平方差公式及完全平方公式
平方差公式与完全平方公式
平方差公式: ( a+b) ( a-b)= a 2- b 2即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
平方差公式的特点:(1)左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同,另一项互为相反数；(2)右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；(3)公式中的a 和b 可以是有理数，也可以是单项式或多项式.一、请你填一填：1. __________))((=+-y x y x ，=-+)2131)(3121(x y y x 。
2.=--+-)51)(51(a a ，（5--a ）（ ）＝225a -，22)(______)(n m n m +-=+。
3.=-=+=-22,7,4y x y x y x 则若 。
4. 18201999⨯=________, 403×397=________， 110199100+⨯＝ ，1241221232⨯-= 。
5.)1)(1(2+-x x ( )14-=x .6.+=--++a c b a c b a [))((( )][-a ( )]7.=+-+---))((d c b a d c b a [( )+( )][( )-( )]8. 化简22)()(c b a c b a +--++的结果为 。
二、请你选一选：9.乘法等式中的字母b a ,表示( )A.只能是数B.只能是单项式C.只能是多项式D.单项式、•多项式都可以10.下列计算，能用平方差公式的是（ ）Ａ.)532)(325(3223a c b bc a +- Ｂ.))((n m n m --+ Ｃ.)23)(32(-+x x Ｄ.)4332)(4332(3232n m n m --- 11.下列各式中，计算正确的是（ ）Ａ.2)2)(2(2-=+-x x x Ｂ.43)23)(2(2-=-+x x xＣ.))((c ab c ab +-＝222c b a - Ｄ.22))((y x y x y x -=+--初二数学个性化讲义 平方差公式与完全平方公式佛山学习前线教育培训中心12.20022－2001×2003的计算结果是（ ）A. 1B.-1C.2D.-213.计算22)23()32(b a b a ---的正确结果是（ ）Ａ.0 Ｂ.22131213b ab a +- Ｃ.2255b a +- Ｄ.224125b ab a ---14.等式)(b a --( ))(22a b +＝44b a -中，括号内应填（ ）Ａ.b a - Ｂ.b a +- Ｃ.b a -- Ｄ.b a +15.下面计算)7)(7(b a b a ---++-正确的是（ ）Ａ.原式＝22)(7)]7()][7([b a b a b a +-=++----Ｂ.原式＝22)7(])7(][)7([b a b a b a -+=-+-++-Ｃ.原式＝22)(7)](7)[7(b a b a b a +--=+--++-Ｄ.原式＝22)(7)](7)[7(b a b a b a ++=+--++-16.下列式中能用平方差公式计算的有( )①)21)(21(y x y x +-, ②)3)(3(a bc bc a ---, ③)3)(3(y x y x +++-, ④(100+1)(100-1) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个17．可以运用平方差公式运算的有（ ）个①)21)(21(x x --+- ②)21)(21(x x +-- ③)2)(2(b ab b ab ---A ．1B ．2C ．3D ．018．代数式)1()1)(1)(1(42+-++-y y y y 的值是（ ）A ．0B ．2C ．－2D ．不能确定三、解答题:19.利用平方差公式计算：⑴ 502×498 ⑵ 1.01× 0.99 ⑶ 30.8×29.220.先化简，再求值：⑴)2)(2()2)(2(y x y x y x y x -----+，其中8,8-==y x ；⑵)4)(2)(2(22y x y x y x --+，其中1,2-==y x .完全平方公式: (a ＋b)2 =a 2+2ab+b 2 ; (a- b)2 =a 2-2ab+b 2即两数和（或差）的平方等于它们的平方之和加上（或减去）这两个数之积的2倍。
平方差公式和完全平方公式
平方差公式和完全平方公式一、平方差公式：设有两个数a和b，平方差公式可以表示为：(a+b)*(a-b)=a^2-b^2例如，对于任意两个实数a和b，有(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab这个公式的应用十分广泛，对于二次方程的因式分解、求根等问题有很大的帮助。
通过平方差公式，可以将一个二次方程因式分解为两个一次方程的乘积，从而简化计算过程。
举个例子，假设有一个二次方程x^2+5x+6=0，我们可以将其因式分解为(x+2)(x+3)=0，然后求解得到x=-2或x=-3通过平方差公式，我们可以简化计算过程，直接得到因式分解的结果。
二、完全平方公式：完全平方公式是指一个二次三项式可以表示为一个完全平方的形式。
设有一个二次三项式x^2 + bx + c，完全平方公式可以表示为：x^2 + bx + c = (x + m)^2 + n其中m和n是常数。
通过完全平方公式，我们可以将一个二次三项式转化为一个完全平方的形式，从而进行进一步的求解。
举个例子，假设有一个二次三项式x^2+6x+9，根据完全平方公式可以将其表示为(x+3)^2通过完全平方公式，我们可以快速得到该二次三项式的解为x=-3与平方差公式类似，完全平方公式也是简化计算的重要工具。
通过完全平方公式，我们可以将一个二次三项式转化为一个完全平方，从而更方便地进行求解。
总结：平方差公式和完全平方公式是数学中常用的两个公式，用于求解一元二次方程。
平方差公式使我们能够将一个二次方程进行因式分解，简化计算过程。
完全平方公式用于将一个二次三项式转化为一个完全平方，进一步求解。
这两个公式在数学的教学和实际应用中有着重要的作用，帮助我们更方便地求解问题，提高计算的效率。
专题八：平方差公式及完全平方式
专题一：平方差公式及完全平方公式【基础知识回顾】1、平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2.即，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
2、完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2,(a-b)2=a 2-2ab+b 2.两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们的积的2倍。
【强化训练】一、填空题1、若x 2+x +m 是一个完全平方式，则m =2、若16)3(22+-+m x 是关于x 的完全平方式，则________=m 。
3、利用_____公式可以对10199⨯进行简便运算，运算过程为：原式=_________________。
4、（－2x+y ）（－2x －y ）=______．5、（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y46、已知9x 2-6xy+k 是完全平方式，则k 的值是________．7、9a 2+（________）+25b 2=（3a-5b ）28、已知a 2+14a+49=25，则a 的值是_________．二、解答题1、________________)1)(1()3(2=-+--x x x 2、(5x +3y )(3y －5x )－(4x －y )(4y +x )3、(2x ＋y ＋1)(2x ＋y －1)4、[])56()3()3)(3(2b a b b a b a ÷--+-5、( 3y+2x)26、7、8、9、10、-(-21x 3n+2-32x 2+n )211、(3a+2b)2-(3a-2b)212、(x 2+x+6)(x 2-x+6)13、利用平方差公式计算：2023×191314、已知x +y =7,xy =2,求①2x 2+2y 2的值；②(x －y )2的值.15、已知Q y x P y x y x +-=++=+2222)()(，试求多项式P 和Q16、若016822=+-+-n n m ，求m 、n 的值。
完全平方公式与平方差公式课件
（7）（a+b+c+d)(a+b-c-d)
12
2 2 2 特别注意：(a+b) ≠a +b
2 2 2 (a-b) ≠a -b
巩固练习：下列计算是否正确．
2 2 2 ⑴(2x+y) =4x +y 2 2 2 ⑵(3a-2b) =9a -4b
（
×
）
× （
）
13
2 × ） ⑶(1-3m)(1+3m)=1-3m（
9
交流3
a
b
=
a
b
2 a
+
2 (a-b) =
-2ab
+
2 b
10
◆找出平方差公式与完全平方公的不同之处
• ( a + b)( a – b )= a2 – b2平方差公式 • ①( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2
②( a - b )2 = a2 -2 a b + b2
完全平方公式
◆公式中的a、b可以表示什么？能否举出
例子？
11
巩固练习：以下各式能否运用平方差公式进行 计算？若能，请指出各式中的a、b？
⑴（2x+1)(x-1)
⑵（2a+5b)(2a-5b)
⑶(-x+y)(-x-y)
⑸（x2+9)(x2-9)
⑷ (y-2x)(-2x-y)
(6)(2a+b+1)(2a+b-1)
观察
( a + b)( a – b )=
并说出这个算式的特点．
2 a –
2 b
总结：这个算式是两个数的和与这两个
平方差公式、完全平方公式
完全平方公式
上海市文来中学
谢小花
动 动 手
折 折 纸
图(1)
a a
b
b
图(2)
a a
b
b
a a
b
b 表示பைடு நூலகம்大正方形面积 用 a、
b
图(1)
a a
b
b
图(3)
图(2)
a a
b
a
b
a
b
b
1．平方差公式：
(a b)(a b) a b
2
2
两个数的和与这两个数的差的乘积等于 这两个数的平方差．
练习1 计算 ：
(a b)(a b) a b
2
2
（1） (2 x 1)(2 x 1)
(4 x 2 1)
1 2 ( 4y ) 4
1 1 （2） ( 2 y )( 2 y ) 2 2
（3） (a 2)(2 a)
（4）( x 2 y)( x 2 y)
a 2ab 2b
2 2
原式 a 4ab 4b 1 1 2 1 2 1 1 2 ( x y ) x xy y （4） 2 3 4 3 9
思考：
以下两道计算题可以用今天所学的乘法公式吗？
（ 1）
(a 2b)(a 2b) (a 2b)(a 2b)
例题1 计算：
(a b)
(a b) a 2 b2
（2）( x 3 y )( x 3 y ) ( x) 2
(3 y) x 9 y
2 2
2
归纳：
两个二项式相乘，能用平方差公式的特征是: 这两个二项式中的一项相同，( x y)(2 x y) 另一项互为相反数；( x y)(x 2 y) 那么它们的积等于: 相同的项的平方，减去相反的那个项的平方．
平方差公式与完全平方公式
平方差公式与完整平方公式一、 公式透析平方差公式： ( a b)( a b) a 2 b 2 特色是相乘的两个二项式中， a 表示的是完全同样的项， +b 和-b 表示的是互为相反数的两项。
因此说，两个二项式相乘能不可以用平方差公式，重点看能否存在两项完整同样的项，两项互为相反数的项。
完整平方公式： (a b)2a 22ab b 2 注意不要遗漏 2ab 项二、典例分析例 1：以下各式能够用平方差公式的是（）A.( a4c)(a 4c)B.( x2 y)(2x y)C .( 3a 1)(13a)D.( 1xy)( 1x y)22例 2:怎样用公式计算(1)( xy)2例 3：已知 m n10, mn 24，求（ 1） m 2 n 2(2)(mn) 2三、 双基过关A 组 . (1)(3m 21n)(3m21n)(2)( 6m 4n)(6m 4n)2 2B 组 (3)(a1 b)2 (4) ( a 3b) 22.1.x 2ax4是完整平方公式，则 a ___,4x 2 12 xy m 是一个完整平方 式，则 m ____ .2.( x y)2 Mx 22xy y 2 ,则 M ____ .3.x1 5, 则 x2 1 _____ .xx 2用简易方法计算（） 314.1 7844（2）100 2 99298297 296 2952 2 212C组（1）（ a b 3)(a b 3)(2)(3a b c)(3a b c)(3)(1a 3b)2(1a 3b)2(4)( x 3 y 4) 233(5) a(a3) ( a 7)( a 7)四、综合应用1.按图中所示的方式切割正方形，你能获得什么结论b a x y2.察看以下各式 ,你会发现什么规律 ,用只含一个字母n 的式子表示出来 . 3515421573562111 13 143 12213). 23(321)(341)(3321)1。
平方差公式和完全平方公式
第三讲 平方差公式和完全平方公式【名言警句】细节决定成败！【知识点归纳讲解】（一）平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 特征：①左边：二项式乘以二项式，两数（a 与b ）的和与它们差的乘积. ②右边：这两数的平方差. 平方差公式的常见变形：①位置变化：如()()()()22a b b a b a b a b a +-=+-=-②符号变化：如()()()()()2222a b a b b a b a b a b a ---=---+=--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或()()()()()2222a b a b a b a b a b a b ---=-+-=--=-+ ③系数变化：如()()()()()22ma mb a b m a b a b m a b +-=+-=-（二）完全平方公式()()22222222a b a ab b a b a ab b+=++-=-+ 完全平方公式常见变形：① 符号变化：如()()22222a b a b a ab b --=+=++ ()()22222a b a b a ab b -+=-=-+②移项变化：()()22222222a b a ab b a b a ab b +=++-=-+⇒()()22222222a b a b ab a b a b ab+=+-+=-+⇒()()224a b a b ab +--=【经典例题讲解】（一）平方差公式例1：计算：()()()()2244a b b a b a b a ---+-例2：计算：①（2x+y ）(2x-y) ②(y x 3121+)(y x 3121-)③(-x+3y)(-x-3y) ④(2a+b)(2a-b)(4)22b a +.【同步演练】应用平方差公式计算（1）()()a a 2121+- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121312122x x （3）()()y x y x 3232+---例3：某初级中学得到政府投资，进行了校园改造建设，他们的操场原来是长方形，改建后变为正方形，正方形的边长比原来的长方形少6米，比原来的长方形的宽多了6米，问操场的面积比原来大了还是小了？相差多少平方米？（二）完全平方公式例1：已知2291822a b ab a b +==+，，求的值例2：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972【同步演练】利用完全平方公式计算：（1）982 （2）2032例3：计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x【同步演练】)3)(3(+---b a b a例4：若22)2(4+=++x k x x ，则k =若k x x ++22是完全平方式，则k =例:5：完全平方公式的推广()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++()222222222a b c d a b c d ab bc cd ad +++=+++++++附加题：若实数222,,9,a b c a b c ++=满足()()()222a b b c c a -+-+-则代数式的最大值是多少？【课堂检测】 （一）平方差公式 一、填空题1、=--+-)2)(2(y y _______.2、=-+)2)(2(y x y x ______.3、=-+)3121)(3121(b a b a ______. 4、=---))((22x a x a _______. 5、=++-))()((22b a b a b a _______. 6、=-+-))((y x y x _______. 7、=+-----+))(())((y x y x y x y x _______. 8、+xy (_______）-xy (_______）81122-=y x . 二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ） （A ）)22)(2(b a b a +--; （B ）)2)(2(a b b a +-; （C ）)2)(2(b a b a +--; （D ）)2)(2(b a a b ++-.10、下列各式中，运算结果是223625y x -的是（ ） （A ）)56)(56(x y x y --+- ; （B ）)56)(65(x y y x +-; （C ）)56)(56(x y x y ++- ; （D ）)65)(65(y x y x +--. 三、解答题11.计算)2)(2())((n m n m n m n m -+-+-.12.先化简后求值2),2)(2()2)(2(22-=-+--+x x x x x .13.解方程4)2()1)(1(2=---+x x x x .（二）完全平方公式 一、填空题1、=-+)2)(2(b a b a _______.2、)5(x +-_______225x -=. 用平方差公式计算并填空3、)218(5.75.8+=⨯__ ___4363=. 4、=⨯95105_______.5、=-+22)2()2(y x y x （_______）2. 二、选择题6、=+----))((y x y x _______.（ ）（A ）22y x +-;（B ）22y x -;（C ）22y x --;（D ）22y x +.7、如果16)(2-=+a m a p ，则（ ）（A ）4),4(=+=m a p ; （B ）4),4(-=-=m a p （C ）4),4(-=+=m a p ; （D ）4,4=+-=m a p . 三、解答题8、解不等式x x x x x 3)6()3)(3(>+-+-.9、解方程)1)(1(2)3)(12(+-=+-x x x x .10、先化简后求值)5)(5(2)4)(3(-+-+-x x x x ，其中10-=x11、一个梯形上底是)(b a +㎝，下底是)(b a -㎝，高为)2(b a +㎝，求梯形的面积，若2,215==b a ，求这个梯形的面积.【课后作业】一、填空题（每题2分，共28分）1．(34=⋅a a ____()⨯____34)+=a ; 2．=-⋅-54)()(x y y x _________; 3．()(23=m _____)(_____23)⨯=m ; 4．=-⋅--535)(])([a a _________; 5．=⨯3)87(_________3387⨯=; 6．(8164=y x ______2); 7．已知长方形的长是m 4，它的面积是nm 20，则它的宽是_________;8．=⋅+-222483)41(6y x x y x xy _________;9．=⋅+n m 2)7(_________;10．=+--)()(b a a a b b _________; 11．=++))((t z y x _________; 12．=+++-))()()((4422b a b a b a b a _________; 13．=++-+-))((c b a c b a _________; 14．=--+22)()(b a b a _________. 二、选择题（每题3分，共12分）15．下列各式中正确的是（ ）（A ）222)(b a b a -=-; （B ）2222)2(b ab a b a ++=+; （C ）222)(b a b a +=+; （D ）2222)(b ab a b a +-=+-.16．计算)102.2()105.3(53⨯⨯⨯的结果并用科学记数法表示，正确的结果是（ ） （A ）770000000;（B ）71077⨯;（C ）8107.7⨯;（D ）7107.7⨯.17．20072006)32()23(⋅-的计算结果是（ ）（A ）23-;（B ）32-;（C ）32;（D ）23.18．下列计算正确的是（ ）（A ）1262432a a a a a =⋅+⋅; （B ）252212)2(3bc a c a ab =⋅;（C ）322322+=⋅⋅+⋅n n a a a a a a ; （D ）432222)21()2(y x y x xy -=-⋅-.三、简答题：（每题6分，共30分）19．计算：4453)()(a a a a -+-20．结果用)(y x -的幂的形式表示62323)(2])[(])[(y x x y y x -+-+-.21．用简便方法计算63720052006)2()81()125.0()8(⨯+-⨯-22．计算453210)2()(b a ab b a +⋅- .23．计算)1()1(22++-++x x x x x . 24．计算))()((22b a b a b a -+-.四、解答题（每题5分，共20分）25．解方程)2(2)2()1(-=++-x x x x x x26．化简并求值31,3),3)(3(==--b a a b b a 其中.27．化简并求值2,)1()12(22-=-++x x x 其中.28.计算2)(c b a --29.综合题（10分，每小题5分）（1）已知一个圆的半径若增加2厘米，则它的面积就增加39平方厘米，求这个圆的直径.（用π的代数式表示这个圆的直径）（2）阅读：若一家商店的销售额10月比9月份增长（减少）10%，则设这家商店9月10月份销售额的增长率为0.1（-0.1）；理解：甲、乙两店9月份的销售额均为a万元，在10月到11月这两个月中，甲，问到商店的销售额的平均每月增长率为x，乙商店的销售额平均每月的增长率为x11月底时，甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元（用a和x的代数式表示结果）.【课后作业】家长意见及建议：家长签字：日期：年月日。
平方差公式与完全平方公式
Word 文档平差公式与完全平公式（a+b ）2 = a 2+2ab+b 2（a －b ）2=a 2－2ab+b2（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2应用1、平差公式的应用：例1、利用平差公式进行计算： （1）（5+6x ）（5－6x ） （2）（x ＋2y ）（x －2y ） （3）（－m ＋n ）（－m －n ） 解：例2、计算：（1）（y x 41--）（y x 41+-） （2）（－m －n ）（m －n ）（3）（m ＋n ）（n －m ）+3m 2（4）（x+y ）（x －y ）（x 2－y 2）解：例3、计算：（1）103×97 （2）118×122 （3）32203119⨯ 解：应用2、完全平公式的应用： 例4、计算：（1）（2x －3）2（2）（4x+5y ）2（3）（y x 21-）2 （4）（－x －2y ）2（5）（－x+y 21）2解：例5、利用完全平公式计算：（1）1022 （2）1972 （3）199992－19998×20002解：试一试：计算：123456789×123456787－1234567882=_______________Word 文档应用3、乘法公式的综合应用： 例6、计算：（1）（x+5）2－（x+2）（x －2）（2）（a+b+3）（a+b －3） （3）（a －b+1）（b －a+1）（4）（a+b －c ）2解： 例7、（1）若4ax x 412++是完全平式，则：a=________________（2）若4x 2+1加上一个单项式M 使它成为一个完全平式，则M=_______________ 例8、（1）已知：3a1a =+，则：__________a1a 22=+（2）已知：5a 1a =-，则：__________a 1a 22=+（3）已知：a+b=5，ab=6，则：a 2+b 2=_______（4）已知：（a+b ）2=7，（a －b ）2=3，则：a 2+b 2= ，ab=例9、计算：（1）)1011()411)(311)(211(2222----ΛΛ （2）)12()12)(12)(12)(12(32842+++++ΛΛ解：例10、证明：x 2+y 2+2x －2y+3的值总是正的。
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平方差公式及完全平方公式
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
在这个公式中，(a+b)和(a-b)被称为差的产品。
平方差公式可以证明
如下：
设c=a+b，d=a-b，则可以将平方差公式表示为：
c*d=(c+d)(c-d)
将a+b和a-b分别代入c和d的等式中，则得到：
c=a+b
d=a-b
代入后，等式变为：
(a+b)(a-b)=(a+b+a-b)(a+b-a+b)
通过合并和简化可得：
(a + b)(a - b) = a^2 + ab - ab - b^2
由于ab和-ab可以相互抵消，因此最终结果为：
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
这就是平方差公式的推导过程。
平方差公式在数学中有着广泛的应用，可以用于简化复杂的运算和化简代数式。
完全平方公式是指一个二次方程的解可以表示为两个平方项的和或差。
设有二次方程ax^2 + bx + c = 0，完全平方公式可以表示为：
x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a
在这个公式中，b^2 - 4ac被称为判别式。
完全平方公式可以根据判
别式的值分为三种情况：
1.判别式大于0：这种情况下，二次方程有两个不相等的实根。
例如，当a=1，b=5，c=6时，判别式为25-24=1，有两个不同的解x1=-3和x2=-
2
2.判别式等于0：这种情况下，二次方程有两个相等的实根。
例如，
当a=1，b=4，c=4时，判别式为16-16=0，有一个解x=-2
3.判别式小于0：这种情况下，二次方程没有实根，解为虚数。
例如，当a=1，b=2，c=3时，判别式为4-12=-8，在实数范围内没有解。
完全平方公式可以通过配方法来推导。
对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以将其变形为：
a(x^2+(b/a)x+c/a)=0
为了让这个方程成为一个完全平方，需要找到一个用以平方的表达式。
将二次项的系数的一半平方加到方程中，即。
(b/2a)^2，结果是
(b^2/4a^2)。
同时，要保持方程的平衡，需要在方程两边加上(b^2/4a^2)：a(x^2+(b/a)x+(b^2/4a^2))=(b^2/4a^2)
这样，左边的部分就变成了一个完全平方。
将其进行平方：
a(x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2
现在，将方程两边开根号并移项，即得到了完全平方公式：
x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a
这就是完全平方公式的推导过程。
完全平方公式在代数学中有着重要的作用，可以更方便地求解二次方程。