数学史上的三大数学危机
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17
3）数系的扩张——危机的解决 ¡数系扩张为实数系以后，第一次数学危
机就彻底解决了。 ¡因为数的范围扩充以后，“万物皆数”
的命题就是正确的了；不能表成整数比 的数，即无理数，也是实数系中的数了。
18
二、第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积分 的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉 斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由 牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是 对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。
C1
1
11
下边证明，当 c2 2时，c 不能表成整数比。
如（果不不妨然 设，n 有是两既个约正分整数数即m(m和, nn) 使1）c。两mn端
m
平方得 2
n2 m2
，即
2m2
n2。
由此知 n2 是偶数。由于偶数的平方是偶
数，奇数的平方是奇数，∴ n 是偶数。
12
因 n “既约”，m 不能再是偶数，于是 m 是奇数。
a
d
t
a mt
d nt
5
实例
① 形数（表示图形所用点的个数）
6
三边形数 四边形数 五边形数
六边形数
3
4
5
6
6
9
12
15
10
16
22
28
15
25
35
45
1 3 (2n 1) n2
1 5 (4n 3) 2n2 n
1 2 n n(n 1) 2
1 4 (3n 2) n(3n 2) 2
1 g (t) 2
也变成无穷小，因而上式右端就可以认为
是 gt 0 ，这就是物体在 t0 时的瞬时速度，
它是两个无穷小之比。
牛顿的这一方法很好用，解决了大量过 去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严 格，遭到责难。
22
2）贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的 理论。
贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，究竟是 不是0？
9
毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和 谐在于数”，神是以数的规律创造世界 的。
“万物皆数”学说产生了很大的影响。
10
3. 2的发现和危机的产生
1）一个不能表成整数比的数
根据毕达哥拉斯定理，边长为1的正方形，其对
角线长度若记为 c ，则 c2 12 12 2 ，推出
c2 2
但 c 不能表成整数比。
24
3）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无
穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛 顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清 “无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于 它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。 特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显 示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们 不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的 脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。”
有公式 S(t) 1 gt ，2 其中 g 是固定的重力加速度。
2
我们要求物体在t 0
的瞬时速度，先求S
t
。
S
S (t1)
S (t0 )
源自文库
1 2
gt12
1 2
gt02
1 2
g[(t0
t ) 2
t02 ]
1 2
g[2t0t
(t)2 ]
∴
S t
gt0
1 2
g(t)
（*）
21
当 t 变成无穷小时，右端的
相传“哲学”（希腊原词
意为 “智力爱好”）和“数学”（希腊原词 意为“可学到的知识”） 这两个词是毕达哥拉斯本人所创。
4
2.“万物皆数”学说
①数，是世界的法则
毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正 整数，同时还包含它们的比，即正分数 n 。
m
②任意两条线段 a、d 都是可公度的
“可公度的”，意即有公共的度量单位 t 。
7
② 产生谐音的各个弦的长度成小整数比 绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数
比，就会发出谐音。例如，1︰2时短弦的音高 8度，2︰3时短弦音高5度，3︰4时短弦音高4 度；当三根弦的长度之比为3︰4︰6时，就得 到谐音。
8
③同名正多边形覆盖平面 只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地
放6个正三角形，或者4个正方形，或者3个正六边 形，如图：
14
3）危机产生，封锁消息
希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。 一个正方形的对角线与其 一边的长度是不可公度的
希帕索斯 (Hippasus)
15
4. 无理数与数系的扩张——危机的解决 1）无理数
像 c2 2 这样的数 c ，和其它一些不
能表成整数比的数，称为无理数。
16
2）数轴
① 古代观点：数轴↔有理数 ② 现代观点：数轴↔实数
S t
gt0
1 2
g(t)
（*）
如果是0，上式左端当t 成无穷小后分母为0，就
没有意义了。如果不是0，上式右端的1 g(t) 就不能
2
任意去掉。
23
贝克莱还讽刺挖苦说：即然 t 和 S 都变 成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既 不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂” 了。
这就是著名的“贝克莱悖论”。 对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家 提出的，但是，贝克莱的质问是击中要害的。
m
这样 2m 2 n2 的左端，因 m 是奇数而不能被4整除， 右端却因n 是偶数而可以被4整除。这个矛盾说明开始
的假设c n 是错误的。从而c 不能表成两个整数的比。 m
证毕。
[注]：这是“反证法”的开始。
13
2）不可公度的线段
设正方形的边长为 a ，对角线长为 d ，如图：
da
a 由1）知，a 与 d 就是不可公度线段。
19
1．危机的引发 1）牛顿的“无穷小”
牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴 含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。 我们来看一个例子。
微积分的一个来源，是想求运动物体在某一 时刻的瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间 内的平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。
20
例如，设自由落体在时间 t 下落的距离为S(t) ，
2
一、 2 与第一次数学危机
1.毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯Pythagoras (约前570年— 前500年）是公元前500多年古希腊的哲学家、数学 家、天文学家。
毕达哥拉斯(公元 前570年～公元前 500年)
3
毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织， 也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和 理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德 的思想产生很大影响。
朱业成
1
历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大 的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战， 危机的解决就意味着进步。所以，危机往往 是数学发展的先导。数学发展史上有三次数 学危机。每一次数学危机，都是数学的根基 受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机， 引发了数学上的三次思想解放，大大推动了 数学科学的发展。
3）数系的扩张——危机的解决 ¡数系扩张为实数系以后，第一次数学危
机就彻底解决了。 ¡因为数的范围扩充以后，“万物皆数”
的命题就是正确的了；不能表成整数比 的数，即无理数，也是实数系中的数了。
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二、第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积分 的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉 斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由 牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是 对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。
C1
1
11
下边证明，当 c2 2时，c 不能表成整数比。
如（果不不妨然 设，n 有是两既个约正分整数数即m(m和, nn) 使1）c。两mn端
m
平方得 2
n2 m2
，即
2m2
n2。
由此知 n2 是偶数。由于偶数的平方是偶
数，奇数的平方是奇数，∴ n 是偶数。
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因 n “既约”，m 不能再是偶数，于是 m 是奇数。
a
d
t
a mt
d nt
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实例
① 形数（表示图形所用点的个数）
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三边形数 四边形数 五边形数
六边形数
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1 3 (2n 1) n2
1 5 (4n 3) 2n2 n
1 2 n n(n 1) 2
1 4 (3n 2) n(3n 2) 2
1 g (t) 2
也变成无穷小，因而上式右端就可以认为
是 gt 0 ，这就是物体在 t0 时的瞬时速度，
它是两个无穷小之比。
牛顿的这一方法很好用，解决了大量过 去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严 格，遭到责难。
22
2）贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的 理论。
贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，究竟是 不是0？
9
毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和 谐在于数”，神是以数的规律创造世界 的。
“万物皆数”学说产生了很大的影响。
10
3. 2的发现和危机的产生
1）一个不能表成整数比的数
根据毕达哥拉斯定理，边长为1的正方形，其对
角线长度若记为 c ，则 c2 12 12 2 ，推出
c2 2
但 c 不能表成整数比。
24
3）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无
穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛 顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清 “无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于 它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。 特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显 示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们 不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的 脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。”
有公式 S(t) 1 gt ，2 其中 g 是固定的重力加速度。
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我们要求物体在t 0
的瞬时速度，先求S
t
。
S
S (t1)
S (t0 )
源自文库
1 2
gt12
1 2
gt02
1 2
g[(t0
t ) 2
t02 ]
1 2
g[2t0t
(t)2 ]
∴
S t
gt0
1 2
g(t)
（*）
21
当 t 变成无穷小时，右端的
相传“哲学”（希腊原词
意为 “智力爱好”）和“数学”（希腊原词 意为“可学到的知识”） 这两个词是毕达哥拉斯本人所创。
4
2.“万物皆数”学说
①数，是世界的法则
毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正 整数，同时还包含它们的比，即正分数 n 。
m
②任意两条线段 a、d 都是可公度的
“可公度的”，意即有公共的度量单位 t 。
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② 产生谐音的各个弦的长度成小整数比 绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数
比，就会发出谐音。例如，1︰2时短弦的音高 8度，2︰3时短弦音高5度，3︰4时短弦音高4 度；当三根弦的长度之比为3︰4︰6时，就得 到谐音。
8
③同名正多边形覆盖平面 只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地
放6个正三角形，或者4个正方形，或者3个正六边 形，如图：
14
3）危机产生，封锁消息
希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。 一个正方形的对角线与其 一边的长度是不可公度的
希帕索斯 (Hippasus)
15
4. 无理数与数系的扩张——危机的解决 1）无理数
像 c2 2 这样的数 c ，和其它一些不
能表成整数比的数，称为无理数。
16
2）数轴
① 古代观点：数轴↔有理数 ② 现代观点：数轴↔实数
S t
gt0
1 2
g(t)
（*）
如果是0，上式左端当t 成无穷小后分母为0，就
没有意义了。如果不是0，上式右端的1 g(t) 就不能
2
任意去掉。
23
贝克莱还讽刺挖苦说：即然 t 和 S 都变 成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既 不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂” 了。
这就是著名的“贝克莱悖论”。 对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家 提出的，但是，贝克莱的质问是击中要害的。
m
这样 2m 2 n2 的左端，因 m 是奇数而不能被4整除， 右端却因n 是偶数而可以被4整除。这个矛盾说明开始
的假设c n 是错误的。从而c 不能表成两个整数的比。 m
证毕。
[注]：这是“反证法”的开始。
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2）不可公度的线段
设正方形的边长为 a ，对角线长为 d ，如图：
da
a 由1）知，a 与 d 就是不可公度线段。
19
1．危机的引发 1）牛顿的“无穷小”
牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴 含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。 我们来看一个例子。
微积分的一个来源，是想求运动物体在某一 时刻的瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间 内的平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。
20
例如，设自由落体在时间 t 下落的距离为S(t) ，
2
一、 2 与第一次数学危机
1.毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯Pythagoras (约前570年— 前500年）是公元前500多年古希腊的哲学家、数学 家、天文学家。
毕达哥拉斯(公元 前570年～公元前 500年)
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毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织， 也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和 理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德 的思想产生很大影响。
朱业成
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历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大 的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战， 危机的解决就意味着进步。所以，危机往往 是数学发展的先导。数学发展史上有三次数 学危机。每一次数学危机，都是数学的根基 受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机， 引发了数学上的三次思想解放，大大推动了 数学科学的发展。