一端固定一端弹簧支承的梁的振动特性
物体在弹簧上的振动和弹簧振动的特点
物体在弹簧上的振动和弹簧振动的特点一、物体在弹簧上的振动1.弹簧振动的定义：物体在弹簧支撑下，由于外力作用或初始位移，进行周期性的往复运动。
2.弹簧振动的类型：根据弹簧的振动方式，可分为线性振动和非线性振动。
线性振动是指振动方程为线性方程的振动；非线性振动是指振动方程为非线性方程的振动。
3.弹簧振动的动力学方程：弹簧振动的动力学方程为胡克定律，即F = -kx，其中F为弹簧所受的合外力，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的位移。
4.弹簧振动的周期性：物体在弹簧上的振动具有周期性，周期T与弹簧的劲度系数k和质量m有关，即T = 2π√(m/k)。
5.弹簧振动的频率：频率f是指单位时间内振动的次数，与周期T的关系为f = 1/T。
频率与弹簧的劲度系数k和质量m有关。
二、弹簧振动的特点1.自由振动：弹簧在无外力作用下，由于初始位移或初速度，进行的振动。
自由振动分为简谐振动和非简谐振动。
2.简谐振动：当弹簧的振动满足胡克定律F = -kx时，称为简谐振动。
简谐振动的特征是振动曲线为正弦或余弦曲线，振幅不变，周期恒定。
3.非简谐振动：当弹簧的振动不满足胡克定律F = -kx时，称为非简谐振动。
非简谐振动的特征是振动曲线不遵循正弦或余弦规律，振幅可能随时间变化。
4.阻尼振动：在实际过程中，弹簧振动过程中会受到阻力的作用，导致振动逐渐衰减。
阻尼振动的特点是振动幅度随时间逐渐减小，振动周期不变。
5.受迫振动：当弹簧振动受到外部驱动力的作用时，称为受迫振动。
受迫振动的特征是振动曲线随外部驱动力的变化而变化，振动周期与外部驱动力的周期相等。
6.共振：当外部驱动力的频率与弹簧振动的固有频率相等时，弹簧振动幅度达到最大，称为共振。
共振现象在实际工程应用中具有重要意义。
7.弹簧振动的应用：弹簧振动在物理学、工程学等领域具有广泛的应用，如音乐乐器、机械设备、建筑结构等。
知识点总结：物体在弹簧上的振动和弹簧振动的特点涉及到振动的基本概念、动力学方程、周期性、频率、自由振动、简谐振动、非简谐振动、阻尼振动、受迫振动、共振等方面。
一端自由一端固支曲线梁的自由振动
文章编号：CSTAM2012-E01-0150一端自由一端固支曲线梁的自由振动张 良，史 民， *曾晓辉(中国科学院力学研究所，北京 100190)摘 要：依据曲线梁弹性理论，对一端自由和一端固支的曲线梁进行了面内和面外自由振动分析。
依据曲线梁两端的边界条件，对振动方程进行了求解。
给出了不同开口条件下，曲线梁面外振动特征计算结果。
进而，分析了几种不同材料曲线梁的自由振动特性。
关键词：曲线梁，活塞环，振动特性，耦合振动FREE VIBRATION OF CLAMPED-FREE SUPPORTED CURVED BEAMZHANG Liang , SHI Min , *ZENG Xiao-hui(Institute of Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100080, China)Abstract: In this study, in-plane and out-of-plane free vibrations of curved beam are investigated by applying curved beam elasticity theory. Based on the boundary conditions of curved beam’s two ends, some work on analytical solution and numerical solution of the vibration equations is done. The paper gets some result about out-of-plane free vibrations of curved beam with different opening angles. The author does some calculation about piston rings manufactured by different materials.Key words: curved beam, piston rings, vibration characteristics, coupled vibration曲线梁在工程中应用很广，桥梁、大挠度系缆、发动机活塞环等结构均可视为不同种类的曲线梁。
《弹性力学》试题参考答案(参考题)
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++=)(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。
试求薄板面积的改变量S ∆。
题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。
由q E)1(1με-=得，)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。
弹簧系统的力学性质与振动频率分析
弹簧系统的力学性质与振动频率分析弹簧是一种常见的机械元件，具有很强的弹性特性。
它在众多工程以及日常生活中都扮演了重要角色，例如悬挂系统、减震系统、弹簧秤等。
了解弹簧系统的力学性质以及振动频率分析对于设计及优化弹簧系统的工程师来说是至关重要的。
一、弹簧系统的力学性质1. 弹簧的材料与形状弹簧可以由多种材料制成，如钢材、合金、塑料等。
不同的材料具有不同的力学性质，因此在选择材料时需要考虑其强度、刚度和耐腐蚀性等因素。
此外，弹簧的形状也会对其力学性质产生影响，例如圆柱形弹簧、扭转弹簧、锥形弹簧等。
2. 弹簧的刚度与弹性系数弹簧的刚度是衡量其弹性特性的一个重要参数。
刚度越高，弹簧在受力时产生的形变越小。
弹簧的刚度可以通过弹性系数来描述，弹性系数越大，弹簧的刚度就越高。
弹簧的弹性系数可以通过材料的弹性模量和几何形状来计算。
3. 弹簧的载荷与位移关系当外力作用在弹簧上时，弹簧会发生形变，产生位移。
弹簧的载荷与位移之间存在一定的关系，可以通过胡克定律来描述。
胡克定律表明，当弹簧受到一定的载荷时，其产生的变形与受力成正比。
这个比例关系可以用公式F = kx 来表示，其中F 是弹簧受力，k 是弹性系数，x 是弹簧的位移。
二、弹簧系统的振动频率分析1. 自由振动与强迫振动弹簧系统可以发生自由振动和强迫振动。
自由振动是指在没有外力作用下，弹簧系统由于初始扰动而产生的振动。
而强迫振动是指在外力的作用下，弹簧系统受迫振动而产生的振动。
要了解弹簧系统的振动频率，需要对其进行分析并求解其固有频率。
2. 振动频率的影响因素弹簧系统的振动频率受到多个因素的影响，包括弹簧的刚度、质量、几何形状以及受力方式等。
刚度越高，振动频率越高；质量越大，振动频率越低；几何形状的改变也会对振动频率造成影响。
此外，弹簧的振动频率还会受到外界激励频率的影响。
3. 振动频率的计算方法弹簧系统的振动频率可以通过分析其动力学方程来求解。
对于简谐振动的弹簧系统，可以使用以下公式计算其固有频率：f = 1/(2π) * √(k/m)其中，f 为振动频率，k 是弹簧的弹性系数，m 是弹簧的质量。
弹簧振子的基本性质与振动分析
弹簧振子的基本性质与振动分析弹簧振子是物理学中的一个经典问题，它具有广泛的应用和研究价值。
本文将介绍弹簧振子的基本性质和振动分析。
首先，我们来了解一下弹簧振子的基本结构。
弹簧振子由一个质点和一个弹簧组成，质点可以看作是挂在弹簧上的物体。
当质点受到外力作用时，弹簧会发生变形，产生恢复力。
弹簧的恢复力与变形的大小成正比，且方向与变形方向相反。
这种恢复力使得质点在弹簧的作用下产生振动。
弹簧振子的振动可以分为简谐振动和非简谐振动。
简谐振动是指质点在弹簧的作用下，沿着一个确定的轨迹以相同的周期进行振动。
简谐振动的周期与质点的质量和弹簧的劲度系数有关，质量越大，劲度系数越小，周期越长。
非简谐振动是指质点在弹簧的作用下，振动的周期和振幅都会发生变化。
这种振动的特点是周期不固定，振幅随时间变化。
非简谐振动的产生原因主要是弹簧的变形不再满足胡克定律，即弹簧的恢复力不再与变形成正比。
弹簧振子的振动分析可以通过求解弹簧振子的运动方程来实现。
运动方程可以通过牛顿第二定律得到，即质点的加速度等于受力除以质量。
在弹簧振子中，质点受到弹簧的恢复力和外力的作用，因此运动方程可以表示为：m * a = -k * x + F(t)其中，m是质点的质量，a是质点的加速度，k是弹簧的劲度系数，x是质点的位移，F(t)是外力。
通过解这个运动方程，我们可以得到弹簧振子的运动规律。
对于简谐振动，解的形式为：x(t) = A * sin(ωt + φ)其中，A是振幅，ω是角频率，φ是初相位。
对于非简谐振动，解的形式比较复杂，需要借助数值方法或近似方法进行求解。
非简谐振动的研究对于理解振动系统的行为和性质具有重要意义。
除了振动分析，弹簧振子还有其他一些重要的性质。
例如，弹簧振子的能量守恒性质。
在振动过程中，弹簧振子的总能量保持不变，只是在动能和势能之间进行转换。
这个性质在工程和科学研究中有广泛的应用。
此外，弹簧振子还有共振现象。
当外力的频率与弹簧振子的固有频率相等或接近时，弹簧振子的振幅会显著增大，这就是共振现象。
物体的弹簧振动问题
物体的弹簧振动问题一、弹簧振动的定义与分类1.定义：物体通过弹簧连接两个固定点，在受力作用下，物体围绕平衡位置做周期性的往复运动，称为弹簧振动。
（1）线性振动：弹簧的弹性力与位移成正比，如简谐振动。
（2）非线性振动：弹簧的弹性力与位移不成正比，如阻尼振动、指数振动等。
二、简谐振动1.定义：当物体受到的恢复力与位移成正比，且方向相反时，物体进行的振动称为简谐振动。
（1）周期性：简谐振动具有固定的周期，即振动一次所需的时间。
（2）对称性：物体在平衡位置两侧的振动图像关于平衡位置对称。
（3）加速度与位移成正比，方向相反。
三、弹簧振动的动力学方程1.单质点弹簧振动：设弹簧劲度系数为k，质量为m，物体在平衡位置两侧的位移为x，则动力学方程为：m * x’’ + k * x = 0其中，x’’表示位移的的二阶导数。
2.多质点弹簧振动：多个质量点通过弹簧连接，每个质量点都满足上述动力学方程。
四、弹簧振动的解1.单质点弹簧振动：对于动力学方程m * x’’ + k * x = 0，其通解为：x = A * cos(ω * t + φ)其中，A为振幅，ω为角频率，φ为初相位。
2.多质点弹簧振动：根据耦合方程，求解每个质量点的位移，然后根据弹簧连接关系，得到整个系统的振动解。
五、弹簧振动的能量1.动能：物体在振动过程中，由于速度的变化，具有动能。
2.势能：弹簧在振动过程中，由于形变，具有势能。
3.总能量：动能与势能之和，保持不变。
六、弹簧振动的稳定性和共振1.稳定性：当物体受到外界扰动后，能够回到原振动状态的能力。
2.共振：当外界驱动力频率与系统的固有频率相等时，振幅达到最大的现象。
七、弹簧振动的实际应用1.机械振动：如发动机、机床等设备的振动控制。
2.音乐乐器：如吉他、钢琴等乐器的弦振动。
3.工程结构：如桥梁、建筑物的振动分析。
4.传感器：如压力传感器、加速度传感器等。
5.通信技术：如手机、雷达等设备的振动传输。
弹性体的震动
弹性体的振动5.1 引言任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成的，也就是说这些零部件都是弹性体（连续系统）。
但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。
然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。
因此，对工程上常用的连续弹性体（如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统）进行振动分析，求出它们的固有频率和主振型，计算它们的动力响应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。
(a)(b)5.1多自由度系统和弹性体的动力学模型多自由度系统（离散系统）和弹性体（连续系统）是对同一个客观事物（机器零部件）的不同的分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。
从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。
如图5.l(a)所示，它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。
两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。
这样就形成了具有n个集中质量(m1，m2，…，m n。
)和n-1个弹簧(k1，k2，…，k n-1)所组成的n个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移表示。
弹性体则将零部件看成由质量、刚度连续分布的物体所组成，如图5.1(b)所示。
当一个零件的分段数n→∞时，离散系统就变成连续系统，其横坐标x也从一个离散值(x1，x2，…，x n)变为连续函数。
因此系统的广义坐标要用一个由截面位置x和时间t所表达的二元函数(,)y x t来表示。
这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的相互关系。
从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。
从振动特性来看，多自由度系统振动特性的推广即为弹性体的振动特性；而弹性体振动特性的近似即为多自由度系统的振动特性。
弹簧振动初中物理中弹簧振动的特性与应用
弹簧振动初中物理中弹簧振动的特性与应用弹簧振动弹簧振动是物理学中非常重要的一个概念，它不仅可以让我们理解弹簧系统的特性，还可以应用于各种实际问题中。
本文将介绍弹簧振动的基本理论和应用。
一、弹簧振动的基本理论1. 弹簧的基本特性弹簧是一种具有弹性的材料，它的特点是在受到作用力后能够发生形变，并在去除作用力后恢复原状。
弹簧的形变与作用力之间存在线性关系，通常用胡克定律描述：F = kx，其中F是作用力，k是弹簧的弹性系数，x是弹簧的形变量。
2. 弹簧振动的定义当一个弹簧系统处于平衡位置附近时，如果外力突然作用于该系统，弹簧会发生振动。
弹簧振动是弹簧形变的周期性运动，通常包括正弦振动和谐振动两种形式。
3. 弹簧振动的特性弹簧振动具有以下几个基本特性：（1）频率：振动的频率是指每秒钟发生振动的次数，单位是赫兹（Hz）。
对于谐振动来说，频率只与弹簧系统的质量和弹性系数有关，与振幅无关。
（2）周期：振动的周期是指振动一次所需的时间。
对于谐振动来说，周期与频率是倒数关系。
周期的单位是秒（s）。
（3）振幅：振动的振幅是指弹簧在振动过程中形变的最大值。
振幅越大，弹簧的振动幅度越大。
（4）相位：振动的相位是指弹簧振动在某一时刻的状态相对于某一参考点的位置关系。
相位可以用角度或时间表示。
二、弹簧振动的应用1. 谐振器弹簧振动可以应用于谐振器的制作。
谐振器是指能够以特定频率振动的装置，常见的谐振器包括音叉、弹簧钟摆等。
利用弹簧振动的特性，谐振器可以产生稳定的频率信号，用于计时、测量等领域。
2. 减震器弹簧振动还可以应用于减震器的制作。
减震器是指能够吸收和减小振动幅度的装置，常见的减震器包括汽车避震器、建筑物的减震设备等。
通过调节弹簧的弹性系数和振动频率，减震器可以有效地减小振动对物体的影响。
3. 弹簧秤弹簧振动还可以应用于弹簧秤的制作。
弹簧秤是一种通过测量弹簧振动的变化来确定物体质量的装置，常见的弹簧秤包括浴室秤、厨房秤等。
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沈阳航空航天大学振动力学课程设计任务书课程设计的内容及要求：（一）基本要求１、学会查阅资料和使用相关设计手册；２、学习运用Matlab等数学软件；３、熟练掌握梁结构弯曲自由振动的分析过程；４、按照课程设计相关规定编写设计说明书。
（二）课设内容(1)设定均匀梁的具体参数（长度；单位体积的质量；抗弯刚度，弹簧刚度）；(2)根据给定的参数运用数学物理方法建立一端固定一端弹簧支承均匀梁的弯曲振动运动微分方程；(3)然后根据振动运动微分方程，通过边界条件求解梁的固有频率和振型；(4)分析弹簧刚度对梁的固有频率和振型的影响；(5)最后写出本次课程设计的总结。
（三）主要参考书（1）、金基铎，王克明，机械振动基础 [M]，沈阳：沈阳航空工业学院，2001年2月；（2）、方同，薛璞，振动理论及应用 [M]，西安：西北工业大学出版社，1998年5月；（3）、蒲俊，Matlab工程数学解题指导 [M]，上海：浦东电子出版社，2001年7月；（4）、罗建军，杨琦，MATLAB教程 [M]，北京：电子工业出版社，2005年7月（四）评语（五）成绩负责教师学生签名振动力学课程设计说明书一端固定一端弹簧支承的均匀梁的弯曲振动特性沈阳航空航天大学2011年1月沈阳航空航天大学课程设计说明书摘要摘要目前，振动分析已成为工程设计与研究中必不可少的环节。
本文采用了理论分析的方法，对一端固定一端弹簧支承均匀梁的振动特性进行研究，求出它的固有频率和主振型，并计算受迫响应，在理论和实用上都具有重要意义。
在本文中，只讨论梁的弯曲振动，讨论了一些参数对梁固有频率和主振型的影响。
关键词一端固定一端弹簧支承均匀梁弯曲自由振动主振型固有频率沈阳航空航天大学课程设计说明书目录目录第1章引言……………………………………………………………………………l第2章固有特性的理论分析 (2)2.1 均匀梁参数设定 (2)2.2 均匀梁的弯曲自由振动的微分方程及解 (2)2.3 赋值求解 (6)2.4 振型函数的正交性 (11)2.5 梁对初始干扰的响应 (13)第3章分析参数对系统的影响 (15)第4章结论 (18)参考文献 (19)沈阳航空航天大学课程设计说明书第1章引言第1章引言机械振动是工程中普遍存在的一种机械运动现象，它不仅影响结构的性能，缩短结构的寿命，甚至会造成重大的事故。
随着现代工程朝着高速、重载、精密、超大型（超小型）方向发展，对机械结构动态性能的要求也越来越高，所提出的振动问题也越来越复杂和多样化，振动分析已成为工程设计与研究中必不可少的环节。
工程中的许多振动问题背景非常复杂，对其进行理论分析是必不可少的，但是随着结构的自由度的增加，计算量也会迅速增大，而且工程上又不总是需要求出振动系统所有各阶的固有特性，再加上在有的情况下，我们并不能求得振动系统的固有特性的精确解答，而只能采用近似的方法去求解。
所以在实际工程中采用近似计算的解法是很重要的，其意义也是很重大的。
本文主要对悬臂梁的弯曲自由振动进行了研究。
梁是工程中普遍存在的结构。
严格地说，它是由质量和刚度连续分布的弹性体组成，其运动需要用无限多个坐标来描述，因而，它实际上是个无限多个自由度系统，其运动方程将是偏微分方程。
为了使问题简单化，我们常常将其离散为有限个自由度的系统来计算，但是在某些情况下，工程设计上要求将结构按弹性体作振动分析，不允许进行离散化处理。
所以，按弹性体理论对梁进行分析在工程设计中也是有很大意义的。
第2章固有频率的理论分析2.1 均匀梁参数设定抗弯刚度设有一端固定，一端以弹簧支承的均匀梁，长度为L，单位体积的质量为为EJ，弹簧刚度为K，如图所示：EJk图2.1 均匀梁系统示意图2.2．均匀梁的弯曲自由振动的微分方程及解均匀梁弯曲自由振动的运动微分方程(a)(b)图2.2对微单元受力分析在梁上距左端为x 处取微段dx ，其受力情况如图2.2(b)所示。
根据达朗伯原理有： 0Q -Q -Q 22=∂∂-∂∂tyAdx dx x ρ 02Q M -M M 22=⋅∂∂-∂∂--∂∂+dx ty Adx dxdx x Q dx dx x ρ （2.1） 略去dx 的二次项，简化后得：022=∂∂+∂∂x Qty A ρ xM∂∂=Q （2.2） 将（2.2）式代入（2.1）式中，得：0M2222=∂∂+∂∂x t y A ρ （2.3）由材料力学知：22yEJ M x∂∂=将上式代入（2.3）式，得：0yEJ 4422=∂∂+∂∂xt y A ρ或0y 44222=∂∂+∂∂xa t y （2.4） 其中，A EJ a ρ/2=。
（2.4）式就是梁做弯曲振动的运动微分方程。
下面用分离变量法来求解。
设其解为：)()(),(y t T x Y t x = （2.5） 将（2.5）式对t 取二次偏导数，对x 区四次偏导数，然后代入（2.4）式中，得：44222)()()(T(t)1dx x Y d x Y a dt t T d ⋅-=⋅ （2.6）（2.6）式两边应等于同一个负常数，设其为-2ω，则得：0)(T )(222=+x dt t T d ω （2.7） 0)()(2244=-x Y adx x Y d ω （2.8） 由（2.7）式得梁弯曲自由振动的规律为：t B t A t ωωcos sin )(T += （2.9） 令224a ωβ-=则（2.8）式可改写为：0)()(444=-x Y dxx Y d β （2.10） 按n 阶常系数齐次微分方程的解法，设其解为：rx e x Y =)( 代入（2.10）式中，得特征方程为:0r 44=-β （2.11） 特征方程的四个根为：β±=2,1r βi r ±=4,3 于是（2.10）式的解为：x i x i x x e D e D e D e D x Y ββββ--+++=4321)( （2.12）因为：x sh x ch e x βββ±=±x i x e x i βββsin cos ±=±所以（2.12）可写成如下的常用形式：x ch C x sh C x C x C x Y ββββ4321cos sin )(+++= （2.13） 其中4321C C C C 、、、是待定常数将（2.9）式和（2.13）式代回（2.5）式，得偏微分方程（2.4）的解为：)cos sin )(cos sin (),(4321t B t A x ch C x sh C x C x C t x y ωωββββ++++= （2.14）其中ω、、、、、、B A C C C C 4321都是待定常数，由边界条件和初始条件决定。
一端固定的边界条件.梁的挠度和转角等于零()00==x x Y ， ()00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x dx x dY ()022=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=l x dx x Y d ，()()l x l x x KY dx x Y d EJ ===⎥⎦⎤⎢⎣⎡33将上述边界条件代入（2.13）式及其对x 的一、二、三阶导数中得：()()()xsh C x ch C x C x C x Y x ch C x sh C x C x C x Y xsh C x ch C x C x C x Y ββββββββββββββββββββββββ34333231242322214321sin cos cos sin sin cos +++-='''++--=''++-='()得由00=Y ： 042=+C C 即 24C C -=()得00='Y ： 031=+C C 即 13C C -= ()得0=''l Y ：()()0cos sin 0cos sin 4324232221=+++=++--C l ch l C l sh l l ch C l sh C l C l C ββββββββββββ即：()()l ch C l sh C l C l C EJ Kl sh C l ch C l C l C l Y ββββββββββββ434334333433cos sin sin cos ++--=++-='''令EJKh =，则有：0)](cos )sin [()](sin )cos [(334333=-+-+-++l ch l h l l sh C l sh l h l ch l C ββββββββββββ要使43C C 、具有非零解，必须有：0cos sin sin cos cos sin 3333=-+--++++lhch l h l l sh l hsh l h l ch l lch l lsh l ββββββββββββββββ将此行列式展开并整理，得： ()l lch l lsh EJ Kl lch βββββββsin cos 1cos 3--=+ （2.15） 这就是梁的频率方程2.3 赋值求解令K=4000Nm,E=210Gpa,l=1m,J=64/3×10^-84m ,梁的横截面边长a=4cm ，337.910/kg m ρ=⨯。
则频率方程就可以转化为：()l lch l lsh l lch βββββββsin cos 5651cos 3--=+ （2.16）图2.3.方程（2.16）的求解示意图 再以l β为横坐标，作]156)sin (cos 5[3l ch lch l lch l lsh βββββββ+--和l βcos 曲线，如图所示。
两曲线的各交点的横坐标就是频率方程的特征根。
从图可以清楚的看出各特征根的分布规律和粗略值。
再用数值法求出满足一定要求的各特征值，前几个l i β值：l 1β l 2β l 3β 1.89504.88508.1400l β由224/a ωβ=，可以求得各固有频率为： AEJi i ρβω2=（i=1、2、3…）； （2.17）其振型图如下：)]cos()[cosh()sin()sinh()(111111x x a x x x Y ββββ---=图2.4.第一阶振型图)]cos()[cosh()sin()sinh()(222222x x a x x x Y ββββ---=图2.5.第二阶振型图图2.6.第三阶振型图 求解固有频率： AEJi i ρβω2=（i=1、2、3…） 根据已知条件可得：46.394453.5926.6626.6658.142053.5986.2386.2371.21353.5959.359.3232221=⨯===⨯===⨯==A EJlA EJl A EJl ρωρωρω 画出前三阶振型的程序： x=0.01:pi/100:1;y=-cos(1.895*x)+cosh(1.895*x)+0.7342*(sin(1.895*x)-sinh(1.895*x));*x)-sinh(2.2091*x)); plot(x,y) grid on ylim([0 5])x=0.01:pi/100:1;y=(-cos(4.8850*x)+cosh(4.885*x))+1.02*(sin(4.89*x)-sinh(4.89*x)); plot(x,y) grid on ylim([-5 5]) x=0.01:pi/100:1;y=(-cos(8.14*x)+cosh(8.14*x))+(sin(8.14*x)-sinh(8.14*x)); plot(x,y) grid on ylim([-5 5]) x=0.01:pi/100:1;y=(-cos(8.14*x)+cosh(8.14*x))+(sin(8.14*x)-sinh(8.14*x)); plot(x,y) grid on ylim([-5 5])2.4 振型函数的正交性讨论多自由度系统的振动时，我们曾证明过系统的主振型是正交的。