最新人教版高中数学选修4-5一般形式的柯西不等式1
人教版高中数学选修4-5《3.2 一般形式的柯西不等式》
五. 当堂检测：
[练1](1)已知2 x 3 y 4z 10, 求x 2 y 2 z 2最小值;
(2)若9 x 2 12 y 2 5z 2 9, 求x 6 y 5z的最大值.
[练2]设x1 , x2 ,..., xn是正数, 求证 : 1 1 1 2 ( x1 x2 ... xn )( ... )n x1 x2 xn
三、归纳推理，形成新知：
3、三维形式的柯西不等式：
(a1b1 a2b2 a3b3 ) (a a a )(b b b )
2 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
当且仅当 与共线时, 等号成立.
【探究】根据二维、三维形式的柯西不等式， 若 ( a1 , a 2 , a 3 ,...,a n ), (b1 , b2 , b3 ,...,bn )
3.2一般形式的柯西不等式
选修4-5
一、温故知新：
1、柯西不等式的向量形式: 【定理2】设 , 是两个向量, 则| | | | | |
将平面向量的坐标 (a1 , a2 ), (b1 , b2 )代入, 则上述 不等式可化简为:
2、二维形式的柯西不等式： 2 2 2 2 2 (a1b1 a2b2 ) (a1 a2 )(b1 b2 ) 适用范围: 对任意实数都成立.
六.课堂小结: 基础 三维形式 知识：
一般形式
证明不等式
柯西不等式
求最值
基本思想方法： 1.探究方法：从特殊到一般. 2.思维方法：观察→归纳→证明. 七.课后作业: 1.巩固性作业:P41 习题3.2 第1,2, 4,6. 2.探究作业: 小组合作证明一般形式的柯西不等式.
人教版高中数学选修4-5第三讲第二节一般形式的柯西不等式教案1(2)
选修4-5学案 §3.1.3柯西不等式 姓名☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题☻知识情景：1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定 了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值 定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，则 .当且仅当 时, 等号成立.变式10. 若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，则222222()()a b c d a c b d +++-+- ；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：222212122323()()()()x x y y x x y y -+-+-+-≥3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i ia b R ∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当 时, 等号成立.(若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).变式10. 设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( . 当且仅当 时, 等号成立.变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=ii i ni i i b a a b a 21)(. 当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 变式30. (积分形式)设)(x f 与)(x g 都在],[b a 可积，则dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a )()()()(222⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡，当且仅当)()(x g t x f ⋅=时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重 要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面 都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内 解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径， 证明22212x y z a b c R ++≤++例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
数学·选修4-5(人教A版)课件：第三讲3.1-3.2一般形式的柯西不等式
4．一般形式的柯西不等式
定理 设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 是实数， 则 (_a_21_＋__a_22＋__…__＋__a_2n_)_(b_21_＋__b_22＋__…__＋__b_2n_)_≥__(a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__…__＋__a_n_b_n)2 ，当且仅当 bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数 k，使 得 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
左边＝ ab2＋ bc2＋ ac2·
ba2＋
bc2＋
ac2≥
ab·
ba＋
b c·
bc＋
c a·
ac2＝
(1＋1＋1)2＝9.
所以原不等式成立．
归纳升华 利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需将表达式 适当地变形，因此必须善于分析题目的特征，根据题设条 件，利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结 合等方法，才能发现问题的突破口．
[(2－a)＋(2－b)]2－a2 a＋2－b2 b＝[( 2－a)2＋
a 2 b 2
(
2－b)2]
2－a
＋
2－b
≥
2－a· a ＋ 2－a
2－b·
b 2 2－b ＝(a＋b)2＝4.
所以 a2 ＋ b2 ≥
4
＝2，
2－a 2－b （2－a）＋（2－b）
所以原不等式成立．
(2)由柯西不等式知：
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
人教版-高中数学选修4-5-柯西不等式
2 2 2 2 2 (a1 a2 an )( b12 b2 bn ) (a1b1 a2b2 anbb )2
当且仅当bi 0(i 1, 2,, n)或存在一个数 k , 使得ai kbi (i 1, 2,, n)时, 等号成立
证明 : (a c d )(b c d a ) (ab bc cd da )2 a b c d a , b, c , d是不全相等的正数, 不成立 b c d a (a 2 b 2 c 2 d 2 )2 (ab bc cd da )2 即 a 2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd da
已知 a2＋2b2＝6，则 a＋b 的取值范围是____________． 1 2 1 2 【解析】 ∵(a ＋2b )[1 ＋( ) ]≥(1· a＋ 2b· ) ＝(a＋b)2 2 2
2 2 2
3 ∴(a＋b) ≤6× ＝9，∴－3≤a＋b≤3， 2
2
故 a＋b 的取值范围是[－3,3] 【名师点睛】 解此题关键在于构造因式，使其符合柯西不等
证 明: ( x 2 y 2 z 2 )(12 2 2 3 2 ) ( x 2 y 3 z ) 2 1 1 2 2 2 x y z 14 x y z 1 1 3 当 且 仅 当 即x , y , z 时 1 2 3值 14
2 2 2 2
二维形式的三角不等式
2 2 x1 y1 2 2 x2 y2 ( x1 x 2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
2 2 2 2 2 2 三维形式的三角不等式 x1 y1 z1 x2 y2 z2
3.2 一般形式的柯西不等式 课件(人教A选修4-5)
设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，
2 2 则(a2＋a2＋…＋a2 )(b1＋b2＋…＋b2 )≥ (a1b1＋a2b2＋… 1 n 2 n
＋anbn)2 ，当且仅当 bi＝0(i＝1,2…n)或存在一个数 k，使
得 ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
1 2 1 2 1 2 ＝[( a) ＋( b) ＋( c) ＋( d) ]· ) ＋( ) ＋( ) ＋ [( a b c 1 1 1 1 1 ( )2]≥( a· ＋ b· ＋ c· ＋ d· )2 ＝(1＋1＋1＋ d a b c d
2 2 2 2
1)2＝42＝16， 当且仅当 a＝b＝c＝d 时取等号．
1．三维形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是实数，则
2 2 (a1＋a2＋a2)(b2＋b2＋b2)≥ 2 3 1 3
(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且
仅当 bi＝0(i＝1,2,3) 或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2,3) 时等号成立． 2．一般形式的柯西不等式
1 2 1 2 ＝[( x1) ＋( x2) ＋…＋( xn) ][( ) ＋( ) ＋…＋ x1 x2 1 2 1 1 1 2 ( ) ]≥( x1· ＋ x2· ＋…＋ xn· ) ＝n2 xn x1 x2 xn 1 1 1 n2 ∴ ＋ ＋…＋x ≥ . x1 x2 x1＋x2＋…＋xn n
柯西不等式的结构特征可以记为： (a1＋a2＋…＋an)· 1＋b2＋…＋bn)≥( a1b1＋ (b a2b2＋…＋ anbn)2. 其中 ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等 式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确 地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．
人教版数学高二A版选修4-5知识导学3.2一般形式的柯西不等式
二 一般形式的柯西不等式知识梳理1.三维形式的柯西不等式设a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3是实数，则(a 12+a 22+a 32)（b 12+b 22+b 32）≥__________,当且仅当_______或存在一个数k ，使得a i =kb i (i=1,2,3)时等号成立. 2.一般形式的柯西不等式设a 1,a 2,a 3,…,a n ,b 1,b 2,b 3, …,b n 是实数，则(a 12+a 22+…+a n 2)(b 12+b 22+…+b n 2)≥_______,当且仅当_______或存在一个数k ，使得a i =kb i (i=1,2, …,n)时，等号成立. 知识导学由二维形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式，是从特殊到一般的认识过程，其中三维形式的柯西不等式是过渡的桥梁，三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广.这样易于记忆不等式的结构与特征.对不等式成立的条件及等号取到的条件更要对比来研究. 一般形式的柯西不等式注意整体的结构特征，因此，要从整体结构上认识这个不等式，形成一定的思维理解模式，在应用其解决问题时才能灵活应用. 疑难突破1.一般形式的柯西不等式的应用我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等一些问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点.我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后应用解题. 2.“1”的利用数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式，教材例1中数字“1”的利用说明了处理问题与变形中的灵活性，因此，不应对“1”视而不见. 典题精讲【例1】 已知a,b,c ∈R +，求证：（b a +c b +a c )(a b +b c +ca )≥9. 思路分析：对应三维形式的柯西不等式，a 1=b a ,a 2=c b ,a 3=a c ,b 1=a b ,b 2=b c ,b 3=ca ,而a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=1，因而得证. 证明：由柯西不等式，知左边=［(b a )2+(c b )2+(a c )2］×［(a b )2+(b c )2+(ca )2］ ≥(a b ×b a +c b ×b c )+a c ×ca )2=(1+1+1)2=9. ∴原不等式成立.绿色通道：由a,b,c 构成新的数字，而形成三维形式的柯西不等式，需要有较高的观察能力，从所给的数学式的结构中看出来.【变式训练】 已知a,b,c ∈R +，且a+b+c=1，求证：cb a 111++≥9. 思路分析：利用“1”的代换来构造柯西不等式. 证法一：c b a 111++=(a+b+c)(cb a 111++) =［(a )2+(b )2+(c )2］×［(a 1)2+(b 1)2+(c1)2］ ≥(a ×a 1+b ×b 1+c ×c1)2=(1+1+1)2=9. 证法二：a 1+b 1+c 1=(a+b+c)(a 1+b 1+c 1) =1+b a +c a +a b +1+c b +a c +bc +1=3+(b a +c a +c b +a c +b c +ab)≥3+66a b b c a c c b c a b a ⨯⨯⨯⨯⨯=3+6=9.【例2】 已知a 1,a 2, …,a n 都是正实数，且a 1+a 2+…+a n =1.求证：1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21. 思路分析：已知条件中a 1+a 2+…+a n =1,可以看作“1”的代换，而要证的不等式的左侧，“数式”已经可以看出来，为,,322211a a a a a a ++, …,所以a 1+a 2+…+a n =1.应扩大2倍后再利用，本题还可以利用其他的方法证明.证法一：根据柯西不等式，得左边=1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- =［(a 1+a 2)+(a 2+a 3)+(a 3+a 4)+ …+(a n-1+a n )+(a n +a 1)］× ［(211a a a +)2+(322a a a +)2+(433a a a +)2+…+(n n n a a a +--11)2+(1a a a n n +)2］×21=［(21a a +)2+(32a a +)2+…+(nn a a +-1)2+(1a a n +)2］×［(211a a a +)2+(322a a a +)2+…+（n n n a a a +--11）2+(1a a a n n +)2］×21≥［(21a a +×211a a a +)+(32a a +×322a a a +)+…+(n n a a +-1×n n n a a a +--11)+(1a a n +×1a a a n n +)］2×21=(a 1+a 2+…+a n )2×21=21=右边.∴原不等式成立.证法二：∵a ∈R +,则a+a1≥2, a≥2-a1. 利用上面的结论，知4)22(22221121121112121a a a a a a a a a a a a a +-=+-≥+⨯=+ 同理，有43223222a a a a a a +-≥+,…411121n n n n n n a a a a a a +-≥+----,4121a a a a a a nn n n n +-≥+-. 以上式子相加整理，得1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21（a 1+a 2+…+a n ）=21. 证法三：对于不等式左边的第一个分式2121a a a +,配制辅助式k(a 1+a 2)，k 为待定的正数，这里取k=41,则412121++a a a (a 1+a 2)≥)(412212121a a a a a +⨯+=a 1. 同理，413222++a a a (a 2+a 3)≥a 2.……41121++--n n n a a a (a n-1+a n )≥a n-1，4112++a a a n n (a n +a 1)≥a n .以上式子相加整理，得1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21(a 1+a 2+…+a n ). ∵a 1+a 2+…+a n =1,∴1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21. 绿色通道：通过以上不同的证明方法可以看出，无论用柯西不等式或其他重要不等式来证明，构造出所需要的某种结构是证题的难点，因此，对柯西不等式或其他重要不等式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用.【变式训练】 设x 1,x 2,x 3, …,x n 都是正实数，且x 1+x 2+x 3+…+x n =S.求证：12222121-≥-++-+-n Sx S x x S x x S x n n . 思路分析：对比例2及本题要证明的不等式，知需要构造出S-x 1+S-x 2+…+S-x n .证法一：根据柯西不等式，得左边=nn x S x x S x x S x -++-+-2222121=［(S-x 1)+(S-x 2)+ …+(S-x n )］×S n x S x x S x x S x S n n n )1(1][)1(12222121-=-++-+-- nn n x S x x S x x S x x S x S x S -++-+-⨯-++-+- 221122221][])()()[(≥2222111)]()()[()1(1nn n x S x x S x S x x S x S x x S S n -⨯-++-⨯-+-⨯--=S n )1(1-(x 1+x 2+…+x n )2=S n )1(1-×S 2=1-n S=右边.∴原不等式成立. 证法二：∵a ∈R +，则a+a1≥2. ∴a≥2-a1. ∴22)1(12])1(2[1)1(1----=---⨯-≥--⨯-=-n x S n x x n x S n x x S x n n x x S x i i i i i i i i i . n 个式子相加，有])1()1()1([12121222221212222121--++--+----++-+-≥-++-+-n x S n x S n x S n x n x n x x S x x S x x S x n n n n=1)1(122-=----n Sn S nS n S .∴原不等式成立. 证法三：22)1(1-+-n x S x i i (S-x i )≥ 12)()1(1222-=--•-n x x S n x S x i i i i . ∴22)1()1(2----≥-n x S n x x S x i i i i , ∴1)1()1(12)1(12212112-=----=----≥-∑∑∑===n S n S n n S n x S n x x S x ni i n i i ni ii . ∴原不等式成立. 问题探究问题：全班同学的体重与年龄有某种关系，如果让每人的体重都去乘所有人的年龄，再求其和，就可以比较得出各班之间体重间的一些问题，问这种值最小是多少？ 导思：设其人数及年龄，利用柯西不等式解答.探究：设全班为60人，年龄设为x 1,x 2, …,x 60,对应的体重为y 1,y 2,…,y 60.则 （x 1+x 2+…+x 60）(y 1+y 2+…+y 60) ≥(60602211y x y x y x +++)2.∴最小值是(60602211y x y x y x +++ )2.。
人教版高中数学选修4-5课件：3.2一般形式的柯西不等式
答案:
14
7
3 14
7
所以
c 8 5 2，b 15 2 17，a 23 10 2 .
7
7
7
2.若本例条件不变,改为求
a 1 2b 1 4c 1
的最大值.
【解析】由柯西不等式得 a 1 2b 1 4c 1
a 11 2b 11 4c 11
当 且仅a 当1a2+b 11=24bc +11g=14c1+11,即3a2=，1,b= ,c= 时等号
二 一般形式的柯西不等式
【自主预习】
1.三维形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则(a12+a22+a32)(b12+b22+ b32)≥_______________,当且仅当_____________或存 在一个(数a1kb,1+使a2得b2a+ia=3kbb3)i(2i=1,2,3)时b等i=0号(i成=1立,2.,3)
(3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子 的结构,从而达到使用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以添项.
【变式训练】
1.已知a,b,c∈R+,求证: (a b c)(b c a ) 9. b c aa b c
【证明】由柯西不等式知
左边 [( a )2 ( b )2 ( c )2][( b )2 ( c )2 ( a )2]
正x 确2y解 答3z . 过程如下:
【解析】由柯西不等式可知: (x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32), 当且仅当 时取等号,
最新人教版高中数学选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式整合1
-6-
1.1 DNA重组技术的基本工具
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随堂练习 重点难点 J 基础知识 Z 知识网络 S专题探究 Z
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN HI SHI WANG LUO
UITANG LIANXI HUAN TI TAN JIU
专题一
专题二
专题三
证明:由题意不妨设 a≥b≥c>0, 由不等式的单调性, 知 ab≥ac≥bc,������ ≥ ������ ≥ ������.
-2-
1.1 DNA重组技术的基本工具
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随堂练习 重点难点 J 基础知识 Z 知识网络 S专题探究 Z
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN HI SHI WANG LUO
UITANG LIANXI HUAN TI TAN JIU
专题一
专题二
专题三
专题一
柯西不等式的应用
利用柯西不等式证明其他不等式或求最值,关键是构造两组数,并向着 柯西不等式的形式进行转化. 【例 1】求实数 x,y 的值,使(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2 达到最小值. 解:由柯西不等式,得 (12+22+12)×[(y-1)2+(3-x-y)2+(2x+y-6)2] ≥[1×(y-1)+2×(3-x-y)+1×(2x+y-6)]2=1. 即(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2≥ .
利用不等式解决最值问题,尤其是含多个变量的问题,是一种常用方法. 特别是条件最值问题,通常运用平均值不等式、 柯西不等式、 排序不等式及 幂平均不等式等,但要注意取等号的条件能否满足.
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J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
探究四
探究二多维形式的柯西不等式
对使用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题时,往往不能直接 应用,需对数学式的形式进行转化,拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的 结构才能应用,经常利用数字“1”,对“1”进行灵活的变形应用,会起到事半功 倍的效果.
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1.1 DNA重组技术的基本工具
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J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
探究四
【例 2】若 ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),求证 (a1b1+…+anbn)
2
a1 b1
+ … + bn ≥(a1+…+an)2.
1.1 DNA重组技术的基本工具
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ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
1.三维形式的柯西不等式 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是实数,则 2 2 2 2 2 2 (a2 1 + a 2 + a 3 )(b1 + b2 + b3 )≥(a1b1+a2b2+a3b3) ,当且仅当 bi=0(i=1,2,3), 或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,3)时,等号成立. 2.一般形式的柯西不等式 设 a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn 是实数,则 2 2 2 2 2 (a2 1 + a 2 +…+a n )(b1 + b2 +…+bn )≥ (a1b1+a2b2+…+anbn)2, 当且仅当 bi=0(i=1,2,…,n),或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等 号成立.
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1.1 DNA重组技术的基本工具
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思考一般形式的柯西不等式如何应用? 提示:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或解决一些求最值 问题,应用时,常常需要对数学式子的形式进行变化,拼凑出与一般形式的柯 西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我们应用一般形式的柯西 不等式的关键,也是难点,我们要注意在数学式子中,数或字母的顺序要对比 柯西不等式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致,然后应用解题.
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探究二
探究三
探究四
【例 3】设 x1,x2,…,xn∈R+,求证
x2 1 x2
+ x +…+
3
x2 2
x2 n-1
证明:∵x1,x2,…,xn∈R+, ∴(x2+x3+x4+…+xn+x1) (x1+x2+…+xn)2.
x2 ∴1 x2 x2 x2 n-1 + 2+…+ x3 xn
x2 n + ≥x1+x2+…+xn. xn x1 x2 + … + xn 1
x2 x2 x2 1 2 3 + + x2 x3 x4
≥
x2 + n≥x1+x2+…+xn. x1
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探究一三维形式的柯西不等式
无论是用柯西不等式还是其他重要不等式来证明不等式,构造出所需 要的某种结构是证题的难点,因此,对柯西不等式或其他重要不等式,要熟记 公式的特点,能灵活变形,才能灵活应用. 【例 1】已知 a+b+c=1,且 a,b,c 是正数,求证: 思路分析:9=(1+1+1)2,2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)的巧拆,给我们运用 柯西不等式提供了条件. 证明:左边=[2(a+b+c)]
37 6 28 9 22 15
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二
一般形式的柯西不等式
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课程目标 1.掌握三维形式和多维形式的柯西 不等式. 2.会利用一般形式的柯西不等式解 决简单问题.
学习脉络
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1 b+c 2 2 + a+b b+c
+
2 ≥9. c+a
+ c+a ≥(1+1+1)2=9. 当且仅当 a=b=c= 时,等号成立,所以,原不等式成立.
1 3
1
ห้องสมุดไป่ตู้
1 1 1 + + a+b b+c c+a
=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]
1 + a+b
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n 2
a
证明:左边=[( a1 b1) +…+( a n bn ) ]
a1 b1
2
+…+
an bn
2
≥
a1 b1
a1 +…+ b1
a n bn
an bn
2
=(a1+…+an)2=右边,故原不等式成立.
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探究三利用柯西不等式求最值
解决此类问题时,根据所求最值的目标函数的形式,对已知条件进行配 凑,向柯西不等式形式转化. 【例 4】 设 2x+3y+5z=29,求函数 u= 2x + 1 + 3y + 4 + 5z + 6的最 大值. 思路分析:将已知等式变形,直接应用柯西不等式. 解:由柯西不等式,得 120=3[(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)] ≥(1× 2x + 1+1× 3y + 4+1× 5z + 6)2, 故 2x + 1 + 3y + 4 + 5z + 6≤2 30. 当且仅当 2x+1=3y+4=5z+6,即 x= ,y= ,z= 时,等号成立,此时 umax=2 30.