2021年九年级数学中考二次函数综合型压轴题经典题型训练试题及答案详解(37页)
2021年九年级数学中考二次函数综合型压轴题经典
题型训练试题
1．已知，如图抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B 两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（4）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限．（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；
（3）联结BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标．
4．如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴的负半轴交于点C，OC＝OB＝10．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P、Q在第四象限内抛物线上，点P在点Q下方，连接CP，CQ，∠OCP+∠OCQ＝180°，设点Q的横坐标为m，点P的横坐标为n，求m与n 的函数关系式；
（3）如图2，在（2）条件下，连接AP交CO于点D，过点Q作QE⊥AB于E，连接BQ，DE，是否存在点P，使∠AED＝2∠EQB，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3），D（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△P AB面积大时，试求出点P的坐标，并求出△P AB面积的最大值；
（3）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝﹣x+1相交于A，B两点，A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，四边形BCMN是平行四边形？并
求出满足条件的N点的坐标．
7．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D 作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；
（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其图象与x轴的一个交点为B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），且对称轴为直线x＝1，过点B，C作直线BC．
（1）求二次函数和直线BC的表达式；
（2）利用图象求不等式x2﹣3x≥0的解集；
（3）点P是函数y＝ax2+bx+c的图象上位于第四象限内的一动点，连接PB，PC，
①若△PBC面积最大时，求点P的坐标及△PBC面积的最大值；
②在x轴上是否存在一点Q，使得以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四
边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
9．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2﹣4（a≠0）与x轴交于
A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣3，0）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且S
△POC ＝4S
△BOC
，求点P的坐标；
（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD 长度的最大值．
10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于C 点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y＝﹣x+3交于C，D两点，连接BD，AD．
（1）求m的值；
（2）抛物线上有一点P，满足S
△ABP ＝4S
△ABD
，求点P的坐标；
（3）点M是抛物线对称轴上的点，当MA+MC的值最小时，求点M的坐标．
11．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；
②抛物线上是否存在一点P，使△PBC是以BC为底边的等腰三角形？若存
在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．已知．在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OA＝2，若以O 为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．
（2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，连接MO、MC，问：点M位于何处时三角形MOC的面积最大？并求出三角形MOC的最大面积．（3）抛物线上是否存在一点P，使∠OAP＝∠BOC？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m（m为大于0的常数）与x 轴相交于点A，与y轴相交于点C，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，以AB为直径的⊙M经过点C．
（1）直接写出点A，C的坐标（用含m的式子表示）；
（2）求ac的值；
（3）若直线l平行于AC，且与抛物线y＝ax2+bx+c有且只有一个公共点P，连接P A，PC，当△P AC的面积等于4时，求⊙M与抛物线y＝ax2+bx+c的交点坐标．
14．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+5的对称轴是直线x＝2，且经过点（3，8），抛物线与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）．
（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
（2）如图2，已知Q（1，0），E（0，m），F（0，m+1），点P是第一象限的抛物线y＝ax2+bx+5上的一点，
①当m＝1时，求使四边形EFPQ的面积最大时的点P的坐标；
②若PQ＝PB，求m为何值时，四边形EFPQ的周长最小？
15．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+3ax﹣18a（a ≠0），交x轴于点A、C两点，与y轴交于点B，且AC＝OB．
（1）求a的值；
（2）连接AB、BC，点D为BC上一点，直线AD交对称轴左侧的抛物线于点P，当2∠OBA+∠DAB＝90°时，求P点坐标．
（3）在（2）的条件下，在AB上取点E，在AC上取点Q，使BE：AQ＝4：3，连接EQ，且AD平分线段EQ，在第二象限取点R，使射线QR⊥x轴于点Q，M为射线OB上的一点，在QR边上取点N，将∠OMN沿MN折叠，使MO的对应线段所在的直线与射线QR交于点K，得到△MNK的面积为4时，求∠MKN的度数．
参考答案
1．解：（1）∵B的坐标为（1，0），
∴OB＝1．
∵OC＝3OB＝3，点C在x轴下方，
∴C（0，﹣3）．
∵将B（1，0），C（0，﹣3）代入抛物线的解析式，得，
解得：a＝，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3．
（2）如图1所示：连结AC与抛物线的对称轴交于点Q，此时△QBC的周长最小．
∵x＝﹣＝﹣＝﹣，B（1，0），
∴A（﹣4，0）．
设直线AC的解析式为：y＝mx+n，
∵A（﹣4，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3．
∵y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴是直线x＝﹣，
∴当x＝﹣时，y＝﹣×（﹣）﹣3＝﹣，
∴点Q的坐标是（﹣，﹣）；
（3）如图2所示：过点D作DE∥y，交AC于点E．
∵A（﹣4，0），B（1，0），
∴AB＝5．
＝AB?OC＝×5×3＝7.5．
∴S
△ABC
设AC的解析式为y＝kx+b．
∵将A（﹣4，0）、C（0，﹣3）代入得：，
解得：k＝﹣，b＝﹣3，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．
设D（a，a2+a﹣3），则E（a，﹣a﹣3）．
∵DE＝﹣a﹣3﹣（a2+a﹣3）＝﹣（a+2）2+3，
∴当a＝﹣2时，DE有最大值，最大值为3．
∴△ADC的最大面积＝DE?AO＝×3×4＝6．
∴四边形ABCD的面积的最大值为．
（4）存在．
①如图3，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x
轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．
∵C（0，﹣3），令x2+x﹣3＝﹣3，
∴x1＝0，x2＝﹣3．
∴P1（﹣3，﹣3）．
②平移直线AC交x轴于点E2，E3，交x轴上方的抛物线于点P2，P3，当AC
＝P2E2时，四边形ACE2P2为平行四边形，当AC＝P3E3时，四边形ACE3P3为平行四边形．
∵C（0，﹣3），
∴P2，P3的纵坐标均为3．
令y＝3得：x2+x﹣3＝3，
解得x1＝，x2＝．
∴P2（，3），P3（，3）．
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P1（﹣3，﹣3），P2（，3），P3（，3）．
2．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）．
∵将C（0，﹣2）代入得：4a＝2，
解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣4），即y＝x2﹣x﹣2．
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，
∴AK∥DG，
∴△AKE∽△DFE，
∴＝．
设直线BC的解析式为y＝kx+b1，
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，
∵A（﹣1，0），
∴y＝﹣﹣2＝﹣，
∴AK＝，
设D（m，m2﹣m﹣2），则F（m，m﹣2），
∴DF＝m﹣2﹣m2+﹣m+2＝﹣m2+2m．
∴＝＝﹣（m﹣2）2+．
∴当m＝2时，有最大值，最大值是．
（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．
∵l∥BC，
∴直线l的解析式为y＝x，
设P（a1，），
①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），B（4，0），
∴AC＝，AB＝5，BC＝2，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵△PQB∽△CAB，
∴＝＝，
∵∠QMP＝∠BNP＝90°，
∴∠MQP+∠MPQ＝90°，∠MPQ+∠BPN＝90°，
∴∠MQP＝∠BPN，
∴△QPM∽△PBN，
∴＝＝＝，
∴QM＝，PM＝（a1﹣4）＝a1﹣2，
∴MN＝a1﹣2，BN﹣QM＝a1﹣4﹣＝a1﹣4，
∴Q（a1，a1﹣2），
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得×（a12）﹣×a1﹣2＝a1﹣2，解得a1＝0（舍去）或a1＝．
∴P（，）．
②当点P在直线BQ左侧时，
由①的方法同理可得点Q的坐标为（a1，2）．
此时点P的坐标为（，）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（，）或（，）．3．解：（1）把点A（4，0）和点B（0，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于G，
∴DG∥OB，
∴△ADG∽△ABO，
∴，
∵AD＝3BD，
∴AG＝3OG，
∵A（4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∴OG＝1，DG＝，
∵D（1，），
由平移得：点C的横坐标为1，
当x＝1时，y＝﹣×1+×1+2＝3，
∴m＝3﹣＝；
（3）∵∠CBA＝2∠BAO，点C在该抛物线上且在第一象限，
∴点C在AB的上方，
如图2，过A作AF⊥x轴于A，交BC的延长线于点F，过B作BE⊥AF于点E，
∴BE∥OA，
∴∠BAO＝∠ABE，
∵∠CBA＝2∠BAO＝∠ABE+∠EBF，
∴∠FBE＝∠ABE，
∵∠BEF＝∠AEB＝90°，
∴∠F＝∠BAF，
∴AB＝BF，
∴AE＝EF＝OB＝2，
∴F（4，4），
设BF的解析式为：y＝kx+n，
则，
解得：，
∴BF的解析式为：y＝x+2，
∴，
解得或，
∴C（2，3）．
4．解：（1）∵OC＝OB＝10，
∴C（0，﹣10），B（10，0），
把C，B两点坐标代入y＝x2+bx+c，得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣10．
（2）如图1中，过点Q作QN⊥OC于N，过点P作PM⊥OC于M．
∵∠OCP+∠OCQ＝180°，∠OCP+∠PCM＝180°，
∴∠QCN＝∠PCM，
∵∠QNC＝∠PMC＝90°，
∴△QNC∽△PMC，
∴＝，
∴＝，
整理得m＝12﹣n．
（3）如图2中，作ET平分∠OED，交OD于T，过点T作TR⊥DE于R．
由题意A（﹣4，0），P（n，n2﹣n﹣10），
∴直线P A的解析式为y＝（n﹣10）x+n﹣10，
∴D（0，n﹣10），
∴m＝12﹣n，
∴D（0，2﹣m），
∴OD＝m﹣2，
∵∠TEO＝∠TER，∠EOT＝∠ERT＝90°，ET＝ET，
∴△EOT≌△ERT（AAS），
∴OT＝TR，EO＝ER＝m，
设OT＝TR＝x，
在Rt△DTR中，∵DT2＝TR2+DR2，
∴（m﹣2﹣x）2＝x2+（﹣m）2，
∴x＝，
∵∠OED＝2∠EQB，∠OET＝∠TED，
∴∠OET＝∠EQB，
∵∠EOQ＝∠QEB＝90°，
∴△OET∽△EQB，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
整理得，m3﹣4m2﹣64m＝96＝0，
可得（m﹣2）（m﹣8）（m+6）＝0，
解得，m＝8或﹣6（舍弃）或2（舍弃），
∵m＝12﹣n，
∴n＝4，
∴P（4，﹣12），
5．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；
（2）如图1，
作PQ∥y轴交直线AB于点Q，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则Qm，m﹣3），
∴PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴S
＝×3×（﹣m2+3m）
△P AB
＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，△P AB面积有最大值，最大值是，此时P点坐标为（，﹣）．
（3）存在，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），
∵CE∥y轴，
∴E（1，﹣2），
∴CE＝2，
①如图2，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，