机器人学- 坐标转换分解
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机器人坐标变换原理
机器人坐标变换原理机器人坐标变换是机器人控制中的一个重要概念，它涉及到机器人在不同坐标系下的定位和运动控制。
机器人通常使用多个坐标系来描述其运动和操作，如世界坐标系、基座坐标系、工具坐标系等。
机器人坐标变换的原理基于坐标系之间的关系和变换矩阵的计算。
下面从多个角度来解释机器人坐标变换的原理。
1. 机器人坐标系，机器人通常由多个关节组成，每个关节都有自己的坐标系。
机器人的末端执行器也有自己的坐标系。
这些坐标系之间通过关节运动相互连接，形成了机器人的整体坐标系。
2. 坐标系关系，机器人的坐标系之间存在着一定的关系，如基座坐标系与世界坐标系之间的关系、工具坐标系与末端执行器坐标系之间的关系等。
这些关系可以通过变换矩阵来描述。
3. 变换矩阵，变换矩阵是用于描述坐标系之间关系的数学工具。
对于二维情况，变换矩阵是一个2x2的矩阵，对于三维情况，变换矩阵是一个4x4的矩阵。
变换矩阵包含了平移、旋转和缩放等变换信息。
4. 坐标变换过程，机器人坐标变换的过程可以分为两个步骤，前向变换和逆向变换。
前向变换是从基座坐标系到末端执行器坐标系的变换，逆向变换是从末端执行器坐标系到基座坐标系的变换。
5. 坐标变换公式，机器人坐标变换的公式可以通过矩阵乘法来表示。
对于前向变换，可以使用连续的变换矩阵相乘的方式计算末端执行器坐标系相对于基座坐标系的变换。
对于逆向变换，可以使用逆矩阵的方式计算基座坐标系相对于末端执行器坐标系的变换。
总结起来，机器人坐标变换的原理是基于坐标系之间的关系和变换矩阵的计算。
通过变换矩阵的乘法和逆矩阵的运算，可以实现机器人在不同坐标系下的定位和运动控制。
这种坐标变换的原理在机器人控制中起着重要的作用，能够帮助机器人实现复杂的任务和精确的定位。
机器人学—数学基础—齐次坐标和齐次变换
列矩阵 x
a= x
y
, b=
z
, c=
，w为比例系数
w
w
w
V
y z
x
y
z
w T
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
w
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
作为通用比例因子，它可取任意正值，但
在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
[例]：
V3 i4j5 k
可以表示为： V=[3 4 5 1]T
或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
• 具有直观的几何意义 • 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题 • 其数学基础即是齐次变换
2.2 点和面的齐次坐标
2.2.1 点的齐次坐标
• 一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
v a i b j c k 式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，
0 0
10
10 1020 0
1
1
0
0 0 1 10 1 0
2 1
0
0 0 1 -10 -1 0
0 1
与点矢 0 0 0 0T相仿，平面 0 0 0 0也没有意义
2.2 旋转矩阵及旋转齐次变换
2.2.1 旋转矩阵
设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´uvw， 研究旋转变换情况。
解2：用分步计算的方法
① R（x, 90°）
1 0 0 01 1
P' 0 0 -1 02 3 0 1 0 03 2
机器人学-第2章 空间描述与坐标变换
c180 s180 0 1 0 0
BAR
s180
c180
0
0
1 0
0
0 1 0 0 1
因此
1 0 0 3
ABT
0 0
1 0 0 0 1 0
0
0 0 1
②{B}沿zB平移2个单位，然后绕yB轴转90o再绕新xB轴转150o得 {C}
c90 0 s90 1 0
0 0 0 1 1 0
0 0
OB
述满足以下关系 APBO
AP B P APBo （2-8）
OA
图2-4平移变换
3
旋转坐标变换
旋转坐标变换的任务是已知坐标系{B}描述的
一个点的位置矢量BP和旋转矩阵
A B
R
，求在坐
标系{A}下描述同一个点的位置矢量AP。
ZB
ZA AP(BP)
YB
A px
B
X
T A
BP
A py BYAT BP
2. 它是不同坐标系间的坐标变换。如
A P ABT BP
3. 它是同一坐标系内的变换算子。
AP2 T A P1
齐次坐标变换是复杂空间变换的基础，必须认真理解和掌握。具体 应用的关键是理解它代表的是上面三种含义的哪一种，而不是简单的套 用公式！
11
2.5复合变换
复合变换主要有两种应用形式，一种是建立了多个坐标系描述机器人
13
如果改变旋转顺序，先对它进行绕y轴旋转90o，再绕z轴旋转90o，结 果如图2-11b所示。比较图2-11a和图2-11b可以发现最后的结果并不相同， 即旋转顺序影响变换结果。
从数学角度解释就是矩阵乘法不满足交换率， Rot(y,90o) Rot(z,90o) Rot(z,90o) Rot(y,90o)。
机器人运动学坐标变换
工 业 机 器 人
第3章
机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述
3.1.2 机器人的坐标系 手部坐标系——参考机器人手部的坐标系，也称机 器人位姿坐标系，它表示机器人手部在指定坐标系中 的位置和姿态。 机座坐标系——参考机器人机座的坐标系，它是机 器人各活动杆件及手部的公共参考坐标系。 杆件坐标系——参考机器人指定杆件的坐标系，它 是在机器人每个活动杆件上固定的坐标系，随杆件的 运动而运动。 绝对坐标系——参考工作现场地面的坐标系，它是 机器人所有构件的公共参考坐标系。 2017年2月19日星期日
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
3.2.1 直角坐标变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
解：由题意可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为：
p AB 12 cos 30 sin30 0 0.866 0.5 0 6 ， R sin 30 cos 30 0 0 . 5 0 . 866 0 AB 0 0 1 0 1 0 0
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
3.2.1 直角坐标变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
ｚj
坐标之间的变换关系： 平移变换
ｘi
ｚi ｏi
ｘj
ｏj ｙj
ｙi
旋转变换
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
3.2.1 直角坐标变换
1、平移变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
设坐标系{i}和坐标系 {j}具有相同的姿态，但它俩 的坐标原点不重合，若用 pij 矢量表示坐标系{i}和坐标系 {j}原点之间的矢量，则坐标系 {j}就可以看成是由坐标 系{i}沿矢量 pij平移变换而来的，所以称矢量 pij为平移变 换矩阵，它是一个3×1的矩阵，即： ｚj
机器人学-运动学部分
本章讲解以串联机器人为主。
运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
研究的问题:
运动学正问题---已知杆件几何参数和关节角矢量，求操 作机末端执行器相对于固定参考作标的位置和姿态（齐 次变换问题）。
u″ y
-3 oy
4
例2：①先平移Trans (4,-3,7)；②绕当前 v 轴转动9x0º；
③绕当前 wz轴转动90º；求合成旋转矩阵。
z w
v u o(o′) y
w′
o′ v′
u′
o
y
z
o′
v″
w″ u″
oy
z
v```
o′ u```
w```
oy
x
x
x
x
例题2： ∑O´与∑O初始重合，∑O´作如下运动：①绕X轴转动90º；②绕w 轴转动90º；③绕Y轴转动90º。求① T；②改变旋转顺序，如何
0
z
0 0 0 1
第三章 机器人运动学
机器人运动学主要是把机器人相对于固定 参考系的运动作为时间的函数进行分析研 究，而不考虑引起这些运动的力和力矩
把机器人的空间位移解析地表示为时间的 函数，研究机器人关节变量和机器人末端 执行器位置和姿态之间的关系
§3.1 机器人运动学所讨论的问题
旋转才能获得相同的结果。
解①： 1 0
0 0
Rx
0 0
cos 90o sin 90o
运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
研究的问题:
运动学正问题---已知杆件几何参数和关节角矢量，求操 作机末端执行器相对于固定参考作标的位置和姿态（齐 次变换问题）。
u″ y
-3 oy
4
例2：①先平移Trans (4,-3,7)；②绕当前 v 轴转动9x0º；
③绕当前 wz轴转动90º；求合成旋转矩阵。
z w
v u o(o′) y
w′
o′ v′
u′
o
y
z
o′
v″
w″ u″
oy
z
v```
o′ u```
w```
oy
x
x
x
x
例题2： ∑O´与∑O初始重合，∑O´作如下运动：①绕X轴转动90º；②绕w 轴转动90º；③绕Y轴转动90º。求① T；②改变旋转顺序，如何
0
z
0 0 0 1
第三章 机器人运动学
机器人运动学主要是把机器人相对于固定 参考系的运动作为时间的函数进行分析研 究，而不考虑引起这些运动的力和力矩
把机器人的空间位移解析地表示为时间的 函数，研究机器人关节变量和机器人末端 执行器位置和姿态之间的关系
§3.1 机器人运动学所讨论的问题
旋转才能获得相同的结果。
解①： 1 0
0 0
Rx
0 0
cos 90o sin 90o
2、机器人的位姿描述与坐标变换0912
24) 机器人语言(Robot Language)：机器人系统中的计算机编程 语言，主要有VAL、VAL2、LAMA、RAIL等。
25) 触觉(Tactile Sense)：机器人与 物体之间接触时所得到的感觉信息。
26) 压觉(Sense of Contact Force)： 机器人与物体某个表面接触时，沿 法线方向受到的力的信息感觉。
位精度较差
并联机器人
优点：系统的刚度大、定位 精度高 缺点：工作空间小、运动速 度低
串联机器人的种类： A、直角坐标型机器人
P F(X,Y,Z) B、 圆柱坐标机器人
R
z P F(, Z, R)
Y
Z
X
R
z
C、 球坐标机器人
P F(,, R) D、SCARA机器人
P F(,, )
18) 协调控制(Coordinated Control)： 协调多个手臂或多台机器人同时进行 某种作业的控制。
19) 伺服系统(Servo System)：控制机 器人的位姿和速度等，使其跟随目标 值变化的控制系统。
20) 离线编程(Off-line Programming)：机器人作业方式的信息 记忆过程与作业对象不发生直接关系的编程方式。
iP [xi yi zi ]T
Zj
Zi
zi zj
P
yj Yj
xi xj
Xi
yi
Yi
Xj
☺ 关于(Yi , X j )？
yi xj cos(Yi , X j ) yi xj cos(Yi , X j ) y j cos(Yi ,Yj )
yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi ,Yj ) z j cos(Yi , Z j )
25) 触觉(Tactile Sense)：机器人与 物体之间接触时所得到的感觉信息。
26) 压觉(Sense of Contact Force)： 机器人与物体某个表面接触时，沿 法线方向受到的力的信息感觉。
位精度较差
并联机器人
优点：系统的刚度大、定位 精度高 缺点：工作空间小、运动速 度低
串联机器人的种类： A、直角坐标型机器人
P F(X,Y,Z) B、 圆柱坐标机器人
R
z P F(, Z, R)
Y
Z
X
R
z
C、 球坐标机器人
P F(,, R) D、SCARA机器人
P F(,, )
18) 协调控制(Coordinated Control)： 协调多个手臂或多台机器人同时进行 某种作业的控制。
19) 伺服系统(Servo System)：控制机 器人的位姿和速度等，使其跟随目标 值变化的控制系统。
20) 离线编程(Off-line Programming)：机器人作业方式的信息 记忆过程与作业对象不发生直接关系的编程方式。
iP [xi yi zi ]T
Zj
Zi
zi zj
P
yj Yj
xi xj
Xi
yi
Yi
Xj
☺ 关于(Yi , X j )？
yi xj cos(Yi , X j ) yi xj cos(Yi , X j ) y j cos(Yi ,Yj )
yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi ,Yj ) z j cos(Yi , Z j )
机器人运动学-1位姿表示,坐标变换 第五讲 数理基础共27页
0
0
0
3
0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 1 0 2
0 0 0
1
0
0 0 1 0
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
APA BTBP, A BTB A0 R AP 1B0
三、齐次坐标变换
2.平移齐次坐标变换
{A}分别沿{B}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距 离的平移齐次变换矩阵写为：
1 0 0 a Trans(a,b,c) 0 1 0 b
0 0 1 c 0 0 0 1
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。
3.位姿描述
• 刚体位姿(即位置和姿 态),用刚体的方位参考
坐标的原点位置矢量和
旋转矩阵表示，即
B B A RA p B 03 4
•
表示位置时，A B
R
• 表示姿态时，ApB0＝0
一、位置和姿态的表示
4.机器人手爪坐标系
T noaP
n:法向矢量 (normal)
o:方向矢量
(orientation) a:接近矢量 (approach) P:位置矢量 (position)
0 1 0 07 3
R(z,90) 1
0
0
0.3＝
7
0 0 1 02 2
0
0
0
11
1
0 0 1 03 2
R(y,90)
0
1 0 0. 7 ＝7
1 0 0 0 2 3
0
0
0
1
1
1
例4-4：在上述基础上再平移（4，-3，7）。
1 0 0 42 6 Tra(n4,s3,7)0 1 0 3.7＝4
因此旋转矩阵是单位正交矩阵，具有如下特性： B AR1B ART B AR1
移动机器人坐标系转世界坐标系的原理
移动机器人坐标系转世界坐标系的原理移动机器人坐标系与世界坐标系之间的转换原理主要涉及三个坐标系：物体坐标系、惯性坐标系和世界坐标系。
物体坐标系是与机器人本身固连的一个参考坐标系，用于描述机器人的运动状态。
机器人上的各个关节和传感器都相对于这个物体坐标系进行定位和描述。
惯性坐标系是为了简化世界坐标系到机器人坐标系的转换而引入的中间坐标系。
它的原点与物体坐标系的原点重合，惯性坐标系的轴平行于世界坐标系的轴。
物体坐标系转换到惯性坐标系只需旋转，而从惯性坐标系转换到世界坐标系只需平移。
世界坐标系是一个特殊的坐标系，它建立了描述其他坐标系所需要的参考系。
世界坐标系是固定的，而机器人在世界坐标系中的位置和姿态会随着移动而改变。
机器人坐标系与世界坐标系之间的转换需要综合考虑平移和旋转的影响。
具体来说，当机器人移动时，其物体坐标系的原点在惯性坐标系中会发生平移，而当机器人进行旋转时，惯性坐标系相对于世界坐标系会发生旋转。
这种转换可以通过一系列的矩阵变换来实现，包括平移矩阵和旋转变换矩阵。
要完成从机器人坐标系到世界坐标系的转换，首先需要将机器人当前的状态表示为相对于物体坐标系的齐次变换矩阵（包括平移和旋转）。
然后，将这个齐次变换矩阵与从世界坐标系到物体坐标系的齐次变换矩阵相乘，即可得到从世界坐标系到机器人当前状态的齐次变换矩阵。
通过这个矩阵，可以找到机器人在世界坐标系中的位置和姿态。
同时，如果机器人在运行过程中引入了外部行走轴或旋转轴，还需要通过测量一些机械参数将机器人基坐标系变换到外部行走轴上，这种变换也称为D-H变换。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅移动机器人相关书籍或咨询该领域专家。
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3)
A B
R
可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
3.位姿描述
刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和 方位参考坐标的原点位置矢量表示，即
B
A B
R
p A B0
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
1. 平移坐标变换 坐标系{A}和{B}
矢量. 1 0 0
4 2 6
0
1
0
3 3 0
0 0 1
7 2 9
0 0 0
1
1
1
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
3.旋转齐次坐标变换
1 0 0
c 0 s
c s 0
R(x, ) 0
c
s
R(
y,
)
0
1
0
R(z, ) s
c
0
0 s c
s 0 c
0 0 1
s 0 c
0 0 1
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
这些旋转变换可以通过右图推导
A xp Bxp cos By p sin
A y p Bxp sin By p cos
Azp Bzp
A A
x y
p p
cos sin
A zp 0
sin cos0来自0 0B BA P
1
A B
R
0
A
PB 1
0
B P
1
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
(2-14)
AP Ax A y Az 1T ,BP Bx B y Bz 1T
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
A P ABTB P,
ABT
A B
R
0
A
PB 1
0
(2-15,16)
Robotics 数学基础
具有相同的方位,但 原点不重合.则点P在 两个坐标系中的位置 矢量满足下式:
A P B P A PB0
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
2.旋转变换
坐标系{A}和{B}有 相同的原点但方位不同, 则点P的在两个坐标系 中的位置矢量有如下关 系:
A
P
A B
RB
P
B A
R
A B
R
1
A B
R
T
Robotics 数学基础
0.866
A B
R
R( z,300
)
0.5
0
0.5 0.866
0
0
12
0;A pB0
6
1
0
0.902 12 11.098
A
p
A B
R
B
p
A
p
B
0
7.562
6
13.562
0 0 0
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
1.齐次变换 (2-13)式可以写为:
将上式增广为齐次式：
1 0 0 0
c 0 s 0
c s 0 0
R(x, ) 0
c
s
0
R(y,)
0
1 0 0 R(z, ) s
c
0 0
0 s c 0
s 0 c 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0
0 0 1
0
0 0 1
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
引入齐次变换后，
2.方位描述
AP [ px
py
p ]T z
空间物体B的方位(Orientation)
可由某个固接于此物体的坐标系{B}
的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于 参考坐标系A的方向余弦组成的3x3
矩阵描述.
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
r11 r12 r13
A B
R
r21
连续的变换可以变成
矩阵的连乘形式。计
算简化。
0 1 0 0 7 3
R(z,90) 1
0
0
0;;;
3;
;
;
7
0 0 1 0 2 2
0
0
0 1
1
1
0 0 1 0 3 2
R(
y,90)
0
1
0
0;;;
7
;;;
7
1 0 1 0 2 3
0
0 0 1
1
1
例2-4 ：U=7i+3j+2k,绕 Z轴转90度后，再绕Y 轴转90度。
2.2 坐标变换
3.复合变换 一般情况原点既
不重和,方位也不同. 这时有:
A
P
A B
RB
P
A
PB
0
(2-13)
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
例2.1 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合,首先{B}
相对于{A}的ZA轴转30°,再沿{A}的XA轴移动12单位, 并沿{A}的YA轴移动6单位.求位置矢量APB0和旋转矩阵 BAR.设点p在{B}坐标系中的位置为BP=[3,7,0],求它在 坐标系{A}中的位置.
机器人技术数学基础
Mathematic Preparation for Robotics
2.1 位置和姿态的表示 2.2 坐标变换 2.3 齐次坐标变换 2.4 物体的变换及逆变换 2.5 通用旋转变换
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
1.位置描述
在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置 (Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:
0 0 1 4
1 0 0 3
0 1 0 7
0 0 0
1
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及
逆变换
1.物体位置描述 物体可以由固定于
2.3 齐次坐标变换
2.平移齐次坐标变换
{A}分别沿{B}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离
的平移齐次变换矩阵写为： 1 0 0 a
Trans(a, b, c) 0
1
0
b
0 0 1 c
0
0
0
1
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。
例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新
r22
r23
r31 r32 r33
上述矩阵称为旋转矩阵,它是正交的.即
A B
R 1
BA
RT
A B
R
1
若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获
得,则绕x,y,z三轴的旋转矩阵分别为
1 0 0
c 0 s
c s 0
R(x, ) 0
c
s
R(
y,
)
0
1
0
R(z, ) s
c
0
0 s c
例2-5：在上述基础上再 平移（4，-3，7）。
1 0 0 4
Trans(4,3,7) 0 1 0 3;;; 0 0 1 7
0 0 0
1
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
由矩阵乘法没有交 换性，可知变换次序对 结果影响很大。
Trans(4,3,7)Rot( y,90)Rot(z,90)
x y
p p
1 B zp
这是绕Z轴的旋转. 其它两轴只要把坐标次序调换可得 上页结果.
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
旋转矩阵的几何意义:
1)
A B
R
可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标
系的姿态矩阵.
2)
A B
R
可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的
坐标 B p 变换成{A}中点的坐标 A p .