一元二次方程的解法(公式法)
一元二次方程的解法(公式法)
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.由配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，若 b2-4ac≥0，得求根公式：
x b b2 4ac 2a
2.会熟练应用公式法解一元二次方程．
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0).当a，b，c
满足什么条件时，方程的两根互为相反数？
一元二次方程的解法
————公式法
回顾复习：
解法一：直接开平方法：x2+6x+9=0
解法二：因式分解法：
1.x2 (5 2)x 5 2 0
2. 3x2 5x 0
3.x2 12x 27 0
1.x1 5; x 2 2.
15
2.x1 0;x2
. 3
3.x1 3;x2 9.
回顾复习：
解法三：配方法：
2x2 4x 1 0
用配方法解一元二次方程的步骤： （1）二次项系数化为1：x2+px+q=0 （2）移项，整理得 x2+px=-q ；
（3）配方： （4）开平方法解方程.
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
【解析】把方程两边都除以a, 移项，得 x2 + x= ba
【解析】设方程的两个根为x1,x2，依题意，得
x1 +x2 b
b 2+ 4ac
2a
b
0
a
b b2 4ac 2a
因为a≠0, 所以b=0.
所以当a≠0, b=0， ac≤0时，方程的两根为互为相反数.
2.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广
解一元二次方程公式法
公式法是这样生产的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解 : a 2 ,b 9 ,c 8 .1.变形:化已知方程为一般形式;
b 2 4 a c 9 2 4 2 8 1 7 0 .
x b b 2 4 ac 2a
9 17
22 9 17 .
4
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
九年级数学(上)第二章 一 元二次方程
3.公式法(1) 一元二次方程解法
配方法
回顾与复习 1
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元 二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为 配方法(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义:
公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解:x29x40.
2
x2 9 x 4.
x29x292924.
x
2 9
2417
.
4
4 16
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值 一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合并 同类;
8.x1909..xx2714x;3;xx139 .43.273. 16x2+8x=3 ；
1
1 参 考 答 案 ：2 12
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12
1
2
解:设这三个 一个连 直角续 三角偶 的 形三数 一 边的中 个 长x为间 ,为 根 三个据 连续题 偶 意得
x2 x 数 ,求2 这2 个三x角 形2 的2 .三边长.
一元二次方程的五种解法
一元二次方程的五种解法一元二次方程是数学中常见的方程类型，解一元二次方程有多种方法。
下面将介绍五种解一元二次方程的方法。
一、因式分解法通过因式分解的方法，将一元二次方程化简为两个一次方程，进而求解方程的解。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以通过因式分解得到(x + 2)(x + 3) = 0，进而得到x = -2或x = -3。
二、配方法通过配方法，将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，然后求解方程的解。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以通过配方法将其转化为(x + 3)^2 = 0，进而得到x = -3。
三、求根公式法一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别为方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。
通过代入系数，计算出方程的解。
例如，对于方程x^2 + 2x - 3 = 0，我们可以代入a = 1，b = 2，c = -3，然后利用求根公式计算出x的值。
四、完成平方法通过将一元二次方程的两边进行平方，化简为一个完全平方的形式，然后求解方程的解。
例如，对于方程x^2 + 4x + 4 = 0，我们可以通过将其两边进行平方得到(x + 2)^2 = 0，进而得到x = -2。
五、图像法通过绘制一元二次方程的图像，观察图像与x轴的交点来求解方程的解。
例如，对于方程x^2 - 4 = 0，我们可以绘制出抛物线的图像，观察到抛物线与x轴的交点为x = 2和x = -2，因此方程的解为x = 2和x = -2。
解一元二次方程有多种方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法、完成平方法和图像法。
不同的方法适用于不同的方程，选择合适的解法可以更快地求解一元二次方程的解。
在实际应用中，根据方程的形式和已知条件，选择合适的解法可以简化计算，提高效率。
用公式法求解一元二次方程。
用公式法求解一元二次方程。
一、一元二次方程的定义及公式
一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。
一般形式为：ax + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。
二、求解一元二次方程的步骤
1.整理方程
将一元二次方程化为标准形式，即ax + bx + c = 0。
2.计算判别式
判别式的公式为：Δ= b - 4ac。
3.判断方程根的情况
根据判别式的值，可以判断方程的根的情况：
- Δ > 0：方程有两个不相等的实根；
- Δ = 0：方程有两个相等的实根；
- Δ < 0：方程无实根。
4.求解方程根
根据判别式的值和方程的根的情况，使用公式求解方程的根。
公式如下：x, x = (-b ± √Δ) / (2a)
三、实例演示
已知一元二次方程：x - 3x + 2 = 0
1.整理方程：x - 3x + 2 = 0
2.计算判别式：Δ = (-3) - 4 × 1 × 2 = 1
3.判断方程根的情况：Δ > 0，方程有两个不相等的实根。
4.求解方程根：x, x = (3 ± √1) / 2 = 1, 2
四、总结与拓展
求解一元二次方程的方法不仅限于公式法，还可以使用因式分解、配方法等。
在实际应用中，应根据方程的特点和自己的需求选择合适的解法。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程是数学中常见的形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解一元二次方程的方法有两种常用的方式，分别是因式分解法和求根公式法。
一、因式分解法因式分解法是一种基于因式分解思想的解法，用于解决特定类型的一元二次方程。
1. 随机方程形式：ax²+bx+c=0要使用因式分解法解决一元二次方程，首先要确保方程可被因式分解。
具体步骤如下：Step 1: 将方程左侧的二次项进行因式分解。
对于二次项ax²，可以进行因式分解为(ax+m)(ax+n)，其中m和n为常数。
Step 2: 确定常数m和n的值。
将因式分解得到的形式(ax+m)(ax+n)与方程的形式ax²+bx+c进行比较，从而确定常数m和n的值。
Step 3: 通过求解常数m和n的值，得到一元二次方程的解。
将(ax+m)(ax+n)=0，根据乘法零因子法则，可将方程转化为两个一次方程，即ax+m=0和ax+n=0。
然后分别求解这两个一次方程，得到x的值。
2. 示例：例如，解方程x²+5x+6=0。
Step 1: 将方程左侧的二次项进行因式分解。
方程的左侧二次项x²可因式分解为(x+2)(x+3)。
Step 2: 确定常数m和n的值。
由比较可知，m=2，n=3。
Step 3: 通过求解常数m和n的值，得到一元二次方程的解。
将(x+2)(x+3)=0转化为两个一次方程，即x+2=0和x+3=0。
分别解得x=-2和x=-3，因此方程x²+5x+6=0的解为x=-2和x=-3。
二、求根公式法求根公式法是解决一元二次方程的另一种常用方法，可以适用于一切一元二次方程。
1. 一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0对于一元二次方程ax²+bx+c=0，可以使用求根公式法进行解答。
求根公式为x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。
一元二次方程的解法(公式法)
你来总结：
通过今天的学习你有什么收获和困惑？
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当b2-4ac≥0时，它的根是：
x
b b 2 4 ac 2a
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=0时， 方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根；
根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示。
牛刀小试：
不解方程，判断下列方程的根的情况：
( 1)2x2+5=7x ;
( 2)4x(x-1)+3=0 ; (3)4(y2+0.09)=2.4y
牛刀小试：
用公式法解下列方程：
( 1) 2x2-9x+8=0 ;
( 2) 9x2+6x+1=0 ; ( 3) x(x-3)+5=0 .
即 x1 9,x2 2.
即 x1 x2
1 2
归纳总结
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2-4ac=0时， 方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac＜0时，方程没有实数根；
Hale Waihona Puke 把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的
作业：
P43习题2.5第1、2题 。
谢谢各位老师！ 欢迎批评指导！！
2.3 一元二次方程的解法 ——公式法
温故知新
解一元二次方程的一般步骤：
化1 配方 移项 求解
温故知新
问题： 这就是说，对于一元二次方程
你会用配方法解下列一元二次方程吗？ ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它 2 的根是： ax +bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的解法-公式法
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标 对称轴
b 2a
,4ac 4a
b2
直线x b 2a
开口方向 增减性ห้องสมุดไป่ตู้
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
最值
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
b b2 4ac x
2a
例 2 解方程： x2 3 2 3 x
解： 化简为一般式：x2 2 3 x 3 0 这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
49 96 - 47 0
方程没有实数解。
随堂 练习 用公式法解下列方程：
2x2-4x+1=0;
二次函数y= 2x2-4x+1的图像是怎样的？
提示：a=2 b=-4 c=1
基础知识补充
质素：一个只能分解成1与它本身相乘的数 如17只能是1*17，但18可以1*18；2*9；3*6，所以18不是质数
b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
（- 2 3） x
02
3
3
21
2
即 ： x1 x2 3
b b2 4ac x
2a
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
一元二次方程6种解法
一元二次方程6种解法
一元二次方程没有6种解法，一元二次方程4种解法：
一、直接开平方法。
形如（x+a)^2=b，当b大于或等于0时，x+a=正负根号b，x=-a加减根号b；当b小于0时。
方程无实数根。
二、配方法。
1、二次项系数化为1。
2、移项，左边为二次项和一次项，右边为常数项。
3、配方，两边都加上一次项系数一半的平方，化成
（x=a)^2=b的形式。
4、利用直接开平方法求出方程的解。
三、公式法。
现将方程整理成：ax^2+bx+c=0的一般形式。
再将abc 代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，(b^2-4ac大于或等于0）即可。
四、因式分解法。
如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等号左边的代数式容易分解，那么优先选用因式分解法。
一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是
一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数。
③未知数项的最高次数是2。
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这是收获的 时刻，让我 们共享学习 的成果
一、由配方法解一般的一元二
次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
若 b2-4ac≥0 得
求根公式 X=
1
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
(1)把一元二次方程化为一般形式；
(2)确定a,b,c的值；
(3)求出 b2-4ac 的值；
(4)若 b2-4ac≥0，则把a、b、c代入
解：因为 a2,b3m n,c 2m 23mn2
所以 b2 4ac(3mn)2 42(2m2 3mnn2)
25m2 30mn9n2
(5m3n)2 0
x(3mn) (5m3n)2 3mn(5m3n)
22
4
原方x1程 m 2 n的 ,x2n 解 2 m
1
小结：
公式法适用于所有的一元二次方程，在 使用求根公式的时候一定要先将方程转化成 一元二次方程的一般形式，才能正确地确定 方程的系数.
bb24a c14917
x
2a 22 4
x4 242 2
6
即x1
2,x2
3 2
即 x 1 2 6,x 2 2 6
1
练习: (1) 5x2 -4x-12＝0; (2) 4x2 +4x+10＝1-8x．
解 ：a 5 ， b4 ， c12解：原方程整理，得
b2 4ac
42 4 5 -12
1
例1 用公式法解下列方程：
b b2 4ac x
2a
（1）2x2＋x－6＝0； （2） x2＋4x＝2；
解:(1)∵a＝2,b＝1, c＝－6,
b2－4ac ＝ 12－4×2×(－6) ＝1＋48＝49，
(2)将方程化为一般式,得 x2＋4x－2＝0．
∵a=1，b=4，c=-2
b2－4ac＝24，
右边为常数项； (3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方 ，
使左边成为完全平方式； (4)用直接开平方法解变形后的方程。
1
2、用配方法解方程3x2-6x-8=0
解： x2 2x 8
3 x2 2x181
3 (x 1)2 11
3
x 1 11 3
33
33
x1 1 3 x2 1 3
3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌 讨论一下.
ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 1
用配方法解一元二次方程
a x 2＋bx＋c＝0（a≠0）． ∵a≠0,所以4a2 ＞0,
解:∵a≠0,方程两边都除以a, 当b2－4ac≥0时,直接
得
x2 bxc0
aa
移项,得
x2 bxc aa
配方,得
开平方,得
b
b2 4ac
x
2a
2a
b b2 4ac x
2a 2a
4x 2 ＋12x＋9＝0．
a 4 ， 1 b，2 9 c
256
b 2 4 a 1 c2 2 4 4 9 0
x(4)254 61 628
25
10 5
x 120 8
6
x1
5
,x2
2
3
x1
x2
2
注：当 b24ac0时方程1 有两个相等的实数解.【例2】解关于x的方程：
2 x 2 ( 3 m n )x 2 m 2 3 m n 2 n 0
方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的
根．这种解方程的方法叫做公式法．
b2－4 ac为什么一定要强调它不小于0呢？ 如果它小于0会出现什么情1 况呢？
练习:
（1）2x2-3x+1=0中，a=（2 ）,b=（-3 ）,c=（1
）
（2）(2x-1)2=4中，a=（4 ）,b=（-4）,c=（-3 ）
求根公式 X=
，
求出 X1 和 X2 。
当
b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根。即X1
＝
X2＝
b 2a
若b2-4ac<0，则方程无解。
x2
b2 4ac01
请认真完成作业 下课！
1
谢谢
一元二次方程的解法(公式法)
学习目标 1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能 训练，进一步发展逻辑思维能力； 2、会用公式法解简单系数的一元二次方程； 3、进一步体验类比、转化、降次的数学思想 方法。
1
复习提问
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
(1) 二次项的系数化为1；
(2)移项：使方程左边为二次项和一次项 ，
x22xb(b)2(b)2c 2a 2a 2a a
x1 b
b 2 4ac ,
2a
即 (x b )2 2a
b24 a4 2ac
x2
b
b 2 4ac 2a
1
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a0)
的求根公式：
xbb24a (2 b c 4a 0 c) 2a
利用这个公式，我们可以由一元二次