24.2相似图形的性质(1)
(课件)24.2相似图形的性质(成比例线段)
a 各等于多少？ ab
、
习题和24.2
3．判断下列各组线段是否是成比例线段： （1） 2厘米，3厘米，4厘米，1厘米； （2） 1．5厘米，2．5厘米，4．5厘米，6．5厘米； （3） 1．1厘米，2．2厘米，3．3厘米，4．4厘米； （4） 1厘米，2厘米，2厘米，4厘米．
∴ ad＝bc， 在等式两边同加上ac， ∴ ad＋ac＝bc＋ac， ∴ ac－ad＝ac－bc， ∴ a（c－d）＝（a－b）c， 两边同除以（a－b）（c－d）， a c ∴ ab cd
．
a b ， 2．已知： 线段a、b、c满足关系式 b c 且b＝4，那么ac＝______．
之间有关系_______________
图 24.2.1
像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果 其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的 a c 比， 如 b d （或a∶b＝c∶d），那么，
这四条线段叫做成比例线段，简称比例 线段．此时也称这四条线段成比例．
例1判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
a c ab cd ； 例2 证明：（1）如果 ，那么 b d b d
a c 证明（1）∵ b d
在等式两边同加上1， a c ∴ 1 1 b d
∴
ab cd b ． d
（2）
a c （2） ∵ b d
a c a c 如果 ，那么 a b c d b d
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10； 5 1 a 4 2 c 解 （1） ∵ b 6 3 d 10 2
a c ， ∴ bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱd
，
，
∴ 线段a、b、c、d不是成比例线段．
相似三角形的性质及判定(1)含答案 非常的全面
一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC AC kA B B C A C ===''''''（k 为相似比）．相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）．M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC kA B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BCAHkS B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法 欲证AB BC BEBF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF△∽△．2．纵向定型法欲证AB D E BCEF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是D E 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC D EF△∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
华东师大版初中数学电子教材 第24章1 图形的相似
第24章图形的相似 (2)§24.1 相似的图形 (3)§24.2 相似图形的性质 (5)1．成比例线段 (5)2．相似图形的性质 (6)阅读材料 (10)第24章图形的相似你瞧，那些大大小小的图形是多么地相像！日常生活中，我们经常会看到这种相似的图形，那么它们有什么主要特征与关系呢？§24.1 相似的图形观察图24.1.1，你会发现右边的照片是由左边的照片放大得来的．尽管它们大小不同，但形状相同．图24.1.1图24．1．2是两张大小不同的世界地图，左边的图形可以看作是右边的图形缩小得来的．由于不同的需要，对某一地区，经常会制成各种大小的地图，但其形状（包括地图中所描绘的各个部分）肯定是相同的．图24.1.2日常生活中我们会碰到很多这种形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似图形（similar figures）．同一底片扩印出来的不同尺寸的照片也是相似图形．放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像，都是彼此相似的．图24．1．3所示的是一些相似的图形．图24.1.3观察图24．1．4中的三组图形，看起来每组中的两个图形都具有一些相像的成分，其实形状是不相同的，这样的图形就不是相似图形．图24.1.4试一试如图24．1．5，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．和你的伙伴交流一下，看看谁的方法又快又好．图24.1.5练习1．观察你周围的事物，举出几个相似图形的例子．2．你看到过哈哈镜吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？习题24．11．试着用本书最后所附的格点图把下面的图形放大．（第1题）2．观察下面的图形（a）~（g），其中哪些是与图形（1）、（2）或（3）相似的？（第2题）§24.2 相似图形的性质1.成比例线段试一试由下面的格点图可知，B A AB ''＝_________，C B BC ''＝________，这样B A AB ''与C B BC''之间有关系_______________．图24.2.1概括像这样，对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如dcb a =（或a ∶b ＝c ∶d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）．此时也称这四条线段成比例．例1判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段：（1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10；（2）a ＝2，b ＝5，c ＝152，d ＝35．解 （1） ∵3264==b a ，21105==d c ， ∴dc b a ≠， ∴ 线段a 、b 、c 、d 不是成比例线段． （2） ∵55252==b a ，55235152==d c ， ∴dc b a =， ∴ 线段a 、b 、c 、d 是成比例线段． 对于成比例线段我们有下面的结论： 如果dcb a =，那么ad ＝bc ． 如果ad ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么dc b a =． 以上结论称为比例的基本性质．例2证明：（1）如果d c b a =，那么ddc b b a +=+； （2） 如果d c b a =，那么d c cb a a -=-． 证明（1）∵d cb a =，在等式两边同加上1，∴11+=+d cb a ， ∴ dd c b b a +=+． （2） ∵ dcb a =，∴ ad ＝bc ，在等式两边同加上ac ， ∴ ad ＋ac ＝bc ＋ac ， ∴ ac －ad ＝ac －bc ，∴ a （c －d ）＝（a －b ）c ， 两边同除以（a －b ）（c －d ）， ∴dc cb a a -=-．练习1．判断下列线段是否是成比例线段： （1）a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝3m ，d ＝6m ； （2）a ＝0．8，b ＝3，c ＝1，d ＝2．4． 2．已知： 线段a 、b 、c 满足关系式cbb a =，且b ＝4，那么ac ＝______． 3．已知23=b a ，那么b b a +、ba a-各等于多少？ 2．相似图形的性质两个相似的平面图形之间有什么关系呢？为什么有些图形是相似的，而有些不是呢？相似图形有什么主要性质呢？做一做图24．2．2是某个城市的大小不同的两张地图，当然，它们是相似的图形．设在大地图中有A 、B 、C 三地，在小地图中的相应三地记为A ′、B ′、C ′，试用刻度尺量一量两张地图中A （A ′）与B （B ′）两地之间的图上距离、B （B ′）与C （C ′）两地之间的图上距离．图24.2.2AB ＝______cm ， BC ＝______cm ； A ′B ′＝______cm ， B ′C ′＝______cm ．显然两张地图中AB 和A ′B ′、BC 和B ′C ′的长度都是不相等的，那么它们之间有什么关系呢？小地图是由大地图缩小得来的，我们能感到线段A ′B ′、B ′C ′与AB 、BC 的长度相比都“同样程度”地缩小了． 计算可得B A AB ''＝________，C B BC''＝________． 我们能发现B A AB ''＝CB BC''．上面地图中AB 、A ′B ′、BC 、B ′C ′这四条线段是成比例线段．实际上，上面两张相似的地图中的对应线段都是成比例的．这样的结论对一般的相似多边形是否成立呢？图24．2．3中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间是否有以上的关系呢？对应角之间又有什么关系？图24.2.3再看看图24．2．4中两个相似的五边形，是否与你观察图24．2．3所得到的结果一样？图24.2.4概括由此可以得到两个相似多边形的性质： 对应边成比例，对应角相等．实际上这也是我们判定两个多边形是否相似的方法，即如果_________________________，那么这两个多边形相似．例 在图24．2．5所示的相似四边形中，求未知边x 的长度和角度α的大小．图24.2.5分析利用相似多边形的性质和多边形的内角和公式就可以得到所需结果，但利用相似多边形的性质时，必须分清对应边和对应角．解 ∵ 两个四边形相似，∴ 181218x ，∴ x ＝27．∴ α＝360°－（77°＋83°＋117°）＝83°．思考两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？练习1．（1）根据图示求线段比：CD AC ，CB AC ，DBCD；（第1题）（2）试指出图中成比例的线段．2．等腰三角形两腰的比是多少？直角三角形斜边上的中线和斜边的比是多少？ 3．下图是两个等边三角形，找出图形中的成比例线段，并用比例式表示．（第3题）4．根据下图所示，这两个多边形相似吗？说说你的理由．（第4题）5．如图，正方形的边长a ＝10，菱形的边长b ＝5，它们相似吗？请说明理由．（第5题）习题24．21．所有的矩形都相似吗？所有的正方形呢？2．在比例尺为1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25厘米，则两地的实际距离是多少？3．判断下列各组线段是否是成比例线段： （1） 2厘米，3厘米，4厘米，1厘米；（2） 1．5厘米，2．5厘米，4．5厘米，6．5厘米； （3） 1．1厘米，2．2厘米，3．3厘米，4．4厘米； （4） 1厘米，2厘米，2厘米，4厘米．4．两地的实际距离为200米，地图上的距离为2厘米，这张地图的比例尺为多少？ 5．如图所示的两个矩形是否相似？（第5题）6．在本书最后所附的格点图中画出两个相似的三角形、四边形、五边形．7．已知：53=-b b a ，求b a的值． 8．已知d c b a =（b ±d ≠0），求证：db db c a c a -+=-+．阅读材料黄金分割两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约公元前408—前355年）发现：将一条线段（AB）分割成大小两条线段（AP、PB），若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即ABAPAPPB（此时线段AP叫做线段PB、AB的比例中项），则可得出这一比值等于0．618…．这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．自然界中的黄金分割连女神维纳斯的雕像上也都烙有“0.618”的印记雅典帕德嫩神庙：包含黄金矩形的建筑物，它是世界上最美丽的建筑之一为什么人们会关注黄金分割呢？那是因为人们认为这个分割点是分割线段时最优美的、最令人赏心悦目的点．自古希腊以来，黄金分割就被视为最美丽的几何学比率，并广泛地用于建造神殿和雕刻中．但在比古希腊还早2000多年所建的金字塔中，它就已被采用了．文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异．但这些金字塔的高与底面的边长的比都接近于0．618．不仅在建筑和艺术中，就是在日常生活中，黄金分割也处处可见．如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众看上去感觉最好．有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比也接近黄金比．就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0．618．还有黄金矩形、黄金三角形（顶角为36°的等腰三角形）等，五角星中更是充满了黄金分割．去发现大千世界中奇妙无比的黄金分割吧！。
24.2.2相似图形的性质 学案
24.2.2《相似图形的性质》教学案学习目标：1、探索并掌握相似多边形的性质。
2、解两个多边形相似的判定方法。
复习导学：1、怎样的图形是相似图形？2、什么是成比例线段？3、两个相似的平面图形之间有什么关系呢？为什么有些图形是相似的，而有些不是呢？相似图形有什么主要性质呢？课堂学习研讨：1、学生做一做（课本47--48页）：2、自主探究、猜想（1）动手实验，直观探索图18.2.2中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间是否为比例线段的关系呢？对应角之间又有什么关系？（提示：为了验证你的猜测是否正确，可以用刻度尺和量角器量量看。
）图18.2.2再看看图18.2.3中两个相似的五边形，是否与你观察图18.2.2所得到的结果一样？图18.2.33、交流合作，大胆猜想在独立动手的基础上，进行交流与合作，并大胆地猜想结果。
4、概括总结，确认猜想概括：由此可以得到两个相似多边形的特征：对应边成比例，对应角相等。
实际上这也是我们识别两个多边形是否相似的方法，即如果_________________________________________，那么这两个多边形相似。
提醒：这就是我们判定两个多边形是否相似的判定方法。
想一想：如果两个多边形的边数不同呢？5、范例讲解例：在图18.2.4所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角度a的大小。
图18.2.4解：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以1847y ==解得x ＝ ， y ＝ 。
a ＝ 360°－（ ）＝ 。
注意:利用相似多边形的性质时,必须分清对应边和对应角.6、思 考：（1）两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？两个等腰直角三角形呢？（2）所有的菱形都相似吗？所有的矩形呢？所有的正方形呢？课堂达标练习：1．根据下图所示，这两个多边形相似吗？说说你的理由。
（第一题）(第2题)2．如图，正方形的边长a = 10，菱形的边长b = 5，它们相似吗？请说明理由。
图形的相似知识点
图形的相似知识点一、相似图形知识点1 相似图形的概念具有相同形状的图形叫做相似图形注意：由定义易得两个圆、正方形、等边三角形，等腰直角三角形必是相似图形；而两个等腰三角形，菱形，矩形不一定是相似图形。
知识点2 在格点（或网格）图中画已知图形的相似图形即通过放大或缩小在网格中画出所需图形（按比例放大或缩小）注意：每一边放大或缩小的数量必须一样，可先定点后定边。
若无特殊说明，画出与原图形全等的图形也正确。
二、相似图形的性质知识点1 线段的比一般地，在同一长度单位下量得两条线段长度的比称为这两条线段的比注意：（1）线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时单位应统一；（2）线段的比有顺序，即a:b ≠b:a（3）比值总为正数知识点2 比例线段对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如a c b d =（或::a b c d =），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
此时也称这四条线段成比例。
判断四条线段是否成比例：（1）按从小到大（或从大到小）排列（2）判断前两条线段的比是否等于后两条线段的比知识点3 比例的基本性质交叉相乘：(,,,0)a c ad bc a b c d b d=⇔=均不等于（可用于验证等式成立，或求解成比例的未知数） ,.a c a b c d a c b d b d a b c d++===--如果，那么（可用倒数验证） 拓展：a c a nb c nd b d b d ±±==如果，那么。
（分母不变，分子加上或减去分母的倍数） 知识点4 相似多边形的性质、判断性质：两个相似多边形的对应边成比例（构造比例方程求对应边），对应角相等（根据内角和定理求内角）；2. ⎧⎨⎩1.全等是相似的特例：即全等必相似，可通过放大或缩小得到：即形状完全相同， 与位置，大小无关判定：如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似。
江苏省2020年中考数学复习课件--第二十四讲 相似图形2
A．1∶4
B．1∶3
C．1∶2
D．2∶1
当堂过关
2．(2019·沈阳)已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中 线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是 ( C)
A．3∶5 B．9∶25 C．5∶3 D．25∶9
当堂过关
3．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且
课后精练（A组）
1．(2019·赤峰)如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点， ∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是( C )
A．1
B．2 C．3 D．4
课后精练（A组）
2．(2018·自贡)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC 的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为( D )
两个位似图形的位置可以在位似中心的同侧，也可以在位 似中心的异侧(位似图形是位置特殊的相似图形，具有相似图 形的所有性质)．
2．性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的_距__离____ 之比等于位似
课堂精讲
考点1 相似三角形的性质 例1 (2019·常州)若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则
∴△ACD∽△BCE.∴ABDE＝ABCC＝ 33.
∵∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，∴∠BAE＝90°.
又 AB＝2AC＝4，AE＝4 3，
∴BE＝ AB2＋AE2＝8.∴AD＝ 33BE＝833.
当堂过关
1.(2019·西藏)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的中点， 则△ADE与△ABC的面积之比是( A )
AC＝2，AE＝4，求AD的长．
课堂精练
【分析】(1)连接 BE，证明△ACD≌△BCE，得到 AD＝BE； 在 Rt△BAE 中，AB＝4 2，AE＝2，求出 BE，得到答案；(2)连 接 BE，证明△ACD∽△BCE，得到ABDE＝ABCC＝ 33，求出 BE 的 长，得到 AD 的长．
知识点1 图形相似的定义
知识点1 图形相似的定义定义：我们把形状相同的图形叫做相似图形. （1）两个图形相似，其中一个图形可以看做是由 另一个图形放大或缩小得到的. （2）全等图形可以看成是一种特殊的相似图形， 即不仅形状相同，大小也相同. （3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是相同，与图形的大小、位置无关，这也 是相似图形的本质.【例1】下列图形不是相似图形的是( )A.同一张底片冲洗出来的两张不同尺寸的照片B.用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原 有图案C.某人的侧身照片和正面照片D.大小不同的两张同版本中国地图 解析：依据图形相似的定义，某人的侧身照片和正 面照片是两个不同角度的照片，它们的形状不同，因此不是相似图形. 答案：C知识点2 线段成比例注意：在a cb d ，b=c 时，我们把b 叫做a,d 的比例中 项，此时b 2=ad. 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC >BC )，如果AC 是线段AB 和BC 的比例中项，且ACAB＝BC AC ＝5－12≈0.618，则C 点叫做线段AB 的黄金分割点．【例2】已知线段a 、b 、c 、d 成比例线段，其中 a=2 m ，b=4 m ，c=5 m ，则d=（）A.1 mB.10 mC. mD. m解析：根据比例线段的定义得到a∶b=c∶d,然后把a=2 m，b=4 m，c=5 m代入进行计算即可∵线段a、b、c、d是成比例线段∴a∶b=c∶d而a=2 m，b=4 m，c=5 m∴d= bca452⨯= =10 m答案：B知识点3 相似多边形及其性质定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.注意：（1）仅有角相等，或仅有对应边成比例的两个多边形不一定相似.（2）相似比的值与两个多边形的前后顺序有关.【例3】如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH 的长度解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，∠β=360°-(83°+78°+118°)=81°，EH：AD=HG：DC∴EH24 2118=∴EH=28(cm)．答：∠=83°，∠=81°，EH=28cm．ABC 相似，且 △DEF 的最大边长为20，则△DEF 的周长为 解：∵△DEF ∽△ABC ，△ABC 的三边之比为2：3：4 ∴△DEF 的三边之比为2：3：4 又∵△DEF 的最大边长为20∴△DEF 的另外两边分别为10、15 ∴△DEF 的周长为10+15+20=45 答案：45知识点1 相似三角形的判定定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 因为DE ∥BC ，所以图中△ABC ∽△ADE.【例1】如图所示，已知在ABCD中，E 为AB 延长线 上的一点，AB =3BE ，DE 与BC 相交于点F ，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD,AD//BC∴△BEF∽△CDF,△BEF∽△AED∴△BEF∽△CDF∽△AED∴当△BEF∽△CDF时，相似比k1=BE/CD=1/3 ；当△BEF∽△AED时，相似比K2=BE/AE=1/4；当△CDF∽△AED时，相似比K3=CD/AE=3/4 .知识点2 相似三角形的判定定理2三边成比例的两个三角形相似．这种判定方法是常用的判定方法，也就是说两个三角形只要三条对应边的比相等，就可判定这两个三角形相似.C知识点1 相似三角形的判定定理3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．如图所示，在△ABC与△DEF中，∠B=∠E，23AB BCDE EF==，可判定△ABC∽△DEF.注意在利用该方法时，相等的角必须是已知两对应边的夹角，才能使这两个三角形相似，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似.注意：在两个直角三角形中，若两组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似．【例1】如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？知识点2 相似三角形的判定定理4两角分别相等的两个三角形相似如图所示，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，那么△ABC∽△A1B1C1.注意：在两个直角三角形中，若有一个锐角对应相等，则这两个直角三角形相似．知识点3 相似三角形的判定定理的综合运用判定三角形相似的几种基本思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形基本定理；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰关系，可找顶角相等或一对底角相等，也可找底和腰对应成比例.知识点1 性质一：相似三角形对应线段的比等于似比相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.已知一个三角形三边长为8，6，12，另一个三角形有一条边为4，要使这两个三角形相似，则另外两边长分别为．知识点2 性质二：相似三角形周长的比等于相似比两个相似三角形对应中线的比为1：4，它们的周长之差为27cm，则较大的三角形的周长为cm．解：令较大的三角形的周长为x cm 小三角形的周长为(x-27)cm由两个相似三角形对应中线的比为1：4得1：4=(x-27)：x，解得x=36 cm答案：36知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方两个相似三角形的周长是2：3，它们的面积之差是60cm2，那么它们的面积之和是.解：∵两个相似三角形的周长是2：3∴它们的相似比为2：3，面积的比为4：9设两个三角形的面积分别为4k，9k由题意得，9k-4k=60，解得k=12∴两个三角形的面积分别为48cm2，108cm2∴它们的面积之和是48+108=156cm2答案：156cm2。
相似图形的知识点总结
相似图形的知识点总结相似图形的知识点在数学考试中考得比较多，那么相关的知识点有什么呢?以下是小编为大家精心整理的相似图形的知识点总结，欢迎大家阅读。
知识点1.概念把形状相同的图形叫做相似图形。
(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种;(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;(3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同;(4)相似用“∽”表示，读作“相似于”;(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.知识点5.相似三角的判定方法(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似;(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.知识点6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边的比相等;(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.(4)射影定理。
图形的相似 知识归纳+真题解析
(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相 似． 3.相似三角形的性质 (1)相似三角形周长的比等于相似比. (2)相似三角形面积的比等于相似比的平方. (3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比. 4.相似多边形的性质 (1)相似多边形周长的比等于相似比. (2)相似多边形面积的比等于相似比的平方. 5.位似图形 （1）定义 两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于一点，这个点叫做位似中 心，对应边的比叫做位似比．位似是一种特殊的相似. （2）性质 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比； (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于 (3)位似图形对应边成比例； (4)位似图形对应角相等. 一 点；
a c b d
AC AB
4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 （二）1．相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形．相似图形的性质：对应角相等， 对应边的比成比例． 2．相似三角形的判定 (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角夹角相等，那么 这两个三角形相似； (3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相 似；
AC AB
4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 （ 二 ） 1． 相 似 图 形 定 义 ： 形 状 相 同 的 图 形 称 为 相 似 图 形 ． 相 似 图 形 的 性 质 ： 对 应 角 ，对应边的比 ．
2．相似三角形的判定 (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应 似； (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应 个三角形相似； (3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 似； (4)平行于三角形一边的直线和其他两边 (或延长线 )相交，所构成的三角形与原三角 形 ． ，那么这两个三角形相 ，且夹角 ，那么这两 ，那么这两个三角形相
相似形的概念与性质
相似形的概念与性质相似形是几何学中的一个重要概念，它在形状、大小及比例等方面与另一图形相似。
相似形的研究对于几何学的发展起到了重要的推动作用。
本文将探讨相似形的概念与性质，以及其应用。
一、相似形的定义相似形是指两个或更多个图形，在形状上相似，但大小可能不同。
形状相似意味着它们的内部角度相等，并且相应边的比值相等。
以两个三角形为例，如果它们的内部角度相等，并且对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
比如，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作∆ABC∼∆DEF。
二、相似形的性质1. 内部角度相等相似形的最重要性质之一是内部角度相等。
两个相似的图形的对应角度始终相等。
例如，在相似三角形∆ABC与∆DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 边长比例相等另一个重要的性质是边长比例相等。
对于两个相似的图形，它们对应边的比值始终相等。
在∆ABC与∆DEF中，我们有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
3. 面积比例相等相似形的面积比例也是相等的。
如果两个图形相似，那么它们的面积比例等于相应边的比例的平方。
在∆ABC与∆DEF中，我们有S(∆ABC)/S(∆D EF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2。
三、相似形的应用1. 测量不规则图形的面积相似形的性质可以应用于测量不规则图形的面积。
通过将不规则图形划分为许多相似的简单形状，然后计算各个相似形的面积，最后将它们相加，我们可以得到整个不规则图形的近似面积。
2. 设计和建筑相似形的概念在设计和建筑领域也得到广泛应用。
设计师和建筑师可以利用相似形的性质来保持设计的对称性和美感。
使用相似形理论可以确保建筑物的各个部分在形状和比例上是一致的。
3. 地图制作在地图制作中，相似形也发挥了重要的作用。
地图上的各种地物和地区通过相似形来表示，使得地图更加准确和易读。
四、总结相似形作为几何学的一个重要概念，具有多样的性质与应用。
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• B. 2 • C. 2
• D. 5
2.1
2
2 3
2.8
10
3 2
1.5
5
2 5
你能找到 一种方便 快捷高效 的方法吗?
练习 2
• 四条线段a、b、c、d成比例,其中a=2 cm b=3cm、c=6cm,那么d= . • 已知到三个数是1、2 、 3 ，请你在添上 一个数使它们能构成比例式，这个数可能 是 .
24.2相似图形的性质(1)
----成比例线段
1.甲、乙两地的实际距离是150千米,图上的距离 为5厘米.那么这张地图的比例尺为( ) 2.在比例尺为1:600 000的上海市地图上量出A、 B两地的图上距离为6厘米.那么这两地的实际距 离是( )千米. a b 3、如果a、b、c、满足 且a=2、c=8, = b c 则b=( )
5 那么 5-2
10 10-4
那么
你能证明它们 吗？
巩固练习
a b • 已知:线段a、b、c满足关系式 b = d ，且b=4，
那么ac=
.
a+b a 3 • 已知 = ,那么 b , b 2
a 各等于多少 ? a-b
课堂检测 1
• 1、在比例尺为1:5 000 000的地图上,量得甲、 乙两
地的距离是25厘米,两地的实际距离是（ ）.
仅P45页8分钟
• 如何快速判断四条线段是否成比例? • 做47页练习题 第1题
D' A B D C A' B' C'
AD ) , = A'D'
AB 由 图中的格点可知: = ( A'B'
()Leabharlann 这样AB AD A'B' 与 A'D'
之间的关系就为
.
练习1 下列各组线段中不成比例的是
• A. 3 4 12 9
4、同一时刻物高和影长成比例，如果一电视塔在地 面上得影子长60米，同一时刻高2米的竹竿的影长是 3米，那么电视塔的高度是（ ）米。
学习目标
• • • • 掌握线段的比、成比例线段等基本概念 掌握判断成比例线段的方法 理解和掌握比例的基本性质 能运用比例的基本性质推导、计算、证明
自学导航
• 成比例线段的定义:
• 2、判断下列各组线段是否成比例（单位：厘米） （1）2、3、4、1 （2）1.5、2.5、4.5、6.5 （3）1.1、2.2、3.3、4.4 （4）1、2、2、4
课堂检测 2
• 3、两地的实际距离为200米，地图上的距离 为2厘米，这张地图的比例尺为（ ）
a-b 3 • 4、已知 ，求 = b 5
a b
的值
谈谈这节课的收获
• 知识方面 • 方法层面 • 能力方面
作业设计
• P51页 习题24.2 2、3、4、7 第8题
• 挑战题：P51页 习题24.2
中考寄语
中考就像一场跳高比赛， 你能跳多高源自你作用于 大地力量。
分类讨 论的数 学思想
探索规律
a b • 如果 b = c ，那么ad=bc.
a c • 如果ad=bc(abcd≠0),那么 = b d
• 你能证明这个等式吗?
1 4 如果 3 = 12 a c = b d
1+3 那么 3
4+12 12
如果
那么
你能证明这个等式吗?
5 10 如果 = 2 4
a c = 如果 b d