人教版数学九上24.4《弧长和扇形面积》ppt课件
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新人教版九年级数学上册 24.4.(1)弧长和扇形面积 (21张PPT)
3.圆心角为120°,弧长为12π的扇形半径为 A.6 B.9 C.18
4.秋千拉绳长3米,静止时踩板离地面0.5米,某小朋 友荡秋千时,秋千在最高处踩板离地面2米(左右对 称),则该秋千所荡过的圆弧长为 (B )
5.钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,分针针端 转过的弧长是 (B )
3
16 9.一个扇形的半径为8cm，弧长为 cm，则扇形的圆心角 3
为 120
．
10.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙ O,, ⊙ O的半径 为1，则弧AB的长为 .
3
扇形以及扇形的面积
扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形.
练习：口答下列各图中，哪些图形是扇形，为什么？
……
4.半径为R的⊙O中，n°的圆心角所对的扇形面积该如何表示？
n R 2 n R 2 360 360
扇形面积公式：
注: n是该扇形所对的圆心角的度数的 倍数，所以这里不带单位.
1.弧长公式： 2.扇形面积公式：
1.扇形的弧长和面积都由 扇形的半径与扇形的圆心角 决定. 2.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面
4 积S扇形=____. 3
3.已知半径为2cm的扇形，其弧长为
积S扇=
4 cm 2 ． 3
4 ，则这个扇形的面 3
1 4.已知扇形面积为 ，圆心角为60°，则这个扇形的半 3
径R=____ 2．
5.已知扇形面积为3π平方单位，其所在的弧长为2π，则
3 ，扇形所在的圆心角为 这个扇形的半径R=____
2.利用圆的周长及面积公式，推导弧长和扇形面 积的计算公式，加深对“特殊到一般”的数学思 想的认识，发展合情推理的能力；
人教版九年级数学上册《弧长和扇形面积》PPT课件
知1－练
感悟新知
知识点 2 扇形面积公式
知2－讲
同学们已经学习了扇形：由组成圆心角的两条 半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．你 能否类比刚才我们研究弧长公式的方法推导出扇形 面积的计算公式？
感悟新知
思考1：1.半径为R的圆,面积是多少？
2.圆面可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？
3.1°圆心角所对扇形面积是多少？
下面我们就来学习本节内容.
感悟新知
知识点 1 弧长公式
知1－讲
思考：我们知道，弧是圆的一部分吗，弧长就是圆周长 的一部分，想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看 作是多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心 角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？
感悟新知
（1）半径为R的圆，周长是多少？ （2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？
r
圆锥的侧面积与底面积的和叫
做圆锥的全面积(或表面积).
S全=S侧+S底=πrl+πr2
知2－讲
感悟新知
例2 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.
如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2,高为 3.2 m，外围高1.8 m的蒙古包,至少需要多 少平方米的毛毡 (π取3.142，结果取整数)? 解：如图是一个蒙古包的示意图. 根据题意,下部圆柱的底面积为12 m2,高h2= 1.8 m；上部圆锥的高h1=3.2－1.8=1.4(m). 圆柱的底面圆的半径r = 12 1.954（m），
知2－讲
我们已经知道圆锥的侧面展开图是一个扇形，并 且上节课已经学习了扇形的面积公式，那么我们能不 能据此推导出圆锥的侧面积和全面积公式呢？下面我 们一起来看一下.
感悟新知
请推导出圆锥的侧面积公式.
人教版数学九年级上册24.4弧长和扇形面积示范教学课件(共26张PPT)
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
大小不变时，对应的扇形面积与
有关，
越长，面积越大.
②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
二、合作交流，探究新知
问题 扇形的面积与哪些因素有关？
E
A
C
A
O
●
B DF
O
●
B C
圆心角 大小不变时，对应的扇形 面积与 半径有关， 半径 越长，面 积越大.
240 0.62 1 0.3 0.6
360
2
0.24 0.09 3
0.91cm 2 .
A
3
D
E
B
O
C
四、巩固新知
6. 如图，一个边长为 10 cm 的等边三角形模板 ABC 在水平桌面上绕顶
点 C 按顺时针方向旋转到△A‘B’C 的位置，求顶点 A 从开始到结束所
经过的路程为多少.
解：由弧长公式，可得弧
A
B
AB的长
100 °
l 1 0 0 9 0 0 5 0 0 1 5 7 C0(m m ),
O
D
1 8 0
因此所要求的展直长度l = 2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
三、运用新知
例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高 0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
D
圆的 半径 不变时，扇形面积与 圆心角 有关， 圆心角 越大， 面积越大.
总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
二、合作交流，探究新知
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
秋人教版九年级数学上册课件：24.4 弧长和扇形面积(共15张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
巩固训练
5. 如图1-24-49-5，已知扇形AOB的半径为2，圆心角
为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ A ）
A. π-2
巩固训练
9. 如图1-24-49-8，O为半圆的圆心，直径AB=12，C是 半圆上一点，OD⊥AC于点D，OD=3. （1）求AC的长； （2）求图中阴影部分的面积.
解：（1）∵OD⊥AC，∴AD=DC. ∵AO=OB，∴BC=2OD=6. ∵AB是直径，∴∠ACB=90°. ∴AC=
巩固训练
（2）如答图24-49-1，连接OC. ∵OC=OB=BC=6， ∴∠BOC=60°. ∴∠AOC=120°. ∴S阴影=S扇形OAC-S△AOC=
解：（1）半径为24 cm.（2）面积为240π cm2.
变式训练
3. 如图1-24-49-3，PA,PB切⊙O于A，B两点，若 ∠APB=60°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积.
解：阴影部分的面积为
巩固训练
4. 如图1-24-49-4，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半 径为3，∠A=45°，则 的长是（ B ）
拓展提升
12. 如图1-24-49-11，在三角形各顶点作半径为1的圆 （每两个圆都相互外离），则图中三个扇形的面积和为
;在四边形各顶点作半径为1的圆（每两个圆都相互外 离），则图中四个扇形的面积和为π；在2 020边形的 每一个顶点作半径为1的圆（每两个圆都相互外离）， 则2 020边形中扇形的面积和为__1__0_0_9_π___.
人教版九年级数学上册24.4.1弧长和扇形面积(共29张PPT)
8. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC 的中点，将
△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整 个旋转过程中线段OH所扫过的面积为（ C ）
A. 7 7 3 B．4 7 3
38
38
A1
C.
D.
4 3
3
H
C
O1 H1
3. 1°的圆心角所对弧长是多少？ 4. n°的圆心角呢？
半径为R圆的周长为C2R
可以看作是360°圆心角所对的弧长
O· 1°
n°
1
R
1°的圆心角所对弧长是
2R 360
n°的圆心角所对的弧长 l 1 2RnnR
360
180
弧长公式
若设⊙O半径为R， n°圆心角所对弧长l，则
注意：
1 2R 2， 360
圆心角为n°的扇形面积是
S扇形
nR 2 360
.
例题讲解 例1 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径 是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的 面积（精确到0.01m2）.
解：如图，连接OA、OB，作弦 A交BA的⌒B垂于直点平C分．线，垂足为D，
O
D
A
700mm
B
100°R=900mm
700mm
C
D
由上面的弧长公式，可得A⌒B 的长
l1 0 0 9 0 0 5 0 0 1 5 7 0m m .
1 8 0
因此所要求的展直长度
L 2 7 0 0 1 5 7 0 2 9 7 0 m m .
例1、已知：如图，圆环的外圆周长C1=250cm，内圆周 长C2=150cm，求圆环的宽度d (精确到1mm)．
九年级数学上册24.4第1课时弧长和扇形面积数学课件(新版)新人教版
O.
AD
B
C (3)
∴AC＝AO＝OC.
从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚.
有水部分的面积：
S＝S扇形OAB - S ΔOAB
120π 0.62 1 AB OD
360
2
0.12π 1 0.6 3 0.3 2
0.22(m2 )
O
AD
B
C (3)
要点归纳
2.已知半径为2cm的扇形，其弧长为
4 cm 2
扇=
3．
43，则这个扇形的面积S
3.已知4扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S 扇= 3 .
4.如图是圆弧形状的纸扇示意图，纸扇的半径为10cm，
圆心角为120°,你能求出纸扇边沿的长度吗?纸扇和纸扇的 半径构成的面积是多少?
A
交圆O于C.
(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ 阴影部分面积=扇形OAB的面积- △OAB的面积 B
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交
AB于点C,连接AC. ∵ OC＝0.6, DC＝0.3, ∴ OD＝OC- DC＝0.3，
∴ OD＝DC.
又 AD ⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线，
类比学习
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
A
B
O
O
l n R
180
S扇形
=
n R2
360
S扇形
1 lR 2
S扇形
n R
180
R 2
1 2
n R
180
R
1 lR 2
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
人教版九年级数学上册课件：24.4 弧长和扇形面积(共15张PPT)
蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想 圆锥的侧面积和全面积的计算．
形的生日礼帽,如图,圆锥帽底面积半
用毛毡搭建 的面积为_________.
的距离为______.
20
个底面积为
12
m2，高为
3.2
，外围高
的距离为______.
圆1 扇锥1形的.A8母O线Bm的有半多径少的为条1，蒙2它cm们,古都相等包吗？，至少需要多少平方米的毛毡（π取
P
l
r O
A
1．导入新知
圆锥的母线有多少条，它们都相等吗？ 圆锥在展开的过程中，有没有相等关系的量？
P
l
r O
A
1．导入新知
根据下列条件求值（其中 r、h、a 分别是圆锥的底 2．如何计算圆锥的侧面积？
你能利用手中的工具制作一个圆锥形的纸帽吗？ 形的生日礼帽,如图,圆锥帽底面积半
面半径、高线、母线长） ． ∠AOB=120°,求AB的长和扇形
的面积为_________. 142，结果取整数）？
ha
1．圆锥的侧面展开图是什么图形？
3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是（ ） 的面积为_________.
r
2．解决问题 2．通过本节课的学习，学会观察、归纳的学习方法，
培养空间想象能力．
圆锥的母线有多少条，它们都相等吗？
学习重点：
2小红准备自己动手用纸板制作圆锥
（1）a = 2，r = 1，则 h = _______； 142，结果取整数）？
径为9cm,母线长为36cm,请你帮助他
（2）a = 10，h = 8，则 r = _______． 径为9cm,母线长为36cm,请你帮助他
人教版九年级数学上册24.4 弧长和扇形面积课件 (共27张PPT)
1 n 9 ，n°的圆心角对应的圆面积 n 360 40 40 40
360
课堂小结
1. 弧长公式
R . n°
在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所 对的弧长（arclength ）的计算公式为：
nR l 180
A
B O
2. 扇形
由组成圆心角的两条半径和圆心角所 对的弧所围成的图形叫扇形． 3. 扇形面积公式 在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所 对的扇形面积的计算公式为：
解：（1）转动轮转一周，传送带上的物品A 被传送 2 10 20cm ；
20 被传送 cm ； 360 18
（2）转动轮转1°，传送带上的物品A
20 n 被传送 n cm 。 360 18
（3）转动轮转n°，传送带上的物品A
举一反三
（1）弧长公式涉及三个量， 弧长、圆心 角的度数、 弧所在的半径，知道其中两个量， 就可以求第三个量。 （2）当问题涉及多个未知量时，可考虑 用列方程组来求解
【情感态度与价值观】
• 在合作交流中体验成功的快乐。 • 通过本节知识的学习,注重从“特殊到一般”的数 学思用弧长表示扇形面积呢？ • 想方法的渗透和应用,培养学生归纳、推理的能力.
教学重难点
• 对弧长和扇形面积计算公式的灵活运用. • 弧长和扇形面积计算公式的推导.
圆弧（弧）
回顾
弧一般是圆的一 部分，那么你会 求弧的长度吗？
24.4 弧长和扇形面积
新课导入
在田径二百米比赛中，每位运动员 的起跑位置相同吗？
不同
制造弯形管道时，怎样才能精确用料？
700mm
● A
B ●
● C
R=900m 100 m ° O
360
课堂小结
1. 弧长公式
R . n°
在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所 对的弧长（arclength ）的计算公式为：
nR l 180
A
B O
2. 扇形
由组成圆心角的两条半径和圆心角所 对的弧所围成的图形叫扇形． 3. 扇形面积公式 在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所 对的扇形面积的计算公式为：
解：（1）转动轮转一周，传送带上的物品A 被传送 2 10 20cm ；
20 被传送 cm ； 360 18
（2）转动轮转1°，传送带上的物品A
20 n 被传送 n cm 。 360 18
（3）转动轮转n°，传送带上的物品A
举一反三
（1）弧长公式涉及三个量， 弧长、圆心 角的度数、 弧所在的半径，知道其中两个量， 就可以求第三个量。 （2）当问题涉及多个未知量时，可考虑 用列方程组来求解
【情感态度与价值观】
• 在合作交流中体验成功的快乐。 • 通过本节知识的学习,注重从“特殊到一般”的数 学思用弧长表示扇形面积呢？ • 想方法的渗透和应用,培养学生归纳、推理的能力.
教学重难点
• 对弧长和扇形面积计算公式的灵活运用. • 弧长和扇形面积计算公式的推导.
圆弧（弧）
回顾
弧一般是圆的一 部分，那么你会 求弧的长度吗？
24.4 弧长和扇形面积
新课导入
在田径二百米比赛中，每位运动员 的起跑位置相同吗？
不同
制造弯形管道时，怎样才能精确用料？
700mm
● A
B ●
● C
R=900m 100 m ° O
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cm2 ,弧长为８∏cm,则扇形的半
240 度
2
9.已知扇形的面积是12
侧面积是 2∏
cm
,半径是8cm,则扇形周长是 19 ．
3∏
10.圆锥的底面半径是1cm,母线是2cm,则高是 ，全面积是
cm2 ,
3
cm,
例1：已知一个圆锥的轴截面 △ABC是等边三角形，它的表面 2 积为75∏ cm ,求这个圆锥的底面 A 半径和母线的长。
的弦长为( C )
A.2 3cm
B.3 2cm C.6 3cm D.6 2cm
2.在⊙O中, AB 所对的圆心角为60°,且弦AB=5cm,则 AB 的长为( ) A
5 A. cm 3
5 B. cm 6
5 3 C. cm 3
5 3 D. cm 6
课前热身
3.如果扇形的半径是6，所含的弧长是5π，那么 扇形的面积是 ( C ) A.５π B.１０π C.１５π D.３０π 4.如图，正方形的边长为a，分别以两个对角顶点 为圆心，a为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 ( B ) A.4-2π B.2π －４ C.π －2 D.２（ 180 3
故选B.
思考题:、如图，圆锥的底面半径为1，母线长 为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿 圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线 AC上，问它爬行的最短路线是多少？
A
B
C
B O C
做一做
生活中的圆锥侧面积计算
• 已知圆锥的底面半径为8cm, 母线长20cm, 求它的侧面展开图的圆心角和表面积.
练习：一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆 心角为2400的扇形，求这个圆锥的高。
例2:如图,水平放置的圆柱形排水管的截面半径 为12cm,截面中有水部分弓形的高为6cm,求截面 中有水部分弓形的面积.
5.一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为６cm,母线 长５cm,则它的侧面积是（ D ）
cm2 Ｂ.30∏ cm2 Ｃ.28∏ cm2Ｄ.15∏ cm2 Ａ.66∏
6.在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 4∏cm . 7.扇形半径为12,面积为9∏,它的圆心角等于 22.5 度 8.已知扇形的面积为24∏ 径是 6 cm,圆心角是
4
4
典型例题解析
【例4】(2003年· 山东省烟台市)一块等边三角形的 木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚(如图)，那 么B点从开始至结束所走过的路径长度为 ( B )
A. 3 2
C.４
4 B. 3
D.２＋
3 2
【解析】这个题目有些同学一看，认为没有选项， 他说从B到B，长度为3.其实不然，从BBB这 是一个两次旋转的过程，相当于以C为中心，B绕 点C旋转120°，再绕点A同方向旋转120°，因 此B所走过的路径长是两段圆弧长，即
O
A B 6cm
典型例题解析
【例3】(2003年· 吉林省)圆心角都是90°的扇形 OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连结AC、 BD (1)求证：△AOC≌△BOD； (2)若OA=3 cm，OC=1 cm，求阴影部分的面积.
【解析】(1)同圆中的半径相等，即OA=OB， OC=OD.再由∠AOB=∠COD=90°得∠1=∠2， 所以△AOC≌△BOD (2)阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用 面积公式求解，通常有两条思路，一是转化成规 则图形面积的和、差；二是进行图形的割补.此 题是利用图形的割补，把图形△OAC放到 △OBD的位置(因为△AOC≌△BOD)，则阴影 部分的面积为圆环的面积 1 1 2-OC2)= π (9-1)=２π S阴=S扇AOB-S扇COD= π (OA
n r 1.弧长公式: l 180 n r 2 2.扇形面积公式: S 360
3.圆锥侧面积公式:
S圆锥侧 rl
1 lr 2
2
4.圆锥全面积公式:
S圆锥全 rl r
r 5.圆锥侧面展开图扇形圆心角公式: 360 l
1.已知弧长为4∏cm,它所对的圆心角为120°,那么它所对