二元一次不等式表示平面区域
课程资料：二元一次不等式(组)表示的平面区域
3.点 P（1,-1）在直线y=ax＋b的上方,则a,b满足的 关系式:（ B ） A. a＋b>-1 B. a＋b<-1 C. a＋b>1 D. a－b<-1
7.确定m的范围，使点(1，2)和点(1，1)在y 3x m 0
的异侧.
5.若不等式组
y
≥
a，
表示的平面区域是一个三角
0 ≤ x ≤ 2
形，则 a 的取值范围是（ C ）
Ａ． a 5
Ｂ． a≥7
Ｃ． 5≤a 7
Ｄ． a 5 或 a≥7
[例4] 画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＞0表示 的区域．
[解] 原不等式等价于
①xx－＋y2＋y＋4＞1＞0.0， 或
• §3.3.1二元一次不等式（组） 表示的平面区域
那么：x – y < 6或x – y形？
问题2
一条直线
直线将平面分成两部分，这与 x y ()6
有什么关联呢？
y
x –y =6
左上方区
O
域
x
右下方 区域
二元一次不等式x－y<6表示直 线x- y=6左上方的平面区域
2.有粮食和石油两种货物，可用轮船和飞机两种 方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量 如下表：
货物 轮船运输量 飞机运输量
粮食/t 300
150
石油/t 250
100
现在要在一天之内运输2 000 t粮食和1 500 t石
油，试用代数和几何两种方法表示运输工具和
运输数量满足的关系．
解：设需要 x 艘轮船，y 架飞机，代数关系式和几何描述(如
(3)
【数学课件】二元一次不等式
特殊点(0,0)
画出下列不等式表示的平面区 域：
(1) x-y+1<0 ;
(2) x+ y>0；
(3) 2x+5y-10≥0 ;
（1）x-y+1<0
y x-y+1=0
1
-1
o
取(0,0) 0-0+1>0
x
（2）x+ y>0
y
1
o
直线过（0，0）
取（0，1）
0+1>0
Y
x+y-1>0
x+y-1<10XO Nhomakorabea1
l
点集{(x,y)|x+y-1>0}表示直线x+y-1=0右上方平面区域 点集{(x,y)|x+y-1<0}表示直线x+y-1=0左下方平面区域
（1）Ax+By+C>0在平面直角坐标系中 表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
（2）在确定区域时，在直线的某一侧取一个特殊点
－１ Ｄ
l 右上方的点(x,y), x+y-1>0成立
l 左下方的点(x,y), x+y-1<成立
证明:如图,设M(x,y)为 l
右上方区域内任一点
P YM
过M作MP平行于x轴交 l
于点P (x0 , y0 )
则 x x0 , y y0
x y x0 y0
1
X
O1
l
x+y-1=0
问3 在平面直角坐标系下作出A(1,1),B(1,2),
二元一次不等式(组)与平面区域 课件
|AB|＝|3×1＋－32×－1＋6|＝ 122.
∴S△ABC＝12×
12 × 2
122＝36.
(2)画出2x－3＜y≤3表示的区域，并求所有的正整数解．
【思路分析】
原不等式等价于
y＞2x－3 y≤3.
而求正整数解，则意味着x，y还有限制条件，即求：
xy＞ ＞00 y＞2x－3，
y≤3
的整数解．
例3 画出不等式组2x＋x＋2yy－－51≤＞00 ，所表示的平面区域． y＜x＋2
【思路分析】 解决这种问题的关键在于正确地描绘出边 界直线，再根据不等号的方向，确定所表示的平面区域．
【解析】 先画直线x＋2y－1＝0，由于是大于号，从而将 直线画成虚线，∵0＋0－1<0，∴原点在它的相反区域内．
如图中阴影部分中横坐标、纵坐标均为整数的点．
探究5 充分利用已知条件，找出不等关系，画出适合条件 的平面区域，然后在该平面区域内找出符合条件的点的坐 标．实际问题要注意实际意义对变量的限制．必要时可用表格 的形式列出限制条件．
思考题6 一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资
源需求如下表：
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
(2)设直线l方程为Ax＋By＋C＝0(A＞0)，则 ①Ax＋By＋C＞0表示l右侧平面区域． ②Ax＋By＋C＜0表示l左侧平面区域．
思考题1 (1)不等式x－2y≥0所表示的平面区域是下图中的 ()
【解析】
x－2y＝0的斜率为
1 2
，排除C、D.又大于0表示直
线右侧，选B.
【答案】 B
(2)不等式x＋3y－6＜0表示的平面区域在直线x＋3y－6＝0的
【解析】 如图，在其区域内的整数解为(1,1)、(1,2)、 (1,3)、(2,2)、(2,3)，共五组．
高一 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题知识点+例题+练习 含答案
1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有①当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； ②当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． (3)最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ )(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × ) (4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( √ )1．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． 2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是________．答案 ③解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为③. 3．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是________． 答案 2解析 因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直， 所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故AB ＝2，AC ＝22， 其面积为12×AB ×AC ＝2.4．(2015·北京改编)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．答案 2解析 可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.5．(教材改编)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析 用表格列出各数据A B 总数 产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1 不含参数的平面区域问题例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的________．(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．答案 (1)③ (2)43解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有③符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.命题点2 含参数的平面区域问题 例2 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是____________________________________________________________． 答案 73解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为________． (2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为________．答案 (1)[3，＋∞) (2)1解析 (1)直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－(－1)1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只有可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求．题型二 求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值例3 (2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝________. 答案 6解析 画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6. 命题点2 求非线性目标函数的最值 例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)， ∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的值最小为OA 2(取不到)，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)， ∴OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，∴z 的取值范围是(1,5]． 引申探究1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值范围．解 z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率．∴z 的取值范围是(－∞，0)．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值． 解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方，(PQ 2)max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2， (PQ 2)min ＝(|1－1＋1|12＋(－1)2)2＝12，∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.命题点3 求线性规划的参数例5 已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 12解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有： ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．(1)(2015·无锡一模)在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为________．(2)(2014·安徽改编)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________． 答案 (1)1 (2)2或－1 解析 (1)不等式组⎩⎨⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)．(2)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.题型三 线性规划的实际应用例6 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．(2015·陕西改编)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128答案 18解析 设每天甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)． 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．8．含参数的线性规划问题的易错点典例 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.易错分析 题目给出的区域边界“两静一动”，可先画出已知边界表示的区域，分析动直线的位置时容易出错，没有抓住直线x ＋y ＝m 和直线y ＝－x 平行这个特点；另外在寻找最优点时也容易找错区域的顶点．解析 显然，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1,1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1. 显然都不符合题意．故必有m >2，此时不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为A (1,1)，B (m －1,1)，C (m ＋13，2m －13)．由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值， 最小值为m ＋13－2m －13＝2－m3.由题意，得2－m3＝－1，解得m ＝5.答案 5温馨提醒 (1)当约束条件含有参数时，要注意根据题目条件，画出符合条件的可行域．本题因含有变化的参数，可能导致可行域画不出来． (2)应注意直线y ＝x －z 经过的特殊点．[方法与技巧]1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．2．求最值：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．4．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题． [失误与防范]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有________个．答案 1解析 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．2．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是________． 答案 m >1解析 由2m ＋3－5>0，得m >1.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．答案 3解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时，z 最小，最小值为3.4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是______________． 答案 (0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 解析 不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求得A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元． 答案 2 800解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元， 则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．画直线l ：300x ＋400y ＝0， 即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时， 目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．6．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________． 答案 1解析 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.7．(2015·枣庄模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是________． 答案 1解析 作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x 的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1.8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是__________．答案 [－53，5)解析 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是[－53，5)．9．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表：a b (万吨) c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)． 答案 15解析 设购买铁矿石A 、B 分别为x 万吨，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝3x ＋6y ，由⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)， 画出可行域可知，当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1,2)时，z 取到最小值15. 10．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________． 答案2513解析 因为a >0，b >0， 所以由可行域得，如图，当目标函数过点(4,6)时z 取最大值，∴4a ＋6b ＝10.a 2＋b 2的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么其最小值是点(0,0)到直线4a ＋6b ＝10距离的平方，则a 2＋b 2的最小值是2513.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是__________． 答案 (－103，－2)解析 作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3,1)上有两个不同实数解． 令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)>0，f (1)>0，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2.12．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为________． 答案55解析 在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →， 则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →| ＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图．因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55.13．设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －1x )≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为________． 答案 π2解析 平面点集A 表示的平面区域就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ≥0，y －1x ≥0与⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0表示的两块平面区域，而平面点集B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心， 以1为半径的圆及圆的内部， 作出它们表示的平面区域如图所示，图中的阴影部分就是A ∩B 所表示的平面图形． 由于圆和曲线y ＝1x 关于直线y ＝x 对称，因此，阴影部分所表示的图形面积为圆面积的12，即为π2.14．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为________．答案 37解析 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1. 显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.15．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.16．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．答案 6解析 作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．。
苏教版数学必修五：3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域【学生版】
§3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域 第 课时 班级__________ 姓名_________【学习目标】（1）能用平面区域表示二元一次不等式组；（2）能根据平面区域写出相应的二元一次不等式组．【重点难点】用平面区域表示二元一次不等式组．【学习过程】一、自主学习与交流反馈1．二元一次不等式组表示的平面区域，是由组内不等式表示平面区域的_____________.2．满足不等式的区域位于直线的_____侧；满足不等式的区域位于直线的_____，这两个区域的公共部分是不等式组___________所对应的点的集合.3．画出不等式2x +y -6＜0表示的平面区域.通过前一课的学习，我们已经知道了二元一次不等式的几何意义．那么，二元一次不等式组的几何意义又如何呢？二、新知学习与重难点突破：例1 画出下列不等式组所表示的平面区域：1>x 1=x 01>--y x 01=--y x 410 (1)4320 (2)x y x y +≤⎧⎨+≤⎩（1） （2）思考：如何寻找满足例1（2）中不等式组的整数解？例2 三个顶点坐标为，求内任一点所满足的条件．例3 满足约束条件的平面区域内有哪些整点？2124y x x y ≤+⎧⎨+>⎩004380x y x y >⎧⎪>⎨⎪+-<⎩ABC ∆(0,4),(2,0),(2,0)A B C -ABC ∆(,)x y x y2-2O C AB202305350y x x y x y -≤⎧⎪++>⎨⎪+-<⎩例4 画出下列不等式表示的区域：(1) 0)1)((≤---y x y x ； (2) x y x 2≤≤．三、巩固练习：1．画出下列不等式组所表示的平面区域：（1）⎩⎨⎧-->≥;4,x y x y （2）⎪⎩⎪⎨⎧<≤>+≤-;30,12,12x y x y x2．（1）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3,0,05x y x y x 表示的平面区域的面积为 ．（2）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+≤≤-42,42,55y x y x x 表示的平面区域的面积为 ．3．二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>++<<03,0,0y x y x 表示的平面区域内的整点坐标为 ．4．三条直线052,0123,0276=-+=+-=+-y x y x y x 所围成的三角形内部区域（不含边界）可以用不等式组表示为 ．。
3.3.1二元一次不等式表示的平面区域
x 3 2 y x 2 3 x 2 y 6 3 y x 9
Y
o
4
-2
x
3
O
2 3
X
应该注意的几个问题：
1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，
否则应画成实线。
2、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
0-0+1=1>0
1
-1
o
x
x-y+1>0
猜一猜：
（1）对直线L右下方的点（x, y）， x-y+1＞0 成立。 （2）对直线L左上方的点（x, y）， x-y+1＜0 成立。 y
1 -1
x-y+1<0
x-y+1>0
x
o
证一证：
y
y= y0
1 -1
在直线 x-y+1=0上取一点P(x0, y0)， 过点 P做平行于x轴的直线y=y0 ，
在平面直角坐标系中，所有的点 被直线x+y-1=0分成三类：
y ②在直线 x-y+1=0 的左上方的平面区
域内
1 -1
x-y+1=0
①在直线 x-y+1=0上
问题是如何 判断呢??
o
?
③在直线 x-y+1=0 的右下方的平面区
域内；
x
在直线: x-y+1=0右下方取原点代入:x-y+1 y 尝试 x-y+1=0
巩固: 画出下列不等式表示的平面区域： (1) x-y+1＜0 (2) 2x+3y-6＞０ (3) 2x+5y-10≥０ (4) 4x-3y≤12
3.3.2简单线性规划(1_2)--上课用
y-x=0
5
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性， 1 O
1 A(2,-1)
5
x
y+1=0
B(-1,-1)
-1
x+y-1=0
x - y 0 1 、 画出x y - 1 0区域 y y 1 0
使 式中，的x、y满足约束条件：
3 z z y x , 为直线3x 5 y z 0 5 5 5 的纵截距
5 x 3 y 15 y x 1 x 5 y 3
5x+3y=15 y y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
X-5y=3 x
O
-1
1
5
A(-2,-1)
B.z=5x+3y D.z=3x+5y
答案:A
第31页
高考题练习：
x y≥2, 1.(2009 浙江)若实数x, y满足不等式组 2 x y≤4, x y≥0, 则2x 3y的最小值是 ________ .
答案:4
第32页
解析:作出可行域如下图. 作直线l:2x+3y=0,平移l,当l过点A(2,0)时,2x+3y有最小值4.
D.5
z=5×1+0=5.
答案:D
第34页
则z x 2y的最大值为
A.4 答案:B B.3 C.2
y≤1, 3.(2010 全国Ⅰ若变量 ) x、y满足约束条件 x y≥0, x y 2≤0,
二元一次不等式表示的平面区域教案人教版
1.图形表示略。
2.
（1）解集图形为一个三角形区域，顶点为原点(0,0)、(0,6)和(6,0)。
（2）解集图形为一个三角形区域，顶点为原点(0,0)、(4,4)和(4,0)。
（3）解集图形为一个四边形区域，顶点为原点(0,0)、(0,4)、(3,3)和(4,0)。
3.方案一：x + y ≤ 0，表示购买商品x元，赠送y元；
再次，在巩固练习阶段，我通过随堂练习题和错题订正的方式，检查学生对二元一次不等式表示的平面区域知识的掌握情况。在实际教学中，我发现学生在解决实际问题时，往往难以将实际问题转化为二元一次不等式表示的平面区域，从而导致解题困难。因此，我需要在今后的教学中，加强对实际问题转化为二元一次不等式表示的学生的解题能力。
（2）探究方法：
学生可以利用网络资源、图书馆书籍或与同学讨论等方式，搜集与二元一次不等式表示的平面区域相关的信息，拓宽知识面。
学生可以尝试解决课本或其他资料中的拓展问题，提高自己的解题能力。
学生可以进行小组合作，共同探讨问题，培养团队合作精神。
课后作业
1.请用二元一次不等式表示下列平面区域，并画出图形：
（3）从生活实际出发，让学生通过观察、分析、归纳来找出实际问题中的不等关系，突破难点3。
教学资源
1.软硬件资源：黑板、粉笔、多媒体投影仪、计算机、几何画板软件。
2.课程平台：人教版八年级上册数学教材、教学课件、练习题库。
3.信息化资源：网络搜索引擎、在线数学教学平台、数学视频讲解资源。
4.教学手段：讲解、示范、练习、讨论、小组合作、几何画板演示。
最后，在拓展延伸阶段，我提供了与本节课内容相关的拓展阅读材料，并鼓励学生进行课后自主学习和探究。在实际教学中，我发现部分学生对拓展阅读材料缺乏兴趣，难以自主进行学习和探究。因此，我需要在今后的教学中，加强对拓展阅读材料的引导，激发学生的学习兴趣，提高学生的自主学习能力。
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二元一次不等式表示平面区域说课稿
省永丰中学----程春民
一、教材分析
1、教材的地位和作用
本节课是高中数学必修五的容，教学大纲对这部分容的要了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用。
这是《新大纲》中增加的新容，不仅为传统的高中数学注入了新鲜的血液，而且给学生提供了学数学、用数学的机会，体现了新课程理念。
在此之前，学生已经学习了直线的方程，已掌握二元一次方程与平面直线的对应关系，同时也学习了数形结合的思想方法。
为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。
这一节容，是介绍直线方程的简单应用（即简单的线性规划）的基础，起到承前启后的作用。
2、教材的重点、难点和关键
教学重点：二元一次不等式(组)表示平面区域；
教学难点：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域；
关键：理解掌握口诀“直线定界，取点定域”，“系数化正、左小右大”。
二、学生情况分析
1、对象：重点中学的高二理科学生，有一定的思维能力；
2、学情：学生前三节学习的基础上，对解析几何的理性思维能力已经有了初步形成，但存在个别差异。
3、心理：厌倦教师的单独说教，希望教师能创设便于他们进行思考探索的空间，给他们发表自己见解和表现才华的机会。
三、教学目标分析
1、知识目标：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域；
2、能力目标：学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力，页脚.
会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力；
3、情感目标：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质，通过自主探索、合作交流，增强数学的情感体验，提高创新意识。
四、教学策略分析
1、教学方法：引导发现法、探索讨论法、题组教学法等等；
2、教学手段：利用多媒体技术优化课堂教学，体现辅助功能；
3、学法指导：这是一节抽象的概念作图课，教师应注重创设认知情境，引导学生进
行尝试、猜想、证明、归纳，帮助学生在原有经验上对新知识主动建构，在交流合作中学习。
五、教学过程设计
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教学流
整个教学过程的体现：以知识为载体，思维为主线，能力为目标的设计原则。
时间安排：创设情境引入课题约2分钟，猜想探索构建新知环节约25分钟，课堂练习约15分钟，小结作业约3分钟，依据上课的具体情况可适当调整。
六、教学评价的分析
1、教师行为评价：教师应充分为学生创造主动探索建构的认知环境，体现引导和指导作用。
2、学生行为评价：学生主动探索过程中提倡过程评价，交流中体现的团结协作、创新精神实现多元化评
3、课堂教学评价：重在培养学生掌握数学的基本思想和提高学生的能力，培养学生的创新意识，使课堂教学成为学生亲自参与的充满丰富生动的数学思维活动的场所。
说明：
课件软件：Flash、Powerpoint、几何画板等制作CAI课件。
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