1不相邻的○内,7只能填在与8不相邻的○内.其余数的填法见右上图.例4在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数）,使它们的和等于20,而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等.分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○,又因为每个三角形顶点上的数字之和相等,所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10.10分为三个质数之和只能是2＋3＋5,由此得到右图的填法.例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个,使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k,并且k不能被未标出的数整除.分析与解：设未被标出的数为a,则被标出的八个数之和为1＋2＋…＋9-a＝45-a.由于每个顶点都属于三个面,所以六个面的所有顶点数字之和为6k＝3×（45-a）,2k＝45-a.2k是偶数,45－a也应是偶数,所以a必为奇数.若a＝1,则k＝22；若a＝3,则k＝21；若a＝5,则k＝20；若a＝7,则k＝19；若a＝9,则k＝18.因为k不能被a整除,所以只有a＝7,k＝19符合条件.由于每个面上四个顶点上的数字之和等于19,所以与9在一个面上的另外三个顶点数之和应等于10.在1,2,3,4,5,6,8中,三个数之和等于10的有三组：10＝1＋3＋6＝1＋4＋5＝2＋3＋5,将这三组数填入9所在的三个面上,可得右图的填法.练习181.将1～6这六个数分别填入左下图中的六个○内,使得三条直线上的数字的和都相等.2.将1～8这八个数分别填入右上图中的八个方格内,使上面四格、下面四格、左边四格、右边四格、中间四格及四角四格内四个数相加的和都是18.3.在下页左上图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数都是1,2,3,4.4.将1～8填入右上图的八个空格中,使得横、竖、对角任何两个相邻空格中的数都不是相邻的两个自然数.5.20以内共有10个奇数,去掉9和15还剩八个奇数.将这八个奇数填入右图的八个○中（其中3已填好）,使得用箭头连接起来的四个数之和都相等.6.在左下图的七个○内各填入一个质数,使每个小三角形（共6个）的三个顶点数之和都相等,且为尽量小的质数.7.从1～13中选出12个自然数填入右上图的空格中,使每横行四数之和相等,每竖列三数之和也相等.答案练习16练习173.（1）11；（2）9.提示：（1）右下角的数为（3+7）÷2=5,所以x=8×2-5=11.（2）右下角的数为（5+9）÷2=7,中心数为（6+9）-7=8,所以x=8×2-7=9提示：左下角的数为（13+27）÷2=20,中心数为48÷3=16.提示：右下角的数为（20+16）÷2=18,中心数为（8+18）÷2=13.提示：与例1类似.练习181.有下面四个基本解.。
小学奥数之数阵图解题方法(完整版)
小学奥数之数阵图解题方法1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】5-1-3-1.数阵图教学目标知识点拨例题精讲【答案】【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7. 说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数8765432187654321（）（2）h gf ed c ba阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。
四年级奥数详解答案-第4讲-幻方
四年级奥数详解答案第4讲第四讲幻方一、知识概要1. 幻方是一种特殊的数阵图，就是把一个正(长)方形平均分成若干格，要求把若干个连续的自然数填入方格中，且使每行、每列、每条对角线上的数的和都相等。
这个“相等的和”就叫幻和。
9个方格(3×3个)的叫三阶幻方，16个方格(4×4)的叫四阶幻方，25个方格(5×5)的就叫五阶幻方，依此类推。
2. 三阶幻方的特点：①幻和二九个数之和÷3②幻和二中心数×3③九个连续的自然数中，第五个数是中心数，第一、三、七、九是中心数四角上的数(注意：最大数和最小数填在相对的位置上)二、经典例题精讲1. 将1～9九个数字填在图中的方格中，使每行、每列、每条对角线上的数的和都相等。
分析指导：这是一个三阶幻方，中心数(5)填中间，第一、三、七、九四个数就中心数四角上的数。
如图所示：(这里我们不难看出一个特点：最大数都填在最小数的相对位置上。
如：8↔2 1↔9)2. 将1～16这十六个数分别填在四阶方阵的各个小格中，使其构成一个四阶幻方。
分析指导：这是一个四阶幻方。
四阶幻方有个特殊的方法—保持两条对角线上的数不变(先按从左到右、从上到下的顺序把1～16填好)，然后，1列和4列、2列和3例互相对换，最后，再将1行和4行、2行和3行对调。
这样两次对换后，四阶幻方就成了。
如下图所示。
这种方法，也可以这样理解：除了两条对角线上的数，剩下的四列、四行的数就构成两个重叠的矩形，8个数字就在8个顶点位置，然后按矩形对角线方向交换位置即成。
如下图所示：3. 将1～9这九个自然数填入图中的方格，使每行、每列及对角线上的三个数中，两端之和减去中间数所得差都相等(差阵图)。
分析指导：这是个特殊的数阵图，叫差阵图。
这里有个数的方法—从1～9这九个自然数中选数，按照口诀“二四为足，六八为肩，左三右七，上九下一，五居中间”，把数填入每个方格中即成。
结果如下图所示：4. 将1～13中的12个数字，填入图中的空格中，使每一横行四个数之和相等，每竖列三数之和也相等。
四年级奥数之数阵图进阶
【今日讲题】例2，例3，例5 【讲题心得】 ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ _____________________________________. 【家长评价】 ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ _____________________________________. 2这七个数字，分别填入图中各个○内，使每条线段上的三个 ○内数的和都等于14.
【课前小练习】(★) 2．请将1、2、4、6这四个数填入到下图中各空白区域内，使得每 请将 这 个数填 到下图中各空白区域内，使得每 个圆圈里的四个数字和都等于15. 3 5 7
【例2】(★★★) 把1～9这9个数分别填入下图的圆圈中，使得每条直线上的3个数的 和都相等 和都相等.
3
【铺垫】(★★)
9 7
把1至8分别填入图的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等， 各行四个数之和也相等.
知识大总结 1. 名词：重叠数、边和、圈和、数字和 1 名词：重叠数、边和、圈和、数字和. 2. 分类：放射型、封闭型、复合型 ⑴ 口诀：数边和，找重叠，列等式 ⑵ 利用整除关系. 3 3. 原则： ⑴ 一般之中寻找特殊 般之中寻找特殊 ⑵ 重叠数尽量少. 1 5 9 7
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、知识要点
在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数 阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕 生的精力来研究它的变化。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：
左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于 13。
右上图就更有意思了， 1〜9九个数字被排成三行三列， 每行的三个数字之和与每列的三个数字之和, 以及每条对角线上的三个数字之和都等于
15,是不是很奇妙！
上面两个图就是数阵图。
一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我 们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只介绍两种数阵图，即 开放型数阵图和封闭型
数阵图。
、精讲精练
例1:把1〜5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于 9。
解析：中间方格中的数很特殊， 横行的三个数有它，竖列的三个数也有它， 我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有
重叠数被加了两次，即重叠了一次 ，其余各
数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于
9 ,所以
(1+2+3+4+5)+ 重叠数=9+9,
重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
重叠数求出来了，其余各数就好填了
(见右图)。
第4讲数阵图
2
L 匸 3
4
Γ
Γ
Z
L
练习1 :
1、把1〜5这五个数分别填在左下图中的方格中，
使得横行三数之和与竖列三数之和都等于
2、将1〜7这七个自然数填入左下图的七个
O内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
解析：与例1不同之处是已知"重叠数”为5,而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，
其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于
[（1+2+3+4+5）+5] ÷ 2=10。
因此，两条直线上另两个数（非“重叠数”）的和等于10-5=5。
在剩下的四个数1, 2, 3, 4 中, 只有1+4=2+ 3=5。
故有右图的填法。
I '
Ai）-③
练习2:
1、将10〜20填入左下图的O内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。
8 和10。
例2:把1〜5这五个数填入下页
三个数之和相等。
左上图中的O里（已填入5）,使两条直线上的
例3:把1〜5这五个数填入右图中的O 里，使每条直线上的三个数之和相等。
解析：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例 2是知道重叠数，不知道两条直线上
的三个数之和；本例是这两样都不知道。
但由例
1、例2的分析知道，
（1+2+3+4+5）+重叠数=每条直线上三数之和× 2 ,所以，每条直线上三数之和等于 （15+重叠数）÷
2。
因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是 1, 3或5。
若“重叠数” =1,则两条直线上三数之和为
（15+1） ÷ 2=8。
若“重叠数” =3,则两条直线上三数之和为 （15+3） ÷ 2=9。
由以上几例看出，求出重叠数是解决数阵问题的关键。
（1） 若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于 （直线上各数之和×直线条数 -已知各数之和）÷重叠次数。
如例1。
（2）
若已知重叠数，则直线上各数之和等于 （已知各数之和+重叠数×重
叠次数）÷直线条数。
如例 2。
（3）
若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，如例 3。
练习3:
1、将3〜9这七个数分别填入下图的O 里，使每条直线上的三个数之和等于
20。
2、将1〜11这十一个数分别填入右上图的O 里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
若“重叠数” =5,则两条直线上三数之和为 (15+5 )÷ 2=10。
填法见右下图。
©
© -
©
练习4:
1、把1-8个数分别填入O 中，使每条边上三个数的和相等。
例5:把20以内的质数分别填入下图的一个O 中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。
Cx)-CHD
^O→O
z
例4:将1~6分别填在图中，使每条边上的三个O 内的数的和都等于
9.
解析：因为1 + 2 + 3+ 4+ 5+
6 = 21
,而每条边上的三个数的和为
9,
则三条边上的和为 9× 3 = 27,
27- 21 = 6 ,这个6就是由于三个顶点都被重复算了一次。
所以三个顶点的和为 选1、2、3填入三个顶点中，再将 4、5、6填入另外的三个圈即可。
6,在1-6中，只能
解析：由上图看出，三组数都包括左、右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等。
20以内共有
2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有
5+ 19 = 7+ 17 = 11+ 13,于是得到下图的填
练习5:
解析：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个O, 顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为 是2+ 3 + 5，由此得到右图的填法。
练习6:
1、把1~9,填入下图中，使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等。
2 、把1~12这十二个数，填入下图中的12个O 内，使每条线段上四个数的和相等
，两个同心圆上的数
例6:在右图的六个O 内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于
（共5个）顶点上的数字之和都相等。
20
，而且每个三角形
又因为每个三角形
20 ÷ 2= 10。
10
分为三个质数之和只能
20,21,22。
1、将1~8个数分别填入图中
三、课后巩固
1、把1~8这8个数,分别填入图中的方格内（每个数必须用一次都
相等。
2、把1~9个数分别填入O中,使每条边上四个数的和相等。
3、把1~10填入图中,使五条边上三个O内的数的和相等。
4、把4~9填入下图中，使每条线上三个数的和相等，都是18。
将1~9这九个数分别填入图中O内，使每条线段三个数相等。
5
、
减、乘、除成
立。
),使I^一”三笔中每三个方格内数的和
7、把0~9填入10个小三角形中，使每4个小三角形组成的大三角形的和相等。
&图有五个圆，它们相交相互分成9个区域，现在两个区域里已经填上10与6,请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数,使每圆内的和都等于15。
9、把1~8,填入图中，使每条线及正方形四个顶点上的数的和相等。
10、将1-12这十二个数分别填入图中的十二个小圆圈里，使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和
26。
11、将1~10这十个数分别填入下图中的十个。
内，使每条线段上四个O内数的和相等，每个三角形三个顶
点上O内数的和也相等。