西电随机大作业

随机大作业题目：高频窄带随机信号的统计特征分析
学院：电子工程
班级：1402071
姓名：张吉凯
学号：14020710021
摘要
随机信号是客观世界中普遍存在的一类信号，因此深入理解其统计特性并掌握相
应的处理与分析方法很重要。

因此本文主要分析了随机信号的基本概念，涉及平稳、
遍历随机信号的基本内容；平稳随机信号的谱分析；线性系统对随机信号的作用机理，涉及到一些随机信号特别是平稳随机信号的线性变换或线性滤波的基本问题；窄带随
机信号的表示及其统计特性。

为实现窄带信号的表示，对希尔伯特变换给出了较细致
的分析。

引言
在日常生活中，由于噪声和干扰的存在使得我们接受到的信号不再是确知信号，
而是一个随机过程，通常称之为随机信号。

随机信号又称随机过程，它是一连串随机
事件动态关系的定量描述。

随机信号论目前已经得到广泛的应用，在诸如天气预报、
统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机
科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。

随机信号的分析越来
越重要了。

一、理论分析部分
1．平稳随机信号的定义，满足各态历经性的随机信号的定义和相关性质
狭义平稳概念：所谓平稳随机过程，是指它的任何n维分布函数或概率密度函数
与时间起点无关。

也就是说，如果对于任意的n和τ，随机过程ξ(t)的n维概率密度函数满足
则称ξ(t)是平稳随机过程。

该平稳称为严格平稳，狭义平稳或严平稳。

若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随机过程为广义平稳随机过程。

对于一个平稳的随机过程，如果统计平均=时间平均，这个随机过程就叫做各态历经的平稳随机过程。

时间均值必定是与时间无关的常量，而时间自相关函数必定只是时刻间隔的单值
函数，可见遍历过程必定是平稳过程，但反之，并非所有的平稳过程都是遍历过程。

2． 平稳随机信号通过线性系统的分析方法：卷积积分法和频域分析法
具有叠加性和比例性的系统称为线性系统。

线性系统的常系数微分方程有时域分析法和频域分析法。

时域分析法常用的是卷积积分法，
()()()()()Y t X t h t X h t d τττ∞
-∞=⊗=-⎰
对于时不变系统，还可以采用频域分析法。

利用叠加原理，在频域叠加，即傅里叶变换；在复频域叠加，即拉普拉斯变换。

系统的传递函数为: ()()()XY Y G G H ωωω=
写成幅频响应和相频响应的形式：
2*()()()()()()Y X X G G H H G H ωωωωωω==
3． 高频窄带实随机信号的hilbert 变换和解析信号
将实信号()s t 表示成复信号~^
()()()s t s t j s t =+；其中()s t 为实随机信号，若其频谱满足 ~
2(),0()0,0S S ωωωω≥⎧=⎨<⎩ 具有上式所示单边谱特性的复信号，称为实信号的解析信号。

解析信号的虚部为实部的Hilbert 变换，变换公式如下：
^1()t s s d t ττπτ∞
-∞-⎰（）=
4． 高频窄带实随机信号与其hilbert 变换的功率谱密度之间的关系
实随机信号与其Hilbert 变换的功率谱密度相等：
2^()()()()()Y X X G G G H G ωωωωω===
~=j X X x G ωωω （）-G ()sgn()
5．高频窄带实随机信号与其解析信号的功率谱密度之间的关系
解析信号功率谱密度在小于零时为零，在大于零时是实随机信号功率谱密度的四倍： ~~()2[()()]X X X X G G jG ωωω=+
2()[1sgn()]4()()X X G G U ωωωω=+=
6．解析随机信号与其复包络的功率谱密度之间的关系
解析信号可以用复指数表示为：~~
[()]00()()()j t t j t Y t A t e
A t e ωϕω+== 其中，~()()()j t A t A t e ϕ=为解析信号复包络。

复包络的功率谱密度是将解析信号功率谱左移，即变到基带，这表明解析信号是复包络的调幅信号：
~~0()()A Y
G G ωωω=+ 二、 实验仿真部分
1. 三种信号的产生
实随机信号：
Hilbert变换信号：
解析信号：
Hilbert变换信号的自相关函数：
实随机信号的功率谱密度：
Hilbert变换信号的功率谱密度：
解析信号的功率谱密度：
三、结果分析与心得体会部分
实随机信号的自相关函数满足在零时为最大值，Hilbert变换信号的自相关与它相似，解析信号自相关函数为复数，其模值有以较大峰值，其余值大小随机性很大，这与理论一致。

实随机信号的功率谱密度模值偶对称，Hilbert变换信号的功率谱密度与它相似，解析信号的功率谱密度是一个复信号，其功率谱密度在正半轴为实信号的四倍，而在负半轴为零，即解析信号的功率谱密度为单边谱，这得到验证。

要注意的一点是：
sa = hilbert(s) MATLAB函数得到的信号是合成的复信号即解析信号
sh = imag(sa) 虚部为书上定义的Hilbert变换信号
与书写习惯不一致。

通过这次大作业对三种信号有了更深的理解，对它们之间的关系更加清楚！
四、附程序段
clear
clc
%%三种信号产生部分
N = 500;
t = -N:N;
A = 0.2;
si = A*randn(1,2*N+1);
s = (1+si).*cos(0.2*t);%实随机信号
T = 128;
sa = hilbert(s);%MATLAB函数得到的信号是合成的复信号即解析信号
sh = imag(sa); %虚部为书上定义的Hilbert变换信号
%%自相关部分
%实随机信号自相关
for k=-T:T;
Rs(T+k+1)=1/(2*T+1)*sum(s(N+1-T:N+1+T).*s(N+1-T+k:N+1+T+k));
end
%Hilbert变换信号自相关
for k=-T:T;
Rsh(T+k+1)=1/(2*T+1)*sum(sh(N+1-T:N+1+T).*sh(N+1-T+k:N+1+T+k)); end
%解析信号自相关
for k=-T:T;
Rsa(T+k+1)=1/(2*T+1)*sum(sa(N+1-T:N+1+T).*conj(sa(N+1-T+k:N+1+T+k))); end
%%功率谱密度部分
Ps = fft(Rs);%实随机信号功率谱
Psh= fft(Rsh);%Hilbert信号功率谱
Psa= fft(Rsa);%解析信号功率谱
%%绘制图形部分
figure(1);plot(s);grid on;
title('实随机信号');
figure(2);plot(sh);grid on;
title('Hilbert变换信号');
figure(3);plot(abs(sa));grid on;
title('解析信号');
figure(4);plot(Rs);grid on;
title('实随机信号自相关函数');
figure(5);plot(Rsh);grid on;
title('Hilbert变换自相关函数');
figure(6);plot(abs(Rsa));grid on;
title('解析信号自相关函数');
figure(7);plot(abs(fftshift(Ps)));grid on; title('实随机信号功率谱密度');
figure(8);plot(abs(fftshift(Psh)));grid on; title('Hilbert变换信号功率谱密度'); figure(9);plot(abs(fftshift(Psa)));grid on; title('解析信号功率谱密度');。