衡水中学2018-2020年月考模拟考好题分类集锦：导数与应用(附答案+全解全析)
衡水中学好题分类集锦之：导数及应用
一、选择题
1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】
不等式()22ln 40ax a x x a ->-->解集中有且仅含有两个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()ln3,2
B ．[)2ln3,2-
C ．(]0,2ln3-
D ．()0,2ln3-
2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调考试】
已知函数()y f x =的导函数为()f x '，满足R x ∀∈，()()f x f x '>且(1)e f =，则不等式(ln )f x x >的解集为( ) A ．(e,)+∞
B ．(1,)+∞
C ．(0,e)
D ．(0,1)
3. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】
已知函数()()()ln 2240f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数1x ，2x 使得()10f x >，且
()20f x >，则a 的取值范围是（ ）
A ．()ln3,2
B ．[
)0,2ln3- C ．()0,2ln3-
D ．(]
0,2ln3-
4.【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】
已知e 为自然对数的底数，若对任意的1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，总存在唯一的()0,y ∈+∞，使得ln ln 1y y x x a y
+++=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．(]
,0-∞ C ．2,e e ⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．(],1-∞- 5. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】
已知函数()()()ln ,23f x x g x m x n ==++，若对任意的()0,x ∈+∞,总有()()f x g x ≤恒成立，记
()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）
A ．1
B ．
1
e C ．21
e
D 6. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】
已知函数，若
存在三个零点，则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】
已知0x 是方程222ln 0x x e x +=的实根，则下列关于实数0x 的判断正确有______. ①0ln2x ≥ ②01x e
<
③002ln 0x x += ④002ln 0x
e x += 8.【衡水中学2019届高三开学二调考试】 已知函数，
，若对任意的，
，都有
成立，则实数的取值范
围是 A ．
B ．
C ．
D ．
9. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】 已知函数
，则满足
的x 的取值范围是（ ）
A ．1<x<3
B ．0<x<2
C ．0<x<e
D ．1<x<e 二、填空题
1. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调考试】
已知定义域为()0,∞+的函数()x
e g x x
=，()22ln 1h x x x =++，若存在唯一实数0x ，使得
()()003g x m h x e -=，则实数m 的值是__________.
2．【2020届河北省衡水中学高三年级小二调考试】
已知方程2
()()10f x kf x -+=恰有四个不同的实数根，当函数2()x f x x e =时，实数k 的取值范围
是____.
3. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调】
设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠
时，若
0()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 点为函数()y h x =的“类对称中心点”，则函数22()ln 2x f x x e
=+的“类对称中心点”的坐标是________. 4.【衡水中学2019届高三开学二调考试】
已知0,0,k b >>且()ln 2kx b x +≥+对任意的2x >-恒成立，则b
k
的最小值为_____． 三、解答题
1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】 已知函数()ln(1)1x
f x e x ax x =--+-． （1）若0a =，证明：()0f x ≥．
（2）若函数()f x 在0x =处有极大值，求实数a 的取值范围． 2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】 若函数()2
1ln 22
f x a x x ax =+
-，0a >，a 为常数. (1)求函数()f x 的单调区间；
(2)若()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立，求λ的最小值. 3．【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】 若定义在R 上的函数()()1x
f x e a x =--，a ∈R .
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若x ，y ，m 满足x m y m -≤-，则称x 比y 更接近m .当2a ≥且1x ≥时，试比较e
x
和1x e a -+哪个更接近ln x ，并说明理由.
4．【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】 已知函数()1ln 1f x x a x ⎛⎫
=+-
⎪⎝⎭
，a R ∈. （1）若()0f x ≥，求实数a 取值的集合； （2）证明：()1
2ln 2x
e x e x x
+
≥-+- 5．【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】 已知函数()1
1f x a x
=
+-（a ∈R ）. （1）若2a =，证明：当1x >时，()2ln x f x >；
（2）若对于任意的0x >且1x ≠，都有()()
2ln 1a f x x -⋅>，求a 的取值集合.。
衡水中学2020届高三数学临考模拟试题一理含解析
A。 32B。36C. 72D。 80
【答案】C
【解析】
【分析】
根据原几何体的三视图可知原几何体为两个等大的长方体组合,计算出其表面积。
【详解】如图，该几何体为两个长方体的组合体，其表面积为两个长方体的表面积和减去重叠部分，即 。
在 中利用余弦定理得：
，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：B。
【点睛】本题考查用定义法求解异面直线的夹角,难度一般，解答时只需要将所给直线进行平移，找到这两条线所成角的平面角,然后通过解三角形得到夹角的余弦值.
10。已知O为坐标原点，A,F分别是双曲线 的右顶点和右焦点，以 为直径的圆与一条渐近线的交点为P（不与原点重合），若 的面积 满足 ，则双曲线的离心率是（ ）
又 ，
令 ， ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
令 ， ,则 ，
所以 时, ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减,
所以 的大致图象是:
数形结合，知当 或 时， 有两个不为零的不同实根,
故函数 有三个零点.
故选：D.
【点睛】本题考查分段函数的零点，此类问题一般是先考虑参变分离法，把零点个数问题归结动直线与定函数的图象的交点的个数问题，本题属于较难题.
【详解】(1）因为 各项为正数，
设 的公比为q， ， 的公差为d，
则 ， ，
所以 ，
（2）
,
所以 .
【点睛】本题考查了等差、等比数列的通项公式，用裂项相消法求数列前n项和.考查了数学运算能力和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于中档题目。
2018衡水名师原创理科数学专题卷：专题五《导数及其应用》(含答案解析)
2019届高三一轮复习理科数学专题卷专题五导数及其应用考点13:导数的概念及运算（1,2题）考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题） 考点15：定积分的计算（12题，16题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共 12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有 一项是最符合题目要求的。
） 1. 【来源】2016-2017年河北武邑中学高二理周考考点13易函数f x 二sin 2 x 的导数是（ ）2. 【来源】2016-2017年河北武邑中学高二理周考考点13易12 ' '已知f xx 2 cosx , f x 为f X 的导函数，贝U f x 的图像是（ ）43. 【2017课标II ,理11】 考点14 易2x4若x »2是函数f （x ）=（x ax -1）e的极值点，则f （x ）的极小值为（） 33A. -1B.-2eC.5eD.14.［来源】2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考考点14 中难e若曲线y =ln x a 的一条切线为y =ex ，其中a, b 为正实数，则a —— 的取值范b + 2围是（）B.C.〔2, ：：D.〔2,ee 2,丿5.［来源】 2017届福建闽侯-县三中高三上期中考点14 难已知函数y 2二X 的图象在点2（X °,x 0）处的切线l ，若1也与函数y = ln x , x（0,1）的图象. 2A. 2sin xB. 2sin xC. 2cosxD.sin2x相切，则x0必满足（）1 , 2—< X 。
< 1 C . < X^ < v2 D 2 26.【来源】2017届河北磁县一中高三 11月月考 考点14易已知函数f （x ）的导数为f'（x 卜且（x +1 ）f （x ）+xf '（X0对R 恒成立，则下列函 数在实数集内一定是增函数的为（ ） A. f x B. xf XC. e x f XD. xe X f x7.【来源】2017届江西抚州市七校高三上学期联考考点14易f f X \已知函数f X 与f ' X 的图象如图所示，则函数 g X x 的递减区间为（）e&【来源】2017届山东省青州市高三 10月段测 考点14中难已知函数f（x ）-2x • a （eX4 .「1）有唯一零点，则a =（）11 1 A. 2B. 3C. 2D. 110.【来源】 2017届河南中原名校高三理上质检三 考点14难已知函数f x 的定义域为R , f ' x 为函数f x 的导函数，当X ，〔0, 时，不等式e x f (x) e x 5（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ )A. （0「：）B.（」：,0）U （3「：）C. (—：：,0)U(1,=)D . (3,9.【2017课标3,理11】考点14难定义在R 上的函数f （x ）满足: c 1 A. 0 ：：: X2 X 。
衡水中学导数及其应用多选题试题含答案
衡水中学导数及其应用多选题试题含答案一、导数及其应用多选题1．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（ ） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； B ．若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+， 令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>， 可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min 11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确； 对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln xy x=只有一个交点， 2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠，令0y '>，即ln 1x >，有x e >， 知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立， 等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立， 即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数， 即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x -'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点， 等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根， 即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根， 由C 可知，021a <<，即102a <<，则D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．2．已知2()ln f x x x =，2()()f x g x x'=，()'f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点C ．当120x x e <<< 时，221212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32m ≥D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()g x ，再利用导数确定()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ． 【详解】()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，得1212ln 10ln 2x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确2ln 1()x g x x+=， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得121ln 2x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<， 故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在12e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数． 当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >()g x ∴的大致图象为()g x ∴只有一个零点，故B 错．记2()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥32m ∴≥． 故C 正确．2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个交点．()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得320x e -=，当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，332203()21202H x e e --⎡⎤⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0(0,)x x ∈时，322ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．3．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项． 【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦， 则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.4．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上B ．若阿基米德三角形PAB 为正三角形，则其面积为4C ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC 【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A ：把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，由2'2yx y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩， 解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx mx kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，112x x =-⇒=， 因此正三角形PAB， 所以正三角形PAB的面积为11sin 602224︒==， 故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时， 所以1212121222121122122114PAPBx x x xx x kk x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---， 直线AB 的方程为：14y kx =+所以P 点坐标为：1(,)24k -，点 P 到直线AB 的距离为：=||AB ===，因为12121,4x x k x x +==-，所以21AB k =+， 因此直角PAB的面积为：2111(1)224k ⨯+=≥， 当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以1||AB x x ===-，点P 到直线AB 的距离为：212== 所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x x S x x -=⋅-=， 故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.5．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）A ．21()xx f x ee x =--B ．2()1xf x e x =+- C ．31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论． 【详解】条件①()00f =；由选项可得：001(0)00f e e =--=，02(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； 对于21()xx f x ee x =--，则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-'，由0x >可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；由0x <可得，()()120(1)1xxf x ee '-=+<，即函数1()f x 单调递减；满足条件②；对于2()1xf x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②； 因此ACD 满足条件②；条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即()()()()21220f x f x f x f x -=-->，对于21()xx f x ee x =--，()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立， 又20x >，所以222x x e e -+>， 则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--，0x >，所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立， 因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+，令()1xh x e x =--，0x >，则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立，所以()()00h x h >=，则()()23231210xf x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条件③；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+， 令()()2ln 1u x x x =-+，0x >， 则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=， 则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③； 综上，ACD 选项是“偏对称函数”， 故选：ACD. 【点睛】 思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）6．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中正确的是（ ）A ．函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨⎩的一个承托函数B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]eD ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数 【答案】BC 【分析】由承托函数的定义依次判断即可. 【详解】解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞， ∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确；对C ，令()x h x e ax =-，则()x h x e a '=-， 若0a =，由题意知，结论成立， 若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数， ∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -， ∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数， ∴ln 0a a a -≥， 即ln 1a ≤， ∴0a e <≤，若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()xf x e =的一个承托函数，故C 正确；对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立， 故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误. 故选：BC . 【点睛】方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．7．设函数()ln xf x x=，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减 B ．不等关系33e e ππππ<<<成立C ．若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥D ．若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈【答案】AC 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()22s x g x ax=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2xm x+=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()21ln xf x x -'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确； 对于B 选项，由于函数()ln xf x x=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4f f π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>， 所以，ln ln 4143ππ>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-，则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即1ln xa x+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln xt x x'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增； 当1x >时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减.所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；对于D 选项，()()22ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2xm x+=， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点， 当1x e>时，()0t x >，如下图所示：当021m <<时，即当102m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.8．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增；当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确； 任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．。
2020衡水名师文科数学专题卷：专题5《导数及其应用》 Word版含答
2020衡水名师原创文科数学专题卷专题五 导数及其应用考点13：导数的概念及运算（1,2题）考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
）1.考点13 易函数2()(1)f x x =+的导函数为（ ）A ．'()1f x x =+B ．'()21f x x =+C ．'()2f x x =+D ．'()22f x x =+ 2．考点13 易设()f x 存在导函数，且满足(1)(12)lim 12x f f x x→∞--=-，则曲线()y f x ＝上点()(1)1f ，处的切线斜率为( )A ．2B ．1-C ．1D ．2-3.考点14 易已知22()2()ln 2f x x x x x x =--+，则函数()f x 的单调递减区间为( ) A.1(0,)2 B.1(,1)2C.(1,)+∞D.(0,)+∞4． 考点14 中难已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()()22ln f x x f x =+'，则()2f '的值为（ ） A ． 6 B ． 7 C ． 8 D ． 95．考点14 难函数ln y x x =在区间()0,1上的单调性为( )A.单调增函数B.单调减函数C.在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数,在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数 D.在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数,在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数6．考点14 易 对于函数()ln x f x x=，下列说法正确的是（ ） A. 在(0,e)上单调递减 B. 有极小值e C. 有最小值e D. 有最大值e7． 考点14 易若函数2()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A. [4,)+∞B. [2,)+∞C. [1,)+∞D. 1[,)2+∞8． 考点14中难若函数()eln x f x t x -=+有两个极值点，则实数t 的取值范围是( ) A. 1(0,)e B. 1(,)e -∞ C. 1(,0)e - D. 1(,)e+∞ 9.考点14 难函数3212y x x =-在区间[]1,3-上的最大值和最小值分别为( )A.18,-B.54,12-C.-D.10,-10． 考点14 难 定义在R 上的连续函数()f x ，其导函数'()f x 为奇函数，且(2)1,()0f f x =≥；当0x >时，'()()0xf x f x +<恒成立，则满足不等式(2)1f x -≤的解集为（ ）A. [2,2]-B. [0,4]C. (,2][2,)-∞-⋃+∞D.(,0][4,)-∞⋃+∞11． 考点14 中难设'()f x 为函数()f x 的导函数，且满足321()3,'()'(6)3f x x ax bx f x f x =-++=-+，若()6l n 3f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围是（ ）A ．[66ln 6,)++∞B ．[4ln 2,)++∞C ．[5ln5,)++∞D ．[6)++∞第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分）12．考点14易若函数32()21(R)f x x ax a =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为________.13．考点14 中难函数()(R)g x x ∈的图像如图所示，关于x 的方程2[()]()230g x m g x m +⋅++=有三个不同的实数解，则m 的取值范围是 .14．考点14 中难若函数3()21(R)f x x ax a =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为__________．三.解答题（共70分）15．（本题满分10分）考点14 易设定义在R 上的函数f ()x 满足(2)2()1f x f x =+,且(1)2f =.1.求(0)f ,(2)f ,(4)f 的值2.若() f x 为一次函数,且()()()g x x m f x =-在()3,+∞上为增函数,求 m 的取值范围16．（本题满分12分）考点14 中难已知f ()x 对任意的实数,m n 都有()()()1f m n f m f n +=+-,且当0x >时,有()1f x >.1.求(0)f ;2.求证: f ()x 在R 上为增函数;3.若(1)2f =且2(32)()3f a f a a -+-<,求实数a 的取值范围.17．（本题满分12分）考点14中难若f ()x 是定义在()0,?+∞上的函数,且满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,当1x >时, ()0f x >. 1.判断并证明函数的单调性;2.若(2)1f =,解不等式1(3)2f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭.18．（本题满分12分）考点14中难、若在定义域内存在实数0x ,使得()()()0011f x f x f +=+成立,则称函数()f x 有“漂移点”.1.用零点存在定理证明:函数()22x f x x =+在[]0,1上有“漂移点”;2.若函数()2lg 1a g x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭在()0,+∞上有“漂移点”,求实数a 的取值范围.19．（本题满分12分）考点14中难已知函数 ()y f x =的定义域为D ,且()f x 同时满足以下条件:① ()f x 在D 上是单调递增或单调递减函数;② 存在闭区间[,]a b ⊆D (其中a b <),使得当[,]x a b ∈时, ()f x 的取值集合也是[,]a b .那么,我们称函数()y f x = (x D ∈)是闭函数.1.判断 3()=f x x -是不是闭函数?若是,找出条件②中的区间;若不是,说明理由.2.若 ()=f x k +,求实数k 的取值范围.(注:本题求解中涉及的函数单调性不用证明,直接指出是增函数还是减函数即可20.（本题满分12分） 已知函数3213()2532f x x x x =-++. 1.求函数()f x 的图像在点(3,(3))f 处的切线方程;2.若曲线()y f x =与2y x m =-有三个不同的交点,求实数m 的取值范围。
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A．
B． 2e2 C． 2e D． 2
4．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的 散点图（两坐标轴单位长度相同） ，用回归直线 =bx+a 近似的刻画其相关关系，根据图形，
以下结论最有可能成立的是（
）
A ．线性相关关系较强， b 的值为 1.25
B．线性相关关系较强， b 的值为 0.83
④ 命题
的否定是 ?p： ? x∈ R， x 2﹣ 3x+1＜ 0．
A ． ①②
B ．①④
C． ①②④ D ．①③④
6．已知三棱锥 O﹣ ABC 的顶点 A ，B，C 都在半径为 2 的球面上， O 是球心， ∠ AOB=120 °，
当△ AOC 与△ BOC 的面积之和最大时，三棱锥 O﹣ABC 的体积为（
﹣an+2sinx 满足
若
，则数列 { cn} 的前 n 项和 Sn 为（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知定义在 R 上的函数 y=f （ x）对任意的 x 都满足 f（x+2） =f （ x），当﹣ 1≤ x＜ 1 时，
f（ x）=sin x ，若函数 g（ x ）=f （ x）﹣ loga| x | 至少 6 个零点，则 a 的取值范围是（
）
A ．（ 0， ] ∪（ 5，+∞） B．（ 0， ）∪ [ 5， +∞） C．（ ， ] ∪（ 5， 7） D．（ ， ）∪ [ 5， 7）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .
13．二项式
的展开式的系数和为 256，则 a 的值为
．
14．设等差数列 { an} 满足
专题03 导数与应用(第02期)(解析版)
高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)专题03 导数与应用一、选择题1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】不等式()22ln 40ax a x x a ->-->解集中有且仅含有两个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()ln3,2 B ．[)2ln3,2-C ．(]0,2ln3-D ．()0,2ln3-【答案】C【解析】由题意可知，22ln 4ax a x x ->--， 设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-. 由()1212x g x x x='-=-. 可知()2ln 4g x x x =--在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，()2h x ax a =-的图象恒过点()2,0，在同一坐标系中作出()g x ，()h x 的图象如下，若有且只有两个整数1x ，2x ，使得()10f x >，且()20f x >，则()()()()01133a h g h g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即022ln 3a a a >⎧⎪->-⎨⎪≤-⎩，解得02ln3a <≤-，故选C.2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】若函数2ln y ax b x =-在1x =处的切线方程为52y x =-，则a ，b 的值为( ) A ．2,1 B ．-2，-1 C ．3,1 D ．-3，-1【答案】C【解析】将1x =代入切线52y x =-， 得到切点坐标为()1,3，将()1,3代入到函数解析式中，得到3=a ， 所以23ln y x b x =-， 求导得6b y x x'=-， 代入1x =得6k b =-， 所以65b -=，得1b =. 故选：C.3. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数2,2()24x x f x x -+≤⎧=<≤，则定积分412()f x dx ⎰的值为( ) A ．948π+ B ．144π+ C ．12π+ D ．324π+ 【答案】A【解析】因为()2,224x x f x x -+≤⎧=<≤ 所以()412f x dx =⎰()12222x d x -++⎰⎰()22211221222x dx x x -+=-+⎰()22111122222222⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+⨯--+⨯⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦98=2⎰的几何意义为以()3,0为圆心，以1r =为半径的圆，在x 轴上方的部分因而21122S ππ=⨯⨯= 所以()21229942828x dx ππ+-++=+=⎰⎰所以选A4. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数()y f x =的导函数为()f x '，满足R x ∀∈，()()f x f x '>且(1)e f =，则不等式(ln )f x x >的解集为( )A ．(e,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,e)D ．(0,1)【答案】A【解析】令ln t x =，则(ln )()e t f x x f t >⇔>， 令()()e x f x g x =，则()()()0exf x f xg x '-'=>， ()g x ∴在R 上单调递增，()()e 1e t t f t f t ∴>⇔>()(1)1ln 1e g t g t x x ⇔>⇔>⇔>⇔>，故选A.5. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数()()()ln 2240f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数1x ，2x 使得()10f x >，且()20f x >，则a 的取值范围是（ ） A ．()ln3,2 B ．[)0,2ln3- C ．()0,2ln3- D ．(]0,2ln3-【答案】D【解析】令()0f x >，则：()()ln 22400x a x a a +--+>>，()22ln 40ax a x x a ∴->-->， 设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-， 故()'1212x g x x x -=-=，由()'0g x =可得12x =， 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()'0g x <，()g x 为减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()'0g x >，()g x 为增函数， ()()20h x ax a a =->的图像恒过点()2,0，在同一坐标系中作出()g x ，()h x 的图像，如图所示，若有且只有两个整数12,x x ，使得()10f x >，且()20f x >，则0(1)(1)(3)(3)a h g h g >⎧⎪>⎨⎪≤⎩，即022ln 3a a a >⎧⎪->-⎨⎪≤-⎩， 解得：02ln3a <≤-. 故选D .6. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】若函数2ln y ax b x =-在1x =处的切线方程为52y x =-，则a ，b 的值为( ) A ．2,1 B ．-2，-1 C ．3,1 D ．-3，-1【答案】C【解析】将1x =代入切线52y x =-， 得到切点坐标为()1,3，将()1,3代入到函数解析式中，得到3=a ， 所以23ln y x b x =-， 求导得6by x x'=-， 代入1x =得6k b =-， 所以65b -=，得1b =. 故选：C.7. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】若函数()ln f x x kx =-在()1, +∞上单调递减，则k 的最小值是（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．2-【答案】A 【解析】由()1f x k x '=-，又()f x 在()1,+∞上单调递减，则()0f x '在()1, +∞上恒成立，即1k x在()1, +∞上恒成立.又当()1,x ∈+∞时，101x<<，故1k ，所以k 的最小值为1.故答案选A8. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】若函数()1y f x =+为偶函数，且1x ≥时，()2xf x x e=-则不等式()()3f x f ≥的解集为( ) A ．[]3,-+∞ B ．[]1,3-C ．(][),13,-∞-+∞D ．(][),22,-∞-+∞【答案】B【解析】因为函数函数()1y f x =+为偶函数， 所以可得()f x 关于1x =成轴对称， 所以()()31f f =-， 当1x ≥时，()2xf x x e =-，所以()2xf x x e '=-设()2xg x x e =-，则()2xg x e '=-，当1x ≥，()0g x '<，()g x 单调递减，()()120g x g e ≤=-<，即()0f x '<，所以()f x 在[)1,x ∈+∞上单调递减， 在(],1x ∈-∞上单调递增，所以不等式()()3f x f ≥的解集为[]1,3-. 故选：B.9. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数()y f x =的导函数为()f x '，满足R x ∀∈，()()f x f x '>且(1)e f =，则不等式(ln )f x x >的解集为( )A ．(e,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,e)D ．(0,1)【答案】A【解析】令ln t x =，则(ln )()e t f x x f t >⇔>， 令()()e x f x g x =，则()()()0exf x f xg x '-'=>， ()g x ∴在R 上单调递增，()()e 1e t t f t f t ∴>⇔>()(1)1ln 1e g t g t x x ⇔>⇔>⇔>⇔>，故选A.10. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数()()()ln 2240f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数1x ，2x 使得()10f x >，且()20f x >，则a 的取值范围是（ ） A ．()ln3,2 B ．[)0,2ln3- C ．()0,2ln3- D ．(]0,2ln3-【答案】D【解析】令()0f x >，则：()()ln 22400x a x a a +--+>>，()22ln 40ax a x x a ∴->-->， 设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-， 故()'1212x g x x x -=-=，由()'0g x =可得12x =， 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()'0g x <，()g x 为减函数，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()'0g x >，()g x 为增函数，()()20h x ax a a =->的图像恒过点()2,0，在同一坐标系中作出()g x ，()h x 的图像，如图所示，若有且只有两个整数12,x x ，使得()10f x >，且()20f x >，则0(1)(1)(3)(3)a h g h g >⎧⎪>⎨⎪≤⎩，即022ln 3a a a >⎧⎪->-⎨⎪≤-⎩， 解得：02ln3a <≤-. 故选D .11. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数2()(1)2xa f x x e x =--，对于任意1x R ∈，()20,x ∈+∞，不等式()()121222f x x f x x x +-->-恒成立，则整数a 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】()()()()1212212122f x x f x x x x x x x +-->-=--+，设112t x x =+，212t x x =-则有12,t t R ∈且12t t >，即()()1221f t f t t t ->-恒成立， 即()()1122f t t f t t +>+，令()()g x f x x =+， 则()g x 在R 上单调递增，即()0g x '≥恒成立，即()10xg x xe ax =-+≥'，(1)10g e a -+'=≥，得14a e ≤+<，下证3a =成立：()31x g x xe x '=-+，易证当0x ≤时，()311x x g x xe x xe '=-+≥+，考查函数：xy x e =⋅，则()'1xy ex =+，故函数x y x e =⋅在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增，当1x =-时，函数的最小值为min 1y e=-， 据此可得：()1'110x g x xe e≥+≥->， 当0x >时，()31xg x xe x '=-+>22(1)3121(1)0x x x x x x +-+=-+=-≥， 故3a =成立. 故选C .12. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为fx ，且有()()23xf x x f x >+'，则不等式()()()382014201420f x x f +++->的解集为（ ）A ．(),2016-∞-B ．()2018,2016--C ．()2018,0-D ．(),2018-∞-【答案】A【解析】函数()f x 是定义在(),0∞-上的函数，所以有x 20140+<， 不等式()()()38f x 2014x 2014f 20+++->可变形为：33(2014)(2)(2014)(2)f x f x +-<+- ，构造函数3()()f x g x x = ，2442()3()1()0xf x f x x g x x x x -=>=>' ，所以()g x 在(),0∞-上单增，由(2014)(2)g x g +<- ，可得20140{201620142x x x +<⇒<-+<- ，故选A. 13. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】已知不等式3ln 1ln x x m x n -++（,m n R ∈，且3m ≠-）对任意实数0x >恒成立，则33n m -+的最大值为（ ） A ．2ln2- B ．ln 2-C ．ln21-D ．ln 22-【答案】B【解析】由题意得()3ln 1x m x n -+-恒成立， 令()()3ln f x x m x =-+，则()()()30x m f x x x-+'=>， 若30m +<，()0f x '>，()f x 单调递增，当0x +→时()f x →-∞，不合题意； 若30m +>，当()0,3x m ∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()3,x m ∈++∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 最小值为()3f m +.∴()()()()333ln 31f m m m m n +=+-++≥-， ∴()()()()()33ln 32321ln 33333m m m n m m m m m +-++--≤=-+->-+++， 令()()21ln 0g x x x x =-->，则()()221220x g x x x x x-+'=-+=>， 当()0,2x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴()()2ln 2g x g ≤=-，∴()21ln 3ln 23m m -+-≤-+即33n m -+的最大值为ln 2-.故选：B.14. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知定义在()0,∞+上的函数()f x ，恒为正数的()f x 符合()()()'2f x f x f x <<，则()()1:2f f 的取值范围为（ ） A ．(),2e e B ．11,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()3,e eD ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】令()()()()2,xxf x f xg xh x e e ==，则()()()2'2'0xf x f x h x e -=<，()()()''0xf x f xg x e-=>，()()()()12,12g g h h ∴，()()()()()()22421212111,,2f f f f f e e e e e f e∴∴<<，选D ．15. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】已知函数()()3212x x a f x f '=-+-，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程为（ ） A ．20x y -= B ．0y =C ．10160x y --=D ．20x y -+=【答案】C【解析】()()2321f x x f ''=-，()()1321f f ''∴=-，即()11f '=，即()322x x a f x =-+-.又()f x 为奇函数，2a ∴=.()32x x f x =∴-，()232f x x '=-.(2)4f ∴=，(2)10f '=.由点斜式得曲线()y f x =在点(2,4)处的切线方程为10160x y --=.16. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．1D ．12【答案】C【解析】由已知有211212ln ln x x x x x x -<-，两边同时除以12x x ，化简有1212ln 1ln 1x x x x ++<，而120x x <<，构造函数2ln 1ln (),'()x xf x f x x x+-==，令'()0,01;f x x ><< 令'()0,1f x x ，所以函数()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，由1212ln 1ln 1x x x x ++<对于120x x a <<<恒成立，即()f x 在(0,)a 为增函数，则01a <≤，故a 的最大值为1，选C.17. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（）A ．-4B ．-1C ．1D ．4【答案】C【解析】由题意，()cos sin 3f x x x x '=-+，()0cos034f '=+=，则曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率为4，由于切线与直线410ax y ++=垂直，则414a-⨯=-，解得1a =. 故选C.18. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为（ ）A ．1mB ．1m <-C ．1m >-D ．m 1≥【答案】C【解析】由题意，函数21()(2)ex f x x x -=-，则导数21()(2)e x f x x -'=-，所以函数()f x 在(1,2)上递减，在(2,)+∞上递增，当2x >时，()0f x >，又由(1)1f =-，(2)1f <-，(2)0f =，当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，即函数()y f x =和(1)1y m x =--的图象有交点，如图所示， 又因为在点(1,(1))f 的切线的斜率为(1)1f '=-，所以1m >-．19. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为A ．等腰锐角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰钝角三角形【答案】D【解析】函数的导数()'3'cos sin 6f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则3131'3'cos sin 3''6666262262f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则()'3cos sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，()3sin cos 2cos 3f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()'1f A f B ==，()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33A ππ-=，则23A π=， 则2366C ππππ=--=， 则B C =，即ABC 是等腰钝角三角形， 故选D ．20. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】若f （x ）＝e x +ae ﹣x 是定义在R 上的奇函数，则曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程是（ ） A ．y ＝﹣x B ．y ＝x C ．y ＝﹣2x D ．y ＝2x【答案】D【解析】∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴(0)10f a =+=，得1a =-，∴()x xf x e e -=-，∴'()x xf x e e-=+，∴(0)0f =，'(0)2f =，∴曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为2y x =， 故选：D ．21. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】已知函数()()22xf x x x e =-，若方程()f x a =有3个不同的实根()123123,,x x x x x x <<，则22ax -的取值范围是（ ）A ．1[,0)e-B ．22,0e ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．222,2e e ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．()20,2e【答案】A【解析】由()()22xf x x x e =-得()()22xf x x e '=-，所以()f x 在(),2-∞-，()2,+∞上是增函数，在()2,2-上是减函数，结合()f x 的图象可得220x -<<，又()2222222x f x a x e x x ==--，设()(0)x g x xe x =<<，则()()1xg x x e '=+，所以()g x在()1-上是减函数，在()1,0-上是增函数， 由()11g e-=-，(g =，()00g =，可得22a x -的取值范围是 1[,0)e- 故选：A22. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】已知函数2()ln 2,()ln x xe f x xe x x g x x x x-=---=+-的最小值分别为,a b ，则（ ）A ．a b =B ．a b <C ．a b >D ．,a b 的大小关系不确定【答案】A【解析】由题意得：2'11(1)(1)()1x x x xxxe x e x x xe f x e xe x x x+--+-=+--==， 易得0,10x x >+>，设'()0f x =，可得10x xe -=，可得1xe x=，由xy e =与1y x =图像可知存在0(0,1)x ∈，使得001xe x =，可得当0(0,)x x ∈，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞，'()0f x >，可得()f x 得最小值为0()f x ，即000001()ln 21x a f x x e x x -==⋅---=-； 同理：2222'2221(1)(1)(1)()()1x x x x xe e e x x x x e x g x x x x x------+---=+-==， 设'()0g x =，可得1x =或者2x e x -=，由2x y e-=与y x =得图像可知，存在1(0,1)x ∈，使得121x ex -=，可得当1(,)x x x ∈时，'()0g x <，当1(,1)x x ∈时，'()0g x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，可得1()g x 即为()g x 得最小值，可得1112211112()ln 121x x x e b g x e x x x e ---==+-=+--=-，故1a b ==-，故选：A.23. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭【答案】C【解析】由题意知函数()f x 的定义域为0,，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=. 因为()f x 恰有两个极值点，所以0fx 恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，且这个解不等于1. 令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在0,上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C 二、填空题1. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知定义域为()0,∞+的函数()xe g x x=，()22ln 1h x x x=++，若存在唯一实数0x ，使得()()003g x m h x e -=，则实数m 的值是__________.【答案】0【解析】()xe g x x =，()()21x e x g x x-'=，所以()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()()min 1g x g e ==.()22ln 1h x x x =++，()()222122x h x x x x-'=-=， 所以()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；所以()()min 13h x h ==.所以()()3g x h x e ⋅≥，当且仅当1x =时，等号成立. 而存在唯一实数0x ，使得()()003g x m h x e -=，所以可得0011x m x -=⎧⎨=⎩，所以0m =.故答案为：0.2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知方程2()()10f x kf x -+=恰有四个不同的实数根，当函数2()x f x x e =时，实数k 的取值范围是____.【答案】224,4e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【解析】函数2()2(2)x x x f x xe x e x xe '=+=+，由()0f x '>得(2)0x x +>，得0x >或2x <-，此时()f x 为增函数， 由()0f x '<得(2)0x x +<，得20x -<<，此时()f x 为减函数， 即当0x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(0)0f =， 当1a =-时，函数()f x 取得极大值，极大值为24(2)f e -=， 当0x →，()0f x >，且()0f x →， 作出函数()f x 的图象如图： 设()t f x =，则当240t e <<时 方程()t f x =有3个根，当24t e =时 方程()t f x =有2个根，当0t =或24t e>时 方程()t f x =有1个根，则方程2[()]()10f x kf x -+=等价为210t kt -+=， 若2[()]()10f x kf x -+=恰有四个不同的实数根， 等价为210t kt -+=有两个不同的根， 当0t =，方程不成立，即0t ≠， 其中1240t e <<或224t e >， 设2()1h t t kt =-+，则满足2(0)100224()0h k k h e ⎧⎪=>⎪-⎪-=>⎨⎪⎪<⎪⎩，得222044()()10k k e e >⎧⎪⎨-+<⎪⎩， 即2222204()1444k e e k e e >⎧⎪⎪+⎨>=+⎪⎪⎩，即2244e k e >+， 即实数k 的取值范围是224(,)4e e ++∞，故答案为224(,)4e e ++∞3. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，若()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 点为函数()y h x =的“类对称中心点”，则函数22()ln 2x f x x e=+的“类对称中心点”的坐标是________.【答案】3(,)2e【解析】由题意得，f ′（x ）21x e x =+，f （x 0）20022x lnx e=+（x ＞0），即函数y ＝f （x ）的定义域D ＝（0，+∞），所以函数y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程l 方程为：y ﹣（20022x lnx e +）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0），则g （x ）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e+），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）222x e =+lnx ﹣[（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e +）]，则F （x 0）＝0，所以F ′（x ）＝f ′x ）﹣g ′（x ）21x e x =+-（0201x e x +）02011x x e x x -=+- ()()0002200111x x x x x x x e xx x e x ⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭当0＜x 0＜e 时，F （x ）在（x 0，2e x ）上递减，∴x ∈（x 0，20e x ）时，F （x ）＜F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， 当x 0＞e 时，F （x ）在（2e x ，x 0）上递减；∴x ∈（20e x ，x 0）时，F （x ）＞F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， ∴y ＝F （x ）在（0，e ）∪（e ，+∞）上不存在“类对称点”．若x 0＝e ，()22211()x x e x e x e e xe -⎛⎫--= ⎪⎝⎭＞0，则F （x ）在（0，+∞）上是增函数，当x ＞x 0时，F （x ）＞F （x 0）＝0，当x ＜x 0时，F （x ）＜F （x 0）＝0， 故()()00f x g x x x --＞，即此时点P 是y ＝f （x ）的“类对称点”，综上可得，y ＝F （x ）存在“类对称点”，e 是一个“类对称点”的横坐标，又f （e ）22322e lne e =+=，所以函数f （x ）的“类对称中心点”的坐标是32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故答案为：32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．4. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】已知曲线y ＝|lnx |与直线y ＝m 有两个不同的交点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（x 1＜x 2），设直线l 1，l 2分别是曲线y ＝|lnx |在点P 1，P 2处的切线，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ．△P 2AB 为等边三角形，则实数m 的值为_____．【答案】【解析】由曲线|ln |y x =与直线y m =有两个不同的交点，可得12ln ln x x ，即有121=x x ，1201x x <<<，由ln y x =-的导数为1y x'=-，可得切线1l 的斜率为11x -，切线的方程为1111(ln )()y x x x x --=--，令0x =得11ln y x =-，即1(0,1ln )A x -， 由ln y x =的导数为1y x'=，可得切线2l 的斜率为121x x =，切线的方程为212ln ()y x x x x -=-， 令0x =得2121ln ln 1y x x x x =-=--，即1(0,ln 1)B x --，则||2AB =， 由△2P AB为等边三角形，可得223x=， 则2|ln |m x == 故答案为：．5. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，定义：设()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()f x 的拐点.某同学经过探索发现任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122020202120212021g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______；()20201112021i i i g -=⎛⎫'= ⎝-⎪⎭∑______. 【答案】2020 0 【解析】()3211533212g x x x x =-+-，()23g x x x '∴=-+，()21g x x ''=-，令()0g x ''=，得12x =，又112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以，三次函数()y g x =图象的对称中心坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，即()()12g x g x +-=，所以，122020101022020202120212021g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2221212212112021202120212021n n n n n n g g g g ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212122202243320212021202120212021n n n n n ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫=-+--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因此，()()()202010102211121212111202120220211n n i i n g n n g i g =--=--⎛⎫⎛⎫''-⎡-+-⎢ ⎤⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭⎛⎫'= ⎪⎥⎝⎣⎦∑∑()1010221101011010202210104202242020212021n n=⨯+⨯-⨯-===∑. 故答案为：2020；0.6. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】函数2–1y x =和ln 1y a x =-有相同的公切线，则实数a 的取值范围为_____________．【答案】(2]e -∞，【解析】两曲线y ＝x 2﹣1与y ＝alnx ﹣1存在公切线， y ＝x 2﹣1的导数y ′＝2x ，y ＝alnx ﹣1的导数为y ′ax=， 设y ＝x 2﹣1相切的切点为（n ，n 2﹣1）与曲线y ＝alnx ﹣1相切的切点为（m ，alnm ﹣1）， y ﹣（n 2﹣1）＝2n （x ﹣n ），即y ＝2nx ﹣n 2﹣1， y ﹣（alnm ﹣1）a m =（x ﹣m ），即：y 1ax a alnm m=-+-∴2211a n mn a alnm ⎧=⎪⎨⎪+=+-⎩ ∴224a a alnm m =-， ∴214alnm m =- 即()214a m lnm =-有解即可， 令g （x ）＝x 2（1﹣lnx ）， y ′＝2x （1﹣lnx ）21x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭x （1﹣2lnx ）＝0，可得x = ∴g （x ）在（0）是增函数；+∞）是减函数， g （x ）的最大值为：g2e=， 又g （0）＝0， ∴42a e≤，∴a ≤2e ． 故答案为：（﹣∞，2e ]．7. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】函数2()ln ||f x x x =-的图象在点()1,(1)f --处的切线方程为_____． 【答案】0x y +=【解析】当0x <时，函数2()ln()f x x x =--的导数为1()2f x x x'=-，可得切线的斜率为211-+=-，切点为()1,1-，则切线的方程为1(+1y x -=-），即为0x y +=．故答案为：0x y +=．8. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为___________. 【答案】[0,]e【解析】函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，2()(2)2(2)()x x f x e x kx kx x e kx '=--+=--，若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，()0f x '=只有一个实数解，则：0x e kx -≥， 从而得到：x e kx ≥， 当0k = 时，成立．当0k ≠时，设()xu x e =，()h x kx =，当两函数相切时，k e =，此时得到k 的最大值，但k 0<时不成立． 故k 的取值范围为：(0，]e 综上：k 的取值范围为：[0,]e . 故答案为：[0,]e ．三、解答题1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】已知函数()ln(1)1x f x e x ax x =--+-． （1）若0a =，证明：()0f x ≥．（2）若函数()f x 在0x =处有极大值，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）12a >【解析】（1）若0a =，()1xf x e x =--，()1x f x e =-'，由()0f x '>得0x >，由由()0f x '<得0x <，所以()1xf x e x =--在,0单调递减，在0,单调递增，所以()()100x f x e x f =--≥=恒成立；（2）()ln(1)1xf x e x ax x =--+-，()1,x ∈-+∞，()1ln(1)1x x f x e a x x ⎛⎫'=-++ ⎪+⎝⎭-，0(0)100f e a -'=-⨯=，函数()f x 在0x =处有极大值， 即1()1ln(1)1ln(1)111xxx f x e a x e a x x x ⎛⎫⎛⎫'=-++=-++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝-⎭-， 在0x =处左正右负，且在0x =处连续， 必存在0ε>，(),x εε∈-，必有(),0x ε∈-，()0f x '>，()0,,()0x f x ε'∈<，记()2l 1()11xf x e a x x ⎛⎫''=-+⎪ ⎪++⎝⎭， 若()2l 10,()011xa f x e a x x ⎛⎫''≤=-+>⎪ ⎪++⎝⎭恒成立， 则()1ln(1)1xx f x e a x x ⎛⎫'=-++⎪+⎝⎭-在定义域单调递增， 0,()(0)0x f x f ''>>=，不合题意，舍去；若()()221l 1l 10,0,2,2211111,xa x e a a x x x x ⎛⎫<≤>+<-+>- ⎪ ⎪++++⎝⎭> ()2l 1()12011xf x e a a x x ⎛⎫''=-+>-≥ ⎪ ⎪++⎝⎭，()f x '在()0,x ∈+∞上单调递增， 即()0,,()(0)0x f x f ''∈+∞>=，不合题意，舍去；当()21l 1,()211xa f x e a x x ⎛⎫''>=-+⎪ ⎪++⎝⎭单调递增， (0)120f a ''=-<，必存在0ε>，使得当(),x εε∈-时，()0f x ''<，此时()f x '在(),x εε∈-单调递减，0(0)100f e a -'=-⨯=必有(),0x ε∈-，()0f x '>，()0,,()0x f x ε'∈<，即函数()f x 在(),0x ε∈-递增，在()0,x ε∈递减，即函数()f x 在0x =处有极大值，综上所述：12a >2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数()32f x x x =-，()ln 5ag x x x x=-+. (1)若5a =，求曲线()g x 在1x =处的切线方程；(2)若对任意的m ，1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()20f m g n -+≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)66y x =-；(2)(,1]-∞-.【解析】（1）因为5a =，所以函数()5ln 5g x x x x=-+， 所以()10g =，即切点为()1,0 所以()25ln 1g x x x '=++， 代入1x =，得到()16k g '==， 故所求的切线方程为()61y x =-， 即66y x =-.（2）对任意的m ，1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()20f m g n -+≤恒成立， 可得()()max 2f m g n ≤-，对任意的m ，1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，()232f m m m '=-，令()0f m '=得0m =或23m =，所以12,23m ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f m '<，()f m 单调递减， 2,23m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f m '>，()f m 单调递增，而1128f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()24f =，所以()max 4f m =， 所以()24g n -≥，对任意的1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即ln 524a n n n -+-≥对任意的1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以2ln a n n n ≤-，对任意的1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，设()2ln n n n n ϕ=-，1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()min a n ϕ≤()2ln 1n n n n ϕ'=+-，设()2ln 1t n n n n =+-，()2ln 3t n n '=+因为1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()0t n '>，所以()t n 单调递增，即()n ϕ'单调递增，而()01ϕ'=，所以当1,12n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0n ϕ'<，()n ϕ单调递减， 当()1,2n ∈，()0n ϕ'>,()n ϕ单调递增， 所以1n =时，()n ϕ取得最小值，为()11ϕ=-， 所以1a ≤-.3. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】若函数()21ln 22f x a x x ax =+-，0a >，a 为常数. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立，求λ的最小值. 【答案】(1)①01a <≤时，()f x 的单调增区间为()0,∞+，无单调减区间； ②1a >时，()f x 的单调增区间为(0,a ，()a +∞，单调递减区间为(a a ；(2)32-. 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()22'x ax af x x-+=①当01a <≤，2440a a ∆=-≤，所以()22'0x ax af x x-+=≥，()f x 的单调增区间为()0,∞+，无单调减区间；②当1a >时，2440a a ∆=->，解()22'0x ax af x x-+==得10x a =>，210x a x =>>，所以()f x的单调增区间为(0,a，()a +∞，单调递减区间为(a a +（2）因为()f x 有两个极值点为1x ，2x ， 不等式()1212()()f x f x x x λ+<+恒成立，所以1a >，且10x a =>，210x a x =+>>，212x x a +=，12x x a =故()()()()()212121212121ln 22f x f x a x x x x x x a x x +=++--+ ()2ln 2a a a a =--所以()()()1212ln 212f x f x a a x x λ+-->=+，1a >设函数()ln 212a a t a --=，1a >，()1102t a a a ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以()t a 单调递减， 所以()()312t a t <=-， 所以得到32λ≥-， λ的最小值为32-4. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】若定义在R 上的函数()()1xf x e a x =--，a ∈R . （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若x ，y ，m 满足x m y m -≤-，则称x 比y 更接近m .当2a ≥且1x ≥时，试比较ex和1x e a -+哪个更接近ln x ，并说明理由.【答案】（1）当0a ≤时， ()f x 单调递增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 单调递增区间为()ln ,a +∞，()f x 单调递减区间为(),ln a -∞；（2）ex比1x e a -+更接近ln x ，理由见解析.【解析】（1）函数()()1xf x e a x =--，求导得到()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，由()0f x '=，得到ln x a =，所以(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述，当0a ≤时， ()f x 单调递增区间为(),-∞+∞；当0a >时， ()f x 单调递增区间为()ln ,a +∞，()f x 单调递减区间为(),ln a -∞；（2）设()ln ep x x x =-，()1ln x q x e a x -=+- 所以()21'0e p x x x =--<，所以()ln ep x x x=-在1x ≥时单调递减，又因为()0p e =所以当1x e ≤≤时()0p x ≥，当x e >时，()0p x <. 而()11'x q x ex -=-，设()11x t x e x -=-，则()1210x t x e x-'=+>， 所以()t x 在[)1,x ∈+∞上单调递增，即()q x '在[)1,x ∈+∞上单调递增， 而()10q '=，所以[)1,x ∈+∞时，()0q x '≥， 所以()1ln x q x e a x -=+-在1x ≥时单调递增，且()120q a =+>， 所以()1ln 0x q x ea x -=+->.①当1x e ≤≤时()()()()1x e p x q x p x q x e a x--=-=--， 设()1x e m x e a x -=--，则()120x em x e x-'=--< 所以()m x 在[]1,e 单调递减，()()11m x m e a ≤=--.又因为2a ≥，所以()()110m x m e a ≤=--<， 所以()()p x q x < 所以ex比1x e a -+更接近ln x . ②当x e >时，()0p x <， ()()()()112ln 2ln x x ep x q x p x q x x e a x e a x---=--=-+--<--， 设()12ln x n x x e a -=--，则()12'x n x e x-=-， 设()12x x e x ω-=-，()1220x x e xω-=--<， 所以()x ω在(),e +∞上单调递减，即()n x '在(),e +∞上单调递减， 所以()()120e n x n e e e-''<=-< 所以()n x 在(),e +∞上单调递减， 所以()()0n x n e <<，即()()p x q x <， 所以ex比1x e a -+更接近ln x . 综上所述，当2a ≥且1x ≥时，ex比1x e a -+更接近ln x . 5. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数()1ln 1f x x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，a R ∈. （1）若()0f x ≥，求实数a 取值的集合； （2）证明：()12ln 2xe x e x x+≥-+- 【答案】（1）{}1.（2）见证明 【解析】（1）由已知，有()221a x af x x x x='-=-. 当a 0≤时，1f ln2a 02⎛⎫=-+<⎪⎝⎭，与条件()f x 0≥矛盾； 当a 0>时，若()x 0,a ∈，则()f x 0'<，()f x 单调递减； 若()x a,∞∈+，则()f x 0'>，()f x 单调递增.∴()f x 在()0,∞+上有最小值()1f a lna a 1lna 1a a ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭由题意()f x 0≥，∴lna 1a 0+-≥. 令()g x lnx x 1=-+.∴()11xg x 1x x-=-='. 当()x 0,1∈时，()g x 0'>，()g x 单调递增； 当()x 1,∞∈+时，()g x 0'<，()g x 单调递减.∴()g x 在()0,∞+上有最大值()g 10=.∴()g x lnx x 10=-+≤. ∴lna a 10-+≤.∴lna a 10-+=，∴a 1=，综上，当()f x 0≥时，实数a 取值的集合为{}1. （2）由（1），可知当a 1=时，()f x 0≥，即1lnx 1x≥-在()x 0,+∞∈恒成立. 要证()x21e 2lnx x e 2x x+≥-++-， 只需证当x 0>时，()x2e x e 2x 10----≥.令()()()x2h x e x e 2x 1x 0=----≥.则()()xh x e 2x e 2=---'.令()()xu x e 2x e 2=---.则()xu x e 2'=-.由()u x 0'=，得x ln2=.当[)x 0,ln2∈时，()u x 0'<，()u x 单调递减； 当[)x ln2,∞∈+时，()u x 0'>，()u x 单调递增. 即()h x '在()0,ln2上单调递减，在()ln2,∞+上单调递增. 而()()h 01e 23e 0=--=->'，()()h ln2h 10<'='， ∴()0x 0,ln2∃∈，使得()0h x 0'=.当()0x 0,x ∈时，()h x 0'>，()h x 单调递增；当()0x x ,1∈时，()h x 0'<，()h x 单调递减；当()x 1,∞∈+时，()h x 0'>，()h x 单调递增.又()h 0110=-=，()()h 1e 1e 210=----=，∴对x 0∀>，()h x 0≥恒成立，即()x2e x e 2x 10----≥.综上所述，()x21e 2lnx x e 2x x+≥-++-成立. 6. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数()11f x a x=+-（a ∈R ）. （1）若2a =，证明：当1x >时，()2ln x f x >；（2）若对于任意的0x >且1x ≠，都有()()2ln 1a f x x -⋅>，求a 的取值集合.【答案】(1)证明见解析；(2)12⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【解析】（1）当2a =时，()121f x x=+-， 要证当1x >时，()2ln x f x >， 即证当1x >时，12ln 21x x +>- 令()12ln 1g x x x =+-， ()()()()()()222221221252111x x x x g x x x x x x x ---+'=-==--- 当12x <<时，()0g x '<，()g x 在()1,2内单调递减 当2x >时，()0g x '>，()g x 在()2,+∞内单调递增， 故()()min 22ln 21ln 41ln 12g x g e ==+=+>+=.证毕. (2)先分析端值，当0x +→时，ln x →-∞，111a a x +→-+-， 要使1ln 11a x x ⎛⎫+>⎪-⎝⎭，需有10a -+≤，即1a ≤； 当x →+∞时，ln x →+∞，11a a x +→-， 要使1ln 11a x x ⎛⎫+>⎪-⎝⎭，需有0a ≥； 故必须有01a ≤≤.由()11111a x a x x -++=--知其分子恒正， 令()()1ln 11x x x a x ϕ-=--+，于是问题等价于当1x >时，()0x ϕ>； 当01x <<时，()0x ϕ<. 注意到()10ϕ=.()()()()22211'1a x a x x x ax a ϕ⎡⎤---⎣⎦=--⎡⎤⎣⎦①当0a =时()1'x x xϕ-=-， 此时当1x >时，()'0x ϕ<，()x ϕ在()1,+∞单调递减， 于是()()10x ϕϕ<=，这不符合题意；②当0a ≠时，()'0x ϕ=，得2111x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，21x =. （i ）当12a =时，12x x =，()'0x ϕ≥，()x ϕ在()0,∞+单调递增， 结合()10ϕ=可知符合题意；（ii ）当102a <<时，12x x >，此时当211,1x a ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时()'0x ϕ<，于是在()x ϕ在211,1a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，故在211,1a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内()()10x ϕϕ<=，这不符合题意；（iii ）当12a >时，12x x <，此时当211,1x a ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时()'0x ϕ<，于是在()x ϕ在211,1a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，故在211,1a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内()()10x ϕϕ>=，这不符合题意；综上：符合题意的a 取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.7. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数()32f x x x =-，()ln 5ag x x x x=-+. (1)若5a =，求曲线()g x 在1x =处的切线方程；(2)若对任意的m ，1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()20f m g n -+≤恒成立，求实数a 的取值范围【答案】(1)66y x =-；(2)(,1]-∞-.【解析】（1）因为5a =，所以函数()5ln 5g x x x x=-+， 所以()10g =，即切点为()1,0 所以()25ln 1g x x x '=++， 代入1x =，得到()16k g '==， 故所求的切线方程为()61y x =-， 即66y x =-.（2）对任意的m ，1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()20f m g n -+≤恒成立，可得()()max 2f m g n ≤-，对任意的m ，1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，()232f m m m '=-，令()0f m '=得0m =或23m =，所以12,23m ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f m '<，()f m 单调递减， 2,23m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f m '>，()f m 单调递增，而1128f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()24f =，所以()max 4f m =，。
专题03 导数与应用-汇集名校资源之三年(2016-2018)河北衡水中学高三数学(理)模拟试卷分项版(解析版)
x2 1 2 x0 g x x x a 2 ，则方程 有且仅有一个根时， a 的取值范围是（ ）
B． ,1
1 C. ,0
A． ,0 【答案】C
D． 0,1
点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单 调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底 还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 10. 【2017 河北衡水中学高三押题卷三】已知 正确的是（ A. 【答案】C 【解析】令 方程即： 结合函数的单调性有： 本题选择 C 选项. 11. 【2017 河北衡水中学高三二模】已知 是函数 的导函数，且对任意的实数 都有 ，则 ，即 .
所以 时是增函数， 成立，
故选 D．学#科网 【点睛】本题主要考查利用构造函数法判断函数零点的知识，合理的构造函数是解决问题的关键． 4. 【2017 河北衡水中学高三三调】已知函数 g x a x
2
1 x e, e为自然对数的底数 与 e
） D． e 2,
x x x x x x
为 f x f x 1 ，所以 f x f ( x) 1 0 ，所以 g x 0 ，所以 y g x 是单调递增函数，因 为 e x f x e x 3 ，所以 g x 3 ，又因为 g 0 e f 0 e 3 ，即 g x g 0 ，所以 x 0 ，故
x 1
和y
x 1 交于 A, B 两点，则
A,ห้องสมุดไป่ตู้B 之间的最短距离是（
2020衡水名师原创文科数学专题卷专题五《导数及其应用》
2019衡水名师原创文科数学专题卷专题五 导数及其应用考点13：导数的概念及运算（1,2题）考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题） 考点15：定积分的计算（12题，16题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
） 1.函数()2sin f x x =的导数是（ ）A.2sin xB.22sin xC.2cos xD.sin 2x 2．已知()21cos 4f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图像是（ ） 3. 若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e - D.1 4． 若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b 为正实数，则2ea b ++的取值范围是（ ） A.2,2e e ⎛⎫++∞⎪⎝⎭B.[),e +∞C.[)2,+∞D.[)2,e 5． 已知函数2x y =的图象在点),(200x x 处的切线为l ，若l 也与函数x y ln =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（ ）A ．2100<<x B ．1210<<x C ．2220<<x D ．320<<x 6． 已知函数()f x 的导数为()f x ′，且()()()10x f x xf x ++>′对x R ∈恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（ ）A.()f xB.()xf xC.()xe f xD.()xxe f x7． 已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()()xf xg x e =的递减区间为（ ）A.()0,4B.()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.40,3⎛⎫⎪⎝⎭D.()()0,1,4,+∞ 8．定义在R 上的函数()f x 满足：'()1()f x f x >-，(0)6f =，'()f x 是()f x 的导函数，则不等式()5xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．(0,)+∞ B ．(,0)(3,)-∞+∞C ．(,0)(1,)-∞+∞ D ．(3,)+∞9. 已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ） A ．12-B ．13C ．12D ．110． 已知函数()f x 的定义域为R ,()'f x 为函数()f x 的导函数，当[)0,x ∈+∞时，()'2sin cos 0x x f x ->且x R ∀∈，()()cos21f x f x x -++=.则下列说法一定正确的是（ ） A.15324643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.15344643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C3134324f f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.1332443f f ππ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11． 已知函数 ()()()()2325ln ,26,2f x x ax a x a Rg x x x x g x =--∈=-++-在[]1,4上的最大值为 b ，当[)1,x ∈+∞时，()f x b ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.2a ≤ B.1a ≤ C.1a ≤- D.0a ≤12． 已知0a >，0b >，'()f x 为()f x 的导函数，若()ln2xf x =，且31112'()12bb dx f a b x =+-⎰，则a b +的最小值为（ ）A ．B ．．92 D ．92+第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分） 13． 已知函数ln 4()x f x x+=，求曲线)(x f 在点(1,(1))f 处的切线方程____________14． 若函数2()xf x x e ax =--在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是 .15． 若函数21()ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围 ． 16．如图，阴影部分的面积是_________． 三.解答题（共70分） 17．（本题满分10分）已知函数()()x f x ae x a R =-∈，其中e 为自然对数的底数， 2.71828e =…． （Ⅰ）判断函数()f x 的单调性，并说明理由；（Ⅱ）若[]1,2x ∈，不等式()x f x e -≥恒成立，求a 的取值范围． 18．（本题满分12分）已知函数()xf x e ax =-，（0a >）.（Ⅰ）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值； （Ⅱ）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围. 19．（本题满分12分） 已知函数()()ln ,ln 12x ax f x g x x x x ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭. （1）求()y f x =的最大值；（2）当10,a e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()(](),0,y g x x e =∈有最小值. 记()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. 20．（本题满分12分） 已知函数22()()xf x x x cec R -=-+∈.（1）若()f x 是在定义域内的增函数，求c 的取值范围； （2）若函数5()()'()2F x f x f x =+-（其中'()f x 为()f x 的导函数）存在三个零点，求c 的取值范围. 21．（本题满分12分）已知函数()()()()()121'10'2x f x f e f x x f x -=-+是()f x 的导数，e 为自然对数的底数），()()212g x x ax b a R b R =++∈∈，.（Ⅰ）求()f x 的解析式及极值； （Ⅱ）若()()f x g x ≥，求()12b a +的最大值.22.（本题满分12分）已知函数2()(2)x xf x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.参考答案1．D 【解析】由题意得，函数的导数为()2(sin )2sin (sin )2sin cos sin 2f x x x x x x x '''==⋅==.2．A【解析】由题意得，()1sin 2f x x x '=-， 所以()11()sin()[sin ]()22f x x x x x f x ''-=---=--=-，所以函数()f x '为奇函数，即函数的图象关于原点对称，当2x π=时，1()1024f ππ'=-<，当2x >时，()0f x '>恒成立，故选A.3．【答案】A 【解析】4．C【解析】设切点为),(00y x ，则有2)ln(1000-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+ae b bex a x e e x ，e a b 2,0>∴> ，212≥+=++aa b e a ，故选C. 5．D【解析】函数2y x =的导数y'2x =，2y x =在点200(,)x x 处的切线斜率为02k x =，切线方程为()20002y x x x x -=-，设切线与ln y x =相交的切点为(),ln m m ，（01m <<），由ln y x =的导数为1'y x =可得012x m =，切线方程为()1ln y m x m m-=-，令0x =，可得20ln 1y m x =-=-，由01m <<可得012x >，且201x >，解得01x >由012m x =，可得()200,ln 210x x --=，令()()2ln 21,f x x x =--()()11,'20,x f x x f x x>=->在1x >递增，且2ln 10,3ln 10ff =-<=->，则有()200ln 210x x --=的根x ∈，故选D.6．D 【解析】设()()x F x xe f x =，则()()()()()()()11x x x F x x e f x xe f x e x f x xf x =++=++⎡⎤⎣⎦′′′. ()()()10x f x xf x ++>′对R x ∈恒成立，且0x e >.()()0,F x F x >∴′∴在R 上递增. 7．D【解析】()()()()()()xx xx ex f x f e e x f e x f x g -'=-'='2，令()0<'x g 即()()0<-'x f x f ,由图可得()()+∞∈,41,0 x ，故函数单调减区间为()()0,1,4,+∞，故选D. 8．A【解析】设x xg x e f x e x R =-∈（）（），（），[]1'1x x x x g x e f x e f x e e f x f x f x f x '=+'-=+'--（）（）（）（）（），（）＞（），100f x f x g x y g x ∴+'-∴'∴=（）（）＞，（）＞，（）在定义域上单调递增， 又000061500g e f e g x g x =-=-=∴∴（）（），（）＞（），＞，∴不等式的解集为0+∞（，）. 9．【答案】C【解析】函数的零点满足()2112x x xx a e e --+-=-+，设()11x x gx ee--+=+，则()()211111111x x x x x x e g x eeee e ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数取得最小值()12g=，设()22h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ， 10．B【解析】令()()2sin F x x f x =-，则()()''sin 2F x x fx =-.因为当[)0,x ∈+∞时，()'2sin cos 0x x f x ->，即()'sin 2x f x >，所以()()''sin 20F x x f x =->，所以()()2sin F x x f x =-在[)0,x ∈+∞上单调递增.又x R ∀∈，()()cos21f x f x x -++=，所以()()22sin f x f x x -+=，所以,，故()()2sin F x x f x =-为奇函数，所以()()2sin F x x f x =-在R 上单调递增，所以5463F F ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即15344643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 11．B【解析】)13)(2(253)(2'+--=++-=x x x x x g ，所以)(x g 在]2,1[上是增函数，]4,2[上是减函数0)(,0)2()(≥==x f g x g 在),1[+∞∈x 上恒成立， 由),1[+∞∈x 知，0ln >+x x ，所以0)(≥x f 恒成立等价于xx x a ln 2+≤在),1[+∞∈x ，时恒成立，令),1[,ln )(2+∞∈+=x x x x x h ，有0)ln (ln 2)1()(2'>++-=x x xx x x h ，所以)(x h 在),1[+∞上是增函数，有1)1()(=≥h x h ，所以1≤a . 12．C【解析】∵()x x f 1='，∴()a a f 1='，∵2212111213b b x b dx x b bb +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰，()1212113-+'=⎰b a f dx x b b，∴1212221-+=+-b a b b ，∴1212=+ba ，∵0a >，0b >，∴()()29222252225212=⋅+≥++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+a b b a a b b a b a b a b a ，当a b b a 22=且1212=+b a ，即23,3==b a 时等号成立，故选C. 13．370x y +-= 【解析】()23ln xx xf +-='，所以(1)3,(1)4k f f '==-=，切线方程为43(1),y x -=--即370x y +-=14．2ln 22a ≤-【解析】因为函数2()xf x x e ax =--，所以()2xf x x e a '=--，因为2()xf x x e ax =--在R 上存在单调递增区间，所以()20xf x x e a '=-->，即2x a x e <-有解，令()2x g x x e =-，则()2x g x e '=-，则()20ln 2x g x e x '=-=⇒=，所以当ln 2x <时，()20x g x e '=->；当ln 2x >时，()20x g x e '=-<，当ln 2x =时，()max 2ln 22g x =-，所以2ln 22a <-. 15．)23,1[【解析】函数的定义域为),0(+∞，令0214212)(2=-=-='x x x x x f ，解得21=x 或21-=x （不在定义域内舍），所以要使函数在子区间)1,1(+-a a 内存在极值等价于),0()1,1(21+∞⊂+-∈a a ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+<-≥-21121101a a a ，解得231<≤a ，答案为)23,1[．16．323【解析】由题意得，直线2y x =与抛物线23y x =-，解得交点分别为(3,6)--和(1,2)，抛物线23y x =-与x 轴负半轴交点(，设阴影部分的面积为S ，则1220(32))S x x dx x dx =--+-⎰⎰2332)xdx x dx ---+-⎰532933=+-=． 17．（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,112e e 【解析】（Ⅰ）由题可知，()x f x ae x =-，则()1x f x ae '=-， （i ）当0a ≤时，()0f x '＜，函数()x f x ae x =-为R 上的减函数， （ii ）当0a ＞时，令10x ae -=，得ln x a =-，② (),ln x a ∈-∞-，则()0f x '＜，此时函数()f x 为单调递减函数；②若()ln ,x a ∈-+∞，则()0f x '＞，此时函数()f x 为单调递增函数．………………(4分) （Ⅱ）由题意，问题等价于[]1,2x ∈，不等式x x ae x e --≥恒成立， 即[]1,2x ∈，21xx xe a e+≥恒成立，令()21xx xe g x e+=，则问题等价于a 不小于函数()g x 在[]1,2上的最大值．………………(6分)由()()()()221214212x xx xxe exe e x e xxx e g x e '+-+--'==，当[]1,2x ∈时，()0g x '＜，所以函数()g x 在[]1,2上单调递减，……………………………(8分)所以函数()g x 在[]1,2x ∈的最大值为()2111g e e=+， 故[]1,2x ∈，不等式()x f x e -≥恒成立，实数a 的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,112e e．…………(10分)18．（Ⅰ）()max 1g a =（Ⅱ）()f a 的取值范围是(21,e e e ⎤-⎦.【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，()'x f x e a =-.在定义域上单调递增。
备战高考衡水中学模拟试题分项汇编专题03 导数与应用解析版
一、选择题1. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】已知e 为自然对数的底数，若对任意的1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的()0,y ∈+∞，使得ln ln 1y y x x a y +++=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．(],0-∞ C ．2,e e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．(],1-∞- 【答案】B2. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】已知函数()()()ln ,23f x x g x m x n ==++，若对任意的()0,x ∈+∞,总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21e D ．1e【答案】C【解析】由题意得()ln 23x m x n ≤++对任意的()x 0,∞∈+恒成立，所以230m +>，令()y ln 23x m x n =-+-，得()11'23023m x x m =-+=⇒=+，当123x m >+时， 0y '<；当1023x m <<+时， 0y '>；所以当123x m =+时， 1max 1ln 10,2323n y n m e m --=--≤+≥+，从而()()123,n n m n f m n e ++≥=，因为()11,0,1n nf m n n e+='-==，所以当1n >时， (),0f m n '<；当1n <《时， (),0f m n '>；因此当1n =时， ()2max 1,f m n e =，选C. 3. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】很明显，由题意可得：，则由 可得 ，由题意得不等式： ，即：，综上可得的取值范围是 .本题选择D 选项.4. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】已知0x 是方程222ln 0x x e x +=的实根，则下列关于实数0x 的判断正确有______. ①0ln2x ≥ ②01x e< ③002ln 0x x += ④002ln 0xe x += 【答案】③.5. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】曲线()332f x x =+在1x =处的切线倾斜角是（ ） A ．16π B ．13π C ．56π D ．23π 【答案】D【解析】对函数求导则()2'3f x =，则()'13k f ==-2π3．故本题答案选D ． 6. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】若函数()122(0)x x f x e x a -=+->在区间()0,2内有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．22,2e ⎫⎪⎭B ．(]0,2C ．222,2e +⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．34242,2e +⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D7. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】已知函数，，若对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】令，则，所以在单调递减，单调递增，所以，则,所以，令，则，，则在区间上，，则单调递减，又，所以在单调递增，单调递减，所以，所以，故选A。
衡水中学2018-2020年月考模拟考好题分类集锦：集合与常用逻辑用语(附答案+全解全析)
衡水中学好题分类集锦之：集合与简易逻辑一、选择题1. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学试卷】已知集合{}6A x N x =∈<，{}2,xB y y x A ==∈，则A B I 中元素的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学（理)试题】已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞3.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】 已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】已知全集，集合为A ．B ．C ．D ．5. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】若命题p 为：为A ．B ．C ．D ．6. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】下列命题正确的个数为 ①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. A ．0 B ．1 C ．2 D ．37. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】设集合， ，则（ ）A ．B ．C ．D ．8. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．9. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】下列有关命题的说法正确的是（ ） A ．命题“若，则”的否命题为“若，则”B ．命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“，使得”的否定是“，都有”D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题10. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】设集合,集合,则集合（ ）A ．B ．C ．D ．11 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知集合，，则=（ ） A ．B ．C ．D ．12. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】设集合{|2}A x x =<， {}B x x a =，全集U R =，若U A B ⊆ð，则有（ ） A ．0a = B ．2a ≤C ．2a ≥D ．2a <14. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】下列有关命题的说法正确的是（ ） A ．命题“若，则”的否命题为“若，则”B ．命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“，使得”的否定是“，都有”D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题15. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．16. 【河北衡水中学2020届全国高三第一次联合考试】已知集合2{6}A x y x x ==-++，集合{1}B x x =≥，则A B =IA.{23}x x -≤≤ B {1}x x ≥ C {13}x x ≤≤. D.{2}x x ≥-17. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知全集U=R ，则A ．B ．C ．D ．18. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】集合，，，若，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．19. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】设集合{|1},{|1}A x x B x x =>-=≥，则“x A ∈且x B ∉”成立的充要条件是（ ） A ．11x -<≤ B ．1x ≤ C ．1x >- D ．11x -<<20. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】下列命题中的假命题是（ ） A ． B ．C ．D ．21. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】已知全集，集合和的关系的韦恳（V enn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷个22. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】设,,a b c R ∈，则“1abc =”是a b c a b c≤+=”的 A ．充分条件但不是必要条件， B ．必要条件但不是充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要的条件 23. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】已知集合{|1}A x x =<，{|1xB x e =< }，则（ ）A ．{|1}AB x x ⋂=< B ．()R AC B R ⋃=C ．{|}A B x x e ⋃=<D ．(){|01}R C A B x x ⋂=<< 二、填空题1. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】 已知下列命题：①命题“2,35x R x x ∀∈+<”的否定是“2,35x R x x ∃∈+<”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝⌝∧为真命题”；③“2015a >”是“2017a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题 其中，所有真命题的序号是__________．答案与详解一、选择题1. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学试卷】已知集合{}6A x N x =∈<，{}2,xB y y x A ==∈，则A B I 中元素的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】∵{}6A x N x =∈<， ∴{}0,1,2,3,4,5A =， 又{}2,xB y y x A ==∈， ∴{}1,2,4,8,16,32B =， ∴{}1,2,4A B =I ，有3个元素， 故选：C ．2. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学（理)试题】已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),0-∞ B ．(],0-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A【解析】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A3.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】 已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】集合集合,则,故选A.4.【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】已知全集，集合为A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以或.所以.故选B.5.【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】若命题p为：为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据的构成方法得，为.故选C.6.【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】下列命题正确的个数为①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】分析：逐一判断每个命题的真假，得到正确命题的个数.详解：对于①，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，所以该命题是真命题；对于②，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，所以该命题是假命题；对于③，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，是真命题；对于④，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，所以该命题是假命题.故答案为：C.7.【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，则∁A B={x|x≤1}，故选：B．8.【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为，，所以，.选.9.【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题为“若，则”B．命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C．命题“，使得”的否定是“，都有”D．命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】B【解析】“若，则”的否命题为“若，则”，错误；逆命题是“若则，互为相反数，”，正确；“，使得”的否定是“，都有”，错误；“若，则”为假命题，所以其逆否命题也为假命题，错误，故选B.10.【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】设集合,集合,则集合（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，，∴，∴．故选C ．11 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知集合，，则=（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题知，，则故本题答案选．12. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】由韦达定理知，则，则等比数列中，则．在常数列或中，不是所给方程的两根．则在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件．故本题答案选．13. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】设集合{|2}A x x =<， {}B x x a =，全集U R =，若U A B ⊆ð，则有（ ） A ．0a = B ．2a ≤C ．2a ≥D ．2a < 【答案】C【解析】(){}2,2,U A C B x a =-=≤,所以2a ≤,故选C.14. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】下列有关命题的说法正确的是（ ） A ．命题“若，则”的否命题为“若，则”B ．命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“，使得”的否定是“，都有”D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】B【解析】 “若，则”的否命题为“若，则”，错误；逆命题是 “若则，互为相反数，”，正确； “，使得”的否定是“，都有”，错误；“若，则”为假命题，所以其逆否命题也为假命题，错误，故选B.15. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意可得：，则集合=.本题选择B 选项.16. 【河北衡水中学2020届全国高三第一次联合考试】已知集合2{6}A x y x x ==-++，集合{1}B x x =≥，则A B =IA.{23}x x -≤≤ B {1}x x ≥C {13}x x ≤≤. D.{2}x x ≥-【答案】C【解析】由题意知集合2{|60}{|23}A x x x x x =--≤=-≤≤，所以{|13}A B x x =≤≤I ，故选C 。