子博弈精炼Nash均衡

-400,-400 0,200
-400,-400 0， 0
200,0 0,200
200,0 0， 0
• 该博弈存在三个Nash均衡——(开发，(不开发， 开发))、(开发，(不开发，不开发))和(不开发， (开发，开发))，但这三个均衡是否都是合理的 呢？
• 在“新产品开发博弈”中，如果市场需求小， 那么就只能一个企业开发，另一个企业不开发， 问题在于谁选择开发，谁选择不开发。
Nash均衡： (开发，(开发，开发))和(开发，(开发，不开发))
企业1
开发
x1 不 开 发
企业2 x2
x3 企 业 2
开发
不开发 开发 不开发
x4
x5 x6
x7
3 0 0 ,3 0 0 8 0 0 ,0
0 ,8 0 0 0 ,0
• 虽然(开发， (开发，不开 发))是Nash均 衡，但并不 是子博弈精 炼Nash均衡。
开 发 企 业 1
不 开 发
300， 300 0， 800
300， 300 0， 0
800， 0 0， 800
800， 0 0， 0
• 博弈存在两个Nash均衡——(开发，(开发， 开发))和(开发，(开发，不开发))，其中 均衡(开发，(开发，不开发))要求企业2采 取战略“企业1开发自己就开发，企业1 不开发自己也不开发”。
• 作为求解子博弈精炼Nash均衡的方法，逆 推归纳法可以将Nash均衡中的“不可置信 的威胁”剔除掉。
例：
1
C
2
A x1
x2
D
B
1 ,2
0 ,0
2 ,1
A 1
B
2
C
D
0, 0
2, 1
1, 2
1, 2
• 战略组合(A,D)和(B,C)都是Nash均衡，但 是，只有(A,D)为子博弈精炼Nash均衡。
子博弈精炼Nash均衡
主要内容： 一、子博弈精炼Nash均衡 二、子博弈精炼Nash均衡的求解 三、承诺行动与要挟诉讼
一、子博弈精炼Nash均衡
• 博弈论的研究目的是寻找博弈的解。在静 态博弈中我们将Nash均衡作为博弈的解， 但纳什均衡作为博弈的解面临一个很大的 问题——多重性问题。
• 当我们将Nash均衡作为扩展式博弈的解时， 同样也会遇到Nash均衡的多重性问题，而 且在多个Nash均衡中有些是明显不合理的。
(2)子博弈 ( x 3 )
例2：找出下列博弈的子博弈
1
1
E x7
3 ,0
C
2
A x1 B
x2
x4
D 2 ,1
x3 F
1 ,1 x 5
x6
1 ,2
该博弈存在3个子博弈：除了原博弈自己以 外，还存在下面两个子博弈。
2
x2
C
D
1 x3
x5
1 ,1EFra bibliotekFx7
3 ,0
x6
1 ,2
1 x3
E
F
x7
3 ,0
新产品开发博弈
购买
企业2 x0
不购买
企业1
开发
x1
不开发
企业2 开发
x2
x3
不开发 开发
企业2 不开发
开发
企业1 x4 不开发
企业2 开发
x5
x6
不开发 开发
企业2 不开发
-300,-400 -500,200 300,0
-500,0
• 但是，如果在博弈开始之前，企业2采取某种 行动使自己的支付(或行动空间)发生改变，那 么原来不可置信的威胁就有可能变得可信。
新产品开发博弈的再考察
• 假设企业投入的2000万元中，有1000万元用来 购买研发设备(即固定成本)，另外1000万元用 来支付新产品开发中的人力、原材料等投入(即 可变成本)。
子博弈的概念
• 子博弈：是原博弈的一部分，它始于原博 弈中一个单结信息集中的决策结x，并由决 策结x及其后续结共同组成。一般用 ( x i )表 示博弈树中始于决策结xi的一个子博弈。
• 注意：1）子博弈可以作为一个独立的博弈 进行分析，并且与原博弈具有相同的信息 结构；2）原博弈可以作为自身的一个子博 弈；
• 因为在(B,C)中，包含了参与人2不可置信 的威胁：当参与人1在决策结x1选择A时， 参与人2在决策结选择C。事实上，只要博 弈达到决策结x2，参与人2的理性选择就是 D。
三、承诺行动与要挟诉讼
• 前面分析的“新产品开发”博弈提到，当市场 需求小时，Nash均衡(不开发，(开发，开发)) 由于含有不可置信的威胁(即企业1选择“开发” 时，企业2仍选择“开发”)，而不是子博弈精 炼Nash均衡。
• 解决Nash均衡多重性问题的一种主要方法 就是精炼的方法，即在Nash均衡的基础上， 通过定义更加合理的博弈解并剔除不合理 的均衡。
• Selten在1965年提出的“子博弈精炼Nash均 衡”(subgame perfect Nash equlibrium)的概 念，就是这样一种新的纳什均衡解，我们 首先给出子博弈的定义。
• 由于参与人i选择行动L时使博弈进入了子 博弈Γ(xi+1) ，因此，参与人i选择行动L的结 果就是得到子博弈Γ(xi+1) 。
• 同样，参与人i选择行动R的结果就是得到 子博弈Γ(xi+2) 。
• 所以，参与人i在信息集Ii ({xi})上的最优选 择，取决于参与人i在信息集Ii ({xi})上可能 采取的行动所导致的各个子博弈。
• 在市场需求小的“新产品开发博弈”中， (开发，(不开发，开发))为子博弈精炼Nas h均衡，该均衡不仅在均衡路x径1 x2 x5 上而且在任一非均衡路径上，都能给出参 与人的最优决策。
• Nash均衡(开发，(不开发，不开发))虽然 在均衡路径 x1 x2 x5上给出了参与人的 最优决策，但却包含了参与人在非均衡路 径上的不合理选择：当企业1选择“不开 发”时，企业2也选择“不开发”。
市场开发博弈——市场需求小
子博弈精炼纳什均衡的理解
• 只有当一个战略规定的行动在所有可能 的情况下都为最优时，它才是一个合理 的、可置信的战略。
• 子博弈精炼纳什均衡就是要剔除那些只 在特定情况下合理而在其他情况下并不 合理的行动规则。
二、子博弈精炼Nash均衡的求解
• 逆推归纳法是最常用的求解子博弈精炼 Nash均衡的方法。
• 假设企业提前购买研发设备(即在决定是否开发 之前就购买)，可得到一定的优惠，只需900万 元即可。但是如果企业购买了设备而决定“不 开发”，那么所购买的研发设备就只能当“废 品”处理，收回400万元。
考察如下博弈情形：
• 企业1先选择是否开发，企业2观测到企 业1的决策后选择是否开发，但在企业1 决策之前，企业2可以决定是否提前购买 研发设备。
• 再求解子博弈Γ(x2) ，容易得到博弈的结果 为(1,1)(即参与人2选择D)；
• 最后求解原博弈即子博弈Γ(x1) ，得到博弈 的结果为(2,1) (即参与人1选择B)。
一般情形：
i
L
xi
R
j
L xi1 R
j
L xi2 R
• 参与人i在信息集Ii ({xi})选择行动L还是行 动R，取决于选择行动L和行动R所引致的 后续结果。
市场开发博弈——市场需求大
Nash均衡：(开发，(不开发，开发))、(开发，(不开发，不 开发))、(不开发，(开发，开发))
企业1
开发
x1
不开发
企业2 开发
x2 不开发
x3 企 业 2
开发
不开发
x4
-4 0 0 ,-4 0 0
x5
2 0 0 ,0
x6
0 ,2 0 0
x7
0 ,0
• 虽然(不开 发，(开发， 开发))和 (开发，(不 开发，不 开发))是Na sh均衡， 但并不是 子博弈精 炼纳什均 衡。
x9
4,1
• 由于子博弈精炼Nash均衡在任一决策结上 都能给出最优决策，这也使得子博弈精炼 纳什均衡不仅在均衡路径(即均衡战略组合 所对应的路径)上给出参与人的最优选择， 而且在非均衡路径(即除均衡路径以外的其 它路径)上也能给出参与人的最优选择。
• 所以，子博弈精炼Nash均衡不会含有参与 人在博弈进程中不合理的、不可置信的行 动。这就是子博弈精炼Nash均衡与Nash均 衡的实质性区别。
• 这意味着，参与人i在信息集Ii ({xi})上的最 优选择，一定是使博弈进入能给自己带来
最大支付的子博弈。
• 因此，为了确定参与人i在信息集Ii ({xi})上 的选择，就必须先求解参与人i在信息集Ii ({xi})上可能采取的行动所导致的各个子博 弈。
• 由以上分析可得求解有限扩展式博弈的 一般步骤：
• 对于先行动的企业1来讲，只要自己选择 “开发”，理性的企业2就只会选择“不 开发” ，所以，均衡(不开发，(开发，开 发))是不合理的。
• 对于企业2来讲，企业1开发自己当然不能 开发，如果企业1不开发自己显然应该开 发。均衡(开发，(不开发，不开发))也是不 合理的。因此，合理的Nash均衡是(开发， (不开发，开发))。
• 逆推归纳法对于完美信息(perfect information)博弈问题尤为适用，但在有些情 形下，对于不完美信息博弈，也能运用 逆推归纳法进行求解。
例：
1
1
E 3 ,0 x 7
C
2
A x1 B
x2
x4
D 2 ,1
x3 F
1 ,1 x 5
1
x
,2
6
由以上分析可以得到博弈的求解过程：
• 首先求解博弈树中最底层的子博弈Γ(x3)， 得到子博弈Γ(x3)的结果为(3,0) (即参与人1 选择E)；