余弦定理数学史
余弦定理(55张PPT)
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第一章 1.1 1.1.2
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新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
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第一章 1.1 1.1.2
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若a，b，c分别是△ABC的顶点A，B，C所对的边 长，则 a2＝__________________ b2＋c2－2bccosA ，
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第一章 1.1 1.1.2
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变式训练3
如图所示，在△ABC中，已知BC＝15，
4 3 AB:AC＝7:8，sinB＝ 7 ，求BC边上的高AD的长．
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第一章 1.1 1.1.2
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解：在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x， 7x 8x 由正弦定理，得sinC＝sinB， 7xsinB 7 4 3 3 ∴sinC＝ 8x ＝8× 7 ＝ 2 . ∴C＝60° (C＝120° 舍去，由8x>7x，知B也为钝角，不 符合要求)．
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 __________________．
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第一章 1.1 1.1.2
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思考感悟
1．已知三角形任意两边与一角，借助于正、余弦定理 是否能求出其他元素？
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第一章 1.1 1.1.2
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第一章 1.1 1.1.2
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变式训练1
已知在△ABC中，a:b:c＝2: 6:( 3＋1)，
《余弦定理》 讲义
《余弦定理》讲义一、余弦定理的引入在三角形中，我们常常需要知道边与角之间的关系。
正弦定理为我们解决了一类有关边与角的问题，而余弦定理则为我们提供了另一种重要的工具。
想象一下，我们知道了一个三角形的两条边和它们的夹角，怎么去求第三条边呢？或者知道了三条边，怎么去求其中一个角呢？这就是余弦定理要帮助我们解决的问题。
二、余弦定理的内容对于任意一个三角形，设它的三条边分别为\（a\）、＼（b\）、＼（c\），对应的角分别为\（A\）、＼（B\）、＼（C\），则余弦定理可以表示为：＼＼begin{align}a^2&＝b^2 ＋ c^2 2bc\cos A\＼b^2&＝a^2 ＋ c^2 2ac\cos B\＼c^2&＝a^2 ＋ b^2 2ab\cos C＼end{align}＼三、余弦定理的推导为了推导余弦定理，我们可以利用向量的方法。
以三角形\（ABC\）为例，假设\（＼overrightarrow{AB}＝＼vec{c}＼），＼（＼overrightarrow{AC}＝＼vec{b}＼），＼（＼overrightarrow{BC}＝＼vec{a}＼）。
那么\（＼vec{a}＝＼vec{b}＼vec{c}＼）两边平方可得：＼＼begin{align}＼vec{a}＾2&＝（＼vec{b}＼vec{c}）＾2\＼｜＼vec{a}｜＾2&＝｜＼vec{b}｜＾2 ＋｜＼vec{c}｜＾2 2\vec{b}＼cdot\vec{c}＼＼＼end{align}＼因为\（＼vec{b}＼cdot\vec{c}＝｜＼vec{b}｜｜＼vec{c}｜＼cosA\），所以＼＼begin{align}a^2&＝b^2 ＋ c^2 2bc\cos A＼end{align}＼同理可以推导出另外两个式子。
四、余弦定理的应用1、已知两边及其夹角，求第三边例如，在三角形\（ABC\）中，已知\（a ＝ 5\），＼（b ＝ 7\），＼（C ＝ 60^＼circ\），求\（c\）。
余弦定理的来源
再转一个贴，据此贴说，余弦定理由韦达首先发明，最好能再找到一些旁证材料。
三角学的历史早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯（ＭｅｎｅｌａｕｓｏｆＡｌｅｘａｎｄｒｉａ，公元100 年左右）著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50 年后，另一个古希腊学者托勒密（Ｐｔｏｌｅｍｙ）著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元499 年，印度数学家阿耶波多（ｒｙａｂｈａｔａＩ）也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（Ｖａｒａｈａｍｉｈｉｒａ，约505 ～587 ）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10 世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁（Ｎａｓｉｒｅｄ- ＤｉｎａｌＴｕｓｉ，1201 ～1274 ）的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（Ｊ·Ｒｅｇｉｏｍｏｎｔａｎｕｓ，1436 ～1476 ）．雷格蒙塔努斯的主要著作是1464 年完成的《论各种三角形》．这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作．全书共 5 卷，前 2 卷论述平面三角学，后3 卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉．雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表．雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础．他去世以后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最终出版，对16 世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响．三角学一词的英文是ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ，来自拉丁文ｔｕｉｇｏｎｏｍｅｔｕｉａ．最先使用该词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯（Ｂ．Ｐｉｔｉｓｃｕｓ，1561 ～1613 ），他在1595 年出版的《三角学：解三角形的简明处理》中创造这个词．其构成法是由三角形（ｔｕｉａｎｇｕｌｕｍ）和测量（ｍｅｔｕｉｃｕｓ）两字凑合而成．要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的．16 世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯（Ｇ．Ｊ．Ｒｈｅｔｕｃｕｓ，1514 ～1574 ）．他1536 年毕业于滕贝格（Ｗｉｔｔｅｎｂｅｒｙ）大学，留校讲授算术和几何．1539 年赴波兰跟随著名天文学家哥白尼学习天文学，1542 年受聘为莱比锡大学数学教授．雷蒂库斯首次编制出全部 6 种三角函数的数表，包括第一张详尽的正切表和第一张印刷的正割表．17 世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算，制作三角函数表已不再是很难的事，人们的注意力转向了三角学的理论研究．不过三角函数表的应用却一直占据重要地位，在科学研究与生产生活中发挥着不可替代的作用．三角公式是三角形的边与角、边与边或角与角之间的关系式．三角函数的定义已体现了一定的关系，一些简单的关系式在古希腊人以及后来的阿拉伯人中已有研究．文艺复兴后期，法国数学家韦达（Ｆ．Ｖｉｅｔａ）成为三角公式的集大成者．他的《应用于三角形的数学定律》（1579 ）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一．其中第一部分列出6 种三角函数表，有些以分和度为间隔．给出精确到5 位和10 位小数的三角函数值，还附有与三角值有关的乘法表、商表等．第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式．除汇总前人的成果外，还补充了自己发现的新公式．如正切定律、和差化积公式等等．他将这些公式列在一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量的值．该书以直角三角形为基础．对斜三角形，韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决．对球面直角三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则，如余弦定理，1591 年韦达又得到多倍角关系式，1593 年又用三角方法推导出余弦定理．1722 年英国数学家棣莫弗（Ａ．ＤｅＭｅｉｖｅｒ）得到以他的名字命名的三角学定理（ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ）ｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ，并证明了ｎ是正有理数时公式成立；1748 年欧拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ）证明了ｎ是任意实数时公式也成立，他还给出另一个著名公式ｅｉθ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ，对三角学的发展起到了重要的推动作用．近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的．他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他还创用小写拉丁字母ａ、ｂ、ｃ表示三角形三条边，大写拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三个角，从而简化了三角公式．使三角学从研究三角形解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科．而由于上述诸人及19 世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论。
余弦定理数学史
初期三角学不是一门独立的学科，而是依赖于天文学，是天文观察结果计算的一种方法，因此最初发展起来的是球面三角学．希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可多半是天文观察的副产品．比如，古希腊门纳劳斯（ＭｅｎｅｌａｕｓｏｆＡｌｅｘａｎｄｒｉａ，公元 100 年左右）著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本观点，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理； 50 年后，另一个古希腊学者托勒密（Ｐｔｏｌｅｍｙ）著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元 499 年，印度数学家阿耶波多（ｒｙａｂｈａｔａＩ）也表述出古代印度的三角学思想；此后的瓦拉哈米希拉（Ｖａｒａｈａｍｉｈｉｒａ，约 505～587）最早引入正弦观点，并给出最早的正弦表；公元 10 世纪的一些阿拉伯学者进一步商讨了三角学．自然，所有这些工作都是天文学研究的构成部分．直到纳西尔丁（Ｎａｓｉｒｅｄ -ＤｉｎａｌＴｕｓｉ， 1201～1274）的《横截线原理书》才开始使三角学离开天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（Ｊ·Ｒｅｇｉｏｍｏｎｔａｎｕｓ，1436～1476）．雷格蒙塔努斯的主要著作是 1464 年达成的《论各样三角形》．这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作．全书共 5 卷，前 2 卷阐述平面三角学，后 3 卷议论球面三角学，是欧洲流传三角学的源泉．雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表．雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用成立了坚固的基础．他逝世此后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最后第一版，对 16 世纪的数学产业生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学产业生了直接或间接的影响．三角学一词的英文是ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ，来自拉丁文ｔｕｉｇｏｎｏｍｅｔｕｉａ．最初使用该词的是文艺中兴期间的德国数学家皮蒂斯楚斯（Ｂ．Ｐｉｔｉｓｃｕｓ，1561～1613），他在1595 年第一版的《三角学：解三角形的简洁办理》中创建这个词．其构成法是由三角形（ｔｕｉａｎｇｕｌｕｍ）和丈量（ｍｅｔｕｉｃｕｓ）两字将就而成．要丈量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的．16世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯（Ｇ．Ｊ．Ｒｈｅｔｕｃｕｓ， 1514～1574）．他 1536 年毕业于滕贝格（Ｗｉｔｔｅｎｂｅｒｙ）大学，留校讲解算术和几何． 1539 年赴波兰跟从有名天文学家哥白尼学习天文学， 1542 年受聘为莱比锡大学数学教授．雷蒂库斯初次编制出所有 6 种三角函数的数表，包含第一张详细的正切表和第一张印刷的正割表．17世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算，制作三角函数表已不再是很难的事，人们的注意力转向了三角学的理论研究．可是三角函数表的应用却向来占有重要地位，在科学研究与生产生活中发挥着不行代替的作用．三角公式是三角形的边与角、边与边或角与角之间的关系式．三角函数的定义已表现了必定的关系，一些简单的关系式在古希腊人以及此后的阿拉伯人中已有研究．文艺中兴后期，法国数学家韦达（Ｆ．Ｖｉｅｔａ）成为三角公式的集大成者．他的《应用于三角形的数学定律》（ 1579）是较早系统阐述平面和球面三角学的专著之一．此中第一部排列出 6 种三角函数表，有些以分和度为间隔．给出精准到 5 位和 10 位小数的三角函数值，还附有与三角值相关的乘法表、商表等．第二部分给出造表的方法，解说了三角形中诸三角线量值关系的运算公式．除汇总古人的成就外，还增补了自己发现的新公式．如正切定律、和差化积公式等等．他将这些公式列在一个总表中，使得随意给出某些已知量后，能够从表中得出未知量的值．该书以直角三角形为基础．对斜三角形，韦达仿效先人的方法化为直角三角形来解决．对球面直角三角形，给出计算的完好公式及其记忆法例，如余弦定理，1591 年韦达又获得多倍角关系式， 1593 年又用三角方法推导出余弦定理．1722 年英国数学家棣莫弗（Ａ．ＤｅＭｅｉｖｅｒ）获得以他的名字命名的三角学定理（ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ）ｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ，并证了然ｎ是正有理数时公式成立；1748 年欧拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ）证明了ｎ是随意实数时公式也成立，他还给出另一个有名公式ｅｉθ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ，对三角学的发展起到了重要的推进作用．近代三角学是从欧拉的《无量剖析引论》开始的．他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他还创用小写拉丁字母ａ、ｂ、ｃ表示三角形三条边，大写拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三个角，进而简化了三角公式．使三角学从研究三角形解法进一步转变为研究三角函数及其应用，成为一个比较完好的数学分支学科．而因为上述诸人及 19 世纪很多半学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完好的理论。
正弦余弦正切余切三角函数起源
三角函数
正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数统称为三角函数（Trigonometric function）。
尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉（1707-1783）在著名的《无穷小分析引论》一书中首次给出的。
在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的。
如古希腊的托勒密（85-165）定半径为60；印度人阿利耶毗陀（约476-550）定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精密地计算三角函数值曾定半径为600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为107。
因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段（如弦）的长。
意大利数学家利提克斯（1514-1526）改变了前人的做法，即过去一般称AB为的正弦，把正弦与圆牢牢地连结在一起（如图），而利提克斯却把它称为∠AOB的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆O成为从属地位了。
到欧拉时，才令圆的半径为1，即置角于单位圆之中，从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比。
余弦定理(公开课)PPT
习题一：证明余弦定理
总结词
通过已知的三角形边长和角度，证明 余弦定理的正确性。
详细描述
已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，对应 的角度分别为A、B、C。通过已知条件，我们 可以利用三角函数的基本性质，推导出余弦定 理的表达式，并证明其正确性。
习题二：利用余弦定理解三角形问题
总结词
利用余弦定理解三角形中的角度和边长问题。
几何学中的基础定理
余弦定理是几何学中的基础定理之一， 对于理解几何学中的其他定理和概念 有着重要的意义。
学习余弦定理的意义和收获
培养数学思维
学习余弦定理有助于培养数学 思维，提高分析和解决问题的
能力。
加深对三角形的理解
通过学习余弦定理，可以更深入地 理解三角形的性质和特点，更好地 掌握三角形的相关知识和应用。
在解决物理问题中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以视为向量，通过余弦定理，我们可以计算出力的合成或分解 后的结果。
运动学问题
在解决运动学问题时，我们经常需要计算速度、加速度等物理量，这些量可以 通过矢量运算得出，而余弦定理在矢量运算中有着重要的应用。
PART 05
习题和解答
REPORTING
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04
在物理学中，余弦定理可以用于解决与力、运动和振 动相关的问题，如计算力的合成与分解、分析振动的 周期和频率等。
PART 03
余弦定理的证明
REPORTING
WENKU DESIGN
证明方法一：利用三角形的边长和余弦值关系
总结词
通过比较三角形边长和余弦值的平方，利用勾股定理和三角形的性质，推导出余 弦定理。
详细描述
给定三角形ABC的两边长a、b和夹角C，利用余弦定理可以求出第三边c的长度。同时，也可以利用余弦 定理求出三角形中的角度，如已知三边长a、b、c，可以求出角A、B、C的度数。
余弦定理推论
欧几里得（Euclid）介绍了有关三角形的定理，称为余弦定理。
它说，“任意三角形中，其任意一边的平方等于另外两边的平方之和减去它们中间边的乘积的两倍。
”换句话说，给定一个三角形，a，b，c分别为它的三边，那么a²=b²+c²-2bc，或者b²=a²+c²-2ac，或者c²=a²+b²-2ab。
推导出余弦定理的人可能会奇怪，为什么这个定理指定的关系会发生在四条直角边的三角形中？实际上，余弦定理是欧几里得发现的一条信息，其基础是余弦公式，用来比较三角形中余弦值的比较。
余弦定理表明，三角形的三角形底边的比较结果和角的余弦值有关。
考虑以下常见的例子。
我们考虑一个直角三角形，例如ABC，其中A，B，C分别为底边和直角右边。
因此，这个三角形将具有以下属性：A和B之间的夹角C将是90度，即cos C = 0，B和C之间的夹角A将是90度，即cos A=0，A和C之间的夹角B将是90度，即cos B=0。
此外，要推出余弦定理也可以使用“半角形定理”，即三角形ABC中，角C的余弦值等于边a和b的比例。
仔细观察可以发现，半角定理也可以证明余弦定理，比如三角形ABC的边长为A，B，C，则余弦定理可以写成a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos C，而cosC = a：b，那么余弦定理就可以被简化为a^2 = b^2 + c^2 - 2bc《a：b》，等同与a^2 = b^2 + c^2 -2bc。
因此，可以总结得出，余弦定理是一个比较三角形的边长和底边的夹角之间的余弦值的有用定理，为解决多种数学问题提供了有用的模型。
比如，它可以用于几何中解决三角形的周长、面积和求解一般多边形的顶点、内角和外角的计算等问题。
余弦定理的由来和历史
余弦定理的由来和历史
余弦定理是一个用来计算三角形边长和角度的定理，它是三角学中的重要定理之一。
它的由来和历史可以追溯到古希腊的数学家和天文学家，例如毕达哥拉斯、阿基米德等人。
在古代，人们对于三角形及其性质进行了深入研究，尤其是在天文学和导航等领域的应用中，用于测量距离和角度。
然而，当时的数学技术比较有限，缺乏一种通用的公式来计算三角形的边长和角度。
根据史书记载，余弦定理最早出现在中国古代的《数书九章》中，可追溯到公元前4世纪的战国时期。
这一定理在西方世界中的发现时间较晚，据推测约为公元1世纪。
古希腊数学家毕达哥拉斯也提到过一种类似的定理，他的定理是以他的名字命名的，称为毕达哥拉斯定理。
毕达哥拉斯定理是余弦定理的一个特殊情况，当三角形为直角三角形时，两者等价。
在第二次世界大战期间，余弦定理在导航和球面三角学中得到了广泛的应用。
随着计算机和数学工具的发展，余弦定理也成为了解决多种实际问题的重要工具。
总结来说，余弦定理的由来可以追溯到古代的数学家和天文学家，他们在测量距离和角度时的实际需求促使了这一定理的提出。
随着时间的推移和科学技术的发展，余弦定理逐渐被人们广泛应用于数学、物理、计算机等领域。
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早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯（ＭｅｎｅｌａｕｓｏｆＡｌｅｘａｎｄｒｉａ，公元100年左右）著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密（Ｐｔｏｌｅｍｙ）著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元499年，印度数学家阿耶波多（ｒｙａｂｈａｔａＩ）也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（Ｖａｒａｈａｍｉｈｉｒａ，约505～587）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁（Ｎａｓｉｒｅｄ-ＤｉｎａｌＴｕｓｉ，1201～1274）的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（Ｊ·Ｒｅｇｉｏｍｏｎｔａｎｕｓ，1436～1476）．
雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《论各种三角形》．这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作．全书共5卷，前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉．雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表．
雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础．他去世以后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最终出版，对16世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响．
三角学一词的英文是ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ，来自拉丁文ｔｕｉｇｏｎｏｍｅｔｕｉａ．最先使用该词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯（Ｂ．Ｐｉｔｉｓｃｕｓ，1561～1613），他在1595年出版的《三角学：
解三角形的简明处理》中创造这个词．其构成法是由三角形（ｔｕｉａｎｇｕｌｕｍ）和测量（ｍｅｔｕｉｃｕｓ）两字凑合而成．要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的．
16世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯（Ｇ．Ｊ．Ｒｈｅｔｕｃｕｓ，1514～1574）．他1536年毕业于滕贝格（Ｗｉｔｔｅｎｂｅｒｙ）大学，留校讲授算术和几何．1539年赴波兰跟随著名天文学家哥白尼学习天文学，1542年受聘为莱比锡大学数学教授．雷蒂库斯首次编制出全部6种三角函数的数表，包括第一张详尽的正切表和第一张印刷的正割表．
17世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算，制作三角函数表已不再是很难的事，人们的注意力转向了三角学的理论研究．不过三角函数表的应用却一直占据重要地位，在科学研究与生产生活中发挥着不可替代的作用．三角公式是三角形的边与角、边与边或角与角之间的关系式．三角函数的定义已体现了一定的关系，一些简单的关系式在古希腊人以及后来的阿拉伯人中已有研究．
文艺复兴后期，法国数学家韦达（Ｆ．Ｖｉｅｔａ）成为三角公式的集大成者．他的《应用于三角形的数学定律》
（1579）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一．其中第一部分列出6种三角函数表，有些以分和度为间隔．给出精确到5位和10位小数的三角函数值，还附有与三角值有关的乘法表、商表等．第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式．除汇总前人的成果外，还补充了自己发现的新公式．如正切定律、和差化积公式等等．他将这些公式列在一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量的值．该书以直角三角形为基础．对斜三角形，韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决．对球面直角三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则，如余弦定理，1591年韦达又得到多倍角关系式，1593年又用三角方法推导出余弦定理．
1722年英国数学家棣莫弗（Ａ．ＤｅＭｅｉｖｅｒ）得到以他的名字命名的三角学定理（ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ）ｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ，
并证明了ｎ是正有理数时公式成立；1748年欧拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ）证明了ｎ是任意实数时公式也成立，他还给出另一个著名公式ｅｉθ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ，
对三角学的发展起到了重要的推动作用．
近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的．他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他还创用小写拉丁字母ａ、ｂ、ｃ表示三角形三条边，大写拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三个角，从而简化了三角公式．使三角学从研究三角形解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科．而由于上述诸人及19世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论。