证明线段相等的方法
证明圆中线段相等的几个途径
数学篇学思导引圆的知识是平面几何中的重要内容.它与平行线、等腰三角形、相似三角形、特殊四边形的知识有着密切的联系.因此，证明圆中线段相等的方法灵活多样，而且很复杂.对此，笔者归纳了如下几种证明方法，以期对同学们解题有所帮助.一、利用“等角对等边”等角对等边是指在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.它是判定等腰三角形的重要依据，也是证明线段相等的重要方法.在求证圆中线段相等问题时，当所要证明的两条线段是同一个三角形的两边，同学们可以利用“等角对等边”的性质，证得两边所对的角相等，这样就能证得这两条线段相等.例1如图1，在Rt△MNP中，∠MPN=90°，以MP为直径的⊙O交MN于点Q，过点Q作⊙O的切线RS交NP于点S.求证：NS=QS.图1分析：观察图形，不难看出，NS、QS这两条线段同在△NQS中，因此，在求证时不妨考虑等腰三角形，利用“等角对等边”的性质得到NS=QS.证明：如图1所示，连接PQ.因为MP为⊙O的直径，所以∠MQP=∠NQP=90°，所以∠PQS+∠SQN=90°，∠N+∠QPN=90°.又因为∠MPN=90°，MP为⊙O的直径，所以NP与⊙O相切于点P.因为RS与⊙O相切于点Q，所以QS=SP，所以∠PQS=∠QPN，∠N=∠SQN，所以NS=QS.评注：利用“等角对等边”证明圆中线段相等，关键在于证明圆中同一个三角形的两个角相等，而证明两角相等则可以从同位角、内错角相等，以及全等三角形等方面予以考虑.二、利用“全等三角形对应边相等”我们都知道，全等三角形的对应边相等.在证明圆中线段相等时，若圆中所要证明的线段不在同一个三角形中，此时同学们要注意思考圆中待证的两条线段所在的三角形是否全等，然后借助两个三角形全等，得出它们的对应边相等，即所证的目标线段相等.例2如图2，在⊙O中，P、Q分别是半径OM、ON上的点，且MP=NQ，点R为弧MN的中点，连接RP、RQ.求证：RP=RQ.图2分析：线段RP、RQ在同一个圆中，但并不在同一个三角形中，直接证明行不通.不妨证明圆中线段相等的几个途径江苏省盐城市新洋第二实验学校孙鸽林28数学篇学思导引添加辅助线，连接OR ，这样圆中四边形OPRQ 就被分割为△OPR 和△OQR 两个三角形，只要证明△OPR ≌△OQR ，再根据全等三角形对应边相等，即可得到目标线段相等.证明：如图2所示，连接OR .因为MP =NQ ，OM =ON ，所以OP =OQ .因为点R 为弧MN 的中点，所以有 MR =NR ，所以∠MOR =∠NOR .在△OPR 和△OQR 中，ìíîïïOP =OQ ,∠MOR =∠NOR OR =OR ,，所以△OPR ≌△OQR （SAS ），所以RP =RQ .评注：利用“全等三角形对应边相等”是证明圆中线段相等的一种有效方法.它的关键点是在圆中寻找或构造全等三角形，再利用“全等三角形对应边相等”这一性质证明线段相等.三、利用“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”由圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理可知，在同圆或等圆中，倘若两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量是相等的，那么它们所对应的其余各组量也是相等的.因此，在求证圆中线段相等时，若题目涉及圆心角、弧、弦、弦心距等时，同学们要注意结合已知条件，巧用圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理及推论来解答问题.例3如图3所示，MN 是☉O 的直径，MP 为弦，过弧MP 的中点Q 作QR ⊥MN 于点S .求证：QR =MP.图3分析：根据题意和图形，很容易看出QR 、MP 是圆中的两条弦，所以要证明QR =MP ，可以从圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系入手.证明：因为直径MN ⊥QR ，所以 MQ =MR （根据垂径定理），又因为 MQ =QP ，所以 MR = MR = PC ，所以 QR = MP ，所以 QR = MP .评注：利用“圆心角、弧、弦、弦心距关系定理及推论”是证明圆中线段相等的常用方法之一.如果所证明的相等线段是弦、弦心距、弓形高中的一种，就可以通过证明其他的量相等，从而证得所需要的结论.上期《<不等式与不等式组>巩固练习》参考答案1.C ；2.A ；3.D ；4.D ；5.B ；6.0；7.≥-12；8.m >-1；9.2（答案不唯一）；10.-2<x <3，a ≥2；11.解：（1）设A 型电动公交车的单价为x 万元，B 型电动公交车的单价为y 万元．依题意，得ìíî2x +y =112,x +y =76,解得ìíîx =36,y =40;答：A 型电动公交车的单价是36万元，B型电动公交车的单价是40万元．（2）设购买A 型电动公交车m 辆，则购买B 型电动公交车（30-m ）辆．依题意得36m +40（30-m ）≤1128，解得m ≥18.又m ≤20，∴18≤m ≤20．设购买这两种电动公交车共30辆的总费用为w 万元，依题意，得w =36m +40（30-m ）=-4m +1200.∵-4<0，∴w 随m 的增大而减小．∴当m =20时，w 取得最小值.此时30-m =30-20=10．∴最省钱的购买方案为：购买A 型电动公交车20辆，B 型电动公交车10辆．29。
初二几何证明方法 总结
初二几何证明方法总结一、证两线段相等方法1、证明三角形全等：全等三角形的对应边相等；2、两线段在同一三角形中，通常利用等角对等边；3、角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；4、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；5、等腰三角形的性质：三线合一，即等腰三角形的顶角平分线或底边上的高平分底边；6、等边三角形三边相等；7、线段的和、差、倍、分，即根据等式性质：等量的和、差、倍、分仍是相等，如：若a=b，则a－c=b－c；若a=b，则a+c=b+c；8、三角形中线或中点的定义；9、等量代换，即等于同一条线段的两线段相等，如a=b,b=c,则a=c；二、证明两角相等1、证明三角形全等：全等三角形的对应角相等；2、两个角在同一三角形中，通常证明等边对等角；3、等量代换即等于同一个角的两角相等；4、角平分线的定义；5、角平分线性质：到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，再由角平分线的定义可证得两角相等6、同角或等角的余角（或补角）相等；7、证明两直线平行，同位角、内错角相等；8、等腰三角形的性质：三线合一，即等腰三角形的底边上的中线或高平分顶角，再由角平分线的定义可证得两角相等；9、等边三角形各角都相等，并且每个角都等于60°；10、角的和、差、倍、分，即根据等式性质：等量的和、差、倍、分仍是相等；其中有常用方法是：两个三角形如果分别有两个角相等，那么第三个角也相等；11、对顶角相等；三、证垂直或证一个角是直角的方法：1、线段垂直平分线的性质：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，即若有到线段两个端点的距离相等的两个点，则过这两点的直线是线段的垂直平分线；2、若∠1+∠2=180°，∠1=∠2，则∠1=∠2=90°，即证互补的两个角相等；3、等腰三角形的性质：三线合一，即若有等腰三角形的顶角平分线，则平分底边并垂直于底边；4、利用角的和、差、倍、分计算出90°，根据垂直定义，证明垂直；5、轴对称的性质：对称轴垂直平分任意一对对应点的连线。
中考数学：证明线段相等的一些常见方法
证明线段相等的一些常见方法证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础.本文以一道题为例，介绍证明线段相等的常见方法.问题如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=︒，45ABC ABD ∠=∠=︒，求证：CD AB =方法1如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F .则可证ACE ACF∆≅∆于是有CE CF AF AE ==，.45ABC ABD ∠=∠=︒CE CF AF AE∴==，得AB CD=方法2如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=︒，75AMC CAM ∠=∠=︒AC CM∴=ABC CDM ∴∆≅∆，于是有AB CD=方法3如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点.10545ACB ABC ∠=︒∠=︒，30BAC ∴∠=︒10545BAD ADC ∠=︒∠=︒，7560DAC ACD ∴∠=︒∠=︒，30CAE ∴∠=︒75AEC ACE AE AC∴∠=∠=︒=，故由ABE CDA ∆≅∆，得AB CD=方法4如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ，则有ABC ANC∆≅∆45N D ∴∠=∠=︒DE AE EN EC∴==，DC AN AB∴==方法5如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG ,则有ADC AGC∆≅∆45G D ∴∠=∠=︒AH HG GH BH∴==，DC CG AB∴==实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴.方法6如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有PAC BCA∆≅∆得AB CP CD==方法7如图8，过A 点作AB 的垂线交BC 的延长线于Q 点，则有QAC DCA ∆≅∆，得AB CQ CD==方法8如图9，以AB BC 、为邻边构造ABCE ，连DE .由45ADC AEC ∠=∠=︒，可知A E D C 、、、四点共圆(当然也可通过三角形相似解决)，得75DEC DAC ∠=∠=︒30ADE ACE ∠=∠=︒75DEC EDC ∴∠=∠=︒DC EC AB∴==方法9如图10，以AD DC 、为邻边构造ADCR ，连BR ;类似方法8得解.方法10如图11，分别过D C 、点作AD AC 、的垂线交于E 点.易知A D E C 、、、四点共圆，DC 平分ADE ∠,EC AC∴=EDC CBA CD AB∴∆≅∆=，方法11如图12，分别过A B 、点作AC BC 、的垂线交于E 点;类似方法10得解.方法12如图13，分别作ADC ∆和ABC ∆的外接圆⊙1O ，和⊙2O .45ABC ADC ∠=∠=︒ 2sin sin AC AC r D B ∴==∠∠，（r 为外接圆半径）∴⊙1O ，和⊙2O 为等圆，故CD AB=反思1、本题纯以角度为条件，由条件可以求出所有角的度数，由此联想到寻找特殊角度，构造含特殊角度的直角三角形，所以首先想到方法1.2、构造全等是我们解决证明线段相等的常见手段.当把相关线段放在三角形中发现不全等时，用“一定、二看、三构造”的策略构造全等形，方法2和方法3就呼之而出.3、全等变换在初中阶段不常用，但用之有效.本例中方法4、方法5、方法6、方法7都用了轴对称;方法8和方法9都用到了中心对称的思想;方法10和方法11既有轴对称又有中心对称的思想.4、利用等边对等角的性质，构造辅助圆，结合利用正弦定理.5、巧妙利用45度的特殊角，构造等腰直角三角形，转移线段建立联系.如方法6和方法7.6、实际上解决本题的方法还有很多.如构造相似三角形，利用相似，通过中间比证明线段相等.利用“双A形”结合平行线分线段成比例定理证明线段相等等.本例中，用到的方法贯穿整个初中阶段，同学们要注意方法的提炼、总结、归类，由此掌握数学思想方法，提高解决数学问题的能力.。
证明线段相等问题的一般思路
证明线段相等问题的一般思路证明线段相等问题一般可从以下三个方面寻求证题思路．1 利用定理直接证明证明线段相等的基础的方法是“利用定理，直接证明”．关于线段相等的定理很多，某些问题直接应用相关定理就能解决．与⊙O2相离，OP和OQ是例1 如图1，已知⊙O它们的两条外公切线，线段O1O2的垂直平分线交射线OP于A，过点A分别作⊙O1、⊙O2的切线，分别交射线OQ于B、C两点．求证：△ABC是等腰三角形．讲解：要证明△ABC是等腰三角形，首选的思路是证明∠ACB＝∠ABC．为了利用“线段O1O2的垂直平分线交射线OP于A”，联结AO1、AO2，可知∠AO2O1＝∠AO1O2显然有∠ABC＝∠AOB+∠OAB＝2(∠AOO1+∠OAO1)＝2∠AO1O2．于是，只要证明∠ACB＝2∠AO2O1．显然，∠ACB＝∠PAC－∠AOC＝2∠PAO2－2∠AOO2＝2(∠PAO2－∠AOO2)＝2∠AO2O1．例2如图2，已知△ABC内接于⊙O，AD、BD为⊙O的切线，作DE∥BC，交AC于点E，联结EO并延长交BC于点F．求证：BF＝FC．（2004，太原市初中数学竞赛）讲解：从图形的结构想到“直于弦的直径平分弦”，只要证明OF⊥BC即可．注意到DE∥BC，问题转化为：证明OE⊥DE．注意到DA是⊙O的切线，知OA⊥DA，故只要证A、D、O、E四点共圆．而这可由∠DEA＝∠BCA及∠DOA＝∠BCA得到．注：这里，直接应用“直于弦的直径平分弦”这一结论，证明非常简捷．例3在凸四边形ABCD中，对角线BD既不是∠ABC的平分线，也不是∠CDA的平分线，点P在四边形ABCD内部，满足∠PBC＝∠DBA，∠PDC＝∠BDA．证明：四边形ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是AP＝CP．（第45届IMO）讲解：必要性（充分性略）．只要证点P在AC的中垂线上．如图3，设直线DP、BP分别交四边形ABCD的外接圆于E、F两点，联结EB、EC、EF、FC、FD．由∠PBC＝∠DBA，可知FC＝AD，有DF∥AC．由∠PDC＝∠BDA，可知EC＝BA，有BE∥AC．于是，BE∥DF．故四边形BEFD、四边形BECA均为等腰梯形，且这两个等腰梯形有共同的对称轴．由P为等腰梯形BEFD的对角线的交点，可知点P在等腰梯形BEFD的对称轴上，于是，点P一定在BE的中垂线上．进而，点P在AC的中垂线上．注：等腰梯形中“上底的中垂线也是下底的中垂线”这一性质，一般很少用作证题的依据．这里，利用它证明线段相等新颖、巧妙，不落俗套．2 寻觅桥梁媒介传递证明线段相等的基本的方法是“寻觅桥梁，媒介传递”．2．1 以线段为媒介例4如图4，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，BC＝AB，OC交⊙O于点F，直线AF交BC于E．求证：BE＝CF．（2005，全国初中数学竞赛四川赛区初赛）讲解：BE与CF在图形中的位置离散，如果能够在图形中某个恰当位置另外构造一条线段a与BE、CF都相等，那么，就可以以a为媒介，完成证明．注意到OA＝OF，想到过C作AB的平行线交直线AE于点G，就有CG＝CF．于是，问题转化为：证明CG＝BE．考虑到AB＝BC，AB⊥BC等条件易证Rt△BCG≌Rt△ABE．注：以线段为媒介证明线段相等是经常要用到的重要方法，其难点在于媒介的选定．一般是通过构造含有相等线段的特殊图形（等腰三角形、等腰梯形、平行四边形等）来实现的．另解：Rt△ABE∽Rt△BFEBE ABEF BF ⇒=△CBF∽Rt△CFECF BCEF BF ⇒=注：点G也可以在点C的上方.2．2 以表达式为媒介例5 如图5，过圆外一点P作圆的两条切线PA、PB，A、B为切点，再过点P作圆的一条割线分别交圆于C、D两点，过切点B作PA的平行线分别交直线AC、AD于E、F．求证：BE＝BF．（2005，中国西部数学奥林匹克）讲解：本题的条件有平行线、圆的切线等，这些都便于产生比例关系，于是，选定“以表达式为媒介证明线段相等”．为寻找包含EB 在内的比例关系，想到∠E ＝∠PAE ＝∠ADC ＝∠ABC ，有△ACB ∽△ABE ． 于是，CB AC BE AB =，即AB CB BE AC ⋅=．同理，AB BD BF AD⋅=． 因此，须证明CB BD AC AD =，即AC CB AD BD=． 注意到PA 、PB 为圆的切线，易得AC PC AD PA =及CB PC BD PB=． 注：这里，以AB CB AC ⋅、AB BD AD ⋅为媒介，实现BE 与BF 相等的证明．例6 如图6，梯形ABCD 的两条对角线相交于点K ，分别以梯形的两腰为直径各作一圆，现知K 位于这两个圆之外．证明：由点K 向这两个圆所作的切线长度相等．（第58届莫斯科数学奥林匹克（十年级））讲解：从图形的结构想到切割线定理，即通过KA ·KM ＝KD ·KN ，证明“由点K 向这两个圆所作切线的平方相等”的证题思路． 为此想到KA KC KD KB =，希望得到KM KN KB KC=， 于是，须证明Rt △BMK ∽Rt △CNK ．注：这里，把KA ·KM ＝KD ·KN 作为“由点K 向这两个圆所作的切线的平方”的媒介，通过“a 2＝b 2”，得到“ a ＝b ”．例7 如图7，△ABC 的旁切圆⊙O 分别切边BC 、AB 、AC于D 、M 、N ，DE 为⊙O 的直径，AE 交BC 于F ．求证：BF ＝CD ．讲解：这是涉及切线长的问题，可用表达式为媒介进行代换．比较直观的是CD ＝CN ＝AN －AC ＝p －b (p 为△ABC 的半周长）．为了证明BF ＝p －b ，只要证明F 为BC 与△ABC 的内切圆的切点．过点F 作BC 的垂线交AO 于点O 1，显然O 1G ＝O 1H ．于是，须证O 1F ＝O 1G ．由O 1F ∥DE ，O 1G ∥ON ，可知1111,AO FO AO GO AO EO AO NO==， 故11FO GO EO NO=，有FO 1＝GO 1．注：这里，抓住切线长定理的优势，把p －b 定为媒介，使证明很简捷．2．3 以线段比为媒介例8 如图8，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD．过点D作DE ⊥AB于点E，联结AC与DE交于点P．问EP与PD是否相等？证明你的结论．（2003，“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛）讲解：线段EP与PD相等．证明：如图8，设直线AD、BC 交于点F．由AO＝OB，AF∥OC，可知BC＝CF．由BC为⊙O的切线，可知BF⊥AB．由DE⊥AB，可知ED∥BF，有EP AP PD BC AC CF==．于是，EP PDBC CF=．故EP＝PD．注：这里，ED与BF是两条平行直线，AB、AC、AF是通过点A的三条直线，在如此结构的图形中，由C为BF的中点，轻松地推得P为DE的中点，靠的是线段比APAC，即EP AP PDBC AC CF==．综上，证明两条线段相等的基本思路是使用媒介，这种媒介可以是线段，也可以是表达式．在相等线段较多时，要注意使用线段为媒介，在比例关系较多时，可使用表达式为媒介．3 综合考虑灵活运用前面介绍了证明线段相等的基础的和基本的方法，但在处理具体问题时，往往需要结合问题的实际，综合考虑，灵活运用．例9 如图9，梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰AB、CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，联结EF，设线段EF的中点为M．求证：MA＝MD．（2004，全国初中数学联赛（C卷））讲解：根据图形特点（平行线、中点、正方形等）选择使用“三线合一”，为此，过点M作AD的垂线，垂足为N．为了利用“M为EF的中点”，分别过点E、F作直线AD的垂线．为了证明N为AD的中点，只要证E0A＝DF0．于是，选择B0B＝E0A及C0C＝F0D为媒介，这又需要构造Rt△ABB0≌Rt△EAE0及Rt△CDC0≌Rt△DFF0 ．注：这里，证明MA＝MD是利用“线段中垂线的性质”，这是基础的；为此利用“等量减等量”，这是基本的；用到“平行线等分线段定理”以及“全等三角形对应边相等”又都是基础的．练习题1．如图10，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM＝∠DAN，∠BCM＝∠DCN．求证：M为BD的中点．（提示：如图10，设直线AM与四边形ABCD外接圆的另一交点为P．由∠BCP＝∠BAM ＝∠DAN＝∠DBC，可知CP∥DB．于是，四边形BPCD为等腰梯形．可知M为DB中垂线上的点．）2．在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝30°，P为∠ABC的平分线上一点，∠PCA ＝20°，BP交AC于点M，CP交AB于点N．求证：PM＝NA．（提示：如图11，设D为BA延长线上一点，DB＝BC ．联结PA、PD、DC．过M作AP 的平行线交NC于点E，联结AE．显然△PCD为正三角形．易知四边形APEM为等腰梯形，得PM＝AE＝AN．）3．如图12，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F，过点F作BC的平行线分别交直线DA、DE于点H、G ．问：图12中除AF＝AE，BF＝BD，CD＝CE外，还有相等的线段吗？若有，请指出来，并加以证明．（提示：FH＝HE．）4．如图13，在梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰AB、CD为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M．求证：M为EF的中点．（2004，全国初中数学联赛（B卷））（提示：如图13，构造两对全等三角形，KA＝PA＝QD＝ND，AJ＝JD，KJ＝JN，ME ＝MF．）5． 如图14，四边形ABCD 内接于⊙O ，边AB 、CD 所在直线相交于点P ．记△ABC 、△BCD 的内心分别为S 、T ，直线ST 与AB 、AC 分别交于点E 、F ． 求证：PE ＝PF ．（提示：如图14，设AS 交⊙O 于点Q ，联结DQ 、QC 、CT ．易知QT ＝QC ，QS ＝QC QS ＝QT ，有∠PEF ＝∠PFE ．）。
证明两线段相等 1
证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
*12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
利用三角形相关知识证明线段相等的常用方法
AB=AC,AD 是底边 BC 上的中线，
∠ B、∠ C 的平分线交于 H，求证：H
到 AB、BC、CA 的距离相等。
A
证 明：AB=AC,AD 是 BC
边上中线 ∴ AD 平 分 ∠ ADC 且 F H E
AD ⊥ BC, 而 ∠ B、 ∠ C 的 平 B D C 分线交于 H
∴ H 是 △ ABC 内 心， ∴ 图 5
所以 H 到 AB、BC、CA 的距离相等
六、利用全等三角形的性质证明线段
相等
利用全等三角形证明线段相等是比较常
用方法。如果两条线段分别在不同三角形中，
它们所在三角形看似全等，或者通过简单处
理看似全等，可以优先考虑此法。
［例 6］如图 6，C 是线段 AB 上一点，
△ ACD 和 △ BCE 是 等 边 三 角 形。 求 证：
F
∵ ∠ DBF= ∠ CBF， C
B
∴∠ DBF= ∠ CEF
图4
又∵∠ DBF= ∠ CFE, ∴∠ CFE= ∠ CEF
∴ CE=CF( 等边对等角 )
五、利用三角形内心性质证明线段相等
题中如有多条三角珙内角角平分线，可
以考虑是不是能用内心的性质。
［ 例 5］ 如 图 5， 已 知： △ ABC 中，
AE=BD。
证明：∵△ ACB 和△ BCE 都是等边三
角形
D
∴ ∠ ACD=60°，
E
∠ BCE=60°，
∠ DCE=60°
A
C
B
∴ ∠ ACE= ∠ ACD
图6
＋∠ DCE=12C=CD，CE=CB
∴△ ACE ≌△ DCB（SAS）
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《证明线段相等-角相等-线段垂直》的方法总结
《段相等，角相等，线段垂直》的专题复习一.证明线段相等的方法：1.中点：2.等式的性质3.全等三角形4借助中介线段二.证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3.角平分线4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等经典题型：.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。
例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。
4.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。
5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。
基本图形：P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。
例6.如图，ΔABC中，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。
6.利用角平分线的对称性。
例7.如图，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。
7.角平分线与垂直平分线综合例题8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．（1）求证：BE=CF．角平分线专题复习（解答部分）一、平分线的应用。
证明线段相等的方法常用的9种方法
证明线段相等的方法常用的9种方法线段相等是几何学中的基本概念之一，它是指两条线段的长度相等。
在几何学中，我们常常需要证明两条线段相等，这时我们可以使用以下9种方法来证明。
1. 利用勾股定理：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，那么它们的斜边也相等。
因此，如果我们能够证明两条线段是直角三角形的两条直角边，那么它们的长度就相等了。
2. 利用等腰三角形的性质：如果两条线段分别是等腰三角形的两条等边，那么它们的长度也相等。
3. 利用相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边长成比例。
因此，如果我们能够证明两条线段是相似三角形的对应边，那么它们的长度也相等。
4. 利用平移的性质：如果我们能够将一条线段平移至另一条线段上，使得它们的起点和终点重合，那么这两条线段的长度就相等了。
5. 利用旋转的性质：如果我们能够将一条线段绕着一个点旋转，使得它与另一条线段重合，那么这两条线段的长度也相等了。
6. 利用反证法：假设两条线段长度不相等，那么它们之间必然存在一个距离。
我们可以通过构造一个三角形来证明这个距离是不存在的，从而推出两条线段的长度相等。
7. 利用重心的性质：如果两条线段分别是一个三角形的两条边，且这个三角形的重心恰好在这两条线段的中点，那么这两条线段的长度也相等了。
8. 利用垂线的性质：如果两条线段分别是一个直角三角形的两条直角边，且它们的中点连成一条线段与直角边垂直相交，那么这两条线段的长度也相等了。
9. 利用向量的性质：如果我们能够将两条线段表示成向量的形式，那么它们的长度相等当且仅当它们的向量相等。
证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择不同的方法来证明。
在实际应用中，我们需要根据题目的要求和条件来选择最合适的方法，以便更快更准确地得出结论。
专题14证明线段相等的常用方法
证明线段相等的常用方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。
【基本模型】（一）常用轨迹中：①两平行线间的距离处处相等.②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等.③角平分线上任一点到角两边的距离相等.④平行线等分线段定理：若一组平行线在一条直线上截得的线段相等,则在其它直线上截得的线段也相等. （二）三角形中：①同一三角形中,等角对等边.（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②任意三角形的外心到三顶点的距离相等.③任意三角形的内心到三边的距离相等.④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边.⑤直角三角形中,斜边的中线等于斜边一半.⑥有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形.⑦中位线：过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边.⑧同底或等底的三角形,若面积相等,则高也相等.同高或等高的三角形,若面积相等,则底也相等.（三）特殊四边形中：①平行四边形对边相等,对角线相互平分.②矩形对角线相等,且其的交点到四顶点的距离相等.③菱形中四边相等.④等腰梯形两腰相等、两对角线相等.⑤梯形中位线：过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰.（四）圆中：①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等.②同圆或等圆中,等弦所对的弦心距相等,等弦心距所对的弦相等.③任意圆中,任一弦总被与它垂直的半径或直径平分.④自圆外一点所作圆的两切线长相等.⑤两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分.（五）全等形中：全等形中,一切对应线段（对应的边、高、中线、角平分线、外接圆半径、内切圆半径……）都相等.（六）等量代换或线段运算：①等于同一线段的两条线段相等.②对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等.③对应相等线段乘以相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以相等倍数所得的商相等.【典例分析】［例1］（2019苏州）如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．求证：EF BC =.【点拨】利用全等三角形的性质证明线段相等，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
例举线段相等的证明方法
例举线段相等的证明方法作者：黄文军来源：《理科考试研究·初中》2014年第01期证明线段相等的常用方法有：（一）一般方法：全等三角形的性质；2线段的垂直平分线或角平分线的性质；3等腰三角形的性质或“三线合一”的性质；4特殊四边形的性质；成比例线段；6圆中垂径定理，或切线长定理，或在同圆（等圆）中，等弧对等弦、弦心距等则弦等、弦等则弦心距等；7中间量传递；8计算证明（二）特殊方法：方程法、面积法、三角函数法、补形法、反证法、同一法大多数题有多种解法，需要对各种解法进行优化，找出最直接、最简单的一种有些题还需要用两种或两种以上的方法合并解决例如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上（）如图，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形分析与解（）如图3，连结AC，在菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形因为E是BC的中点，根据“三线合一”，可得AE⊥BC因为∠AEF=60°，所以∠FEC=90°-∠AEF=30°，∠CFE=80°-∠FEC-∠C=80°-30°-20°=30°，继而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF（2）如图4，连结AC，可得△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，求得∠ACF=∠B=60°因为AD∥BC，所以∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，所以∠AEB=∠AFC根据“AAS”定理，证得△AEB≌△AFC，所以AE=AF又因为∠EAF=60°，所以△AEF是等边三角形点评此题主要运用了数形结合思想，合理构造辅助线，继而利用菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质证明线段相等例2 如图，在ABCD中，BE交对角线AC于点E，DF∥BE交AC于点F（）写出图中所有的全等三角形（不得添加辅助线）；（2）求证：BE=DF分析与解（）根据平行四边形性质推出AD=BC，AB=CD，根据“SSS”证出△ABC≌△CDA；根据平行线性质推出∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，根据“AAS”证出△AFD≌△CEB；推出∠AEB=∠CFD，∠BAE=∠DCF，根据“AAS”证出△ABE≌△CDF；（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠DAF=∠BCE因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB即∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，AD=BC，所以△AFD≌△CEB （AAS），所以BE=DF点评本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用主要考查了学生运用性质进行推理的能力当然，问题（2）也可以通过证明△ABE≌△CDF解决关键只要能找到分别有BE、DF为对应边的两个全等三角形例3 如图6，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，设AD=a，BC=b（）求CD的长度（用a，b表示）；（2）求EG的长度（用a，b表示）；（3）试判断EG与FG是否相等，并说明理由分析与解（）因为AB为半圆的直径，∠DAB=∠ABC=90°，所以DA、BC为半圆O的切线又因为CD与以AB为直径的半圆相切于点E，所以DE=DA=a，CE=CB=b，所以CD=a+b（2）因为EF⊥AB，所以EG∥BC，所以EG∶BC=DE∶DC，即EG∶b=a∶（a+b），所以EG=点评一道大题目下，如果有几个小问题，而且这几个小问题都没有增添附加条件，那么前面小问题的结论，就可以作为解决后续小问题的条件本题充分运用平行线成比例线段，设而不求，分别用字母a、b表示所证线段EG、FG，通过计算、比较获得结论在具体写比例式时，用直线BD上的三条线段DG、BG、BD作为桥梁进行过渡，也是成功解决线段相等问题的关键。
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证明线段相等的方法
（一）常用轨迹中：
①两平行线间的距离处处相等。
②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。
③角平分线上任一点到角两边的距离相等。
④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等(图1）。
（二）三角形中：
①同一三角形中，等角对等边。
（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）
②任意三角形的外心到三顶点的距离相等。
③任意三角形的内心到三边的距离相等。
④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。
⑤直角三角形中，斜边的中点到直角顶点的距离相等。
⑥有一角为60°的等腰三角形是等边三角形。
⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边(图2）。
⑧同底或等底的三角形，若面积相等，则高也相等。
同高或等高的三角形，若面积相等，
则底也相等(图3）。
（三）四边形中：
①平行四边形对边相等，对角线相互平分。
②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。
③菱形中四边相等。
④等腰梯形两腰相等、两对角线相等。
⑤过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰(图4）。
（四）正多边形中：
①正多边形的各边相等。
且边长a n = 2Rsin (180°/ n)
②正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R )相等、各边的距离(边心距r n ) 相等。
且r n = Rcos (180°/ n)
（五）圆中：
①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等。
②同圆或等圆中，等弦所对的弦心距相等，等弦心距所对的弦相等。
③任意圆中，任一弦总被与它垂直的半径或直径平分。
④自圆外一点所作圆的两切线长相等。
⑤两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等。
⑥两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分（图5）。
⑦两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等（图6）。
⑧两同心圆中，内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都被切点平分（图7）。
（六）全等形中：
①全等形中，一切对应线段（对应的边、高、中线、外接圆半径、内切圆半径……）都相等。
（七）线段运算：
①对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等。
②对应相等线段乘以的相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以的相等倍数所得的商相等。
③两线段的长具有相同的数学解析式，或二解析式相减为零，或相除为1，则此二线段相等。