三视图及其表面积体积

三视图及其表面积体积一、选择题1．一只蚂蚁从正方体1111ABCD A B C D 的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）A.①②B.①③C.③④D.②④2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．38B ．π34C ．π12D ．π338 3．某空间几何体的三视图如图所示，该空间几何体的体积是（ ）A. 320B. 10C. 340D. 350 4．已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为233，则该锥体的俯视图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ）A.π23B.3+πC.323+πD.325+π 6．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（ ）A ．126+πB ．246+πC ．1212+πD ．1224+π7．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ）A ．圆柱B ．圆锥C ．棱锥D ．棱柱8．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为A ．8π3+B ．8π23+C ．8π83+ D ．8π163+ 9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A ．320B ．316C ．68π- D ．38π-10．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．22514++B ．16214+C ．8214+D ．814+11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.16B.26C.32D.252034+12．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）A ．圆柱B ．圆锥C ．棱锥D ．棱柱13．已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）A ．25+B ．53+C ．52+D ．35+ 14．已知几何体的三视图及其尺寸如图（单位:cm ），则该几何体的表面积和体积分別为（ ）A.2324,12cm cm ππB.2315,12cm cm ππ C.2324,36cm cm ππ D.以上都不正确15．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中E 为棱BB 1的中点（如图），用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）A ．B ．C ．D ．16．如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位：cm），则此几何体的表面积是（）A．82cm B．432cm C．122cm D．4432cm17．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．8 B．24 C．325D．96518．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．11 B．3C38．219．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱20．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）俯视图主视图左视图A.1B.2C.3D.421．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（ ）A ．①②B ．①C ．③④D ．①②③④评卷人 得分 二、解答题22．已知平面五边形ADCEF 是轴对称图形(如图1)，BC 为对称轴，AD ⊥CD ，AD=AB=1，3CD BC ==，将此五边形沿BC 折叠，使平面ABCD ⊥平面BCEF ，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.（1）证明：AF ∥平面DEC ；（2）求二面角E AD B --的余弦值.23．一个几何体的三视图如图所示（单位长度为：cm ）（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积.三、填空题24．已知正的边长为a ，那么的平面直观图C B A '''∆的面积为 .参考答案1．D【解析】试题分析：最短距离是正方体侧面展开图，即矩形111ABCC B A A 的对角线1AC （经过1BB ）、或矩形11ABCC D DA 的对角线1AC （经过CD ），故视图为②④.考点：最短距离.2．C【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为正方形，边长为2，有一侧棱垂直于底面，侧棱为2，因此外切球直径为r =2412S r ππ==考点：三视图与几何体体积3．C【解析】试题分析：此几何体是 三棱锥，底面是直角三角形面积为104521=⨯⨯=S ，三棱锥的高是4，所以几何体的体积34041031=⨯⨯=V ,故选C. 考点：三视图4．C【解析】试题分析：选项C 的体积1122323V =⨯⨯⨯=，故选C. 考点：1、三视图；2、锥体的体积.【方法点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积，计算量较大，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐 （简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．此外本题应注意掌握锥体的面积公式.5．C【解析】试题分析： 由三视图可知该几何体为一个半圆锥，即由一个圆锥沿中轴线切去一半面得11222S =⨯1321322πππ⨯+⨯⨯=+,故选C. 考点：1、三视图；2、表面积.【方法点晴】本题主要考查三视图和表面积，计算量较大，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐 （简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称.此外本题应注意掌握球 和锥体的表面积公式.6．A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为一组合体，它由半个圆柱和一个底面是直角三角形的直棱柱组成，故该几何体的体积2112324361222V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+，故选A. 考点：1.三视图；2.多面体与旋转体的体积.7．B【解析】试题分析：当棱锥和棱柱分别为正四棱锥和正四棱柱时，会出现正方形；圆柱的横截面为长方形，当其底面直径和高相等时，就是正方形；对于圆锥，三视图可能出现的有：圆、三角形．所以选B ．考点：三视图．8．A【解析】此几何体为组合体，下面是正方体，上面是球的41，且球的半径为1，所以体积314π222π18433V =⨯⨯+⨯⨯=+，故选A. 9．A【解析】试题分析：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示，∴该几何体的体积为3203481231223=-=⨯⨯-，故选A ．考点：由三视图求面积、体积.10．C【解析】试题分析：由三视图作出三棱锥的直观图,如图, ,ABC ADC ∆∆是全等的直角三角形,0==90ABC ADC ∠∠,==543,2ABC AD BC +==,故12332ABC ADC S S ∆∆==⨯⨯=,在Rt BCD ∆中, 2BC CD ==,0=90BCD ∠,所以12222BCD S ∆=⨯⨯=,在ABD ∆中, AB AD =,高927AE =-=,所以1227142BAD S ∆=⨯=故表面积为所以33214814++=,选D.考点：由三视图求表面积.11．C【解析】试题分析：由图可知，该几何体为三棱锥，直观图故下图所示，由图可知，表面积为11114534345432222ABC ACD BCD ABD S S S S ∆∆∆∆+++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=. 54345B D C A考点：三视图.12．B【解析】试题分析：当棱锥和棱柱分别为正四棱锥和正四棱柱时，会出现正方形；圆柱的横截面为长方形，当其底面直径和高相等时，就是正方形；对于圆锥，三视图可能出现的有：圆、三角形．所以选A ．考点：三视图．13．D【解析】试题分析：根据三视图可知，几何体是一条侧棱垂直于底面的四棱锥，底面是边长为1的正方形，如下图所示，该几何体的四个侧面均为直角三角形，侧面积11=2(1512)=2+522S ⋅⋅⋅⋅侧=1S 底，所以该几何体的表面积为35S = D.考点：三视图与表面积.【易错点睛】本题考查三视图与表面积，首先应根据三视图还原几何体，需要一定的空间想象能力，另外解本题时，也可以将几何体置于正方体中，这样便于理解、观察和计算.根据三视图求表面积一定要弄清点、线、面的平行和垂直关系，能根据三视图中的数据找出直观图中的数据，从而进行求解，考查学生空间想象能力和计算能力.14．A【解析】试题分析：根据三视图可知该几何体是圆锥，其底面半径为3r =，母线长为5，高为224h l r =-=，所以该几何体的表面积为215S rl cm ππ==，体积为231123V r h cm ππ==,故选A.考点：三视图与几何体的表面积与体积.【方法点晴】本题主要考查了三视图与几何体的表面积与体积，属于中档题.三视图往往需要根据三个视图还原几何体，该几何体为圆锥，这是解题的关键，根据三视图的规则，主俯同长，左俯同宽，主左同高，据此可知圆锥的底面半径为3r =，母线长5l =，根据轴截面可得圆锥的高h ，根据圆锥的表面积和体积公式求解即可.15．C【解析】试题分析：过点1,,C E A 的平面截去该正方体的上半部分后,剩余部分的直观图如图，则该几何体的左视图为C.所以C 选项是正确的.考点：三视图.16．C【解析】试题分析：由已知可得：该几何体是一个四棱锥，侧高和底面的棱长均为2，故此几何体的表面积2122242212S cm =⨯+⨯⨯⨯=，故选：C ． 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．17．C【解析】试题分析：由三视图知，该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面面积1125625S =⨯⨯=，高2212164()55h =-=，所以该几何体的体积13235V Sh ==，故选C ． 考点：1、三棱锥的三视图书馆2、三棱锥的体积．【方法点睛】解答此类问题的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．18．D【解析】试题分析：由已知中的三视图可得SC ⊥平面ABC ，且底面△ABC 为等腰三角形，在△ABC 中AC=4，AC 边上的高为23， 故BC=4，在Rt △SBC 中，由SC=4，可得SB= 42考点：简单空间图形的三视图19．D【解析】试题分析：球的三视图都是圆，如果是同一点出发的三条侧棱两两垂直，并且长度相等的三棱锥的三视图是全等的等腰直角三角形，正方体的三视图可以是正方形，但圆柱的三视图中有两个视图是矩形，有一个是圆，所以圆柱不满足条件，故选D.考点：三视图20．B【解析】试题分析：由三视图可知，这是一个三棱柱，内切球在正视图的投影是正视图的内切圆，设其半径为r ，根据三角形面积公式有()11681068,222r r ++=⋅⋅=. 考点：几何体的内切球.21．A【解析】试题分析：由斜二测画法的规则可知：根据平行性不变，所以①正确；根据平行性不变，所以②是正确的；正方形的直观图是平行四边形，所以③错误；因为平行与y 轴的线段长度减半，平行于x 轴的线段长度不变，所以④是错误的，故选A ．考点：斜二测画法．22．见解析【解析】（1）如图，过D 作DG ⊥BC 于点G ，连接GE ，因为BC 为对称轴，所以AB ⊥BC ，则有AB ∥DG ，又AB ⊂平面ABF ，所以DG ∥平面ABF ，同理EG ∥平面ABF.又DG∩EG=G，所以平面DGE ∥平面ABF.又平面AFED∩平面ABF=AF ，平面AFED∩平面DGE=DE ，所以AF ∥DE ，又DE ⊂平面DEC ，所以AF ∥平面DEC.（2）如图，过G 作GH ⊥AD 于点H ，连接HE.由（1）知EG ⊥BC ，又平面ABCD ⊥平面BCEF ，平面ABCD∩平面BCEF=BC ，所以EG ⊥平面ABCD ，所以EG ⊥AD.又EG∩HG=G，所以AD ⊥平面EHG ，则AD ⊥HE ，则∠EHG 即为二面角E AD B --的平面角.由AD ⊥CD ，AD=AB=1，3CD BC ==，得G 为BC 的中点，334GH =，32EG =，374EH =. 因为EGH △为直角三角形，所以21cos 7EHG ∠=， 则二面角E AD B --的余弦值为217.23．（1）2243V =；（2）80162S =+. 【解析】试题分析：（1）由图知该几何体是一个上面是正四棱锥，下面是一个正方体的组合体.由此求得几何体的体积为2243V =；（2）正方体部分一共5个面，面积是44580⨯⨯=.四棱锥的侧面三角形的高222222h =+=，所以四棱锥侧面积为144221622⨯⨯⨯= ，所以表面积为80162+. 试题解析：（1）由图知该几何体是一个上面是正四棱锥，下面是一个正方体的组合体.且正四棱锥的底面边长为4，四棱锥的高为2，所以体积122444244433V =⨯⨯⨯+⨯⨯=. （2）由三视图知，四棱锥的侧面三角形的高222222h =+=. 该几何体表面积为154424422801622S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+.考点：三视图，立体几何求表面积和体积.24．2616a 【解析】试题分析：如图所示是实际图形和直观图，由图可知，13,O C 2A B AB a OC a ''''====,在图中作C D A B ''''⊥，垂足为D '，则26C D O C a ''''==.2C 1166C D 22A B S A B a a a '''∆''''∴=⨯=⨯⨯=.考点：斜二测画法.【方法点晴】本题主要考查斜二测画法，属于中等题型.应注意以下步骤：取O 点为原点，以水平方向的直线为x 轴，竖直方向的直线为y 轴，取任一点'O ，画出相应的'x 轴、'y 轴，使'''45x O y ∠=.（1）在已知图形中，取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的'x 和'y 轴，两轴相交于点'O ，且使'''45x O y ∠=（或0135），它们确定的平面表示水平面；（2）在已知图形中平行于x 轴、y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于'x 轴或'y 轴的线段；（3）在已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半；（4）如需第三维则在已知图形中平行于z 轴的线段，在直观图中保持长度不变.。