公式法解一元二次方程公开课PPT课件
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一元二次方程(公式法)课件
的根的情况。
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实数根。
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实数根，即一个重
根。
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实数根，有两个共轭复根。
方程的解与根的关系
方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解。
根
对于一元二次方程，其解也称为根。根据判别式的不同情况，方程可能有两个不相等的实数根、两个 相等的实数根（一个重根）或无实数根。在有实数根的情况下，可以通过求根公式求解得到。
03 公式法的推导与证明
配方法推导公式
01
02
03
04
05
将一元二次方程 化为一般…
ax² + bx + c = 0
移项
配方
开方
求解
将常数项移到等号右边， 得到 ax² + bx = -c
等式两边同时加上一次项系 数一半的平方，即 (b/2)²， 得到 a(x + b/2a)² = (b²4ac)/4a
标准形式与系数
一元二次方程的标准形式
$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a$、$b$、$c$ 是常数，且 $a neq 0$。
系数
在一元二次方程中，$a$、$b$、$c$ 分别称为二次项系数、一次项系数和常数 项。
根的判别式
01
02
03
04
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方程
对方程两边同时开平方，得 到 x + b/2a = ±√((b²4ac)/4a)
整理得到一元二次方程的解 为 x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实数根。
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实数根，即一个重
根。
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实数根，有两个共轭复根。
方程的解与根的关系
方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解。
根
对于一元二次方程，其解也称为根。根据判别式的不同情况，方程可能有两个不相等的实数根、两个 相等的实数根（一个重根）或无实数根。在有实数根的情况下，可以通过求根公式求解得到。
03 公式法的推导与证明
配方法推导公式
01
02
03
04
05
将一元二次方程 化为一般…
ax² + bx + c = 0
移项
配方
开方
求解
将常数项移到等号右边， 得到 ax² + bx = -c
等式两边同时加上一次项系 数一半的平方，即 (b/2)²， 得到 a(x + b/2a)² = (b²4ac)/4a
标准形式与系数
一元二次方程的标准形式
$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a$、$b$、$c$ 是常数，且 $a neq 0$。
系数
在一元二次方程中，$a$、$b$、$c$ 分别称为二次项系数、一次项系数和常数 项。
根的判别式
01
02
03
04
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方程
对方程两边同时开平方，得 到 x + b/2a = ±√((b²4ac)/4a)
整理得到一元二次方程的解 为 x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
解一元二次方程(公式法)(ppt课件)
这时
b
2
4ac 4a 2
＞0，
即
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
b b2 4ac
x
.
2a
b b2 4ac
b
x1
2a
, x2
b2 4ac .
2a
方程有两个不 相等实数根
探究新知
⑵b2-4ac=0
这时
b2 4ac 0， 4a 2
x1=x2=- b 2a
方程有两个相 等实数根
探究新知
解：方程化为 2x2－5x－9＝0.
a＝2，b＝－5，c＝－9.
Δ＝(－5)2－4×2×(－9)＝97＞0.
方程有两个不等的实数根
x＝－b±
b2－4ac＝5±
2a
4
97，
即
x1＝5＋4
97，x2＝5－4
97 .
随堂练习
3．用公式法解方程：x2－3x＋4＝0. 解：a＝1，b＝－3，c＝4. Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×4＝－7<0. 方程无实数根．
课堂小结
公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: △=b2-4ac的值; 4.判断：若△=b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若△=b2-4ac<0，则方程没有实数根.
当堂测试
1. 关于 x 的一元二次方程 x2 2x m 2 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围
,
x2
1．
（2） x2 4x 7 0 ，
a 1， b 4 ， c 7 ，
b2 4ac (4)2 417 44 0 ，
用公式法求解一元二次方程课件 (共25张PPT)
复习引入
（4） 4 x2 3x 2 0.
3 1 解：两边同时除以4，得 x x 0 . 4 2 3 1 2 移项，得 x x= . 4 2 2 2 3 1 3 3 2 配方，得 x x = ， 4 8 2 8 2 3 23 即 x = . 8 64 ∴此方程无实数根.
2
2 b b 4ac 0. 即： x 2 2a 4a 2
b b2 4ac 移项，得 x = . 2 2a 4a
2
下面该怎么 运算？有条 件限制吗？
探索新知
ax2 bx c 0 a 0
2 b b 4ac 2 当 b 4ac ≥0时，开平方得 x = . 2 2a 4a
（1）x 5x 4 0；
2
∵ b 4ac ＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
2
（2） 4x2 7 6 x；
2 b 4ac ＜0，∴方程没有实数根. ∵
（3） 2 x 2 6 x 3 0.
2
2 ∵ b 4ac ＝0 ，∴方程有两个相等的实数根.
1 解：两边都除以2，得：x 2 x 0 . 2
2
1 移项，得 x 2 x= . 2
2
2
1 配方，得 x 2 x 1= 1 . 2 3 2 即 x 1 = . 2
6 6 ∴ x1 1 ，x2 =1+ . 2 2
复习引入
（2）x2 1.5= 3x；
2
分析：（1）确定a,b,cLeabharlann 值；（2）判断方程是否有根；
（3）写出方程的根.
新知应用
（1）x 7 x 18 0； 例1 解方程：
公式法解一元二次方程PPT课件
用公式法解一 元二次方程
单击此处添加副标题 单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您
的观点。
演讲人姓名
用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 一、用配方法解下列方程 2x²-12x+10=0
若二次项系数 不是1，把二 次项系数化为 1(方程两边都 除以二次项系 数)；
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b xc.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
aa
x2bxb2b2c. a 2a 2a a
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对 值一半的平方;
x b 2 2a
b24a42ac.
当b24ac0时,
b
b2 4ac
x
.
2a
2aΒιβλιοθήκη xbb24a.cb24a c0.
2a
6t2 -5 =13t
例4
解方程： x2323x
解： 原方x2 程 23 x 化 3 0为：
a 1 ,b 23 ,c 3
b24ac 23 2 4 1 3 0
x 23 0 233 2 1 2
x1x20
结论：当 b24a c0时，一元二次方程有两个
相等的实数根.
例 用公式法解方程： x2 – x - =0
求根公式 : X=
3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
祝你成功！
知识的升华
独立 作业
思考题：
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b， c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相 等的实数解
单击此处添加副标题 单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您
的观点。
演讲人姓名
用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 一、用配方法解下列方程 2x²-12x+10=0
若二次项系数 不是1，把二 次项系数化为 1(方程两边都 除以二次项系 数)；
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b xc.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
aa
x2bxb2b2c. a 2a 2a a
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对 值一半的平方;
x b 2 2a
b24a42ac.
当b24ac0时,
b
b2 4ac
x
.
2a
2aΒιβλιοθήκη xbb24a.cb24a c0.
2a
6t2 -5 =13t
例4
解方程： x2323x
解： 原方x2 程 23 x 化 3 0为：
a 1 ,b 23 ,c 3
b24ac 23 2 4 1 3 0
x 23 0 233 2 1 2
x1x20
结论：当 b24a c0时，一元二次方程有两个
相等的实数根.
例 用公式法解方程： x2 – x - =0
求根公式 : X=
3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
祝你成功！
知识的升华
独立 作业
思考题：
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b， c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相 等的实数解
用公式法解一元二次方程课件
例1：解方程 $x^2 - 6x + 9 = 0$。
根据公式，计算判别式 $Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 times 1 times 9 = 0$。
因为 $Delta = 0$，所以方程 有两个相等的实数根，即 $x_1 = x_2 = frac{-b}{2a} = frac{6}{2} = 3$。
准确性：直接利用公式求解，避免了因式 分解可能出现的错误。
05
06
简便性：对于某些复杂的一元二次方程， 公式法比因式分解更简便。
02
一元二次方程的标准形式
标准形式的表达式
01
一元二次方程的一般形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a, b, c$ 是 常数，$a neq 0$。
当 $Delta = 0$ 时，方程 有两个相等的实数根（即 一个重根）；
判别式的计算可以通过公式 $Delta = p^2 - 4q$ 进行， 其中 $p$ 和 $q$ 是标准形式 中的系数。
当 $Delta < 0$ 时，方程 没有实数根，而是有两个 共轭复数根。
03
公式法求解一元二次方程
公式法的推导过程
求解方法
此时方程没有实数根，但有两个 共轭的复数根，即 $x_1=frac{-
b+sqrt{Delta}i}{2a}$ 和 $x_2=frac{-b-
sqrt{Delta}i}{2a}$。
示例
$x^2+2x+5=0$，判别式 $Delta=-16<0$，解得 $x_1=-
1+2i$ 和 $x_2=-1-2i$。
$left(x + frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。
用公式法求解一元二次方程-ppt课件
2
且四边形的周长是12，则△ 的面积为___．
第二章 一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
第2课时 公式法的应用
1.在长 、宽 的矩形场地中修如图所示的
两条宽度相同的小路，小路的面积为 ，则
小路的宽为( A )
A.
B.
C.
D.
等．若停车位的总占地面积为 ,求车道的宽度（单位：）．
解：设车道的宽度为 .
根据题意，得 − − = .
整理，得 − + = ，解得 = ，
= （不合题意，舍去）．
答：车道的宽度为 ．
4.某主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三
解得 = + ， = − .
∵ = ± 都符合题意，
∴ 能围成面积为 的矩形场地.
答：道路的宽度应设计为 ．
9.张大爷要建一个矩形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边靠着原有
的一道墙，墙长为 ,另外三边用竹篱笆围成，如图1所示，已知篱笆
总长为 .
（1）①若足够长，是否能围成面积为 的矩形场地?如果可以，
求养鸡场的长、宽各是多少米；如果不可以，请说明理由.
答：养鸡场的长和宽分别是 ， ，或养鸡场的长和宽分别是
，. .
②是否能围成面积为 的矩形场地?
解：结合题意及①，得 − = ．
整理，得 − + = ．
∵ = −
− × × = − < ，
∴ 此时方程的根为 = = ．
= .
9.已知关于的一元二次方程 + + + − = ，其中，
且四边形的周长是12，则△ 的面积为___．
第二章 一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
第2课时 公式法的应用
1.在长 、宽 的矩形场地中修如图所示的
两条宽度相同的小路，小路的面积为 ，则
小路的宽为( A )
A.
B.
C.
D.
等．若停车位的总占地面积为 ,求车道的宽度（单位：）．
解：设车道的宽度为 .
根据题意，得 − − = .
整理，得 − + = ，解得 = ，
= （不合题意，舍去）．
答：车道的宽度为 ．
4.某主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三
解得 = + ， = − .
∵ = ± 都符合题意，
∴ 能围成面积为 的矩形场地.
答：道路的宽度应设计为 ．
9.张大爷要建一个矩形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边靠着原有
的一道墙，墙长为 ,另外三边用竹篱笆围成，如图1所示，已知篱笆
总长为 .
（1）①若足够长，是否能围成面积为 的矩形场地?如果可以，
求养鸡场的长、宽各是多少米；如果不可以，请说明理由.
答：养鸡场的长和宽分别是 ， ，或养鸡场的长和宽分别是
，. .
②是否能围成面积为 的矩形场地?
解：结合题意及①，得 − = ．
整理，得 − + = ．
∵ = −
− × × = − < ，
∴ 此时方程的根为 = = ．
= .
9.已知关于的一元二次方程 + + + − = ，其中，
用公式法求解一元二次方程ppt课件
题 k=0 总有实数根，∴Δ=（2 ）2+4k≥0，解得 k≥-7，
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，
公式法解一元二次方程课件
公式法解一元二次方程 PPT课件
本课件将详细介绍公式法解一元二次方程的步骤、应用和几何意义，以及解 答思路和优缺点分析。同时还包括丰富的例题演示和实战演练。
一元二次方程的定义和特点
一元二次方程是形如ax²+ bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，a ≠ 0。 它的特点是含有二次项和一次项，并且未知数的最高次幂为2。
求解一元二次方程的两种方法的比较
公式法
适用于一切一元二次方程，计算简便，但需要 记住公式。
配方法
适用于特定的一元二次方程，计算较为繁琐， 但思维灵活。
一元二次方程在实际生活中的 应用
• 物理学中的运动学问题。 • 工程学中的曲线设计。 • 经济学中的成本与收益分析。 • 金融学中的利润计算。
求解一元二次方程时需要注意的事项
• 确保方程按标准形式排列。 • 计算判别式时，注意繁简幂运算和符号的处理。 • 对于存在浮点数解的情况，注意精度问题。 • 在使用根的公式计算解时，注意正负号的运算。
实数解和虚数解的区别
一元二次方程的实数解是指方程的解为实数，虚数解是指方程的解为虚数。 虚数解以i表示，例如3 + 4i。
常见一元二次方程的例子
例子1
x² + 3x - 4 = 0
例子3
3x² - 6x + 3 = 0
例子2
2x² - + 2 = 0
例子4
x² + 4x + 4 = 0
公式法解一元二次方程的步骤
1. 将方程按标准形式ax²+ bx + c = 0排列。 2. 计算判别式△ = b²- 4ac。 3. 根据△的值来判断方程的根的情况。 4. 如果△ > 0，则方程有两个不相等的实数根。 5. 如果△ = 0，则方程有两个相等的实数根。 6. 如果△ < 0，则方程没有实数解，存在两个虚数根。
本课件将详细介绍公式法解一元二次方程的步骤、应用和几何意义，以及解 答思路和优缺点分析。同时还包括丰富的例题演示和实战演练。
一元二次方程的定义和特点
一元二次方程是形如ax²+ bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，a ≠ 0。 它的特点是含有二次项和一次项，并且未知数的最高次幂为2。
求解一元二次方程的两种方法的比较
公式法
适用于一切一元二次方程，计算简便，但需要 记住公式。
配方法
适用于特定的一元二次方程，计算较为繁琐， 但思维灵活。
一元二次方程在实际生活中的 应用
• 物理学中的运动学问题。 • 工程学中的曲线设计。 • 经济学中的成本与收益分析。 • 金融学中的利润计算。
求解一元二次方程时需要注意的事项
• 确保方程按标准形式排列。 • 计算判别式时，注意繁简幂运算和符号的处理。 • 对于存在浮点数解的情况，注意精度问题。 • 在使用根的公式计算解时，注意正负号的运算。
实数解和虚数解的区别
一元二次方程的实数解是指方程的解为实数，虚数解是指方程的解为虚数。 虚数解以i表示，例如3 + 4i。
常见一元二次方程的例子
例子1
x² + 3x - 4 = 0
例子3
3x² - 6x + 3 = 0
例子2
2x² - + 2 = 0
例子4
x² + 4x + 4 = 0
公式法解一元二次方程的步骤
1. 将方程按标准形式ax²+ bx + c = 0排列。 2. 计算判别式△ = b²- 4ac。 3. 根据△的值来判断方程的根的情况。 4. 如果△ > 0，则方程有两个不相等的实数根。 5. 如果△ = 0，则方程有两个相等的实数根。 6. 如果△ < 0，则方程没有实数解，存在两个虚数根。
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用符号“ ”表示，即 b2 4ac
记住了， 别搞错!
一元二次方程的根的情况：
1.当 ___b_2 __4_a_c__0_时，方程有两个不相等的实数根 2.当____b2___4_ac___0_时，方程有两个相等的实数根 3.当____b_2 __4_a_c__0_时，方程没有实数根
反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时，___b_2 __4_a_c_ 0 2.当方程有两个相等的实数根时，____b_2 __4_a_c__0_ 3.当方程没有实数根时，___b_2__4_a_c___0_
练习：判别下列方程的根的情 况解方程。
例：当k取什么值时，已知关于x的方程：
x 7 121 7 11
21
2
即 ： x1 9 x2 2
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
求根公式 x b b2 4ac 2a
例 2 解方程： x2 3 2 3 x
解： 化简为一般式：x2 2 3 x 3 0
这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
Q b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
49 96 - 47 0
方程没有实数解。
合作探究
对于一元二次方程 你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解? 有什么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2 bx c 0a 0 的根的判别式，
4a 2
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
b b2 4ac x
2a
特别提醒
一元二次方程的 求根公式
一元二次方程的 求根公式
求根公式 x b b2 4ac 2a
例 1 解方程： x2 7x 18 0
解： 这里 a 1 b 7 c 18
Q b2 4ac （ 7）2 41（- 18） 121
（- 2 3） x
02
3
3
21
2
即 ： x1 x2 3
求根公式 x b b2 4ac 2a
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 Q b2 4ac （ 7）2 4 3 8
（1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等 的实根； （3）方程无实根；
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根 为互为相反数？
当堂 检测
用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0;
（2）9x2+6x+1=0;
（3）16x2+8x=3. (4) m取什么值时，关于x的方程方程
x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数 解
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一、用配方法解一元二次方程:
(1)x2 4x 1 0 (2)2x2 3x 1 0
用配方法解一般形式的一元二次方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ax2 bx c 0(a 0)
解: 把方程两边都除以 a
x2 b x c 0 aa
移项，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0 Q 4a2 Q04a2 b20当4acb2 04ac 0 时
2
b
b 4ac
x 2a
记住了， 别搞错!
一元二次方程的根的情况：
1.当 ___b_2 __4_a_c__0_时，方程有两个不相等的实数根 2.当____b2___4_ac___0_时，方程有两个相等的实数根 3.当____b_2 __4_a_c__0_时，方程没有实数根
反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时，___b_2 __4_a_c_ 0 2.当方程有两个相等的实数根时，____b_2 __4_a_c__0_ 3.当方程没有实数根时，___b_2__4_a_c___0_
练习：判别下列方程的根的情 况解方程。
例：当k取什么值时，已知关于x的方程：
x 7 121 7 11
21
2
即 ： x1 9 x2 2
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
求根公式 x b b2 4ac 2a
例 2 解方程： x2 3 2 3 x
解： 化简为一般式：x2 2 3 x 3 0
这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
Q b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
49 96 - 47 0
方程没有实数解。
合作探究
对于一元二次方程 你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解? 有什么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2 bx c 0a 0 的根的判别式，
4a 2
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
b b2 4ac x
2a
特别提醒
一元二次方程的 求根公式
一元二次方程的 求根公式
求根公式 x b b2 4ac 2a
例 1 解方程： x2 7x 18 0
解： 这里 a 1 b 7 c 18
Q b2 4ac （ 7）2 41（- 18） 121
（- 2 3） x
02
3
3
21
2
即 ： x1 x2 3
求根公式 x b b2 4ac 2a
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 Q b2 4ac （ 7）2 4 3 8
（1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等 的实根； （3）方程无实根；
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根 为互为相反数？
当堂 检测
用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0;
（2）9x2+6x+1=0;
（3）16x2+8x=3. (4) m取什么值时，关于x的方程方程
x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数 解
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一、用配方法解一元二次方程:
(1)x2 4x 1 0 (2)2x2 3x 1 0
用配方法解一般形式的一元二次方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ax2 bx c 0(a 0)
解: 把方程两边都除以 a
x2 b x c 0 aa
移项，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0 Q 4a2 Q04a2 b20当4acb2 04ac 0 时
2
b
b 4ac
x 2a