2020年上海高考数学试题真题及答案
2020年上海秋季高考数学逐题解析版(校对2
2020年全国统一高考数学试卷（上海秋季卷）一、填空题：本题共15小题，1-6题4分，7-12题5分，共54分。
1．已知集合，，求 ．={124}A ，，={234}B ，，=A B 【答案】：{24}，【解析】： 与取交集，共有元素为和.A B 242．计算： ．1lim31n n n →∞+=-【答案】：13【解析】： .11111lim lim lim 1131333()33n n n n n n n n n →∞→∞→∞+++===---3．已知复数（为虚数单位），则 ．12i z=-i z =【解析】：z ==4．已知行列式，则行列式 ．126300a cd b =a cd b=【答案】：2【解析】：因为 .126300a cd b =所以.11300622a c c ad b b d⋅-⋅+=故.2a cd b=5．已知，则 ．()3f x x =()1fx -=【答案】：13x()x ∈R 【解析】： 考察反函数知识点，由 可得，注意.3x y =13y x =x ∈R 6．已知、、1、2的中位数为，平均数为，则 ．a b 34ab =【答案】：36【解析】：由平均数为，可得，由中位数为，可知和中有一个是413a b +=3a b 4，另一个是.97．已知，则的最大值为 ．20230x y y x y +⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤2z y x =-【答案】：1-【解析】：画出可行域，带入点.()11，8．为不等于零的等差数列，且，求.{}n a 1109a a a +=12910+a a a a ++= 【答案】：278【解析】：在等差数列中由，得，所以：1109a a a +=1a d =-.1291101+93627+98a a a a d a a d +++==9．从个人中选个人值班，第一天641个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种排法 .【答案】：180【解析】：.112654C C C 180=10．已知椭圆：，第二象限有一点，点与右焦点22143y x +=P P F所在直线与椭圆交于一点，，且点与点关于轴对称，求Q 1PF FQ ⊥Q 1Q x PQ 的直线方程 .【答案】：1y x=-【解析】：，且点与点关于轴对称，知斜率为，所以1PF FQ ⊥Q 1Q x PF 1-PF方程为.1y x =-11．设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或a ∈R R ()f x 0x ∈R 0()f x 20x 0x ”又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为 x ()f x a =a 【答案】：且0a ≠1a ≠【解析】：题目转换为是否存在实数，使得存在函数满足“对于任意，a ()f x 0x ∈R 0()f x 的值为或”又满足“关于的方程无实数解”构造函数：20x 0x x ()f x a =，则方程，只有0,1两个实数解.2,(),x x af x x x a ≠⎧=⎨=⎩()f x a =12．设，已知平面向量两两不相同，，且对于任意的k ∈*N 1212,,,, k a a b b b 12||1a a -=，及,,求的最大值 1,2i =1,2,,j k = }{1,2i j a b -∈k 【答案】：6【解析】：设，这，因为，所以对于任意的1122,OA a OA a == 12||1A A =}{1,2i j a b -∈有，做，则我们有1,2,,j k = }{11,2j a b -∈ }{21,2j a b -∈ j j OB b = 1j A B 等于1或者2，且等于1或者2，所以点在以，2j A B ,(1,2,,)j B j k = i A ()1,2i =为圆心半径为1或者2的圆上，如图所示，总共有6个点满足条件.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理(上海卷,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（上海卷，含答案）考生注意：1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码 .2． 本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 .一．真空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ . 2． 已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=， 则实数a 的取值范围是______________________ .3． 若行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ . 4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是____________________________ .5．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面连长为2，高 为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.6．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ____________（结果用最简分数表示）. 8.已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________9.已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.10.在极坐标系中，由三条直线0=θ，3πθ=，1sin cos =+θρθρ围成图形的面积是________.11.当时10≤≤x ，不等式kx x≥2sinπ成立，则实数k 的取值范围是_______________.12．已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =____________是，0)(=k a f .13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理(上海卷,解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（上海卷，解析版）考生注意：1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码 .2． 本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 .一．真空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ . 1．【答案】i【解析】设z ＝a ＋bi ，则（a ＋bi ）(1+i) =1-i ，即a －b ＋（a ＋b ）i ＝1－i ，由⎩⎨⎧-=+=-11b a b a ，解得a ＝0，b ＝－1，所以z ＝－i ，z ＝i2． 已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是______________________ . 2．【答案】a ≤1【解析】因为A ∪B=R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以，有a ≤1。
3． 若行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ . 3．【答案】83x >【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：83x >4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x满足的关系式是____________________________ .4．【答案】2,12,1x x y x x ⎧<=⎨->⎩【解析】当x ＞1时，有y ＝x －2，当x ＜1时有y ＝x 2，所以，有分段函数。
5．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面连长为2，高 为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）. 5．【答案】arctan 5【解析】因为AD ∥A 1D 1，异面直线BD 1与AD 所成角就是BD 1与A 1D 1所在角，即∠A 1D 1B ， 由勾股定理，得A 1B ＝25，tan ∠A 1D 1B ＝5，所以，∠A 1D 1B ＝arctan 5。
2020年上海市高考数学试卷(含答案)
2020年上海市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 下列等式恒成立的是( )A. a 2+b 2≤2abB. a 2+b 2≥−2abC. a +b ≥2√|ab|D. a 2+b 2≤−2ab2. 已知直线方程3x +4y +1=0的一个参数方程可以是( )A. { x =1+3ty =−1−4tB. {x =1−4ty =−1+3t C. {x =1−3ty =−1+4t D. {x =1+4ty =1−3t3. 在棱长为10的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为左侧面ADD 1A 1上一点，已知点P 到A 1D 1的距离为3，P 到AA 1的距离为2，则过点P 且与A 1C 平行的直线交正方体于P,Q 两点，则Q 点所在的平面是( )A. AA 1B 1BB. BB 1C 1CC. CC 1D 1DD. ABCD 4. 命题p ：存在a ∈R 且a ≠0，对于任意的x ∈R ，使得f(x +a)<f(x)+f(a)；命题q 1:f(x)单调递减且f(x)>0恒成立； 命题q 2:f(x)单调递增，存在x 0<0使得f(x 0)=0， 则下列说法正确的是( )A. 只有q 1是p 的充分条件B. 只有q 2是p 的充分条件C. q 1，q 2都是p 的充分条件D. q 1，q 2都不是p 的充分条件二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知集合A ={1,2，4}，集合B ={2,4，5}，则A ∩B = ．6. 计算：lim n→∞ n+13n−1= 7. 已知复数z =1−2i(i 为虚数单位)，则|z|= ．8. 已知函数f(x)=x 3，f′(x)是f(x)的反函数，则f′(x)= 。
9. 已知x 、y 满足{x +y −2≥0x +2y −3≤0y ≥0，则z =y −2x 的最大值为10. 已知行列式|1ab2cd 30|=6，则|abcd|= 11. 已知有四个数1，2，a ，b ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab = ． 12. 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 1+a 10=a 9，则a 1+a 2+⋯+a 9a 10= ．13. 从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 种安排情况．第3题14.已知椭圆C:x24+y23=1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点(点P在第二象限)，若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是．15.设a∈R，若存在定义域为R的函数f(x)同时满足下列两个条件：(1)对任意的x0∈R，f(x0)的值为x0或x02；(2)关于x的方程f(x)=a无实数解，则a的取值范围是．16.已知a1⃗⃗⃗⃗ ，a2⃗⃗⃗⃗ ，b1⃗⃗⃗ ，b2⃗⃗⃗⃗ ，…，b k⃗⃗⃗⃗ (k∈N∗)是平面内两两互不相等的向量，满足|a1⃗⃗⃗⃗ −a2⃗⃗⃗⃗ |=1，且|a i⃗⃗⃗ −b j⃗⃗⃗ |∈{1,2}(其中i=1，2，j=1，2，…，k)，则k的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．(1)求该圆柱的表面积；(2)正方形ABCD绕AB逆时针旋转π2至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．18. 已知函数f(x)=sinωx ，ω>0．(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f 2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x ∈[0,π4]，求g(x)的值域．19. 在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v =qx ，x 为道路密度，q 为车辆密度．v =f(x)={100−135⋅(13)x ,0<x <40−k(x −40)+85,40≤x ≤80．(1)若交通流量v >95，求道路密度x 的取值范围；(2)已知道路密度x =80，交通流量v =50，求车辆密度q 的最大值．20.已知双曲线Γ1:x24−y2b2=1与圆Γ2:x2+y2=4+b2(b>0)交于点A(x A,y A)(第一象限)，曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x>|x A|的部分．(1)若x A=√6，求b的值；(2)当b=√5，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|=8，求∠F1PF2；(3)过点D(0,b22+2)斜率为−b2的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，并求OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21.已知数列{a n}为有限数列，满足|a1−a2|≤|a1−a3|≤⋯≤|a1−a m|，则称{a n}满足性质P．(1)判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；(2)若a1=1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；(3)若{a n}是1，2，3，…，m的一个排列(m≥4)，{b n}符合b k=a k+1(k=1,2，…，m−1)，{a n}、{b n}都具有性质P，求所有满足条件的数列{a n}．答案和解析1.【答案】B解：A.显然当a <0，b >0时，不等式a 2+b 2≤2ab 不成立，故A 错误；B ．∵(a +b)2≥0，∴a 2+b 2+2ab ≥0，∴a 2+b 2≥−2ab ，故B 正确，D 错误； C.显然当a <0，b <0时，不等式a +b ≥2√|ab|不成立，故C 错误；故选：B ．2.【答案】B解：{ x =1+3ty =−1−4t 的普通方程为：x−1y+1=−34，即4x +3y −1=0，不正确； {x =1−4t y =−1+3t的普通方程为：x−1y+1=−43，即3x +4y +1=0，正确； {x =1−3t y =−1+4t的普通方程为：x−1y+1=−34，即4x +3y −1=0，不正确； {x =1+4t y =1−3t的普通方程为：x−1y−1=−43，即3x +4y −7=0，不正确；故选：B ． 3.【答案】D解：如图，由点P 到A 1D 1的距离为3，P 到AA 1的距离为2，可得P 在△AA 1D 内，过P 作EF//A 1D ，且EF ∩AA 1于E ，EF ∩AD 于F ，在平面ABCD 中，过F 作FG//CD ，交BC 于G ，则平面EFG//平面A 1DC ． 连接AC ，交FG 于M ，连接EM ，∵平面EFG//平面A 1DC ，平面A 1AC ∩平面A 1DC =A 1C ，平面A 1AC ∩平面EFM =EM ，∴EM//A 1C ．在ΔEFM 中，过P 作PN//EM ，且PN ∩FM 于N ，则PN//A 1C ． ∵线段FM 在四边形ABCD 内，N 在线段FM 上，∴N 在四边形ABCD 内．∴点N 即为过点P 且与A 1C 平行的直线与正方体的交点，即与点Q 重合∴点Q 在平面ABCD 内故选：D ．4.【答案】C解：对于命题q 1：当f(x)单调递减且f(x)>0恒成立时，当a >0时，此时x +a >x ，又因为f(x)单调递减，所以f(x +a)<f(x)又因为f(x)>0恒成立时，所以f(x)<f(x)+f(a)， 所以f(x +a)<f(x)+f(a)，所以命题q 1⇒命题p ， 对于命题q 2：当f(x)单调递增，存在x 0<0使得f(x 0)=0，当a =x 0<0时，此时x +a <x ，f(a)=f(x 0)=0，又因为f(x)单调递增，所以f(x +a)<f(x)，所以f(x +a)<f(x)+f(a)，所以命题p 2⇒命题p ， 所以q 1，q 2都是p 的充分条件，故选：C ．5.【答案】{2,4}解：因为A ={1,2，4}，B ={2,4，5}，则A ∩B ={2,4}．故答案为：{2,4}．6.【答案】13解：，故答案为：13．7.【答案】√5解：由z =1−2i ，得|z|=√12+(−2)2=√5．故答案为：√5．8.【答案】√x 3【解答】解：由y =f(x)=x 3，得x =√y 3，把x 与y 互换，可得f(x)=x 3的反函数为f −1(x)=√x 3．故答案为：√x 3．9.【答案】−1解：由约束条件{x +y −2≥0x +2y −3≤0y ≥0作出可行域如图阴影部分，化目标函数z =y −2x 为y =2x +z ，由图可知，当直线y =2x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大， 联立{x +y −2=0x +2y −3=0，解得{x =1y =1，即A(1,1)．z 有最大值为1−2×1=−1．故答案为：−1． 10.【答案】2解：行列式|1a b2cd 30|=6，可得3|ab cd |=6，解得|a bcd|=2．故答案为：2． 11.【答案】36解：因为四个数的平均数为4，所以a +b =4×4−1−2=13，因为中位数是3，所以2+a 2=3，解得a =4，代入上式得b =13−4=9，所以ab =36，故答案为：36．12.【答案】278解：根据题意，等差数列{a n }满足a 1+a 10=a 9，即a 1+a 1+9d =a 1+8d ，变形可得a 1=−d ， 所以a 1+a 2+⋯+a 9a 10=9a 1+9×8d 2a 1+9d=9a 1+36d a 1+9d=−9d+36d −d+9d=278．故答案为：278．13.【答案】180解：根据题意，可得排法共有C 61C 51C 42=180种．故答案为：180．14.【答案】x +y −1=0解：椭圆C:x 24+y 23=1的右焦点为F(1,0)，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点(点P 在第二象限)，若点Q 关于x 轴对称点为Q′，且满足PQ ⊥FQ′， 可知直线l 的斜率为−1，所以直线l 的方程是：y =−(x −1)， 即x +y −1=0． 故答案为：x +y −1=0．15.【答案】(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)解：根据条件(1)可得x 0=0或1，又因为关于x 的方程f(x)=a 无实数解，所以a ≠0或1， 故a ∈(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)，故答案为：(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)．16.【答案】6解：如图，设OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 1⃗⃗⃗⃗ ，OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2⃗⃗⃗⃗ ， 由|a 1⃗⃗⃗⃗ −a 2⃗⃗⃗⃗ |=1，且|a i ⃗⃗⃗ −b j ⃗⃗⃗ |∈{1,2}， 分别以A 1，A 2为圆心，以1和2为半径画圆， 其中圆的公共点共有6个．故满足条件的k 的最大值为6．故答案为：6．17.【答案】解：(1)该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，∴S =2×π×12+2π×1=4π．故该圆柱的表面积为4π．(2)∵正方形ABC1D1，∴AD1⊥AB，又∠DAD1=π2，∴AD1⊥AD，∵AD∩AB=A，且AD、AB⊂平面ADB，∴AD1⊥平面ADB，即D1在面ADB上的投影为A，连接CD1，则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角，而cos∠D1CA=ACCD1=√2√3=√63，∴线段CD1与平面ABCD所成的角为arccos√63．【解析】本题考查圆柱的表面积、空间线面夹角问题，熟练掌握线面垂直的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于中档题．(1)该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，依次求出圆面和矩形的面积，相加即可；(2)先利用线面垂直的判定定理证明AD1⊥平面ADB，连接CD1，则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角，再利用三角函数的知识求出cos∠D1CA即可．18.【答案】解：(1)由于f(x)的周期是4π，所以ω=2π4π=12，所以f(x)=sin12x．令sin12x=12，故12x=2kπ+π6或2kπ+5π6，整理得x=4kπ+π3或x=4kπ+5π3．故解集为{x|x=4kπ+π3或x=4kπ+5π3，k∈Z}．(2)由于ω=1，所以f(x)=sinx．所以g(x)=sin2x+√3sin(−x)sin(π2−x)=1−cos2x2−√32sin2x=−√32sin2x−12cos2x+12=12−sin(2x+π6)．由于x∈[0,π4]，所以π6≤2x+π6≤2π3．12≤sin(2x+π6)≤1，故−1≤−sin(2x+π6)≤−12，故−12≤g(x)≤0．所以函数g(x)的值域为[−12,0]．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．19.【答案】解：(1)∵v=qx，∴v越大，x越小，∴v=f(x)是单调递减函数，k>0，当40≤x ≤80时，v 最大为85，于是只需令100−135⋅(13)x >95，解得x >3， 故道路密度x 的取值范围为(3,40)．(2)把x =80，v =50代入v =f(x)=−k(x −40)+85中，得50=−k ⋅40+85，解得k =78．∴q =vx ={100x −135⋅(13)x ⋅x,0<x <40−78(x −40)x +85x,40≤x ≤80, 当0<x <40时，q 单调递增，q <100×40−135×(13)40×40≈4000；当40≤x ≤80时，q 是关于x 的二次函数，开口向下，对称轴为x =4807，此时q 有最大值，为−78×(4807)2+120×4807=288007>4000．故车辆密度q 的最大值为288007．【解析】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题．(1)易知v 越大，x 越小，所以v =f(x)是单调递减函数，k >0，于是只需令100−135⋅(13)x >95，解不等式即可；(2)把x =80，v =50代入v =f(x)的解析式中，求出k 的值，利用q =vx 可得到q 关于x 的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上q 的最大值，取较大者即可． 20.【答案】解：(1)由x A =√6，点A 为曲线Γ1与曲线Γ2的交点，联立{x A 24−y A 2b 2=1x A 2+y A 2=4+b2，解得y A =√2，b =2； (2)由题意可得F 1，F 2为曲线Γ1的两个焦点，由双曲线的定义可得|PF 1|−|PF 2|=2a ，又|PF 1|=8，2a =4， 所以|PF 2|=8−4=4，因为b =√5，则c =√4+5=3，所以|F 1F 2|=6， 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1|⋅|PF 2|=64+16−362×8×4=1116，由0<∠F 1PF 2<π，可得∠F 1PF 2=arccos 1116；(3)设直线l:y =−b2x +4+b 22，可得原点O 到直线l 的距离d =|4+b 22|√1+24=√4+b 2，所以直线l 是圆的切线，设切点为M ，所以k OM =2b ，并设OM:y =2b x 与圆x 2+y 2=4+b 2联立，可得x 2+4b 2x 2=4+b 2， 可得x =b ，y =2，即M(b,2)，注意直线l 与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当y A >2时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，由{x A 24−y A 2b 2=1x A 2+y A 2=4+b2，可得y A 2=b 4a+b 2，所以有4<b 44+b 2，解得b 2>2+2√5或b 2<2−2√5(舍去)，因为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影可得，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+b 2，所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+b 2>6+2√5， 则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈(6+2√5,+∞)． 【解析】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于较难题． (1)联立曲线Γ1与曲线Γ2的方程，以及x A =√6，解方程可得b ； (2)由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角； (3)设直线l:y =−b2x +4+b 22，求得O 到直线l 的距离，判断直线l 与圆的关系：相切，可设切点为M ，考虑双曲线的渐近线方程，只有当y A >2时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，解不等式可得b 的范围，由向量投影的定义求得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而得到所求范围． 21.【答案】解：(1)对于数列3，2，5，1，有|2−3|=1，|5−3|=2，|1−3|=2，满足题意，该数列满足性质P ；对于第二个数列4、3、2、5、1，|3−4|=1，|2−4|=2，|5−4|=1.不满足题意，该数列不满足性质P ．(2)由题意：|a 1−a 1q n |≥|a 1−a 1q n−1|，可得：|q n −1|≥|q n−1−1|，n ∈{2,3，…，9}， 两边平方可得：q 2n −2q n +1≥q 2n−2−2q n−1+1，整理可得：(q −1)q n−1[q n−1(q +1)−2]≥0，当q ≥1时，得q n−1(q +1)−2≥0此时关于n 恒成立，所以等价于n=2时，q(q+1)−2≥0，所以，(q+2)(q−1)≥0，所以q≤−2，或q≥1，所以取q≥1，当0<q≤1时，得q n−1(q+1)−2≤0，此时关于n恒成立，所以等价于n=2时，q(q+1)−2≤0，所以(q+2)(q−1)≤0，所以−2≤q≤1，所以取0<q≤1．当−1≤q<0时：q n−1[q n−1(q+1)−2]≤0，当n为奇数时，得q n−1(q+1)−2≤0，恒成立，当n为偶数时，q n−1(q+1)−2≥0，不恒成立；故当−1≤q<0时，矛盾，舍去．当q<−1时，得q n−1[q n−1(q+1)−2]≤0，当n为奇数时，得q n−1(q+1)−2≤0，恒成立，当n为偶数时，q n−1(q+1)−2≥0，恒成立；故等价于n=2时，q(q+1)−2≥0，所以(q+2)(q−1)≥0，所以q≤−2或q≥1，所以取q≤−2，综上．(3)设a1=p，p∈{3,4，…，m−3，m−2}，因为a1=p，a2可以取p−1，或p+1，a3可以取p−2，或p+2，如果a2或a3取了p−3或p+3，将使{a n}不满足性质P；所以{a n}的前5项有以下组合：①a1=p，a2=p−1；a3=p+1；a4=p−2；a5=p+2；②a1=p，a2=p−1；a3=p+1；a4=p+2；a5=p−2；③a1=p，a2=p+1；a3=p−1；a4=p−2；a5=p+2；④a1=p，a2=p+1；a3=p−1；a4=p+2；a5=p−2；对于①，b1=p−1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于②，b1=p−1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=3，|b4−b1|=2与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于③，b1=p+1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=3，|b4−b1|=1与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于④b1=p+1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去；所以P∈{3,4，…，m−3，m−2}，均不能同时使{a n}、{b n}都具有性质P．当p=1时，有数列{a n}:1，2，3，…，m−1，m满足题意．当p=m时，有数列{a n}:m，m−1，…，3，2，1满足题意．当p=2时，有数列{a n}:2，1，3，…，m−1，m满足题意．当p=m−1时，有数列{a n}:m−1，m，m−2，m−3，…，3，2，1满足题意．所以满足题意的数列{a n}只有以上四种．【解析】本题考查数列的综合应用，不等式以及不等关系，二次函数的性质以及函数的相关性质的综合应用，考查分析问题解决问题的能力是难度大的题目，必须由高的数学思维逻辑修养才能解答．(1)根据定义，验证两个数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P即可；(2)假设公比q的等比数列满足性质P，可得：|a1−a1q n|≥|a1−a1q n−1|，推出(q−1)q n−1[q n−1(q+1)−2]≥0，通过q≥1，0<q≤1时，−1≤q<0时：q<−1时，四种情况讨论求解即可．(3)设a1=p，分p=1时，当p=m时，当p=2时，当p=m−1时，以及P∈{3,4，…，m−3，m−2}，五种情况讨论，判断数列{a n}的可能情况，分别推出{b n}判断是否满足性质P即可．。
2020年上海卷数学高考真题(解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（上海卷）一、填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 已知集合{}1,2,4A =，{}2,3,4B =，求A B =_______【答案】{}2,42. 1lim31n n n →∞+=-________【答案】133. 已知复数z 满足12z i =-（i 为虚数单位），则z =_______4. 已知行列式126300a cd b =，则行列式a cd b=_______【答案】25. 已知()3f x x =，则()1f x -=_______【答案】()13xx R ∈6.已知a 、b 、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab= 【答案】367.已知20230x y y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最大值为【答案】-18.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅=【答案】2789.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有种排法。
【答案】18010.椭圆22143x y +=，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限已知()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y 都在椭圆上，且y'0Q Q y +=，'FQ PQ ⊥，则直线l 的方程为 【答案】10x y +-=11、设a R ∈，若存在定义域R 的函数()f x 既满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”又满足“关于x 的方程()f x a =无实数解”，则α的取值范围为【答案】()()(),00,11,-∞⋃⋃+∞【解析】题目转换为是否为实数a ,使得存在函数()f x满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”，又满足“关于的方程()f x a =无实数解”构造函数；()2,,x x af x x x a ≠⎧=⎨=⎩，则方程()f x a =只有0,1两个实数解。
2020年上海卷数学高考试卷(打印版)
2020年上海卷数学高考试卷(打印版) 2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（上海卷）一、填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1.已知集合A={1,2,4}，B={2,3,4}，求AB={2,4}2.lim(n+1)/(3n-1)=1/33.已知复数z满足z=1-2i（i为虚数单位），则z=1-2i4.已知行列式2db=6，则行列式3d^2b=185.已知f(x)=x^3，则f^-1(x)=∛x6.已知a、b、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab=67.已知{x+y≥2，x+2y-3≤0}，则z=y-2x的最大值为2/58.已知{an}是公差不为零的等差数列，且a1+a10=a9，则a1+a2+。
+a9=459.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有90种排法。
10.椭圆x^2/43+y^2/16=1，过右焦点F作直线l交椭圆于P、Q两点，P在第二象限，Q、Q'都在椭圆上，且yQ+y'Q=4，FQ'⊥PQ，则直线l的方程为4x-3y+4=011、设a∈R，若存在定义域R的函数f(x)既满足“对于任意x∈R，f(x)的值为x^2或x”又满足“关于x的方程f(x)=a无实数解”，则α的取值范围为(-∞,-1]∪[2,∞)12、已知向量a、b、c、d是平面内两两互不平等的向量，满足a·b=c·d，其中a、b、c共面，且a+b=c，则d的取值为d=b-a+c，K=|a×b|+|b×c|+|c×d|的最大值为2|a×b|+|b×c|二、选择题（本题共有4小题，每题5分，共计20分）13、下列不等式恒成立的是（B）A、a^2+b^2≤2abB、a^2+b^2≥-2abC、a+b≥-2abD、a+b≤2ab14、已知直线l的解析式为3x-4y+1=0，则下列各式是l的参数方程的是（A）A、{x=4+3t，y=3-4t}B、{x=1-4t，y=1+3t}C、{x=4+3t，y=3+4t}D、{x=1+4t，y=1-3t}15、在棱长为10的正方体ABCD-A' B' C' D'中，P为左侧面ADD'上一点，已知点P到A'D'的距离为3，点P到AA'的距离为4，则点P到B'C'的距离为（6）A、√29B、√34C、√37D、√411.判断数列3,2,5,1和4,3,2,5,1是否具有性质p，请说明理由。
2020年上海高考数学试题(试卷版+解析版)
2020上海高考数学试题（试卷版+解析版）
1．已知集合{1A =，2，4}，集合{2B =，4，5}，则A B = ．
2．计算：1lim 31
n n n →∞+=- ． 3．已知复数12(z i i =-为虚数单位），则||z = ．
4．已知函数3
()f x x =，()f x '是()f x 的反函数，则()f x '= ． 5．已知x 、y 满足202300x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩
，则2z y x =-的最大值为 ．
6．已知行列式126300
a b c d =，则a b c d = ． 7．已知有四个数1，2，a ，b ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab = ．
8．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910
a a a a ++⋯+= ． 9．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 种安排情况．
10．已知椭圆22
:143
x y C +=的右焦点为F ，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P 在第二象限），若点Q 关于x 轴对称点为Q '，且满足PQ FQ ⊥'，求直线l 的方程是 ．
11．设a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件：
（1）对任意的0x R ∈，0()f x 的值为0x 或20x ；
（2）关于x 的方程()f x a =无实数解，
则a 的取值范围是 ．。
2020年高考数学上海卷附答案解析版
.
x 2 y 3≤0
a a a
答
8.已知an是公差不为零的等差数列，且 a 1 a10 a ，9 则 1
2
a10
9
.
9.从 6 人中挑选 4 人去值班，每人值班 1 天，第一天需要 1 人，第二天需要 1 人，第三
天需要 2 人，则有
种排法.
题
10.椭圆 x2 y2 1 ，过右焦点F 作直线 l 交椭圆于P 、 Q 两点， P 在第二象限已知 43
性质 p . （1）判断数列 3，2，5，1 和 4，3，2，5，1 是否具有性质 p ，请说明理由. （2）若 a1 1 ，公比为q 的等比数列，项数为 10，具有性质 p ，求 q 的取值范围.
（3）若 an 是 1，2，…， m 的一个排列m≥4， bk ak1 k 1, 2 m 1 ，an， bn，都具有性质 p ，求所有满足条件的an .
PF1 8 ，求∠F1PF2 ；
（3）过点 S
0, 2
b2 2
且斜率为
b的直线l 2
交曲线 于 M
、N
两点，用 b
的代数式
表示OM ON，并求出OM ON的取值范围。
21.有限数列an，若满足 a1 a2 ≤ a1 a3 ≤≤ a1 an ， m 是项数，则称an满足
数学试卷 第 3 页（共 4 页）
2 /6
18.【答案】（1）
1， 2
x
x∣x
3
4k或x
5
3
4k
,
k
Z；
（2）
1 2
,
0
19.【答案】（1）
x
0,
80 3
；
（2）
x
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2020年上海高考数学试题真题及答案填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 已知集合{}1,2,4A =，{}2,3,4B =，求A B =_______【分值】4分 【答案】{}2,42. 1lim31n n n →∞+=-________【分值】4分【答案】133. 已知复数z 满足12z i =-（i 为虚数单位），则z =_______【分值】4分4. 已知行列式126300a cd b =，则行列式a c d b=_______【分值】4分 【答案】25. 已知()3f x x =，则()1f x -=_______【分值】4分 【答案】()13xx R ∈6.已知a 、b 、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab= 【分值】4分 【答案】367.已知20230x y y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最大值为【分值】5分【答案】-18.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅=【分值】5分 【答案】2789.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有种排法。
【分值】5分 【答案】18010.椭圆22143x y +=，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限已知()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y 都在椭圆上，且y'0Q Q y +=，'FQ PQ ⊥，则直线l 的方程为【分值】5分【答案】10x y +-=11、设a R ∈，若存在定义域R 的函数()f x 既满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”又满足“关于x 的方程()f x a =无实数解”，则α的取值范围为【分值】5分【答案】()()(),00,11,-∞⋃⋃+∞【解析】题目转换为是否为实数a ,使得存在函数()f x满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”，又满足“关于的方程()f x a =无实数解”构造函数；()2,,x x af x x x a≠⎧=⎨=⎩，则方程()f x a =只有0,1两个实数解。
12、已知是平面内两两互不平等的向量，满足，且(其中1,21,2,...i j k ==，，)，则K 的最大值为【分值】5分 【答案】6【解析】根据向量减法的运算规律，可转化为以向量终点为圆心，作半径11r =和22r =的圆，两圆交点即为满足题意的，由图知，k 的最大值为6.二、选择题（本题共有4小题，每题5分，共计20分） 13、下列不等式恒成立的是（） A 、222a b ab +≤ B 、22-2a b ab +≥ C 、2a b ab +≥- D 、2a b ab +≤ 【分值】5分 【答案】B 【解析】无14、已知直线l 的解析式为3410x y -+=，则下列各式是l 的参数方程的是（）A 、4334x ty t =+⎧⎨=-⎩B 、4334x t y t =+⎧⎨=+⎩C 、1413x ty t =-⎧⎨=+⎩D 、1413x ty t=+⎧⎨=+⎩【分值】5分 【答案】D 【解析】无15、在棱长为10的正方体.1111ABCD A B C D -中，P 为左侧面11ADD A 上一点，已知点P 到11A D 的距离为3，点P 到1AA 的距离为2，则过点P 且与1A C 平行的直线交正方体于P 、Q两点，则Q 点所在的平面是（ ） A.11AA B B B. 11BB C C C. 11CC D D D. ABCD 【分值】5分 【答案】D 【解析】延长BC 至M 点，使得=2CM 延长1C C 至N 点，使得3CN =,以C M N 、、为顶点作矩形，记矩形的另外一个顶点为H ， 连接1A P PH HC 、、，则易得四边形1A PHC 为平行四边形， 因为点P 在平面11ADD A 内，点H 在平面11BCC B 内， 且点P 在平面ABCD 的上方，点H 在平面ABCD 下方， 所以线段PH 必定会在和平面ABCD 相交， 即点Q 在平面ABCD 内16.、若存在a R ∈≠且a 0,对任意的x R ∈，均有()()()f x a f x f a ++＜恒成立，则称函数()f x 具有性质P ，已知：()1:q f x 单调递减，且()0f x ＞恒成立；()2q f x ：单调递增，存在00x ＜使得()00f x =，则是()f x 具有性质P 的充分条件是（）A 、只有1qB 、只有2qC 、12q q 和D 、12q q 和都不是 【分值】5分 【答案】C【解析】本题要看清楚一个函数具有性质P 的条件是，存在a R ∈≠且a 0， 则对于10q a ，＞时，易得函数()f x 具有性质P ；对于2q ，只需取0a x =，则0x a x x x +=+＜，()()00f a f x ==，所以()()()()()0=f x a f x x f x f x f a +=++＜，所以此时函数()f x 具有性质P .三、解答题（本题共5小题，共计76分） 综合题分割17、已知边长为1的正方形ABCD ，沿BC 旋转一周得到圆柱体。
（1）求圆柱体的表面积； （2）正方形ABCD 绕BC 逆时针旋转2π到11A BCD ，求1A D 与平面ABCD 所成的角。
【分值】【答案】（1）4π；（2）arcsin 3综合题分割18、已知f(x)=sin (0)x ωω>.（1）若f(x)的周期是4π，求ω，并求此时1f ()2x =的解集； （2）已知=1ω，2g()()()()2x f x x f x π=+--，x 0,4π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求g(x)的值域. 【分值】 【答案】（1）1=2ω，5x x|x=4x 4,33k k k Z ππππ⎧⎫∈+=+∈⎨⎬⎩⎭或; （2）1-,02⎡⎤⎢⎥⎣⎦综合题分割19、已知：=x q ν，x (0,80]∈，且801100-135(),(0,40)=(0)3(40)85,[40,80]x x k k x x ν⎧∈⎪>⎨⎪--+∈⎩， （1）若v>95，求x 的取值范围；（2）已知x=80时，v=50，求x 为多少时，q 可以取得最大值，并求出该最大值。
【分值】【答案】（1）80x (0,)3∈； （2）480x 7=时，max 28800q =7综合题分割20、双曲线22122:14x y C b-=，圆2222:4(0)C x y b b +=+>在第一象限交点为A ，(,)A A A x y ，曲线2222221,44,A A x y x x b x y b x x ⎧-=>⎪Γ⎨⎪+=+>⎩。
（1）若6A x =，求b ； （2）若b 5=，2C 与x 轴交点记为12F F 、,P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足18PF =，求∠12F PF ；（3）过点2(0,2)2b S +且斜率为2b -的直线l 交曲线Γ于M 、N 两点，用b 的代数式表示，并求出的取值范围。
【分值】 【答案】（1）2； （2）1116； （3）(625,)++∞；【解析】（1）若6A x =，因为点A 为曲线1C 与曲线2C 的交点，∵222222144A Ax y b x y b ⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，解得22y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴2b =（2）方法一：由题意易得12F F 、为曲线的两焦点， 由双曲线定义知：212PF PF a =-，18,24PF a ==，∴24PF =又∵5b =，∴126F F =在12PF F ∆中由余弦定理可得：2221212121211cos216PF PF F FF PFPF PF+-∠==⋅⋅方法二：∵5b=，可得2222145(3)64x yx y⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得(4,15)P，（3）设直线24:22b bl y x+=-+可得原点O到直线l的距离222224424414bbd bb b++===+++所以直线l是圆的切线，切点为M,所以2OMkb=，并设2:OMl y xb=，与圆2224x y b+=+联立可得222244x x bb+=+，所以得,2x b y==，即(,2)M b，注意到直线l与双曲线得斜率为负得渐近线平行，所以只有当2Ay〉时，直线l才能与曲线Γ有两个交点，由222222144Ax ybx y b⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，得422Abya b=+，所以有4244bb〈+，解得2225b〉+，或2225b〈-（舍）又因为由上的投影可知：所以21.有限数列{}n a ，若满足12131||||...||m a a a a a a -≤-≤≤-，m 是项数，则称{}n a 满足性质p .（1） 判断数列3,2,5,1和4,3,2,5,1是否具有性质p ，请说明理由.（2） 若11a =，公比为q 的等比数列，项数为10，具有性质p ，求q 的取值范围. （3） 若n a 是1,2,...,m 的一个排列1(4),(1,2...1),{},{}k k n n m b a k m a b +≥==-都具有性质p ，求所有满足条件的{}n a .【分值】【答案】（1）对于第一个数列有|23|1,|53|2,|13|2-=-=-=，满足题意，该数列满足性质p对于第二个数列有|34|1,|24|2,|54|1-=-=-=不满足题意，该数列不满足性质p .（2）由题意可得，{}111,2,3,...,9n n q q n ---∈≥ 两边平方得：2-2-1212+1n n n n q q q q -+-≥整理得：()11(1)120n n q q q q --⎡⎤-+-⎣⎦≥当1q ≥时，得1(1)20n q q -+-≥，此时关于n 恒成立， 所以等价于2n =时(1)20q q +-≥，所以(2)(1)0q q +-≥， 所以q ≤-2或者q ≥l ，所以取q ≥1.当01q ＜≤时，得1(1)2n q q -+-≤0, 此时关于n 恒成立， 所以等价于2n =时(1)20q q +-≤，所以(2)(1)0q q +-≤， 所以21q -≤≤,所以取01q ＜≤。
当10q -≤＜时，得11(1)20n n q q q --⎡⎤+-⎣⎦≤。
当n 为奇数的时候，得1(1)20n q q -+-≤, 很明显成立，当n 为偶数的时候，得1(1)20n q q -+-≥，很明显不成立，故当10q -≤＜时，矛盾，舍去。