24.3 第1课时 圆周角定理及推论 公开课一等奖教案
初中数学九年级《圆周角定理及推论》公开课教学设计
【练习】1．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为 的一个三等分点，则BC∶AC∶AB＝．
2．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD//BC交AC于点D，AC＝6cm，则
DC＝cm．
3．如图，AB是⊙O的直径，∠CAB=60°，则∠D=°．
【活动三】例3如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，延长CA到点D，使AD＝AC，连结DB并延长，交⊙O于点E．求证：CE是⊙O的直径．
练习如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4)，M是圆上一点，∠BMO＝120°．求⊙C的半径和圆心C的坐标．
【检测反馈】
1．如图，已知AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，
求∠AEC的度数．
2．已知圆的直径是 cm，求3cm长的一条弦所对的圆周角．
【活动一】判断下列各图形中的角是不是圆周角，如不是请说明理由．
例1已知：如图，AB是⊙O直径，证明圆周角定理，
即∠A＝ ∠BOC．
如下图，依照例1证明∠A＝ ∠BOC．
练习：1.如图，已知圆心角∠BOC＝100°，求圆周角∠BAC、∠BDC的度数．
2.若弦AB把圆周分成2：3的两部分，那么弦AB所对的圆周角的度数为.
知识点二：
1．圆周角注意：这个推论是圆中的一个很重要的性质，为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件.）
2．如果一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是
3．推论2：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们相等.
【活动二】例2如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，
24.1.4圆周角定理及推论
教学目标：1.了解圆周角的概念，掌握圆周角定理并学会运用．
9年级数学(第24章 圆)24.3 圆周角(沪科版 学习、上课课件)
知1－练
技巧提醒 圆周角定理可以将圆心角与圆周角进行转化，因
此求一个圆周角的度数时，我们可以求与之相等的 另一个圆周角的度数，也可以求同弧所对的圆心角 的度数.根据题目所给的条件选用其一进行求解即可.
感悟新知
解：如图24.3-3，连接OC. ∵ BC=BD， ∴∠ BOC= ∠ BOD=50°. ∴∠ A= 12∠ BOC= 12×50°=25°
定理解题． 特别提醒 1. 求圆中的某一个圆周角时，根据“圆内接四边形的
对角互补”，可以转化为求其所在的内接四边形的 对角的度数. 2. 圆内接四边形的一组对角其实是圆中一条弦所对的 两个圆周角，因此，在同圆或等圆中，相等的弦所 对的圆周角相等或互补.
感悟新知
解：∵四边形ABCD 内接于⊙ O， ∴∠ A+ ∠ C=180°， ∴∠ A=180°－∠ C=70°． 由圆周角定理得∠ BOD=2 ∠ A=140°． ∵ OB=OD，
的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有 外接圆.
感悟新知
知3－练
例 5 [中考·宜昌] 如图24.3-7， 四边形ABCD 内接于⊙ O， 连接OB，OD，BD，若∠ C=110°，则∠ OBD 的度 数是( ) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣圆内接四边形的性质和圆周角
顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所 在同圆中，一条弧所 对的圆心角唯一 对的圆周角有无数个
两边都与圆相交
感悟新知
知1－练
例 1 如图24.3-3，AB 是⊙ O 的直径， 弦BC=BD， 若 ∠ BOD=50°，求∠ A 的度数.
感悟新知
解题秘方：连接OC，将求B︵C 所对的圆周角转 ︵
圆周角定理(公开课)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB旳
度数．
C
60°
A
E
O
B
50°
D
四、巩固新知
3.已知：BC是⊙O旳直径，A是⊙O上一点， AD⊥BC，垂足为D，AE＝AB，BE交AD于点F．
（1）∠ACB与∠BAD相等吗？为何？ （2）判断△FAB旳形状，并阐明理由．
( (
四、巩固新知
4．如图，AB是⊙O旳直径，D是⊙O上旳任
二、探究知识 证明猜测
我们来分析上页旳前两种情况，第三种情况请同学 们完毕证明．
（2）如图，怎样证明一条弧所正确圆周角等于它 所正确圆心角旳二分之一？
A
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠C．
O
又∵ ∠BOC=∠A+∠C，
∴ BAC 1 BOC． 2
B
C
二、探究知识 证明猜测
（3）如图，怎样证明一条弧所正确圆周角等于它
人教版数学九年级上 讲课内容：课本85-88页
§24.1.4 圆周角(1)
一、问题情境
图中∠ACB 旳顶点和边有哪些特点？
顶点在圆上，而且两边都和圆相交旳角 C
O
A
B
二、探究知识
请说说我们是怎样给圆心角下定义旳，试回答？
顶点在圆心旳角叫圆心角。
顶点在圆上，而且两边都和
圆相交旳角叫做圆周角．
练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为何？
二、探究知识
图中∠ACB 和∠AOB 有怎样旳关系？ 并证明你旳结论？
ACB 1 AOB 2
C
O
A
B
二、探究知识
（1）在圆上任取 BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角 ∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
沪科版九年级下册24.3圆周角教学设计(共三课时)
沪科版初中数学九年级第24章圆教学设计 24.3圆周角（共三课时）第一课时圆周角与圆心角的关系一．教学背景（一）教材分析本课内容是在学生已经学习圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的基础上进行研究的。
通过本课的学习，一方面可以巩固圆心角与弧的关系定理，另一方面圆周角与圆心角的关系在圆的有关说理、作图、计算中应用比较广泛。
所以这一节课既是前面所学知识的继续又是后面研究圆与其它平面几何图形的桥梁和纽带.另外，通过对圆周角定理的探讨，培养学生严谨的思维品质，同时教会学生从特殊到一般和分类讨论的思维方法，因此，这节课无论在知识上，还是在方法上，都起着十分重要的作用。
（二）学情分析本课内容是在学生已经了解圆的基本性质，会判断圆心角，基本掌握了圆心角与弧、弦、弦心距之间的关系，熟练掌握了三角形的外角定理的基础上进行研究的。
初三的学生已具备一定的独立思考和探索能力，并能在探索过程中形成自己的观点，再通过合作交流逐步完善自己的想法，因此本节课设计成探究课，给学生提供探索与交流的空间，体现知识的形成过程。
二．教学目标1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2.经历探索圆周角的有关性质的过程，渗透由“特殊到一般”的数学思想方法．体会分类、转化等数学思想方法。
三．教学重难点教学重点：1.圆周角及圆周角定理2.探索圆周角与圆心角的关系是本课时的重点.教学难点：了解圆周角的分类，用化归思路合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”及圆周角定理的简单应用。
四．教学方法分析及学习方法指导教学方法分析本课以教师为主导，学生为主体，知识为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以“探究式教学法”为主、启发式教学法、多媒体辅助教学等多种方法相结合，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想。
学习方法指导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，与此同时教师通过适时的精讲、点拨使观察、实验、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程。
《 圆周角定理及推论》公开课教案
《圆周角定理及推论》公开课教案一、教学目标1.知识与技能：o掌握圆周角定理及其推论的基本内容。
o学会应用圆周角定理解决相关问题。
2.过程与方法：o通过观察、归纳、推理等活动，培养学生的逻辑思维能力。
o引导学生通过合作学习和自主探究，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：o激发学生对数学的兴趣和热爱，培养其探究精神。
o通过小组合作，增强学生的团队合作精神和沟通能力。
二、教学重点和难点重点：圆周角定理的内容及其应用。
难点：圆周角定理的推论理解和应用。
三、教学过程1.导入新课（5分钟）o通过展示生活中与圆周角相关的实例，如齿轮转动、钟表指针的运动等，激发学生的兴趣。
o提问学生是否知道这些现象背后的数学原理，引出圆周角定理的学习。
2.知识讲解与探究（15分钟）o详细讲解圆周角定理的内容，并通过图示和实例帮助学生理解。
o引导学生通过观察和推理，自主探究圆周角定理的推论，并鼓励学生分享发现。
3.课堂练习与指导（10分钟）o给出几个典型的圆周角问题，让学生尝试运用圆周角定理及推论进行解答。
o教师巡视指导，及时纠正学生的错误，并给予适当启发。
4.小组讨论与分享（5分钟）o学生分组讨论圆周角定理在实际生活中的应用，并准备分享讨论成果。
o每组选择一名代表上台分享，其他组进行点评和补充。
5.总结提升（5分钟）o教师总结本课时的主要内容，强调圆周角定理及其推论的重要性。
o布置课后作业，鼓励学生进一步巩固所学知识，并尝试解决更复杂的问题。
四、教学方法和手段●采用启发式教学，通过提问和讨论引导学生主动思考。
●结合多媒体课件和实物模型，形象生动地展示圆周角定理及其推论。
●开展小组合作学习和分享活动，培养学生的团队精神和沟通能力。
五、课堂练习、作业与评价方式课堂练习：在课堂上完成几个典型问题，以检验学生对圆周角定理及推论的理解和应用能力。
作业：布置相关练习题和实际问题，要求学生运用所学知识进行解答。
评价方式：结合课堂表现、作业完成情况和小组讨论成果，对学生进行综合评价。
公开课教案《圆周角》精品教案(市一等奖)(省优)
按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。
2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。
从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。
本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。
3.5圆周角教学目标:1. 经历探索圆周角定理的另一个推论的过程.2. 掌握圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等”3. 会运用上述圆周角定理的推论解决简单几何问题.重点: 圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等”难点:例3涉及圆内角与圆外角与圆周角的关系,思路较难形成,表述也有一定的困难例4的辅助线的添法.教学过程:一、旧知回放:1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.特征：① 角的顶点在圆上.② 角的两边都与圆相交.2、圆心角与所对的弧的关系3、圆周角与所对的弧的关系4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.二. 课前测验1.100º的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。
2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。
3、如图，在⊙O 中，∠BAC=32º，则∠BOC=________。
4、如图，⊙O 中，∠ACB = 130º，则∠AOB=______。
5、下列命题中是真命题的是（ ）（A ）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
（B ）60º的圆周角所对的弧的度数是30º（C ）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。
24.3 圆周角+第1课时 圆周角定理及其推论+课件+2024-2025学年+沪科版数学九年级下册
典例导学 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，∠ACB 的平分线交⊙O 于点
D.若 AB＝10，AC＝6，求 BC，BD 的长．
【自主解答】 ∵AB 是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在 Rt△ABC 中，AB＝10，AC＝6， ∴BC＝ AB2－AC2＝8，即 BC＝8. ∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D， ∴∠DCA＝∠BCD，∴A︵D＝B︵D，∴AD＝BD，
(D )
A．∠ADC
B．∠ABD
C．∠BAC
D．∠BAD
8．(核心素养·创新意识)如图，一块三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的 直径恰好重合，点 D 对应的刻度是 58°，则∠ACD＝__6611__度．
9．如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，B︵C＝B︵D. (1)∠AEC＝9900°°； (2)若∠CDB＝30°，AC＝2 3，则 OE＝1 .
(1)证明：∵D 是A︵C 的中点，∴A︵D＝C︵D， ∵AB⊥DH，且 AB 是⊙O 的直径，∴︵AD ＝A︵H， ∴C︵D＝A︵H， ∴∠ADH＝∠CAD，∴AF＝DF.
(2)解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB＋∠B＝90°， ∵∠DAE＋∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠B，∴sin∠ADE＝ 55，
【针对训练】 1．在上图中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD 平分∠ACB，则 AD＝55 2 ， BD＝55 2 ，CD＝77 2 .
2．在上图中，∠ACB≠90°，CD 平分∠ACB，∠ABD＝40°，则∠ADB＝100°.
10．如图，⊙O 的弦 AB，CD 的延长线相交于点 P，且 AB＝CD.求证：PA ＝PC.
证明：连接 AC， ∵AB＝CD，∴A︵B＝C︵D， ∴A︵B＋B︵D＝B︵D＋︵CD， 即A︵D＝C︵B，∴∠C＝∠A， ∴PA＝PC.
圆周角示范课市公开课金奖市赛课一等奖课件
又∠BOC=∠A+∠C
∴∠BOC=2∠A 即 A 1 BOC B
C
（2）在圆周角内部．
2
圆心O在∠BAC内部，作直径AD，利用
A
（１）结果，有
BAD 1 BOD DAC 1 DOC
2
2
BAD DAC 1 (BOD DOC)
2
O·
B
C
D
BAC 1 BOC 2
第8页
（3）在圆周角外部．
第1页
一、复习引入:
1.圆心角定义?
答:顶点在圆心角叫圆心角
O.
2.上节课我们学习了一个反应圆心角、弧、
弦、弦心距四个量之间关系一个结论，这个
结论是什么？
B
C
在同圆（或等圆）中，假如圆心角、弧、弦、弦心距 有一组量相等，那么它们所相应其余三个量都分别相 等。
3.圆心角度数和它所正确弧度数相等。
第2页
A
C A
B C
第11页
思考：在同圆或等圆中，假如两个圆周角相 等，它们所对弧一定相等吗？为何？
推论1 在同圆或等圆中，假如两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等．
由于，在同圆或等圆中， 如果圆周角相等，那么它所 对圆心角也相等，因此它 所对弧也相等．
F C
G
A
·O
E B
第12页
1.如图,AB是直径,则∠ACB=＿9＿0度
∴ ∠ ABC＝180°－∠A－
∠ACB ＝180°－80°－
90° ＝10°． ∴ ∠ABC度数是10°．
图 23.1.12
第24页
例 如图⊙O1与⊙O2都通过A、B两点，
通过点A直线CD与⊙O1 交于点C，与
⊙O2 交于点D。通过点B直线EF与⊙O1
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24.3 圆周角
第1课时圆周角定理及推论
1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角；
2．了解圆周角与圆心角的关系，能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明(重点，难点)．
一、情境导入
你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有来自亚洲的8支球队参加赛事，共进行24场比赛决定冠军队伍．
比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？
二、合作探究
探究点一：圆周角定理
【类型一】利用圆周角定理求角
如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于()
A．25°
B．30°
C．35°
D．50°
解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故选A.
方法总结：在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型二】同弦所对圆周角中的分类讨论思想
已知⊙O的弦AB长等于⊙O的半径，求此弦AB所对的圆周角的度数．
解析：弦AB的长恰好等于⊙O的半径，则△OAB是等边三角形，则∠AOB＝60°.而
弦AB 所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要分类讨论．
解：分下面两种情况：如图①所示，连接OA ，OB ，在⊙O 上任取一点C ，连接CA ，
CB .∵AB ＝OA ＝OB ，∴∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12
∠AOB ＝30°.即弦AB 所对的圆周角等于30°.
如图②所示，连接OA ，OB ，在劣弧上任取一点D ，连接AD ，OD ，BD ，则∠BAD ＝12
∠BOD ，∠ABD ＝12∠AOD .∴∠BAD ＋∠ABD ＝12(∠BOD ＋∠AOD )＝12
∠AOB .∵AB 的长等于⊙O 的半径，∴△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝60°.∴∠BAD ＋∠ABD ＝30°，∠ADB ＝180°－(∠BAD ＋∠ABD )＝150°，即弦AB 所对的圆周角为150°.
综上所述，弦AB 所对的圆周角的度数是30°或150°.
方法总结：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB 所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，解题时可分别作图，结合图形求解，以免漏解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
探究点二：圆周角定理的推论
【类型一】 利用圆周角定理的推论1解题
如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点
上，则∠AED 的正切值等于( )
A.55
B.255 C ．2 D.12
解析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解，∵∠E ＝∠ABD ，∴tan ∠AED ＝tan ∠ABD ＝ AC AB ＝12.故选D. 方法总结：解题的关键是在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意与三角函数的结合．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 利用圆周角定理的推论2解题
如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，
求证：∠BAE ＝∠CAD .
解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．
证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是
△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C .∵∠BAE ＋
∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .
方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
三、板书设计
1．圆周角的概念
2．圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
3．圆周角定理的推论
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
教学过程中，经历圆周角定理及其推论的探究，使学生掌握圆周角的相关性质；配合练习，巩固所学知识，结合实际应用来提升学生的思维能力.。