2019秋人教版九年级数学上册.21.1一元二次方程
少了限制条件 a≠0
提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不 是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
判断下列方程是否为一元二次方程？
(1) x2+ x=36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(4)
1 x2
2 x
0
(5) x+1=0
x 2
(6) 6 3
（2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别 与联系？
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指 出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
3
-2
1
4x2 5
4x2 5 0
4
0
-5
(2 x)(3x 4) 3 3x2 2x 5 0 3
-2
-5
3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
当k ≠±1 时，是一元二次方程． 当k ＝－1 时，是一元一次方程．
4.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值 为_______．
(7)4x2 1 (2x 3)2
(8)( x )2 2 x 6 0
例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
视频：一元二次方程一般式
二 一元二次方程的根 一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫 作一元二次方程的解（又叫做根）.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程
×
x2=0
√
(x+3)(2x-4)=x2 √
3y2=(3y+1)(y-2) ×
x2=x3+x2-1
×
3x2=5x-1
√
2.填空：
方程
一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
x2 3x 2 0 x2 3x 2 0 1
3y2 1 2 3y 3y2 2 3y 1 0
3
解：由题意得 a b c 0 即a 12 b 1 c 0 ∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方 程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? x=2
课堂小结
概念
一元二 次方程
一般形 式
学习目标
1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问 题.(重点）
导入新课
复习引入
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8
没有未知数
2x+3
代数式
5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18
一元一次方程 二元一次方程
不等式
讲授新课
一 一元二次方程的概念
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各 切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一 个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那 么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为 xcm,则盒底的长为（100－ 2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据 方盒的底面积为3600cm2,得 x
a 称为二次项系数. b 称为一次项系数.
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、 c 可以为零吗？
当 a=0时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0
5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
a 9 4
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
6.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值.
解：将x=0代入方程m2-4=0，
②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
知识要点
一元二次方程的概念
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做 一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项, bx 称为一次项, c 称为常数项.
32
x 20
x 20
思考：
1.若设小路的宽是xm，那么
横向小路的面__3_2_x__m2，纵 向小路的面积是 2×20x m2,
两者重叠的面积是 2x2 m2.
32
2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方 程吗？
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570
整理以上方程可得： x2-36x＋35=0 ③
解得m= ±2. ∵ m+2 ≠0， ∴ m ≠-2， 综上所述：m =2.
二次项系数不 为零不容忽视
拓广探索 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一
个根为1, 求a+b+c的值.
解：由题意得 a 12 b 1 c 0 即a b c 0 思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
根
① 是整式方程； ② 含一个未知数； ③ 最高次数是2.
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件；
使方程左右两边相等的 未知数的值.
化简，得 x2 75x 350 0 ①
3600cm2
50cm
100cm
该方程中未知数 的个数和最高次 数各是多少？
问题2:要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计 划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多 少个队参加比赛?
解：根据题意，列方程：
1 x(x 1) 28. 2
化简，得： x2 x 56 0 ②
该方程中未知数 的个数和最高次 数各是多少？
问题3 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽 相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横 向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成 小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的 宽应为多少？
整理，得 x2 2500 0 ①
200cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x 根据题意有，
751 x2 108
整理，得 25x2 50x 11 0 ②
2a2 4a 2018 2(a2 2a) 2018 2 2 2018 2022
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意 观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数 式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
当堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
想一想： 还有其它的列法吗？试说明原因.
32-2x
(20-x)(32-2x)=570
32
20-x 20
观察与思考
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同 特点呢？ x2 75x 350 0 ① x2 x 56 0 ② x2-36x＋35=0 ③ 特点: ①都是整式方程;
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
典例精析
含两个未知数
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（C ）
A.x2
1 x2
0
不是整式方程
B. 3x2 5xy y2 0
C. (x 1)(x 2) 0
D. ax2 bx c 0
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九年级数学人教版(上册)21.1一元二次方程课件
练习
7.关于的方程 2m2 m可x能m1是 一3x元 6二次方程吗？
8.若关于x的一元二次方程 (m 1)x2 的2常x 数m项2 为1 0，0 求m的值是多少？
练习
9.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一般形式 ①一个长方形的宽比长少3，面积是75，求长方形的长x
②两个连续偶数的积为168，求较小的偶数x
作业布置
7.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x. （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x. （3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x.
作业布置
8.已知关于x的方程(m²-1)x²-(m+1)x+m=0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系 数、一次项系数及常数项。
例8.若x=3是方程x2+kx=0的一个根，试求常数k的值？
练习
1. 在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2 ② 7 0 ax③2 bx c 0④ x 2x 5 x2 1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 2 x2m1 是10关x 于m的一0 元二次方程，则m的值应为（ ）
3.下列各数是方程 1 (x2 解 2的) 是 2（ ） 3
A、6 B、2 C、4 D、0
作业布置
4.如果关于x的方程 m 3xm是27关 x于x3的一0 元二次方程，那么m的值为（ ）
A．±3 B．3 C．-3 D．都不对 5.以-2为根的一元二次方程是（ ） A．x²+2x-x=0 B．x²-x-2=0 C．x²+x+2=0 D．x²+x-2=0 6.方程3(x-1)²=5(x+2)的二次项系数________；一次项系数_________；常数项 _________.
人教版九年级数学上册精品教学课件21.1一元二次方程
为_______．
4.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩 形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四
分之三 . 求挖去的圆的半径 xcm 应满足的方程（其中π
取3）.
150cm
解：设由于圆的半径为xcm，
则它的面积为 3x2 cm2.
根据题意有，
200 150 3x 2 200 150
想一想：
还有其它的列法吗？试说明原因.
32-2x
(20-x)(32-2x)=570
20-x 20 32
观察与思考
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这两个
方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同
特点呢？
x2 75x 350 0 ① x2 x 56 0 ② x2-36x＋35=0 ③
程是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程 （2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,
系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
视频：一元二次方程一般式
二 一元二次方程的根
一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫
4.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩 形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四
分之三 . 求挖去的圆的半径 xcm 应满足的方程（其中π
取3）.
150cm
解：设由于圆的半径为xcm，
则它的面积为 3x2 cm2.
根据题意有，
200 150 3x 2 200 150
想一想：
还有其它的列法吗？试说明原因.
32-2x
(20-x)(32-2x)=570
20-x 20 32
观察与思考
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这两个
方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同
特点呢？
x2 75x 350 0 ① x2 x 56 0 ② x2-36x＋35=0 ③
程是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程 （2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,
系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
视频：一元二次方程一般式
二 一元二次方程的根
一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第21章 一元二次方程 21.1 一元二次方程
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
8
2.某公园里有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域
栽种鲜花(如图).原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空
地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长
为x m,则可列方程为(
)
A.(x+1)(x+2)=18
B.x2-3x+16=0
m2+m的值等于
.
关闭
6
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
8
7.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并分别写出它们的二
次项系数、一次项系数和常数项.
(1)8x2-2x=1+2x;
(2)(y-1)(y-2)=1.
关闭
解 (1)一般形式:8x2-4x-1=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别为
8,-4,-1.
6.在-4,-3,-2,-1,2,3中,属于方程x2+x-6=0的根的是 -3,2
.
互动课堂理解
1.一元二次方程的识别
【例1】 下列方程中,是关于x的一元二次方程的是(
2
A.3(x+1) =2(x+1)
B.
1 2
)
1
+ -2=0
C.ax2+bx+c=0
D.x2+2x=x2-1
解析:选项A中的方程,整理后符合一元二次方程的概念;选项B中
21.1 一元二次方程
快乐预习感知
1.等号两边都是整式,只含有 一个 未知数(一元),并且未知数的
人教版九年级数学上册21.1一元二次方程课件
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.
根据问题列出等式： ● 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛 程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
● 分析:全部比赛共 4×7=28(场)
● 设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队各赛1场,
二次项系数、一次项系数和常数项。
4.若一元二次方程 ax2 bx c 0有一个根为1，,求a b c的值.
0
5.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0, 当k≠3 时，是一元二次方程．
6.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0
当k ≠±1
时，是一元二次方程．
①为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？ ②2x²－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？
把下列方程化为一元二次方程的一般情势，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
方
程
一
般
情
势
二 系
次
项 数
一次项 系数
常数项
3x2 5x 1 3x2－5x＋1＝0
3
－5
1
（x 2）(x 1) 6 x2 ＋ x－8＝0
一、都是整式方程 二、都含有一个未知数 三、此方程未知数的最高次幂为2，一元一次方程的最高次幂为1
一元二次方程概念： 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并 且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做
判断下列方程是否为一元二次方程？是的打“√”，不是的打“X”并说明原因。
(1) x2+ x=36 （√）
当k ＝－1
时，是一元一次方程．
根据问题列出等式： ● 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛 程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
● 分析:全部比赛共 4×7=28(场)
● 设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队各赛1场,
二次项系数、一次项系数和常数项。
4.若一元二次方程 ax2 bx c 0有一个根为1，,求a b c的值.
0
5.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0, 当k≠3 时，是一元二次方程．
6.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0
当k ≠±1
时，是一元二次方程．
①为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？ ②2x²－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？
把下列方程化为一元二次方程的一般情势，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
方
程
一
般
情
势
二 系
次
项 数
一次项 系数
常数项
3x2 5x 1 3x2－5x＋1＝0
3
－5
1
（x 2）(x 1) 6 x2 ＋ x－8＝0
一、都是整式方程 二、都含有一个未知数 三、此方程未知数的最高次幂为2，一元一次方程的最高次幂为1
一元二次方程概念： 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并 且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做
判断下列方程是否为一元二次方程？是的打“√”，不是的打“X”并说明原因。
(1) x2+ x=36 （√）
当k ＝－1
时，是一元一次方程．
2019秋人教版九年级上册数学教案：21.1一元二次方程
2.提高学生的数学建模能力：使学生能够将现实生活中的问题转化为数学模型，通过列出一元二次方程并求解，解决实际问题，增强数学应用意识。
3.增强学生的数据分析能力：培养学生通过分析一元二次方程的判别式，判断方程根的情况，并对数据进行处理，提高解决复杂问题的能力。
4.培养学生的几何直观能力：让学生在实际问题中感受一元二次方程的几何意义，将抽象的数学概念与直观的图形相结合，提高空间想象力和几何直观。
实践活动环节，学生们分组讨论并展示了他们的成果，这让我很欣慰。他们不仅掌握了理论知识，还学会了如何将一元二次方程应用于实际问题。但同时，我也注意到，部分学生在讨论过程中参与度不高，可能是因为他们对知识点的掌握还不够熟练。为此，我计划在下一节课中增加一些互动性更强的小游戏，以提高学生的参与度。
在小组讨论环节，我尽量扮演好引导者的角色，让学生们充分发表自己的观点。我发现，学生们对于一元二次方程在实际生活中的应用有着各种独特的见解。这让我意识到，学生的潜力是巨大的，关键在于如何激发他们的兴趣和思考。
-难点二：配方法的步骤和技巧，学生容易混淆。
-解释：通过具体例题，分步骤演示配方法的过程，强调如何将方程配成完全平方的形式。
-难点三：对判别式Δ的理解和应用，学生可能难以掌握其符号意义与方程根的关系。
-解释：通过图表和实例，说明Δ的正负与方程根的数量和性质之间的关系。
-难点四：将实际问题转化为数学模型的抽象过程，学生可能不知如何入手。
3.理解一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac，并能运用判别式判断方程的根的情况。
4.学会解决实际问题中涉及的一元二次方程，并能解释其几何意义。
5.通过实例，让学生感受一元二次方程在现实生活中的应用，提高学生解决问题的能力。
二、核心素养目标
3.增强学生的数据分析能力：培养学生通过分析一元二次方程的判别式，判断方程根的情况，并对数据进行处理，提高解决复杂问题的能力。
4.培养学生的几何直观能力：让学生在实际问题中感受一元二次方程的几何意义，将抽象的数学概念与直观的图形相结合，提高空间想象力和几何直观。
实践活动环节，学生们分组讨论并展示了他们的成果，这让我很欣慰。他们不仅掌握了理论知识，还学会了如何将一元二次方程应用于实际问题。但同时，我也注意到，部分学生在讨论过程中参与度不高，可能是因为他们对知识点的掌握还不够熟练。为此，我计划在下一节课中增加一些互动性更强的小游戏，以提高学生的参与度。
在小组讨论环节，我尽量扮演好引导者的角色，让学生们充分发表自己的观点。我发现，学生们对于一元二次方程在实际生活中的应用有着各种独特的见解。这让我意识到，学生的潜力是巨大的，关键在于如何激发他们的兴趣和思考。
-难点二：配方法的步骤和技巧，学生容易混淆。
-解释：通过具体例题，分步骤演示配方法的过程，强调如何将方程配成完全平方的形式。
-难点三：对判别式Δ的理解和应用，学生可能难以掌握其符号意义与方程根的关系。
-解释：通过图表和实例，说明Δ的正负与方程根的数量和性质之间的关系。
-难点四：将实际问题转化为数学模型的抽象过程，学生可能不知如何入手。
3.理解一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac，并能运用判别式判断方程的根的情况。
4.学会解决实际问题中涉及的一元二次方程，并能解释其几何意义。
5.通过实例，让学生感受一元二次方程在现实生活中的应用，提高学生解决问题的能力。
二、核心素养目标
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版九年级上册21.1一元二次方程课件
程，则符合条件的所有整数m之和为______．
6．根据题意，列出方程：
有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另
一边剪短2m，恰好变成一个正方形，设这个正方形
的边长是xm，所列方程为
.化为一般情势
是
.
阅读理解：定义：如果关于x的方程
（a1≠0，a1、b1、c1是
常数）与
a1x2 b1x c1 0
取值范围为 k≠-3 . (2)若关于x的方程xm-3-2x=0是一元二次方程,则m= 5 .
(3)若关于x的方程(m-3)x|m-1|-2x-4=0是一元二次方程，
则m= -1 .
1.一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的
整式方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般式： ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)
则m=
.
4.将下列方程化为一元二次方程的一般情势， 并写出a、b、c的值
(1) 2x 2 -3x= 2； (2) 4x 2 = 81-2x； (3) 5x(x-2)=-(x-1)(x+1)
5.如果关于x的不等式组
m
x
4x 3x
4 7
有且仅有三个整数
解，且关于y的方程 m 2 y2 my 1 0是一元二次方
再视察方程： 2x2-13x=0，y2-8y-20=0
它们共同特点： 1.都是整式方程； 2.只含有一个未知数； 3.未知数的最高次数为2；
一元二次方程的定义： 只含有一个未知数的整式方程，未知数的最高次
数是2，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数， a≠0)的情势，这样的方程叫做一元二次方程.
人教版九年级数学上册《21一元二次方程 公式法 课件
将a，b，c 代入式子
x b
b2 4ac .
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公
式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式
可知，一元二次方程最多有两个实数根.
注意 用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0.
探究新知
求根公式的推导
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2+bx+c=0
能否也用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
典例精析
例6:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的
实数根，则k的取值范围是( B )
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，
则b2-(4a2c)>20，4同k 时0要求二次项系数不为0，
即
，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
∴方程有两个相等的实数根．
例7:不解方程，判断下列方程的根的情况．
(3) 7y=5(y2+1).
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.
∴方程有两个相等的实数根．
人教版九年级数学上册：21.1《一元二次方程》说课稿1
人教版九年级数学上册：21.1 《一元二次方程》说课稿1一. 教材分析《一元二次方程》是人教版九年级数学上册第21.1节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了方程和方程的解法的基础上，引入一元二次方程的概念，以及它的解法。
教材通过实例引入一元二次方程，让学生通过观察、分析、归纳等过程，理解一元二次方程的概念，并掌握它的解法。
同时，教材还引导学生运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对方程和方程的解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的概念和解法，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、分析、归纳等过程，理解一元二次方程的概念，并掌握它的解法。
同时，学生对于实际问题的解决，还有一定的困难，需要教师在教学中给予引导和帮助。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能够运用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、分析、归纳等过程，理解一元二次方程的概念，并掌握它的解法。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，培养对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解法。
2.教学难点：一元二次方程的解法，运用一元二次方程解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：引导发现法，学生通过观察、分析、归纳等过程，发现一元二次方程的解法。
2.教学手段：多媒体教学，通过动画和图片等形式，帮助学生理解一元二次方程的概念和解法。
六. 说教学过程1.导入：通过实例引入一元二次方程，引导学生观察、分析，引出一元二次方程的概念。
2.新课：讲解一元二次方程的解法，引导学生通过观察、分析、归纳等过程，理解一元二次方程的解法。
3.应用：运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的应用能力。
4.总结：对本节课的内容进行总结，强化学生对一元二次方程的概念和解法的理解。
第二十一章21.1一元二次方程
答案 2 易错警示 根据一元二次方程的定义求未知字母的值是常考题型.当二 次项系数中含有未知字母时,如果忽视隐含条件a≠0,也许就会导致解 题错误.如本题中,如果忽视这个条件,就会得出m有两个值,扩大m的取 值范围.
21.1 一元二次方程
栏目索引
知识点一 一元二次方程的定义及一般形式
1.(2019江西九江柴桑月考)下列方程属于一元二次方程的是 ( )
解析
① 3
x2-x= 5
1
符合一元二次方程的定义;②x= x 不是整式方程,故
不是一元二次方程;③由x(x-3)Байду номын сангаас(x-2)(x+2)化简得到-3x=-4,是一元一次方
程;④由(2x-1)(x+3)=2x-1化简得到2x2+3x-2=0,符合一元二次方程的定
义;⑤ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)不是方程.综上所述,是关于x的一
定义
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一 元二次方程
一般形式 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b 是一次项系数;c是常数项
知识拓展 (1)构成一元二次方程的三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程.(2)这里所说的整式是关于未知数的整 式,在有些含有字母系数的方程中,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含未知数,这样的方程 仍是整式方程
正确理解题 目的含义
找出其中的数量 关系和等量关系
列出一元 二次方程
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