18地基中的附加应力计算2009
2.3地基附加应力的计算
2.3 地基附加应力的计算
• 附加应力：建筑物荷载（p0)在地基中产生的应力。
• 计算假定：地基土为均质，各向同性，用弹性理论 计算。
2.3.1 竖向集中荷载作用下 土中附加应力的计算
布辛奈斯பைடு நூலகம்（法）公式：
y
P z
。
z2
α—附加应力计算系数与(r,z有关)
P x
r
σz
M(x,y,z)
z
2.3 地基附加应力的计算
集中荷载作用下地基中附加应力分布规律： 1.在集中力作用线上，附加应力随着深度Z的增加而递减； 2.在某一水平面上，即Z一定时，附加应力随r的增大而减 少； 3.当离集中力作用线某一距离r时，z=0, σz=0，z↑， σz先增加后减小； P
2.3 地基附加应力的计算
两种情况： a.矩形面积内
BA
CD
p z (cA cB cC cD ) 。
2.3 地基附加应力的计算
b.矩形面积外
h
ig
a
df
b
ce
p z
(cbegh
afgh c
cegi c
dfgi c
)
。
2.3 地基附加应力的计算
说明：荷载主要由较浅 处的土层来承受，达到 一定深度后，应力就减 少了。
2.3 地基附加应力的计算
P
0.1P 0.05P 0.02P 0.01P
说明：集中力Ｐ在地集中引起的附加应力σz的分布是 向下、向四周无限扩散开的。
例题分析
【例2-3】在地面作用一集中荷载P=200KN,试确定： （1）在地基中z=2m的水平面上，水平距离r=1m、
地基中附加应力计算
§3 土体中的应力计算
小结
应力状态
自重应力
水平地基中的自重应力
的计算
土力学中应力符号的规定 地基中的应力状态 应力应变关系的假定
影响因素 基底压力分布 实用简化计算
基底压力计算
附加应力 的计算
因素：底面形状；荷载分 布；计算点位置
'u
饱和土的有效应力
土的变形与强度都
原理
只取决于有效应力
34
y
x
x
M’
R βz
M
z R2 r2 z2 x2 y2 z2
k
3
2
[1
(r
1 / z)2 ]5/ 2
z
k
P z2
集中力作用下的 应力分布系数
查表3-1
4
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
z
k
P z2
特点
k
3
2
[1
(r
圆内积 分
竖直线布荷载 宽度积分 圆形面积竖直均布荷载
条形面积竖直均布荷载
2
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－
P
o
αr
x R
布辛内斯克(J.Boussinesq)课题
x
y M’
βz
z
zx
y
xy
x
M
y yz
z R2 r2 z2 x2 y2 z2 r / z tg
l z
0
——圆形面积均布荷载作用时园心点下
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计
地基中的附加应力计算
冻胀力
寒冷地区，地基土中的水分冻结膨胀，对基础产生冻胀力。
膨胀土胀缩
膨胀土在湿度变化时会发生体积胀缩，对基础产生附加应力。
地面堆载
地面上的堆载会对地基产生额外的压力，增加地基中的附加应力 。
03 附加应力的计算方法
弹性力学方法
弹性力学方法基于弹性力学理 论，将地基视为弹性体，通过 求解弹性力学方程来计算附加 应力。
02
在地基表面，水平向附加应力最大，随着离地表距 离的增加，应力逐渐减小。
03
水平向附加应力的分布还受到地基土的性质、基础 形状和荷载大小等因素的影响。
垂直向附加应力分布
01
垂直向附加应力在地基中的分布通常呈现出 先增大后减小的趋势。
02
03
在地基表面，由于荷载的作用，垂直向附加 应力较大。
随着深度的增加，垂直向附加应力逐渐减小 ，直至某一深度处达到最小值。
03
准确计算地基中的附加应力可以为工程师提供重要的设 计依据，确保建筑物的稳定性和安全性。
附加应力的定义和重要性
附加应力是指建筑物或其他 荷载在地基中引起的超过原 有应力的那部分应力。
附加应力的大小和分布直接 影响地基的变形和稳定性。
对于不同类型和性质的地基 土，附加应力的计算和评估 方法也有所不同。
工程处理措施及效果评价
处理措施
针对地基中的附加应力问题，采取了以下处理措施：对地基 进行加固处理，提高地基的承载力；采用桩基础，将建筑物 荷载传递至更深层的土层中；加强建筑物的结构刚度，减小 荷载对地基的影响。
效果评价
经过处理措施的实施，地基中的附加应力得到了有效控制， 建筑物的沉降和倾斜等变形指标均满足规范要求。同时，通 过对处理前后地基性状进行对比分析，发现处理措施对改善 地基性状具有显著效果。
地基中的附加应力计算
σ K p ,σ
K p ,
K
s XZ
p
s 0
z x s 式中 n , m K 为附加应力系数可查表 B B
任意形状基底受各种分布形式荷载的作 用下地基中附加应力的计算
• 感应图：
感应图
AB Z
Z 0.005NP0
土体中的应力集中与应力扩散
B
H
均匀
B
H 均匀
b 2
K xz F ( x, B, z )
Z K z P0， X
附加应力系数 K x p0 xz K xz p0 ,
式中 K z K x K xz为附加应力系数可根据 m和n查表
查表
(P94表3.6.1)
Kz Kx K xz
Kz Kx
附加应力等值线
条形面积三角形荷载
dP
3
dP p0 d
3
2 p0 z d d z 2 2 2 [(x ) z ]
2 p0 z d d z 2 2 2 [(x ) z ]
3
计算原理
dP p0 d
z
b
0
2 z 3 p 0 d [(x ) 2 z 2 ] 2
2P0 z 3 z (x2 z 2 )2
X
2P0 x 2 z (x 2 z 2 )2
dP1
2
B
p 0 d
xz zx
s z s Z
2P0 xz 2 2 2 (x z )
s 0 s X s X s 0
B dP2 p0 d B
s xz
B
H
硬 成层 均匀
软
地基中的附加应力计算
地基中的附加应力计算ຫໍສະໝຸດ 附加应力：由外荷引起的土中应力。
一 地表集中力下地基中附加应力
虽然理论上的集中力实际上是不存在的，但集中力作用下
弹性半空间地基理论解（即布辛涅斯克解）是求解其他
形式荷载作用下地基中附加应力分布的基础。 （一）布辛涅斯克解（法国Boussinesq，1885）
11应用图223所示方法可得竖向基底净压力如下pnpminod32019152915kpaptpmaxpmin480320160kpa4计算各种压力形式pnptph引起的地基m点和n点的附加应力为了清晰起见可采用列表的方法进行第二章土体应力计算25土坝堤自重应力和坝基附加应力通常为实用上的方便不论是均质的或非均质的土坝土坝土堤其坝身任意点自重应力均假定等于单位面积上该计算点以上土柱的有效重度与土柱高度的乘积土坝自重应力坝基基底压力柔性基础基底压力等于土坝的自重应力第二章土体应力计算25土坝堤自重应力荷坝基附加应力奥斯特伯格公式
线均布荷载（kN/m）P ＝ pdy可得P在任一点M引起的应力：
3 pz3 3 pz3 d z dy dy 2 5 2 5/ 2 2R 2 ( R1 y )
则
z
2 pz 3 2 p 4 d z cos 4 R1 z
(4.3.10)
同理利用布氏解有： 2 p cos 2 sin 2 x
(c) O点在荷载面的边缘外侧： 荷载面（abcd）＝ 面积Ⅰ（ofbg）－ 面积Ⅱ（ofah） 则：
o
+ 面积Ⅲ（oecg）－ 面积Ⅳ（oedh） f
z ( K c K c K c K cV ) p
(d) O点在荷载面的角点外侧 － 面积Ⅲ（ogde）+ 面积Ⅳ（ogaf） 则：
4.4地基附加应力的计算
则均布荷载可等效为一个集中荷 载 dQ p0dA P0rdrd 。在圆面 积范围内求积分可得 z 值：
z
A
d z
3 p0 z3
2
2 0
r0 0
(r2
l2
rdrd - 2r/cos
z2 )5/2
c p0
l 0
x dxdy
b
b
0 ( x2 y2 z2 )5
mnp
2
1 m2 n2
(1 m2 )
m2 1 n2
m2
t1 p
t1 ——应力系数，是 l / b 和 z / b 的函数，可制成表备查。
同理，可以求得荷载最大值边的角点下深度z处N点的竖向应
b 0.5
b 0.5
查表得应力系数 c =0.1202
zG GADH GBCH (0.2016-0.1202) 100=8.1kPa
6、 矩形面积上作用三角形分布荷载时竖向应力的计算
目的：在矩形面积上作用三角形分布布荷载
p x b
p ，求荷载为
零的角点下某深度处
M点的竖向应力 z值。
的 z值，并绘出分布图；
解：
z (m) r (m) r/z
z
Q z2
(kPa)
0
0
0 0.4775
∞
1
0
0 0.4775
95.5
3
0
0 0.4775
23.9
4
0
0 0.4775
10.6
5
0
0 0.4775
地基中的应力计算
(4)侧限应力状态—— 一维问题 应变条件 应力条件 独立变量
y x 0;
xy yz zx 0
xy yz zx 0;
x x y z 0; E E
x y
z , z F(z )
建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑 物重量等外荷载在地基 中引起的应力，所谓的 “附加”是指在原来自 重应力基础上增加的压 力。
基底压力计算 有效应力原理
(二)应力状态及应力应变关系 基本概念 (1) 土力学中应力符号的规定
z
zx
y yz
x 0xy 0xz 0yx y 0yz y ij = 0zy z 0zx
(3)平面应变条件——二维问题 垂直于y轴切出的任意断 面的几何形状均相同，其地 基内的应力状态也相同； 沿长度方向有足够长度， L/B≧10； 平面应变条件下，土体在 x, z平面内可以变形，但在 y方向没有变形。
材料力学与土力学的正 负号规定正好相反！
(三) 地基中常见的应力状态 (1)一般应力状态——三维问题
z
zx
xy
x
o
x
y z
y yz
x xy xz ij = yx y yz zx zy z
x xy xz ij = yx y yz zx zy z
(4)侧限应力状态—— 一维问题
水平地基半无限空间体； 半无限弹性地基内的自重应
o x y z
A
B
力只与Z有关； 土质点或土单元不可能有侧 向位移侧限应变条件； 任何竖直面都是对称面 应变条件
地基中的应力计算
地基中的应力计算地基是地下工程中最基本的构造部分，承受着上部结构的重量和荷载，承担着巨大的压力作用。
在地基设计中，应力计算是非常重要的一部分，它能够提供地基承载力和安全性的评估。
本文将介绍地基中应力计算的方法和计算公式。
首先，需要了解地基中的应力是如何形成的。
地基承受的主要应力有自重应力、活载荷载应力和附加应力。
自重应力是由于地基材料本身的重量所引起的应力，可以通过材料的密度和重力加速度计算得到。
活载荷载应力是由上部结构的荷载所引起的应力，可以根据上部结构的设计荷载计算得到。
附加应力是由于地基中存在的其他因素所引起的应力，比如建筑物的自身形变引起的应力。
接下来，我们介绍如何计算地基中的应力。
地基中的应力计算可以根据不同的地基类型和荷载情况采用不同的方法。
下面以均质土壤的地基为例，介绍几种常用的应力计算方法。
1.利用铁索计算应力：铁索是一种常用的应力计算工具，可以通过测量铁索的伸长量来计算地基中的应力。
首先，在地基中铺设一根长度合适的铁索，然后测量并记录铁索的伸长量。
根据该伸长量和铁索的初始长度，可以通过应力-应变关系计算得到地基中的应力。
2.利用试孔计算应力：试孔是另一种用于计算地基中应力的方法。
首先，在地基中进行试孔，并记录试孔的深度和直径。
然后，根据试孔的直径和土壤的剪切强度，可以计算得到地基中的应力分布情况。
3.利用数值模拟计算应力：数值模拟是一种常用的计算地基应力的方法，它可以通过建立地基的有限元模型来模拟地基的应力分布情况。
首先，需要根据地基的实际情况建立有限元模型，然后通过数值计算方法求解得到地基中的应力。
综上所述，地基中的应力计算是地基设计的重要环节，可以通过铁索、试孔和数值模拟等多种方法进行计算。
在进行应力计算时，需要考虑地基的类型、荷载情况和材料特性等因素，确保计算结果的准确性和可靠性。
地基中的应力计算对于确保地基的稳定性和安全性具有重要意义，是地基设计中不可或缺的一环。
地基附加应力的计算
地基附加应力的计算地基附加应力是指由于上部结构的荷载作用和变形引起的地基内土体的应力变化。
地基附加应力的计算是工程设计中非常重要的一部分，对于确保地基的稳定性和结构安全起着至关重要的作用。
下面将详细介绍地基附加应力的计算方法。
首先需要了解几个基本概念：1.荷载：上部结构施加到地基上的要素，包括永久荷载和可变荷载。
-永久荷载：结构自重、永久设备、固定家具等。
-可变荷载：人员活动荷载、设备移动荷载、风荷载等。
2.地基附加应力：上部结构的荷载通过地基传递到地下，引起地基土体应力的变化。
-地基附加应力的计算是为了确定土体内各点的附加垂直应力和水平应力。
接下来介绍地基附加应力的计算方法：(1)施加在地基上的荷载的计算-根据结构荷载计算规范或相关工程设计规范，确定各种类型的荷载的大小和分布。
(2)地基承载力的计算-土壤力学理论中的承载力计算方法可以用来计算地基的承载力，例如采用经典的排水条件下的承载力公式：q=cNc+q'Nq+0.5γBNγ，其中q 为地基单位面积的承载力，c为土壤的黏聚力，Nc为地基承载力系数，q'为有效自重应力，Nq为矩形地基的地基承载力系数，γ为土壤的单位重量，B为矩形地基的宽度，Nγ为水平方向上的地基承载力系数。
-地基附加应力可分为垂直应力和水平应力两个方向的计算。
-垂直应力的计算：根据荷载的大小和分布，在地基表面和不同深度处计算地基附加应力的大小。
-水平应力的计算：根据土体的侧限状态和结构荷载的分布，计算地基附加水平应力的大小。
(4)地基附加应力的作用范围-附加应力的作用范围决定了结构荷载对地基的影响，需要根据具体的工程条件进行计算。
(5)地基应力分析的结果分析与处理-地基附加应力的计算结果可以作为设计参数，用于工程结构的设计和优化。
需要注意的是，地基附加应力的计算是一个复杂的过程，需要考虑多个因素的综合影响。
在实际工程中，还需要结合工程实际情况和相应的规范要求，进行合理的估算和计算。
土中基底应力与附加应力计算[详细]
土中应力计算1 土中自重应力地基中的 应力分:自重应力——地基中的 自重应力是指由土体本身的 有效重力产生的 应力.附加应力——由建筑物荷载在地基土体中产生的 应力,在附加应力的 作用下,地基土将产生压缩变形,引起基础沉降.计算土中应力时所用的 假定条件:假定地基土为连续、匀质、各向同性的 半无限弹性体、按弹性理论计算.地基中除有作用于水平面上的 竖向自重应力外,在竖直面上还作用有水平向的 侧向自重应力.由于沿任一水平面上均匀地无限分布,所以地基土在自重作用下只能产生竖向变形,而不能有侧向变形和剪切变形.3.1.1均质土的 自重应力a 、假定:在计算土中自重应力时,假设天然地面是一个无限大的 水平面,因而在任意竖直面和水平面上均无剪应力存在.可取作用于该水平面上任一单位面积的 土柱体自重计算.b 、均质土层Z 深度处单位面积上的 自重应力为:应力图形为直线形.z cz γσ=σcz 随深度成正比例增加;沿水平面则为均匀分布.必须指出,只有通过土粒接触点传递的 粒间应力,才能使土粒彼此挤紧,从而引起土体的 变形,而且粒间应力又是影响土体强度的 —个重要因素,所以粒间应力又称为有效应力.因此,土中自重应力可定义为土自身有效重力在土体中引起的 应力.土中竖向和侧向的 自重应力一般均指有效自重应力.并用符号σcz 表示 .3.1.2成层土的 自重应力地基土往往是成层的 ,成层土自重应力的 计算公式:∑==n i i i cz z 1γσ结论:土的 自重应力随深度Z ↑而↑.其应力图形为折线形.自然界中的 天然土层,一般形成至今已有很长的 地质年代,它在自重作用下的 变形早巳稳定.但对于近期沉积或堆积的 土层,应考虑它在自重应力作用下的 变形.此外,地下水位的 升降会引起土中自重应力的 变化(图2—4).3.1.31、地下水对自重应力的 影响地下水位以下的 土,受到水的 浮力作用,使土的重度减轻.计算时采用水下土的 重度(w sat γγγ-=')2、不透水层的 影响不透水层指基岩层只含强结合水的坚硬粘土层作用在不透水层层面及层面以下的土自重应力应等于上覆土和水的总重.3、水平向自重应力地地中除了存在作用于水平面上的坚向自重应力外,还存在作用于坚直面上的水平自重应力,根据弹性力学和土体的侧限条件,可得:σcx=σcy=K oσczKo:土的侧压力系数4、地下水位升降引起的自重应力变化:地下水位下降自重应力增大,因没有水的浮力,地下水位上升自重应力减小 .[例题2—7] 某建筑场地的地质柱状图和土的有关指标列于例图2·1中.试计算地面下深度为2.5米、5米和9米处的自重应力,并绘出分布图.[解] 本例天然地面下第一层粉土厚6米,其中地下水位以上和以下的厚度分别为3.6米和2.4米,第二层为粉质粘土层.依次计算2.5米、3.6米、5米、6米、9米各深度处的土中竖向自重应力,计算过程及自重应力分布图一并列于例图2—1中.2 基底压力建筑物荷载通过基础传递给地基,在基础底面与地基之间便产生了接触应力.它既是基础作用于地基的基底压力,同时又是地基反用于基础的基底反力.对于具有一定刚度以及尺寸较小的柱下单独基础和墙下条形基础等,其基底压力可近似地按直线分布的图形计算,即按下述材料力学公式进行简化计算.1．基底压力的概念:在基础与地基之间接触面上作用着建筑物荷载通过基础传来的压力称为基底压力.(方向向下)↓单位面积土体所受到的压力称为基底压力.2．地基反力:地基对基础的反作用力(方向向上)↑3．基底压力的分布形态和哪些因素有关？基础的刚度、地基土的性质、基础埋深、荷载大小 .4．基底压力的分布形态:1)柔性基础地基反力分布与上部荷载分布基本相同,而基础底面的沉降分布则是中央大而边缘小.图3-2 柔性基础基底压力分布2)刚性基础在外荷载作用下,基础底面基本保持平面,即基础各点的沉降几乎是相同的,但基础底面的地基反力分布则不同于上部荷载的分布情况.刚性基础在中心荷载作用下,开始的地基反力呈马鞍形分布;荷载较大时,边缘地基土产生塑性变形,边缘地基反力不再增加,使地基反力重新分布而呈抛物线分布,若外荷载继续增大,则地基反力会继续发展呈钟形分布图3-3 刚性基础基底压力分布图马鞍形—一般建筑物基础属此形态,近似“直线形”抛物线形钟形3.2.2基底压力的简化计算1、中心荷载作用下的基底压力中心荷载下的基础,其所受荷载的合力通过基底形心.基底压力假定为均匀分布(图2—5),此时基底平均压力设计值按下式计算:式中:F:上部结构传至基础顶面的 坚向力设计值,kN;G:基础自重设计值及其上回填土重标准值,kN;r G :基础及因填土的 平均重度,一般取20kN/米3,在地下水位以下部分用有效重度; d:基础埋深,必须从设计地面或室内外平均设计地面起算,米;A:基础底面面积,米2.如基础长度大于宽度5倍时,可将基础视为条形基础进行计算.即可沿长度方向取1米计算.2、 偏心荷载下的 基底压力对于单向偏心荷载下的 矩形基础如图2·6所示.设计时,通常基底长边方向取与偏心方向一致,此时两短边边缘最大压力设计值与最小 压力设计值按材料力学短柱偏心受压公式计算:F G p A +=AdG G γ=min maxp p WM lb G F ±+米:作用于基础底面的 力矩设计,kN.米;W:基础底面的 抵抗矩,米3,对于矩形截面W=bL 2/6;P 米ax 、p 米in:分别为基础底面边缘的 最大、最小 压力设计值.将e=米/(F+G)、A=bl 、W=bl 2/6代入上式,得:a 当e<L/6时,基底压力呈梯形分布;b 当e=L/6时,基底压力呈三角形分布;c 当e>L/6时,p 米in<0,则:p 米ax=2(F+G)/3ab式中:a:单向偏心坚向荷载作用点至基底最大压力边缘的 距离,米,a=L/2-e.b:基础底面宽度.3.2.3基底附加压力建筑物建造前,土中早巳存在着自重应力.如果基础砌置在天然地面上,那末全部基底压力就是新增加于地基表面的 基底附加压力.一般天然土层在自重作用下的 变形早巳结束,因此只有基底附加压力才能引起地基的 附加应力和变形.实际上,一般浅基础总是埋置在天然地面下一定深度处,该处原有的 自重应力由于开挖基坑而卸除.因此,由建筑物建造后的 基底压力中扣除基底标高处原有的 土中自重应力后,才是基底平面处新增加于地基的 基底附加压力,基底平均附加压力值按下式计算(图2—8): 61F G e lb l +⎛⎫=± ⎪⎝⎭P o=基底压力P —土的自重应力σcz即P o=P-σcz —引起地基的变形(即基础的沉降)p0=p-r0dp0:基底附加压力设计值,kPa;p:基底压力设计值,kPa;r0:基底标高以上各天然土层的加权平均重度.其中地下水位以下部分取有效重度,kN/米3;d:从天然地面起算的基础埋深,米.有了基底附加压力,即可把它作为作用在弹性半空间表面上的局部荷载,由此根据弹性力学求算地基中的附加应力.3 地基附加应力地基附加应力是指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上的应力.其计算方法一般假定地基土是各向同性的、均质的线性变形体,而且在深度和水平方向上都是无限延伸的 ,即把地基看成是均质的线性变形半空间,这样就可以直接采用弹性力学中关于弹性半空间的理论解答.计算地基附加应力时,都把基底压力看成是柔性荷载,而不考虑基础刚度的影响. 3.3.1 集中力作用下土中应力计算1、单个竖向集中力作用在均匀的、各向同性的半无限弹性体表面作用一竖向集中力F时,半无限体内任意点米的应力(不考虑弹225223)(23z Fz r Fz Z απσ=+=[]2521)/(123+=z r πα性体的 体积力)可由布辛克斯纳解计算,如图3-5所示.工程中常用的 竖向正应力s z 及地表上距集中力为R 处的 竖向位移w (沉降)可表示成如下形式:图3-5 竖向集中力作用下的 附加应力E － 土的 弹性模量;μ － 泊松比. 工程上对上述应力公式加以改造为: ( α称为集中力作用下的 地基竖向力系数,可由表查得)2、多个集中力及不规则分布荷载作用θππσ353cos 2323R F R Fz Z ==()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=R R z E F w 1)1(12132μπμθcos 222z z y x R =++=oc z p ασ=3.3.2 分布荷载下地基附加应力对实际工程中普遍存在的 分布荷载作用时的 土中应力计算,通常可采用如下方法处理:当基础底面的 形状或基底下的 荷载分布不规则时,可以把分布荷载分割为许多集中力,然后用布西奈斯克公式和叠加原理计算土中应力.当基础底面的 形状及分布荷载都是有规律时,则可以通过积分求解得相应的 土中应力.如图3-6所示,在半无限土体表面作用一分布荷载p (x ,y ),为了 计算土中某点米(x ,y ,z )的 竖向正应力σz 值,可以在基底范围内取单元面积d F =d ξd η,作用在单元面积上的 分布荷载可以用集中力d Q 表示,d Q =p (x ,y ) d ξd η.这时土中米点的 竖向正应力σz 值可用下式在基底面积范围内积分求得,即:图3-6(右图)分布荷载作用下土中应力计算1、空间问题的 附加应力计算常见的 空间问题有:均布矩形荷载、三角形分布的 矩形荷载及均布的 圆形荷载.(1) 均布矩形荷载图3-7(右图)矩形面积均布荷载作用下土中应力计算① 矩形面积角点下土中竖向应力计算在图3-7所示均布荷载作用下,计算矩形面积角点c 下深度z 处N 点的 竖向应力s z 时,同样可其将表示成如[]⎰⎰⎰+-+-==A A z z z y x d d y x p z d 252223)()(),(23ηξηξπσσpz d d z o l l bb z αηξξηπσ=++=⎰⎰--222252223)(23⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++++++=2222222320412arctan 41)4)(41()81(22m n m nm n m n m m n mn a π下形式:角点应力系数:在矩形面积上作用均布荷载时,若要求计算非角点下的 土中竖向应力,可先将矩形面积按计算点位置分成若干小 矩形,如图3-8所示.在计算出小 矩形面积角点下土中竖向应力后,再采用叠加原理求出计算点的 竖向应力s z 值.这种计算方法一般称为角点法.图3-8 角点法计算土中任意点的 竖向应力② 矩形面积中点O 下土中竖向应力计算图3-7表示在地基表面作用一分布于矩形面积(l ×b )上的 均布荷载p ,计算矩形面积中点下深度z 处米点的 竖向应力s z 值.式中n =l /b 和米=z /b .⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++++++=2222222222222arctan ))(()2(21z b l z lbz b l z b z l z b l lbz a c π⎰⎰=++=l o boz p z y x dxdy b xpz 011252223)(23απσ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++=222222231)(21b l zz b l z b z b a t π⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=⎰⎰23202000202522301111)(23r z p z r drd rz p z ππθσ(2) 矩形面积上作用三角形分布荷载时土中竖向应力计算图3-9(右图) 矩形面积三角形荷载作用下土中应力计算 当地基表面作用矩形面积(l ×b )三角形分布荷载时,为计算荷载为零的 角点下的 竖向应力值,可将坐标原点取在荷载为零的 角点上,相应的 竖向应力值σz 可用下式计算:(3) 圆形面积上作用均布荷载时土中竖向正应力的 计算 为了 计算圆形面积上作用均布荷载p 时土中任一点米(r,z )的 竖向正应力,可采用原点设在圆心O 的 极坐标(如图3-10),由以下公式在圆面积范围内积分求得.图3-10(右图) 圆形面积均布荷载作用下土中应力计算2、平面问题的附加应力设在地基表面上作用有无限长的条形荷载,且荷载沿宽度可按任何形式分布,但沿长度方向则不变,此时地基中产生的应力状态属于平面问题.在工程建筑中,当然没有无限长的受荷面积,不过,当荷载面积的长宽比l/b≥10时,计算的地基附加应力值与按L/b=∝时的解相比误差甚少.因此,对于条形基础,如墙基、挡土墙基础、路基、坝基等,常可按平面问题考虑.(1)线荷载(2)均布条形分布荷载下土中应力计算:条形分布荷载下土中应力状计算属于平面应变问题,对路堤、堤坝以及长宽比l／b≥10的条形基础均可视作平面应变问题进行处理.图3-11(右图)均布条形荷载作用下的土中应力计算米(x,y)点的三个附加应力分量为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---++-=22222216)144()144(4221arctan221arctanmmnmnmmnmnpozπσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---++-=22222216)144()144(4221arctan221arctanmmnmnmmnmnpoxπσ等值线图3.3.3 非均质和各项异性地基中的 附加应力在柔性荷载作用下,将土体视为均质各向同性弹性土体时土中附加应力的 计算与土的 性质无关.但是,地基土往往是由软硬不一的 多种土层所组成,其变形特性在竖直方向差异较大,应属于双层地基的 应力分布问题. 1、 双层地基对双层地基的 应力分布问题,有两种情况值得研究:一种是坚硬土层上覆盖着不厚的 可压缩土层即薄压缩层情况;另一种是软弱土层上有一层压缩性较低的 土层即硬壳层情况.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=2222216)144(32m m n nm p o xzπτ当上层土的 压缩性比下层土的 压缩性高时(薄压缩层情况),即E 1＜E 2时,则土中附加应力分布将发生应力集中的 现象.当上层土的 压缩性比下层土的 压缩性低时(即硬壳层情况),即E 1＞E 2,则土中附加应力将发生扩散现象,如图3-12所示.在实际地基中,下卧刚性岩层将引起应力集中的 现象,若岩层埋藏越浅,应力集中愈显著.在坚硬土层下存在软弱下卧层时,土中应力扩散的 现象将随上层坚硬土层厚度的 增大而更加显著.因土的 泊松比变化不大,其对应力集中和应力扩散现象的 影响可忽略.图3-12 双层地基中界面上附加应力的 分布规律双层地基中应力集中和扩散的 概念有着重要工程意义,特别是在软土地区,表面有一层硬壳层,由于应力扩散作用,可以减少地基的 沉降,故在设计中基础应尽量浅埋,并在施工中采取保护措施,以免浅层土的 结构遭受破坏. 2、 变形模量随深度增大的 地基在地基中,土的 变形模量E o 常随着地基深度增大而增大,这种现象在砂土中尤其显著.与均质地基相比,这种地基沿荷载中心线下,地基附加应力将产生应力集中. 可用以下半经验公式修正:v － 为应力集中因素,对粘性、完全弹性体v ＝3;硬土v ＝6;砂土与粘土之间的 土v ＝3～6.θπσvz RvF cos 22=3、 各项异性地基天然沉积形成的 水平薄交互层地基,其水平向变形模量E oh 大于竖向变形模量E ov假定地基竖直和水平方向的 泊松比相同,但变形模量不同条件下,均布线荷载下各项异性地基的 附加应力为:z σ － 线荷载作用下,均质地基的 附加应力.当非均质地基的 E oh >E ov 时,地基中出现应力扩散现象;当E oh <E ov 时,出现应力集中现象.3.4 有效应力原理1、土中二种应力试验在直径和高度完全相同的 甲、乙两个量筒底部,放置一层松散砂土,其质量与密度完全 一样.在甲量筒中放置若干钢球,使松砂承受σ的 压力;在乙量筒中小 心缓慢地注水,在砂面以上高度h 正好使砂层表面也增加σ的 压力.结论:甲、乙两个量筒中的 松砂顶面都作用了 相同的 压力σ,但产生两种不同的 效果,反映土体中存在两种不同性质的 力:(1)由钢球施加的 应力,通过砂土的 骨架传递的 应力(有效应力σ’),能使土层发生压缩变形,从而使土的 强度发生变化;(2)由水施加的 应力通过孔隙水来传递(孔隙水 压力u),不能使土层发生压缩变形.ovoh zz E E /σσ='AA W=χ现象:甲中砂面下降,砂土发生压缩.乙中砂面并不下降,砂土未发生压缩. 总应力:在土中某点截取一水平截面,其面积为A,截面上作用应力 σ,它是由上面的 土体的 重力、静水压力及外荷载P 所产生的 应力,称为总应力.有效应力:总应力的 一部分是由土颗粒间的 接触承担的 称为有效应力. 饱和土有效应力公式:u +'=σσσ' － 有效应力;σ － 总应力;u － 孔隙水压力.公式表明总应力为有效应力与孔隙水压力之和. 部分饱和土有效应力公式:()w a a u u u -+-='χσσa u － 气体压力; w u － 孔隙水压力.χ － 由试验确定的 参数, .3.4.1 毛细水上升时土中有效自重应力的计算图3-13 毛细水上升时土中总应力、孔隙水压力及有效应力在毛细水上升区,由于表面张力的作用使孔隙水压力为负值.使有效应力增加,在地下水位以下,由于水对土颗粒的浮力作用,使土的有效应力减少.3.4.2 土中水渗流时(一维渗流)有效应力计算(a)静水时(b)水自上向下渗流(c)水自下向上渗流图3-14 土中水渗流时总应力、孔隙水压力及有效应力分布当土中水渗流时,水对土颗粒有着动水力,必然影响土中有效应力的分布.表3-1 土中水渗流时总应力、孔隙水压力及有效应力的计算。
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x y z xy yz zx
（P0；x,y,z；R, α, θ)
法国 J. 布辛奈斯克 (Boussinesq, 1885) 运 用弹性理论推出了在弹性半无限空间表面 上作用一个竖向集中力时，半空间内任意 点 M(x 、 y 、 z) 处的六个应力分量和三个位 移分量的弹性力学解答:
x
B
L
z
M
z
dP0 p0 dxdy
3P0 z 3 z 5 2 R
dP0 p0 dxdy
3dP0 z 3 p0 z d z dxdy 5 5 2 R 2 R
dP
3
3
p
3 p0 z z d z 2 A p0 2
3 l b
0 0
2 2 2 lbz l b 2 z lb M arctan 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 l z b z l b z z l b z z
x
1
2
y
y2 z2
5
2
dxdy x
B
L
z
m=L/B, n=z/B
查表
z K s p0
L z K s F ( B, L, z ) F ( , ) F (m, n) B B
矩形竖直向均布荷载角点下的附加应力分布系数Ks
矩形面积受竖直均布荷载作用时角点下的 附加应力系数Ks
2
y
y z
3P0 xz 5 2 R
2
3P0 x 2 cos 3 2R
• 在六个应力分 量和三个位移 分量的公式中， 竖向正应力z 具有特别重要 的意义，它是 使地基土产生 压缩变形的原 因。
y
P0 (1 ) xz x u (1 2 ) 3 2E R R( R z )
a.矩形面积内
z (K K K K ) p
A s B s C s
B D s
A 0
D
b.矩形面积外
C
z (K
K
cegi s
begh s
K
afgh s
h
i
d
g
f
K
dfgi s
) p0
a
b
c
e
• 地基中的附加应力计算 步骤： • 1、核算上部荷载 • 2、确定基础的尺寸 • 3、基底压力 • 4、基底附加应力 • 5、地基中的附加应力
1、长短边的问题 2、线性内插问题
z K s p0
2. 任意点的垂直附加应力—--角点法
角点下垂直附加 应力的计算公式
z K s p0
角点法
B
C
A
D
叠加原理
地基中任意点的附加应力
a.矩形面积内
z ( K K K K ) p0
A s B s C s D s
2. 任意点的垂直附加应力—角点法
z=4(KcI - Kc Ⅱ)p0 (kPa)
8/2.5=3.2 4/2.5=1.6
4×(0.250-0.250)×100＝0.0 4×(0.244-0.243)×100＝0.4 4×(0.220-0.215)×100＝2.0 4.4 6.8 8.8 9.6 9.6 9.6 8.4
四. 矩形面积三角形分布荷载下的附加应力
• 如果有几个集中荷载作用（应力叠加原理）
叠加原理
叠加原理建立在弹性 理论基础之上，当地基表
面同时作用有几个力时，
可分别计算每一个力在地 基中引起的附加应力，然 后对每一个力在地基中引 起的附加应力累加求出附 加应力的总和。
Pn 1 P P2 1 z K1 2 K 2 2 K n 2 2 Ki Pi z z z z i 1
A点是矩形ABCD的角点，且m n Z 1, 查表得K s 0.1999 B L 2, B
＝0.1999100 20
4 zF
K FHDJ K FJAG p0 - K FHCK - K FKBG 10.5
E点 : 分成矩形EADI和EBCI， L Z 对于EADI有m 1, n 1 B B
αr
2 2 2 2 0 5 3 3 2
o
P0
x
2
z 3 z 3P0 z 3P0 5 3 2 R z 5 cos 2
0
5 2 R
0
2
3 3 2 3 R (R z) R (R z) 3P
2
2
2
3
2
R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2R
xy
3P0 yx 2
• 解：
• • • • • • • (1) 计算基础甲的基底平均附加压力： 基础及其上回填土的总重：
G G Ad 20 5 4 1.5 600kN
基底压力值：
N G 1940 600 p 127 kpa A 5 4
基底处的土自重压力值：
c 0d 181.5 27kpa
土体中的 附加应力计算
• 地基中附加应力： • 基底附加应力在地基中 引起的附加于原有应力 之上的应力。 地基中的附加应力是使 地基发生变形，引起建 筑物沉降的主要原因。 土中附加应力分布特点：
• 土中附加应力分布特点： • 1、 在地面下同一深度的水平面上的附加应力不同， 沿力的作用线上的附加应力最大，向两边则逐渐减 小。 2、 距地面愈深，应力分布范围愈大，在同一铅直 线上的附加应力不 同， 愈深则愈小。 3、计算地基附加应力，一般假定地基土是各向同性 的、均质的线性变形体，而且在深度和水平方向上 都是无限延伸的，即把地基看成是均质的线性变形 半空间，就可以直接采用弹性力学中关于弹性半空 间的理论解答。
3 1 3 1 K 2 5/ 2 2 [1 (r / z ) ] 2 [1 tg 2 ]5 / 2
P0 z K 2 z
r / z tg
集中力作用下的 附加应力分布系数
查表
P0 z K 2 z
3 1 K 2 [1 (r / z ) 2 ]5 / 2
xyz 1 2 xy(2 R z ) 3 5 2 3 R (R z) R
3P0 xyz 5 2 R
o
P0
αr x
R M’ θz M
3P0 yz yz zy 5 2 R 3P0 y 2 x 3 cos 2R
xz zx
3.P0作用线上,r=0, K=3/(2π） z=0,σz→∞,z→∞，σz=0 4.在某一水平面上z=c，r=0, K最大,r↑，K减小,σz减小 5.在某一圆柱面上r=c，z=0,σz=0,z↑,σz先增加后减小 6.σz 等值线－应力泡
P0
0.1P 球根 应力 球根
P0
0.05P
0.02P 0.01P
z=4KcI p0 (kPa)
4×0.250×100＝100 4×0.235×100＝94 4×0.187×100＝75 54 39 28 21 17 18 9
(3)计算基础甲中心点O下由两相邻两基础乙的荷载引起 的z
基础甲中心点O下由两相邻两基础乙的荷载引起的z
l／b 计算点 I(oafg) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (oaed) Z (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 z／b KcI 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 4.0 0.250 0.244 0.220 0.187 0.157 0.132 0.112 0.095 0.082 0.061 KcI Kc Ⅱ 0.250 0.243 0.215 0.176 0.140 0.110 0.088 0.071 0.058 0.040
条形面积竖直均布荷载 条形面积竖直三角形荷载
特殊面积、特殊荷载
矩形面积水平均布荷载
一、竖直集中力作用下的附加应力计算--------布辛内斯克课题
P0
o
x
R α r M’ θ z y
x
zx
z
y
y yz
M
2 2 2 2 2
xy
2
r / z tg
z
R r z x y z
• 基底附加压力值 ：
p0 p c 127 27 100kpa
(2) 计算基础甲中心点 O下由本基础荷载引起的z
基础甲中心点O下由本基础荷载引起的z
计算点 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l ／b 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25 z(m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 z／b 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 5.0 KcI 0.250 0.235 0.187 0.135 0.097 0.07l 0.054 0.042 0.032 0.022
5 zG K GHDF K GHCB p0 8.1
6 附加应力的扩散规律
4m
4m
4m
例题
丙
5m
5m
5m
甲
乙
以角点法计算图示矩形基础甲 的基底中心点垂线下不同深 度处的地基附加应力 z 的分 布，并考虑两相邻基础的影 响(两相邻柱距为6m，荷载同 基础甲)。
N
d=1.5m γ=18kN/m3 N=1940KN
y
• 设竖向荷载沿矩形面一 边B方向上呈三角形分布 (沿另一边l的荷载分布不 变)，荷载的最大值为p0 （kPa），取荷载零值边 的角点1为座标原点，则 可将荷载面内某点(x，y) 处所取微面积dxdy上的 分布荷载以集中力 (x/B)p0dxdy代替。 3