2019年全国2卷 理科数学真题(解析版)

19年全国2卷 理数

一、选择题：

1．设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =

A ．(-∞，1)

B ．(-2，1)

C ．(-3，-1)

D ．(3，+∞) 2．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 3．已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ?= A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：

121

223

()()M M M R r R r r R +=++.

设r R

α=，由于α的值很小，因此在近似计算中3453

2

333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A

B

C

D

5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 6．若a >b ，则

A ．ln(a ?b )>0

B ．3a <3b

C ．a 3?b 3>0

D ．│a │>│b │ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面

8．若抛物线y 2

=2px (p >0)的焦点是椭圆

22

31x y p p

+=的一个焦点，则p =

A ．2

B ．3

C ．4

D ．8

9．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2

π

)单调递增的是

A ．f (x )=│cos 2x │

B ．f (x )=│sin 2x │

C ．f (x )=cos│x │

D ．f (x )= sin │x │

10．已知α∈(0，2

π

)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=

A ．15 B

5 C

3 D

5

11．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点，O 为坐标原点，

以OF 为直径的圆与圆222

x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为

A

B

C ．2 D

12．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意

(,]x m ∈-∞，都有8

()9

f x ≥-，则m 的取值范围是

A ．9,4

??-∞ ??

?

B ．7,3

??-∞ ??

?

C ．5,2

??-∞ ??

?

D ．8,3

??-∞ ??

?

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有

20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.

14．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________. 15．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π

6,2,3

b a

c B ===

，则ABC △的面积为__________. 16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南

北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）

.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.（本题第一空2分，第二空3分.）

三、解答题：

17．如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.

（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；

（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值.

18．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束.

（1）求P （X =2）；

（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.

19．已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-.

（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.

20．已知函数()1

1

ln x f x x x -=-

+. （1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；

（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x

y =的切线.

21．已知点A (?2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为?

12

.记M 的轨迹为曲线C .

（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C

于点G .

（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分． 22．在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM

垂直，垂足为P .

（1）当0=

3

θπ

时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.

23．已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--

（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；

（2）若(,1]x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.

19

年全国2卷 理数 参考答案

1．A 2．C 3．C 4．D 5．A

6．C 7．B 8．D 9．A 10．B 11．A 12．B 13．0.98 14．–3

15．63 16．26；21-

17．解：（1）由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，BE ?平面11ABB A ，

故11B C ⊥BE ．

又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．

（2）由（1）知190BEB ∠=?．由题设知11Rt Rt ABE A B E ?△△，所以45AEB ∠=?， 故AE AB =，12AA AB =．

以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，||DA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，

则C （0，1，0），B （1，1，0），1C （0，1，2），E （1，0，1），(1,1,1)CE =-，1(0,0,2)CC =． 设平面EBC 的法向量为n =（x ，y ，x ），则

0,0,CB CE ??=??

?=??n n 即0,

0,x x y z =??-+=? 所以可取n =(0,1,1)--.

设平面1ECC 的法向量为m =（x ，y ，z ），则 10,0,

CC CE ??=??

?=??m m 即20,

0.z x y z =??-+=? 所以可取m =（1，1，0）． 于是1

cos ,||||2

?<>=

=-n m n m n m ．

所以，二面角1B EC C --的正弦值为

3

2

． 18．解：（1）X =2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙

得分．因此P （X =2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．

（2）X =4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分． 因此所求概率为

[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．

19．解：（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111

()2

n n n n a b a b +++=

+． 又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为1

2

的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+， 即112n n n n a b a b ++-=-+．

又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列．

（2）由（1）知，11

2

n n n a b -+=

，21n n a b n -=-． 所以111

[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-，

111[()()]222

n n n n n n b a b a b n =+--=-+．

20．解：（1）f （x ）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增．

因为f （e ）=e 110e 1+-<-，222

22e 1e 3(e )20e 1e 1

f +-=-=>--， 所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．

又1

101x <

<，1

111111

()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-， 故f （x ）在（0，1）有唯一零点1

1

x ．

综上，f （x ）有且仅有两个零点．

（2）因为

0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，0

1

x ）在曲线y =e x 上． 由题设知0

()0f x =，即0001ln 1

x x x +=-， 故直线AB 的斜率000000

000

00111ln 111ln 1

x x x x x k x x x x x x +---===+-----．

曲线y =e x 在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是0

1

x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是

1x ， 所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线．

21．解：（1）由题设得1

222

y y x x ?=-+-，化简得221(||2)42x y x +

=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．

（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．

由22142

y kx

x y =??

?+

=??

得x =

记u =

，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．

于是直线QG 的斜率为

2k ，方程为()2

k

y x u =-． 由22

(),2142

k y x u x y ?

=-????+=??得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①

设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得32

2G uk y k

=+． 从而直线PG 的斜率为322

2

12(32)2uk

uk k u k k

u

k -+=-+-+． 所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．

（ii ）由（i

）得||2PQ =

22||2PG k =+， 所以△PQG 的面积2

222

1

8()

18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k

++===++++‖． 设t =k +1

k

，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号．

因为2

812t

S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169．

因此，△PQG 面积的最大值为16

9

．

22．解：（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=

时，04sin 3

ρπ

==由已知得||||cos 23

OP OA π

==.

设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点.在Rt OPQ △中cos ||23OP ρθπ?

?-== ??

?，

经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ?

?-= ???上.

所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ?

?-= ??

?.

（2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=..

因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ??

????

.

所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ??=∈????

π .

23．解：（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.

当1x <时，2

()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥.

所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞. （2）因为()=0f a ，所以1a ≥.

当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x ----- 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.

19年全国2卷 理数 解析版

一、选择题

1．设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =

A ．(-∞，1)

B ．(-2，1)

C ．(-3，-1)

D ．(3，+∞)

答案：A 解答：{2|<=x x A 或}3>x ，{}1|<=x x B ，∴）（1,∞-=?B A . 2. 设i z 23+-=,则在复平面内z 对应的点位于（ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

答案：C 解析：i 23z --=，对应的点坐标为），（2-3-,故选C. 3．已知(2,3)AB =，(3,)AC t = ，||1BC = ，则AB BC ?=（ ） A.3- B.2- C.2 D.3 答案：C

解答：∵(1,3)BC AC AB t =-=-，

∴2||1(1BC t =+=，解得3t =，(1,0)BC =，

∴2AB BC ?=. 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就。实现月球背面软着路需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地球月拉格朗日错误!未找到引用源。点的轨道运行，错误!未找到引用源。点是平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球的质量为错误!未找到引用源。，月球质量为错误!未找到引用源。，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程

121223

()()M M M R r R r r R +=++。设=r

R

α。由于α的值很小，因此在近似计算中

3453

2

3+331αααα

α+≈+（），则r 的近似值为（ ）

A B

C D 答案：D 解答：

121121

2232222

()(1)()(1)M M M M M M R r R r r R R r R αα+=+?+=+++

所以有2321122222

1

33[(1)](1)(1)M M M r R R αααααα++=+-=?++

化简可得22333

122122

1

333(1)3M r M M M R M αααααα++=?=??=+，可得r =。 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个

最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差

答案：A 解答：由于共9个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第5个，假设为a ，去掉一头一尾的最低和最高分后，中位数还是a ，所以不变的是数字特征是中位数。其它的数字特征都会改变。 6. 若a b >，则（ ）

A.ln()0a b ->

B.33a b <

C.33

0a b -> D.||||a b >

答案：C 解答：由函数3

y x =在R 上是增函数，且a b >，可得33a b >，即33

0a b ->. 7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( )

A. α内有无数条直线与β平行

B. α内有两条相交直线与β平行

C. ,αβ平行于同一条直线

D. ,αβ垂直于同一平面 答案：B 解析：根据面面平行的判定定理易得答案.选B. 8．若抛物线y 2

=2px (p >0)的焦点是椭圆

2

2

31x y p p

+

=的一个焦点，则p =

A ．2

B ．3

C ．4

D ．8 答案：D

解答：抛物线)0(22

>=p px y 的焦点是)0,2

(p

，椭圆

1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±， ∴p p

22

=，∴8=p . 9．下列函数中，以

2π

为周期且在区间(

4π，

2

π

)单调递增的是

A ．f (x )=│cos 2x │

B ．f (x )=│sin 2x │

C ．f (x )=cos│x │

D ．f (x )= sin │x │ 答案：A

解答：对于A,函数|2cos |)(x x f =的周期2T π

=

,在区间,42ππ??

???单调递增,符合题意；

对于B,函数|2sin |)(x x f =的周期2T π=,在区间,42ππ??

???

单调递减,不符合题意；

对于C ，函数x x x f cos ||cos )(==，周期2T π=,不符合题意； 对于D,函数||sin )(x x f =的周期T π=,不符合题意.

10．已知α∈(0，

2

π)，2sin 2α=cos 2α + 1，则sin α=

A ．

1

5

B ．

5

5

C ．

3

3

D ．

25

5

答案：B

解析：(0,

)2

π

α∈，22sin 2cos 214sin cos 2cos ααααα=+?=，

则12sin cos tan 2

ααα=?=，所以2

125cos 1tan 5αα==+，所以2

5sin 1cos αα=-=. 11. 设F 为双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆

222x y a +=交于,P Q 两点，若||||PQ OF = ，则C 的离心率为（ ）

A.2

B.3

C.2

D.5

答案:A 解答：∵||||PQ OF c ==，∴90POQ ∠=, 又||||OP OQ a ==，∴2

2

2

a a c += 解得

2c

a

=，即2e =.

12. 已知函数的定义域为x R ∈，(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，若对任意的

(,]x m ∈-∞，都有8

()9

f x ≥-，则m 的取值范围是（ ）

A ．9(,]4-∞

B ．7(,]3-∞

C ．5(,]2-∞

D ．2

(,]3

-∞

答案：B

解答：由当x R ∈，(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-可知当(1,2]x ∈时，

231()2()22f x x =--，当(2,3]x ∈时，25

()4()12

f x x =--，……当(,1],x n n n Z ∈+∈时，

221()2()22n n f x x n -=---，

函数值域随变量的增大而逐渐减小，对任意的(,]x m ∈-∞，都有8

()9

f x ≥-有23854()1()292m m --≥-<解得的取值范围是7

3

m ≤。

二、填空题

13. 我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20 个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 . 答案：0.98

解答：经停该站的列出共有40个车次，所有车次的平均正点率的估计值为

100.97200.98100.99

0.9840

P ?+?+?=

=。

14. 已知()f x 是奇函数，且当0x <时,()ax

f x e =- .若(ln 2)8f =，则a =_______. 答案：3-

解答：∵ln 2

ln 2(ln 2)(ln 2)()()28a a a f f e e ---=--=--===，∴3a =-. 15. ABC ?的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若,3

,2,6π

===B c a b 则ABC ?的面积为_______.

答案：36

解析：

21

436423cos cos 2

22222=-+=-+==c c c ac b c a B π

,

3

623

323421sin 21,34,32=???==∴==∴B ac S a c

16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南

北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)

答案：26 2-1

解析：由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解. 三、解答题

17. 如图，长方体1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1EC BE ⊥ （1）证明：⊥BE 平面11C EB ;

（2）若E A AE 1=，求二面角1C EC B --的正弦值.

解析：（1）证明：∵⊥11C B 平面1ABB ，?BE 平面1ABB ， ∴BE C B ⊥11，又1EC BE ⊥，1111C C B EC = ， ∴⊥BE 平面11C EB .

（2）设底面边长为1，高为x 2，∴122+=x BE ，12

21+=x E B ，

∵⊥BE 平面11C EB ，∴?=∠901BEB 即2

12

12BB E B BE =+，∴22422x x =+解得1=x .

∵⊥BC 平面11ABB A ，∴E B BC 1⊥，又BE E B ⊥1，∴⊥E B 1平面BCE ，故B 1为平面BCE 的一个法向量.

∵平面CE C 1与平面11ACC A 为同一平面，故11D B 为平面CE C 1的一个法向量， 在E D B 11?中，∵21111=

==E B E D D B 故B 1与11D B 成?60角，

∴二面角1C EC B --的正弦值为2

360sin =

?. 18. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求(2)P X =；

（2）求事件“4X =且甲获胜”的概率. 解析：

（1）2X =时，有两种可能： ①甲连赢两局结束比赛，此时10.50.40.2P =?=； ②乙连赢两局结束比赛，此时20.50.60.3P =?=， ∴12(2)0.5P X P P ==+=；

（2）4X =且甲获胜，即只有第二局乙获胜，其他都是甲获胜， 此时0.50.60.50.40.06P =???=.

19. 已知数列{}n a 和{}n b 满足11=a ，01=b ，4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b . （1）证明： {}n n b a +是等比数列，{}n n b a -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式.

解析：(1)将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 相加可得n n n n n n b a b a b a --+=+++334411，

整理可得)(2111n n n n b a b a +=

+++，又111=+b a ，故{}n n b a +是首项为1，公比为2

1

的等比数列. 将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 作差可得8334411+-+-=-++n n n n n n b a b a b a ，

整理可得211+-=-++n n n n b a b a ，又111=-b a ，故{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列.

（2）由{}n n b a +是首项为1，公比为

21的等比数列可得1)2

1

(-=+n n n b a ①； 由{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列可得12-=-n b a n n ②；

①②相加化简得21)21(-+=n a n n ，①②相减化简得2

1

)21(+-=n b n n 。

20. 已知函数1

()ln 1

x f x x x +=--

(1) 讨论函数()f x 的单调性，并证明函数()f x 有且只有两个零点；

(2) 设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线x

y e =的切

线。

解答：（1）函数的定义域为(0,1)

(1,)+∞，又2211(1)12

()0(1)(1)

x x f x x x x x --+'=

-=+>--，所以函数在(0,1),(1,)+∞上单调递增，又22

12

32

()0,()011

e f e f e e e ---=<=>--，所以在区间(0,1)存在一个零点，且22

23(2)ln 230,()01

e f f e e -=-<=>-，所以在区间(1,)+∞上也存在一个零点，所以函数有且只有2个零

点；

（2）因为0x 是函数的一个零点，所以有000012

ln 111

x x x x +==+--。曲线ln y x =在00(,ln )A x x 处的切线方程为0000112ln 11y x x x x x x =+-=+-，曲线曲线x

y e =当切线斜率为01x 时，切点坐标为00

1(ln ,)x x -，切线方程为00011(ln )y x x x x -

=+，化简为00000

0002

11ln 111

112

1

x x y x x x x x x x x x +

++-=+=+=+

-，所以曲线ln y x =在00(,ln )A x x 处的切线也是曲线x

y e =的切线。

21. 已知点(2,0),(2,0)A B -，动点(,)M x y 满足直线AM 和BM 的斜率之积为1

2

-

，记M 的轨迹为曲线

C .

（1）求C 的方程，并说明C 什么曲线； （

2）过坐标原点的直线交C 于,P Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .

①证明：PQG ?是直角三角形； ②求PQG ?的面积的最大值. 解答：

(1)由题意得：

1222

y y x x ?=-+-，化简得： 22

1(2)42x y x +=≠±，表示焦点在x 轴上的椭圆（不含与x 轴的交点）.

(2) ①依题意设111100(,),(,),(,)P x y Q x y G x y --，直线PQ 的斜率为k (0)k > ，则

101010101010,PG GQ y y y y y y k k x x x x x x ---+===---+， ∴22

1022

1012

PG GQ y y k k x x -?==--， 又1111122GQ EQ y y k

k k x x x -==

==--， ∴1PG k k

=-， ∴PG PQ ⊥，即PQG ?是直角三角形.

②直线PQ 的方程为(0)y kx x =>，联立22142y kx x y

=???+=?? ，得12

122121x k y k ?

=?+???=?+?

， 则直线21111111111

:()k PG y x x y x x kx x x k k k k k

+=--+=-++=-+

， 联立直线PG 和椭圆C ，可得22222

11222

24(1)2(1)(1)40x k x k x x k k k

+++-+-=， 则211024(1)2x k x x k ++=+，∴2111012114(1)

()222

PQG x k S y x x kx k ?+=+=?+

22

2242

22

18()8(1)8(1)1(2)(21)2522()5

k k k k k k k k k k k k +++===++++++， 令1

t k k

=+，则2t ≥，

∴22888

1

2(2)5212PQG t t S t t t t

?===-+++，

∵min 19(2)2t t +=

， ∴max 16()9

PQG S ?=. 四、选做题（2选1）

22.选修4-4（极坐标与参数方程）

在极坐标系中，O 为极点，点00(,)M ρθ0(0)ρ>在曲线:=4sin C ρθ上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当03

π

θ=时，求0ρ及l 的极坐标方程；

（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.

解答： （1）当03

π

θ=

时，00=4sin 4sin

3

π

ρθ==

以O 为原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，

在直角坐标系中有M ，(4,0)A

，OM k =，则直线l 的

斜率3k =-

，由点斜式可得直线l

：4)3y x =-

-，化成极坐标方程为sin()26

π

ρθ+=； （2）∵l OM ⊥∴2

OPA π

∠=

，则P 点的轨迹为以OA 为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为

2

2

(2)4x y -+=，化成极坐标方程为=4cos ρθ，又P 在线段OM 上，由4sin 4cos ρθρθ

=??=?可得4π

θ=，∴P

点轨迹的极坐标方程为=4cos ρθ(,)42ππθ??

∈????

.

23.选修4-5（不等式选讲）

已知()2()f x x a x x x a =-+--。

（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；

（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围。

解答：（1）当1a =时，22242(2),()12(1)22(12),242(1).x x x f x x x x x x x x x x ?-+≥?

=-+--=-<

所以不等式()0f x <等价于224202x x x ?-+

1

x x x ?-+-

{}2x x <。

（2）当1a ≥时，由(,1)x ∈-∞，可知()2()(1)0f x a x x =--<恒成立，当1a <时根据条件可知()0f x <不恒成立。所以a 的取值范围是1a ≥。