高中数学平面向量测试题(2.42.5 数量积、应用举例)

A B

高中数学平面向量测试题（2.42.5 数量积、应用举例）

(2.4～2.5 数量积、应用举例)

A 组

一、选择题:共6小题

1、(易数量积)平面向量a 与b 的夹角为60,(1,0)=a ,1=b ,则2+a b =( ) A.7 B.7 C.4 D.12

2、(易数量积)已知正ABC △的边长为1,且BC =a ,CA =b , 则-a b = ( ) A.3

B 3

C.2

D.1

3、(易投影概念)已知a =5,b =3,且12?=-a b ,则向量a 在向量b 上的投影等于( )

125 B.4 C.125

- D.4- 4、(中应用举例)设P 是曲线1

y x

=上一点,点P 关于直线y x =的对称点为Q ,点O 为坐

标原点,则OP OQ ?=( )

A.0

B.1

C.2

D.3

5、(中数量积)在ABC △中,BC =a ,CA =b ,AB =c ,且???a b =b c =c a ,则ABC △的形状是( )

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.正三角形 6、(中应用举例)已知偶函数()f x 满足:()(2)f x f x =+,且当[0,1]x ∈时,()sin f x x =,其图象与直线1

y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为12,P P ,则1324

PP P P ?等于( )

A.2

B.4

C.8

D.16

二、填空题:共3小题

7、(易数量积)如图,在边长为1的棱形ABCD 中,22

AC BD += .

8、(中数量积)已知a (2,1)=,b (,1)=λ,λ∈R ,a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是 .

9、(中数量积)在△ABC 中,3,2,2

AB BC A π

=∠=

,AC BC BA ≥-恒成立,则实数t 的取值范围是 . 三、解答题:共2小题

10、(中应用举例)设集合{=D 平面向量},定义在D 上的映射f ,满足对任意x D ∈,均有

f (x ) =λx (λ∈R 且0λ≠).若︱a ︱=︱b ︱且a 、b 不共线,则(f ( a )

-f (b ))?(a+b )= ;

若)8,4(),6,3(),2,1(C B A ,且()f BC AB =,则λ . 11、(中数量积)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为90.如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动,若

OC xOA yOB =+,其中,x y ∈R ,则xy 的范围是________.

B 组

一、选择题:共6小题

1、(中数量积)已知平面向量11(,)x y =a ,22(,)x y =b ,若||2=a ,||3=b ,6?=-a b ,则

x y x y ++的值为 ( )

A.2-

B.2

C.23-

D.23

2、(中数量积)在平面直角坐标系xOy 中作矩形OABC ,已知3,4==AB OA ,则AC → ·OB →

的值为( )

A.0

B.7

C.25

D.－7

3、已知非零向量,a b 若1==a b ,且⊥a b ,又知(23)+⊥a b (k 4)-a b ,则实数k 的值为

( )

A.6

B.3

C.－3

D.－6

4、(中数量积)已知向量y x b a ,,,满足1||||==b a ,0=?b a ,且2y =-+??=-?

a x y

b x ,则|

y ||x |+等于

( )

+2 D.5 5、(中应用举例)如图,O,A,B 是平面上的三点,向量OA =a ,

OB =b ,设P 为线段AB 的垂直平分线CP 上任意一点,

向量OP =p ,若a =4,b =2,则()?-p a b =( ) A.8

B.6

C.4

D.0

6、(中应用举例)设向量a 与b 的夹角为θ,定义a 与b 的“向量积”:?a b 是一个向量,它的模

?=?a b a b

sin θ?,若(1)

=-a ,=b ,则?

=a b ( ).

C.2

D.4

二、填空题:共3小题

7、(中数量积)已知向量24,11()(),,a =b =.若向量()λ⊥b a +b ,则实数λ的值是

8、(中应用举例)设向量,a b 满足:||3=a ,||4=b ,0?=a b .以,,+a b a b 为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为个.

9、(中数量积)在直角坐标系xOy 中,,i j 分别是与x 轴,y 轴平行的单位向量,若在

Rt ABC △中,AB =i +j ,AC =2m +i j ,则实数m = .

三、解答题:共2小题

10、(中应用举例)已知a =(1,0),b =(0,1),若向量c =(,)m n 满足()()-?-=a c b c 0, 试求点(,)m n 到直线10x y ++=的距离的最小值.

11、(中数量积)如图4,已知点)1 , 1(A 和单位圆上半部分上的动点B .

(1)若⊥,求向量; (2)求||OB OA +的最大值.

C 组

解答题:共2小题

1、(难应用举例)已知向量(2,1)AB k =--,(1,)AC k =. (1)若ABC △为直角三角形,求k 值;

(2)若ABC △为等腰直角三角形,求k 值.

2、(难数量积)在平面直角坐标系中,已知向量(1,2),a =-又点

(8,0),(,),A B n t (sin ,)C k t θ

(0)2

θπ

≤≤.

(1)若AB a ⊥,且5(AB OA O =为坐标原点),求向量OB ;

(2)若向量AC 与向量a 共线,当4k >,且sin t θ取最大值4时,求OA OC ?.

参考答案 A 组

1. B 由已知1=a ,2

2441411cos6047+=+?+=+???+=a b a a b b ,

∴2+=a b 2.A 由题意知a 与b 的夹角为18060120-=,且1==a b , ∴1cos1202

?=-

a b =a b

,∴2

2223-=-??-=a b a +b a b =a b 3.D 向量a 在向量b 上的投影等于12

cos 43

θ?-?=?

==-?a b a a a b . 4.C 设111(,

)P x x ,则111(,)Q x x ,11111111

1111

(,)(,)2OP OQ x x x x x x x x ?=?=?+?=. 5.D 因,,a b c 均为非零向量,且??a b =b c ,得()0()?-=?⊥-b a c b a c , 又()?-a +b +c =0b =a +c ,∴22[()]()0-?-=?a +c a c a =c ,得a =c , 同理b =a ,∴a =b =c ,得ABC △为正三角形.

6.B 依题意1234,,,P P P P 四点共线,13PP 与24P P 同向,且1P 与3P ,2P 与4P 的横坐标都相差一

个周期,所以13||2PP =,24||2P P =,13241324||||4PP P P PP P P ?==. 7.4 AC AD AB =+,BD AD AB =-,

则22

AC BD +=2222()()AC BD AD AB AD AB +=++-=22

2()AD AB + 又1AD AB ==,∴2

2(11)4AC BD +=?+=. 8.1

{2λλ>-

,且2}λ≠ ∵cos θ=??a b a b

=.因θ为锐角,有0cos 1θ<<,

∴01<≠

∴210

21λ+>???λ+≠??解得122

?λ>-???λ≠?. 9.1

(,][1,)2

-∞+∞ 由题意得1AC =,22BA tBC AC BA tBC AC -≥?-≥,

∴2

2BA tBA BC t

BC AC -?+

≥,得222322212

t t -?+?≥, 得1

t ≤

或1t ≥. 10.0;2 ∵︱a ︱=︱b ︱且a 、b 不共线,∴(f ( a ) -f (b ))?(a+b )= (λa －λb )?(a+b ) =λ(2

-a b )=0;又(1,2)BC =,有()f BC =(1,2)λ,(2,4)AB =,∴2λ=. 11.1[0,]2

由222

222OC xOA yOB OC x OA y OB xyOA OB =+?=++?,

又1,0OC OA OB OA OB ===?=,∴2

12x y xy =+≥,得12xy ≤

, 而点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动,得,[0,1]x y ∈,于是1

xy ≤≤.

B 组

1.C 设,a b 的夹角为θ,则cos 6cos 1,θθ?==-?=-a b a b ∴180θ=?.

即a,b 共线且反向,∴23-

a =b,121222,,33

x x y y =-=-∴112223x y x y +=-+.

2.D 2

()()347AC OB OC OA OC OA OC OA ?=-?+=-=-=-. 3.A (23)+?a b (k 4)-a b =02k ?2

a 8-?a

b +3k ?a b

12-b =0,∴

6k =.

4.B 由所给的方程组解得2???x =a +b y =a +b

,==x

==y |y ||x |++5.B 由BP AP =,知-=-p b p a ,∴2

-=-p b p a ,222-?+=p p b b

222-?+p p a a ,得222216412?-?=-=-=p a p b a b ,∴()6?

-=p a b .

6.C

∵cos θ=??a b a b

=,(0,)θ∈π,∴1

sin 2

θ=,

∴?=?a b a b sin θ?1

2222

=??=. 7.1

λa +b =(21,41)λλ++,()=λ?b a +b

1(21)1(41)0λλ?++?+=. ∴1

λ?=-.

8.4 可得5+=

=a b ,设该三角形内切圆的半径为r ,

则(4)(3)51r r r -+-=?=,

∴对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于圆的位置稍作移动,则能实现4个交点,但不能得到5个以上的交点.

9.－2或0 把AB 、AC 平移,使得点A 与原点重合,则(1,1)B 、(2,)C m ,画图可知

90B ∠=或90A ∠=.当90B ∠=时,0AB BC ?=,∴(1,1)(21,1)0m ?--=,得

0m =;

当90A ∠=时,0AB AC ?=,∴(1,1)(2,)0m ?=,得2m =-.

10.解:将c =(,)m n ,代入()()-?-=a c b c 0得(1)(1)0m m n n ----=,

∴2

111()()2

2m n -+-=

,它表示以11

(,)22

为圆心

,2为半径的圆.

∵圆心11(,)22到直线10x y ++=

的距离d =

=∴点(,)m n 到直线10x y ++=

的距离的最小值为d r -=

=. 11.解:(1)依题意,)sin , (cos θθB ,0θ≤≤π(不含1个或2个端点也对)

)1 , 1(=,)sin , (cos θθ= (写出1个即可),

因为⊥,所以0=?,即0sin cos =+θθ, 解得4

θ3π

,所以)22 , 22(-=. (2))sin 1 , cos 1(θθ++=+, 则22)sin 1(cos 1(||θ+++=

+θ)OB OA )cos (sin 23θθ++=,

∴2

32(sin cos )OA OB θθ+=++,

令sin cos t θθ=+,则2

1sin

22t θ=+≤,

即t ≤

∴2

31)OA OB +≤+=+,有21OA OB +≤

当22θπ=

,即4

=时,||OB OA +1.

C 组

1.(1)(2,1)AB k =--,(1,)(1,1)AC k BC AC AB k k =?=-=-+ ①若90A ∠=,则AB ⊥AC ?(2,1)(1,)0k k --?=,∴1k =;

②若90B ∠=,则AB ⊥BC ?(2,1)(1,1)0k k k --?-+=,得2

230k k -+=无解;

③若90C ∠=,则AC ⊥BC ?(1,)(1,1)0k k k ?-+=,得2

210k k +-=,

∴1k =-±

综上所述,当1k =时,△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形;当1k =-±,

ABC △是以C 为直角顶点的直角三角形.

(2)①当1k =时,(1,1)AB =-,(1,1)AC =?AB =2AC =

②当1k =-时,(1,12)AC =-,BC =(2-,

得4AC =-8BC =-AC ≠BC ;

③当1k =-,(1,12)AC =-,BC =(2--,

得4AC =+8BC =+AC ≠BC ;

综上所述,当1k =时,△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形.

2.解:(1)可得(8,)AB n t =-,∵AB a ⊥,∴(8,)(1,2)0AB a n t ?=-?-=, 得28n t =+.则(2,)AB t t =,又5,AB OA =8OA =.

∴2

(2)564t t +=?,解得8t =±,当8t =时,24n =;当8t =-时,8n =-. ∴(24,8)OB =或(8,8)OB =--.

(2)∵向量AC 与向量a 共线,∴2sin 16t k θ=-+,

2432

sin (2sin 16)sin 2(sin )t k k k k

θθθθ=-+=--+.

∵4k >,∴401k <<,故当4sin k θ=时,sin t θ取最大值32k ,有32

4k =,得8k =.

这时,1

sin 2

θ=,8k =,sin 4t θ=,得8t =,则(4,8)OC =.

∴(8,0)(4,8)32OA OC ?=?=.

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