小学简单排列组合

一．阶乘

1．阶乘是基斯顿·卡曼于1808年发明的运算符号。阶乘，也是数学里的一

种术语。

2．阶乘的计算方法

阶乘指从1乘以2乘以3乘以4……一直乘到所要求的数。例如：求4

的阶乘，就是式子：1×2×3×4，积24就是4的阶乘。例如：求6的阶乘，就是式子：1×2×3×……×6，积720就是6的阶乘。例如：求n的阶乘，就是式子：1×2×3×……×n，积是x就是n的阶乘。

3．表示方法

任何大于1的自然数n阶乘表示方法： n!=1×2×3×……×n=n×(n-1)! n的双阶乘：

当n为奇数时表示不大于n的所有奇数的乘积。如：7!!=1×3×5×7

当n为偶数时表示不大于n的所有偶数的乘积(除0外）

如：8!!=2×4×6×8

小于0的整数-n的阶乘表示：（-n）！= 1 / (n+1)!

4．20以内的数的阶乘

0！=1，注意(0的阶乘是存在的)

1！=1， 2！=2， 3！=6，

4！=24， 5！=120， 6！=720，

7！=5,040， 8！=40,320 9！=362,880

10！=3,628,800 11！=39,916,800 12！=479,001,600

13！=6,227,020,800 14！=87,178,291,200

15！=1,307,674,368,000 16！=20,922,789,888,000

17！=355,687,428,096,000 18！=6,402,373,705,728,000

19！=121,645,100,408,832,000 20！=2,432,902,008,176,640,000 另外，数学家定义，0！=1，所以0！=1！

5．定义范围

通常我们所说的阶乘是定义在自然数范围里的，小数没有阶乘，像0.5！，0.65！，0.777！都是错误的。

二．排列组合

1．排列组合是组合学最基本的概念。

排列就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合就是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。

排列组合公式

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。

N-元素的总个数

R要选择的元素个数

感叹号！表示阶乘：9！＝9×8×7×6×5×4×3×2×1

从N倒数r个，表达式应该为n×（n-1) ×(n-2)..(n-r+1)，因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)+1＝r

种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

2．第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。

3．分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) 。

B．乘法原理和分步计数法

1．乘法原理乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

2．合理分步的要求

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

4．例题分析

例：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？

分析：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9×8×7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9×8×7,(从9倒数3个的乘积）

例：有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？

分析：213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=（9×8×7）/（3×2×1）

例. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有多少个？

分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。

设a,b,c成等差，∴2b=a+c, 可知b由a,c决定，

又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5， (19)

2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，A（10,2）*2=90*2，因而本题为180。

例. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?

分析：对实际背景的分析可以逐层深入：

（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步；

（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法；

（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右；

从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数。本题答案为：C(8,3)=56。

例．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种？

分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。

第一类：A在第一垄，B有3种选择；

第二类：A在第二垄，B有2种选择；

第三类：A在第三垄，B有1种选择，

同理A、B位置互换，共12种。

例．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有多少种？(A)240 (B)180 (C)120 (D)60

分析：显然本题应分步解决。

（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；

（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。

（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法；（四）由于选取与顺序无关，因（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。或分步