最经典CATIA曲线曲面设计基本理论

CATIA曲线曲面设计基本理论

一、概述

曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design,CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(Rational

B-spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)这二种手段为骨架的几何理论体系。

1．发展历程

形状信息的核心问题是计算机表示，既要适合计算机处理，且有效地满足形状表示与设计要求，又便于信息传递和数据交换的数学方法。象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必须解决的问题。曲面造型的目的就在如此。

1963年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线（三次Hermite 插值曲线），将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片，从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。

仅用端点的位置和切矢控制曲线形状是不够的，中间的形状不易控制，且切矢控制形状不直接。 1964年，美国麻省理工学院（MIT ）的孔斯（Coons ）用四条边界曲线围成的封闭曲线来定义一张曲面，Ferguson 曲线曲面只是Coons 曲线曲面的特例。而孔斯曲面的特点是插值，即构造出来的曲面满足给定的边界条件，例如经过给定边界，具有给定跨界导矢等等。但这种方法存在形状控制与连接问题。

1964年，舍恩伯格（Schoenberg ）提出了参数样条曲线、曲面的形式。

1971年，法国雷诺（Renault ）汽车公司的贝塞尔（Bezier ）发表了一种用控制多边形定义曲线和

曲面的方法。这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推

进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。

但当构造复杂曲面时，Bezier 方法仍存在连接问题和局部修改问题。

同期，法国雪铁龙（Citroen ）汽车公司的德卡斯特里奥（de Castelijau ）也独立地研究出与Bezier 类似的方法。

1972年，德布尔（de Boor ）给出了B 样条的标准计算方法。

1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden ）和里森费尔德（Riesenfeld ）将B 样条理论用于形状描述，提出了B 样条曲线和曲面。这种方法继承了Bezier 方法的一切优点，克服了Bezier 方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。但随着生产的发展，B 样条方法显示出明显不足，不能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，这就造成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生产管理混乱。

1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse ）大学的佛斯普里尔（Versprill ）提出了有理B 样条方法。

80年代后期皮格尔（Piegl ）和蒂勒（Tiller ）将有理B 样条发展成非均匀有理B 样条方法（即NURBS ），并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。

NURBS 方法的突出优点是：可以精确地表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面，而其它非有理方法无法做到这一点；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更宜于控制和实现；NURBS 方法是非有理B 样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理B 样条曲线

曲面的性质及其相应算法也适用于NURBS 曲线曲面，便于继承和发展。

由于NURBS 方法的这些突出优点，国际标准化组织(ISO)于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP 国际标准，将NURBS 方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，从而使NURBS 方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础。

2．基本概念

曲线、曲面的显式、隐式、参数表示

曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示。

显式：形如z ＝f（x，y）的表达式。对于一个平面曲线，显式表示一般形式是：y=f（x）。在此方程中，一个x值与一个y值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆。

隐式：形如f（x，y，z）＝0的表达式。如一个平面曲线方程，表示成f（x，y）=0的隐式表示。隐式表示的优点是易于判断函数f（x，y）是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。

参数表示：形如x ＝f（t），y ＝f（t），z ＝f（t）的表达式，其中t为参数。即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。

如平面曲线上任一点P可表示为：P(t) = [x(t), y(t)]；

空间曲线上任一三维点P可表示为：P(t) = [x(t), y(t), z(t)]；如图：

最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的直线段参数方程可表示为：

∈

P(t) = P1 + ( P2 - P1 )t t[0, 1];

圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为：

其参数形式可表示为：

参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等优点，计算机图形学中通常用参数形式描述曲线、曲面。

其优势主要表现在：

（1）可以满足几何不变性的要求，坐标变换后仍保持几何形状不变

（2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为：

只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为：

有8个系数可用来控制此曲线的形状。

（3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对其每个型值点进行几何变换，不能对其方程变换（因不满足几何变换不变性）；而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。

（4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。