人教版 八年级数学讲义 菱形的判定和性质 (含解析)
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第16讲菱形的判定和性质
知识定位
讲解用时:3分钟
A、适用范围:人教版初二,基础较好;
B、知识点概述:本讲义主要用于人教版初二新课,本节课我们要学习菱形的判定和性质。菱形是四边形中非常重要的一节内容,它与矩形、正方形一起组成了特殊的平行四边形,是中考考查的重点,经常在几何大题的证明题中出现,因此至关重要,要好好掌握。
知识梳理
讲解用时:20分钟
菱形的判定和性质
1.菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.菱形的性质:
○1具有平行四边形的所有通性;
○2.菱形的四条边都相等;
○3.菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
性质边角对角线对称性
菱形对边平行;四边相
等
对角相等,邻角
互补
互相垂直平分;
且平分对角
轴对称,中心对称
3.菱形的判定定理:
○1一组邻边相等的平行四边形是菱形;
○2.四条边相等的四边形是菱形.
○3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
课堂精讲精练
【例题1】
如图,在网格(网格的正方形边长为1)中,格点四边形ABCD是菱形,则此四边形ABCD的面积等于()
A.6 B.12 C.D.无法计算
【答案】B
【解析】由图可得菱形的两对角线长分别为4,6,根据菱形的面积公式:两对角线乘积的一半,求得菱形的面积.
解:菱形的面积为:4×6÷2=12,故选B.
讲解用时:2分钟
解题思路:本题主要利用菱形的面积公式:“对角线乘积的一半”来解决.
教学建议:掌握菱形的面积可以用对角线积的一半计算.
难度: 3 适应场景:当堂例题例题来源:宁波期末年份:2014
4.菱形的面积:
○1可以用平行四边形的面积算1底高
2
S
⎛⎫
=⨯⨯
⎪
⎝⎭
;
○2.用对角线计算(面积=两对角线的积的一半)
1
2
S AC BD
=••
【练习1.1】
若菱形两条对角线的长分别为6和8,求这个菱形的周长.
【答案】20
【解析】根据菱形的对角线性质求边长后计算周长.
解:如图,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6.
∵ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,BO=3,AO=4.
∴AB=5.
∴周长=4×5=20.
讲解用时:2分钟
解题思路:此题考查了菱形的性质:对角线互相垂直且平分;四边相等.属基础题.
教学建议:熟练掌握菱形的性质并灵活运用.
难度: 2 适应场景:当堂练习例题来源:北京年份:2010
【例题2】
如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是()
A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60°D.∠ACB=60°
【答案】B
【解析】首先根据平移的性质得出AC ED,得出四边形ACED为平行四边形,
进而利用菱形的判定得出答案.
解:∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,
∴AC ED,
∴四边形ACED为平行四边形,
当AC=BC时,则DE=EC,
∴平行四边形ACED是菱形.
故选:B.
讲解用时:3分钟
解题思路:此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定,得出AB CD是解题关键.
教学建议:熟练掌握平行四边形的判定和菱形的判定.
难度: 3 适应场景:当堂例题例题来源:河池年份:2016
【练习2.1】
如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是()
A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD
【答案】C
【解析】要使四边形ABCD是菱形,根据题中已知条件四边形ABCD的对角线互相平分可以运用方法“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”或“邻边相等的平行四边形是菱形”,添加AC⊥BD或AB=BC.
解:∵四边形ABCD的对角线互相平分,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴要使四边形ABCD是菱形,需添加AC⊥BD或AB=BC,
故选:C.
讲解用时:3分钟
解题思路:此题主要考查了菱形的判定方法,关键是熟练把握菱形的判定方法①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组邻边相等=菱形);
②四条边都相等的四边形是菱形;③对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形.具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定.
教学建议:熟练掌握菱形的判定方法并灵活应用.
难度: 3 适应场景:当堂练习例题来源:景宁县模拟年份:2012
【例题3】
在菱形ABCD中,∠A=30°,在同一平面内,以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE,则∠EBC的度数为.
【答案】105°或45°
【解析】如图当点E在BD右侧时,求出∠EBD,∠DBC即可解决问题,当点E 在BD左侧时,求出∠DBE′即可解决问题.
解:如图,∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD=BC=CD,∠A=∠C=30°,
∠ABC=∠ADC=150°,
∴∠DBA=∠DBC=75°,
∵ED=EB,∠DEB=120°,
∴∠EBD=∠EDB=30°,
∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=105°,
当点E′在BD右侧时,∵∠DBE′=30°,
∴∠E′BC=∠DBC﹣∠DBE′=45°,
∴∠EBC=105°或45°,
故答案为105°或45°.
讲解用时:4分钟
解题思路:本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是正确