全等三角形的性质和判定

全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

要点二、对应顶点,对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置上,这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，其中点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点；AB 和DE ，BC 和EF,AC 和DF 是对应边；∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F 是对应角.要点三、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点四、全等三角形的判定（SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ）全等三角形判定一（SSS ，SAS)全等三角形判定1-—“边边边”三边对应相等的两个三角形全等。

（可以简写成“边边边”或“SSS ”）。

要点诠释:如图，如果''A B ＝AB,''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2-—“边角边"两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边"或“SAS ”).要点诠释：如图,如果AB ＝ ''A B ,∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2。

有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。

如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合,故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。

【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．证明:∵M 为PQ 的中点（已知）,∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中,()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM(SSS ）．∴∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.举一反三：【变式】已知:如图，AD ＝BC ，AC ＝BD 。

试证明:∠CAD ＝∠DBC 。

类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、已知：如图,AB ＝AD ，AC＝AE,∠1＝∠2．求证:BC ＝DE ．证明: ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）3、如图,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB,EB ＝DB,∠ABC ＝∠EBD ＝90°）,连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系,并证明你的结论．证明:延长AE 交CD 于F,∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90ABE CBD BE BD ⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等)∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD举一反三：【变式】已知：如图，PC ⊥AC ，PB ⊥AB ，AP 平分∠BAC ，且AB ＝AC ，点Q 在PA 上，求证:QC ＝QB类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH,不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．【答案与解析】证明：在△DEH 和△DFH 中，EH FH DH DH ⎪⎨⎪=⎩＝∴△DEH ≌△DFH （SSS)∴∠DEH ＝∠DFH ．一、选择题1。

△ABC 和△'''A B C 中，若AB ＝''A B ，BC ＝''B C ,AC ＝''A C 。

则（ ）A.△ABC ≌△'''A C BB.△ABC ≌△'''A B CC 。

△ABC ≌△'''C A BD 。

△ABC ≌△'''C B A2. 如图,已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，则下列结论中错误的是（ ）A.AB ∥DCB.∠B ＝∠D C 。

∠A ＝∠C D.AB ＝BC3. 下列判断正确的是（ )A 。

两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等6. 如图,已知AB ⊥BD 于B,ED ⊥BD 于D ，AB ＝CD ，BC ＝ED ，以下结论不正确的是（ ）A.EC ⊥AC B 。

EC ＝AC C.ED ＋AB ＝DB D.DC ＝CB二、填空题9. 如图，在△ABC 和△EFD 中,AD ＝FC ，AB ＝FE ，当添加条件_______时,就可得△ABC ≌△EFD （SSS ）10。

如图，AC ＝AD ，CB ＝DB ，∠2＝30°,∠3＝26°，则∠CBE ＝_______.12. 已知，如图,AB ＝CD ，AC ＝BD ，则△ABC ≌，△ADC ≌.三、解答题13。

已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠ADC ＝∠BCD ，AD ＝BC ，求证：CO ＝DO ．14. 已知：如图,AB ∥CD ，AB ＝CD ．求证：AD ∥BC ．分析:要证AD ∥BC ，只要证∠______＝∠______，又需证______≌______．证明：∵ AB ∥CD （ ），∴∠______＝∠______ （ ），在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______∴Δ______≌Δ______ ( ）．∴∠______＝∠______ （ ）．∴ ______∥______（ ）．15.如图,已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：AE＝DE.全等三角形判定3—-“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA").要点诠释：如图,如果∠A＝∠'A，AB＝''A B，∠B＝∠'B，则△ABC≌△AB C.'''要点二、全等三角形判定4——“角角边"1。

全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）2。

三个角对应相等的两个三角形不一定全等。

如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B,∠AED＝∠C，又∠A＝∠A,但△ABC和△ADE不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等。

要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS类型一、全等三角形的判定3-—“角边角”1、已知：如图，E ，F 在AC 上,AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF举一反三:【变式】如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF 。

求证：AB ＝CD.类型二、全等三角形的判定4——“角角边"2、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B,DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B ECB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS)∴AC ＝AD举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的中线,过C 、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF 、BE.求证：BE ＝CF.【答案】证明:∵AD 为△ABC 的中线∴BD ＝CD ∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD,∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等） ∴△BED ≌△CFD(AAS ）∴BE ＝CF3、已知:如图，AC 与BD 交于O 点，AB ∥DC ，AB ＝DC ．（1）求证：AC 与BD 互相平分；（2)若过O 点作直线l,分别交AB 、DC 于E 、F 两点，求证：OE ＝OF 。

证明:∵AB ∥DC∴∠Ａ＝∠Ｃ在△ABO 与△CDO 中A C (AOB COD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝对顶角相等） AB=CD∴△ABO ≌△CDO （AAS ）∴AO ＝CO ,BO=DO在△AEO 和△CFO 中A C (AOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝AO=CO＝对顶角相等） ∴△AEO ≌△CFO(ASA)∴OE ＝OF 。

一、选择题1. 能确定△ABC ≌△DEF 的条件是 （ )A ．AB ＝DE,BC ＝EF ，∠A ＝∠EB ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠EC ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF,∠B ＝∠DD ．∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E2．如图，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC 全等的图形是 ( )图4－3A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有乙D ．只有丙3．AD 是△ABC 的角平分线，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F,下列结论错误的是（ ）A ．DE ＝DFB ．AE ＝AFC ．BD ＝CDD ．∠ADE ＝∠ADF4． 如图，已知MB ＝ND ，∠MBA ＝∠NDC,下列条件不能判定△ABM ≌△CDN 的是( )A ．∠M ＝∠NB ．AB ＝CDC ．AM ＝CND ．AM ∥CN6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（ )A．△ADC≌△BCDB．△ABD≌△BACC．△ABO≌△CDOD．△AOD≌△BOC二、填空题7. 如图，∠1＝∠2,要使△AB E≌△ACE，还需添加一个条件是.(填上你认为适当的一个条件即可).8。