(完整版)高中数学复数讲义.教师版

知识内容」、复数的概念1. 虚数单位i:(1)它的平方等于 1，即i 2 1 ；(2) 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. (3) i 与一1的关系： i 就是1的一个平方根，即方程 2 x21的一个根，方程x 1的另一个根是-i(4) i 的周期性：・4n 1.ii.4n 2 4n 3,i 1, ii ,i 4n 1.实数a(b 0)2.数系的扩充:复数a bi虚数a bi(b 纯虚数bi(a 0) 0)非纯虚数a bi(a 0)3.复数的定义:形如a bi(a , b R)的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部•全体复数所成的集合叫做 复数集，用字母C 表示 4.复数的代数形式：通常用字母z 表示，即z a bi(a,b R)，把复数表示成a bi 的形式，叫做复数的代数形式. 5.复数与实数、虚数、纯虚数及 0的关系：对于复数a bi(a ,b R)，当且仅当b 0时，复数a bi(a ,b R)是实数a ;当b 0时，复数 z a bi 叫做虚数；当a 0且b 0时，z bi 叫做纯虚数；当且仅当是里数卫＜ 上H 实数Q 也负宾数［二纯虚毅hi 丝鋼是虚妇纯虚敬的虚敬6.复数集与其它数集之间的关系： N 荷Z Q 荷R C7. 两个复数相等的定义：a b 0时，z 就是实数0复数如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等. 这就是说，如果a , a ,b, d ,c, d R，那么a bi c di a c , b d、复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：复数z a bi( a ,b R)与有序实数对 a , b是一一对应关系.建立一一对应的关系. 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z a bi(a ,b R)可用点Z a ,b表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.2..对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0,0，它所确定的复数是z 0 0i 0表示是实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.3.复数z a bi 一一对应复平面内的点Z(a ,b)这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.三、复数的四则运算1.复数Z1与Z2的和的定义：Z Z2 a bi c di a c b d i2.复数Z1与Z2的差的定义：Z Z2 a bi c di a c b d i3.复数的加法运算满足交换律:Z1 Z2 Z2 z4.复数的加法运算满足结合律:(Z Z2) Z3 Z (Z2 Z3)5. 乘法运算规则：设z i a bi , Z2 c di (a、b、c、d R )是任意两个复数, 那么它们的积z,z2 a bi c di ac bd bc ad i其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把虚部分i2换成1，并且把实部与别合并.两个复数的积仍然是一个复数.6. 乘法运算律：(1) z, Z2Z3 Z1Z2 z a (2)(乙Z2) Z3 乙(Z2 Z3)(3) Zi Z 2 Z 3 Zi Z 2 Zi Z 3除法运算规则:ac bd bc ad .bi) c di 产〒 c^i点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方 法，而复数c di 与复数c di ，相当于我们初中学习的..32的对偶式 32，它们之积为1是有理数，而 c di c dic 2d 2是正实数•所以可以分母实数化.实数化法. 9.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

虚部不等于 0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.7. 复数除法定义:满足 c di x yia bi 的复数yi (x 、 yR ）叫复数a bi 除以复数c di 的商，记为:(a bi) c di或者a bi c di设复数a bi （a 、 R)， 除以c di (c ， d R )，其商为 x yi ( x 、y R ),即(a bi) c di yi x yidi cxdydx cy i.• cx dy dxcy ibi由复数相等定义可知cx dx:;a ，解这个方程组，得 y ac bd~2 T2c d bc ad ' 2 T2 c d于是有：（a bi)diac bd c 2 d 2bc ad ； ~ 2 i c d②利用cdi did 2于是将 丄上的分母有理化得:c di原式bi a c di(a bi)(c di) [ac bi ( di)] (bc ad)i(ac (c di)(c di) bd) (bc ad)ic 2d 2c 2d 2 acbd bc ad .~忑 ~2~2 i . cdcd•••((a 把这种方法叫做分母【例5】复数zm 2i1 2i （m R, i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（佢例题精讲1.复数的概念【例1】已知 a1 ii 2 bi （i为虚数单位），那么实数a, b的值分别为（）A.2, 5B. -3, 1C. -1 . 1 D . 2,-2【答案】D【例2】计算:i0!+ i1! + i2!+L + .100!i （i表示虚数单位）【答案】95 2i【解析】•• 4-i 1 ,而4 |k! ( k4),故i0!・1! ・2! .+ i +i +L + i100! i i ( 1) ( 1) 1 97 95 2i【例3】设z (2t25t 3) (t22t 2)i ,t R，则下列命题中一定正确的是（）A.z的对应点Z在第•象限 B .z的对应点Z在第四象限C.z不是纯虚数 D .z是虚数【答案】D【解析】t22t 2 (t 1)2 1 0 .【例4】在下列命题中，正确命题的个数为（)①两个复数不能比较大小；②若（X2 1）（x2 3x 2）i是纯虚数，则实数x 1 ;③z是虚数的一个充要条件是z z R ；④若a ,b是两个相等的实数，则（a b）（a b）i是纯虚数；⑤z R的一个充要条件是z z .⑥z 1的充要条件是z 1.zA . 1 B. 2 C. 3 D . 4【答案】B【解析】复数为实数时，可以比较大小，①错；x 1时，（x2 1）（x2 3x 2）i 0,②错；z为实数时, 也有z z R ,③错；a b 0时，（a b）（a b）i 0,④错；⑤⑥正确.2. 复数的几何意义m 4 0，而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限 m 1 035【例6】 若 一 n, — n ,复数（cos sin ） （sin cos ）i 在复平面内所对应的点在（）4 4A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】B【解析】 结合正、余弦函数的图象知，当一 n, - n 时，cos sin 0, sin cos 0 .4 4【例7】 如果复数z 满足z i z i 2，那么z i 1的最小值是（） A . 1B .2C . 2D . . 5【答案】A【解析】设复数z 在复平面的对应点为 Z ，因为z i | |z i 2 ,所以点Z 的集合是y 轴上以乙（0,1）、乙（0,1）为端点的线段.z i 1表示线段Z 1Z 2上的点到点（1, 1）的距离.此距离的最小值为点Z 2（0, 1）到点（1, 1）的距离，其距离为1 .【答案】D1 31,0与点-,0的距离2 2相等，故轨迹为直线x 1 2 ）-故选D .213. 1 3. i , i 2 2 2 2【例8】3z 一的复数2z 的集合是（1111 i , - i2 2 2 2C .22 i ，21 3.1i : 22 2.3. i 2【答案】A 【解析】 由已知zm 2i 1 2i(m 2i)(1 2i) (1 2i)(1 2i)1-[(m 4) 2(m 1)i] 5【解析】 复数z 表示的点在单位圆与直线z2表示z 到点在复平面对应点如杲在第【例9】已知复数（x 2） yi（x - y R）的模为4一，则1的最大值为__________x【答案】.3【解析】•/ x 2 yi 3,•••(x 2)2 y 2 3，故(x, y)在以C(2,0)为圆心，3为半径的圆上， 丄表示圆上的点(x, y)与x原点连线的斜率.如图，由平面几何知识，易知丄的最大值为.、3 .x【例10】复数z 满足条件：2z 1 z i ,那么z 对应的点的轨迹是()A •圆B . 椭圆C .双曲线D 抛物线【答案】 A【解析】A ;设z x yi ,则有(2x 1) 2yi| |x (y 1)i，(2x 1)2 (2y)2 x 2 (y 1)2 ,化简得：2 x — 21 y -25,故为圆.339【点评】①z z o 的几何意义为点z 到点Z o 的距离；②z z o r(r 0)中z 所对应的点为以复数 z 。

所对应的点为圆心，半径为 r 的圆上的点.【例12】已知复数Z 1 , Z 2满足z1 , Z 21 ,且Z 1 Z2 4 ,求兰与Z 1 Z 2的值.Z 2【答案】 J^i ； 4.3【解析】设复数, Z 2在复平面上对应的点为 Z 1, Z 2 ,由于(7 1)2 c 、7 1)2 42, 故乙| 忆| I 乙 z/ ,UUUU ULUUUUUU UUUU 乙7 147故以0乙 ,OZ 2为邻边的平行四边形是矩形，从而OZ 1 OZ 2,则 Z1'i i ;Z 2 7 13Z 1 Z 2Z 24 .【例11】 复数Z 1 , Z 2满足Z 1Z 2 0 , Z 1 Z 2 | |z i Z 2，证明:2Z 1~2 Z 2【解析】 设复数z , , Z 2在复平面上对应的点为Z 1, Z 2,由乙Z 2UlUU Z 2 知,以 OZ 1 ,UUUU 人OZ 2为邻边的平 行四边形为矩形, UULU UULU , 乙 OZ ! OZ 2 ,故可设 - ki(k R , kZ 2 0),2所以工k Z 22i 2k 20 .也可设z 1 a bi , Z 2 c di ,则由向量 (a , b)与向量(c, d)垂直知ac bd0,Z 1 a bi(acZ 2 c dibd) (be ad)i c 2 d 2bead i ~2 ic d20,故务Z 2 2Z 2【例13】已知 Z i , Z 2 C ,引|Z 2 1 , Z Z 2 . 3，求 Z i Z 2 •一uuur uuur 人【解析】 设复数Z ,, Z 2, Z iZ 2在复平面上对应的点为 乙，Z 2 , Z 3 ,由列|Z 21知，以0Z ! , 0Z 2为邻边的平行四边形是菱形，记 0所对应的顶点为P ， 由乙Z 2 3知， PZ i 0 120 （可由余弦定理得到），故 Z 1OZ 2 60,从而Z 1 Z 21 •3. 复数的四则运算12 6 2(2i) 1而 29(丄」)9 ( i)2 2A .2B . 2C . 2D . 4【答案】 B【解析】(m mi)6m 6 (2i)3 8im 6 64i m 6 8 m , 2 .【例15】已知m R ,若（m mi ）6 64i ,则m 等于（) 【例14】 已知复数Z 满足(2 、.3i) Z (2 73i) 4 ,求 d Z 的最大值与最小值.【答案】 d max迈d . in3【解析】设Z x yi ,则(x , y)满足方程(x22y2) 1 .4d , x 2y 2 x 24[1 (x3x 8 328 3 又1< x < 3 ,故当 x 1, yd min 1 ；当8 3, y2 21 3【例16】计算:(2 2i)12 (1 ”3i)9(2 3 i )100(1 2.3i)100【答案】 51112 12【解析】原式2 (1 i)厂29( 1-V 2 2sin )i | /(cos sin 1)2 (cos sin )292 1 511 • (i 2.3)100■— 100 [i(i 2-3)]【例17】已知复数Z1 cos i , Z2sinB. 2 i ,则Z1 Z2的最大值为（C .辽2)D . 3A. §2【答案】A【解析】Z1 Z2I |(cos i)(sin i)| I (cos sin 1) (cos0的一个根，试用列举法表示集合M z •若在M z 中任取两个数，求其和为零的概率P ;i 或 z i , M z {i , i 2 ,i 3, i 4} {i , 1, i ,1},2PC 2否为实数.法- :原方程变形为 x(5 i)x 6 2i由一元二次方程求根公式得 x 1(5•••原方程的解为N3 i , X 22 •法二1：设 x a bi(a , b R)，则有(a2 2(a b 5a b 6) (2ab 5b由②得：a 5b 2，代入①中解得2b 10 ,(5 i)2 4(6 2i) 2i (1 i)2i) (1 i)3 i , X 2(5i) (1 i)2222bi) 5(abi) 6(a bi 2)i 02a b 25a b 60 ①cos sin 21sin 2 2【例18】故当sin21时，ziZ 2有最大值 4 2对任意一个非零复数定义集合M z {w|wz n , n N} •【答案】 【解析】(2)若集合M z 中只有3个元素,(1) 3 ；(2)z / •(1 )T z 是方程x 21 0的根,试写出满足条件的一个 z 值，并说明理由.(2)取 z-乜i ，则z 2 2 2-^i 及 z 32是M z{z, z 2, z 3}或取1 3.i • 2 2(说明：只需写出一个正确答案) 【例19】解关于x 的方程x 2 5x 6 (x 2)i 0 •【答案】 x 3i , X 2 2 •【解析】错解： 由复数相等的定义得2x5x 6 0x 2 或 x 3 x 2x 2 0x 2分析： ’a bi c di a c ,且b(1)设z 是方程xi ，不论 d 成立”的前提条件是a , b , c, d R ，但本题并未告诉x 是a 2)i 02ab 5b a 2 0 ②a 3 a 2或b 1 b 0故方程的根为x 1 3 i, x 2 2 .【例21】关于x 的方程x 2 (2a i)x ai 1 0有实根，求实数a 的取值范围.【答案】a 1【解析】误：•.•方程有实根，(2a i)2 4(1 ai) 4a 2 5 0. 解得a >5或a < 5.2 2析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0)根的情况，而该方程中2a i与1 ai 并非实数.x 2ax o 1，解得 a 1.x o a 0【例22】设方程x 2 2x k 0的根分别为 ，，且2 2，求实数k 的值.【答案】 k 1 或 k 3 .【解析】若， 为实数，则4 4k > 0 且2()2 ( )2 4 4 4k (2 2)2，解得k 1.若，为虚数，则4 4k 0且， 共轭，2()2 ()2 44 4k(2三)2，解得k 3 .综上， k 1 或 k 3 .【例23】用数学归纳法证明：(cos isin )n cos(n ) isin( n ) ,n N【例20】已知乙2xi x 21 ,Z 2 (x 2a)i ，对于任意x R围.【答案】a' 1,12【解析】v z1Z 2 , • x 42x 1 (x 2 a)2,••• (1 2a)x 2(1 a 2) 0对x R 恒成立.当1 2a 0，即 1 a - 时，不等式恒成立；2当10时，1 2 a 012a21 a4(12a)(1 a 2)2综上, a1 ,，均有z i | | Z 2成立，试求实数a 的取值范正：设x o 是其实根，代入原方程变形为2 Xo2ax o 1 (a x 0)i0 ,由复数相等的定义，得2【解析】 并证明(cos isin ) 1 cosn 1时，结论显然成立;若对n k 时，有结论成立，即 则对 n k 1， (cos isin )k isin ，从而(cos is in ) n cos (n ) isi n((cos isin )k1(cos isin由归纳假设知，上式 （cos isin)[cos(k (cos cosk sin sin k ) i[cos sin(k )cos[(k 1)] isin[(k 1)],从而知对n k 命题成立. 综上知，对任意 N ，有(cosnisin ) cos(k ) isin( k ), )(cos isin isin( k )] sin cos k ]cos(n ) isin( n(cos isin )(cos isin )(cos( ) isin())(cos i故有(cos isin ) 1 cos isin .(cos isin ) n (cosisin )" (cos( ) isin( ))ncos( n ) isin( n ) cos(n ) isin( n ).若cos isin 是方程x n n 1n 2]a 1x a 2x L an 1x an求证：a 1 sina 2 sin 2La n Sin n0 .将解代入原方程得：(cosisi n )na 1 (cosn 1isin )La n 0 ,将此式两边冋除以（cos isin ）n ，则有：1 a 1 (cos isin ) 1 a 2(cos isin )2 L a n (cos 即 1 a 1 (cos is in ) a 2 (cos2 is in 2 ) L a n (cosn(1 a 1 cos a 2 cos2 L a n cos n ) gsina 2 sin 2由复数相等的定义得a 1sin a 2s in 2 L a n sin n 0 易直接推导知: isin 【例24】 0 【解析】 isin n ) 0 ， L a n sin n ) 0 ， (a 1 ,氏丄,a nisin ) n 0， )k),n N .)cos0 isinOR ）的解,【例25】设x 、y 为实数，且旦，则x y= _________________________ 1 i 1 2i 1 3i 【解析】由xy5 知， x-(1yi) (152i) -(1 3i),1 i 1 2i 1 3i2510即（5x2y 5)(5x 4y 15)i 0 ,,,5x 2y 5 0解得 x1丄」故，故x y 4.5x 4y 15y 5【答案】4【例26】已知―仝是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹. z 1 【答案】以 1,0为圆心，1为半径的圆，并去掉点(0,0)和点(1,0).2 2【解析】法一：设 z x yi ( x, y R ), 则丄 x yi x(x -牛是纯虚数， z 1 x 1 yi (x 1) y 故 x 2 y 2 x 0( y 0), -,0为圆心，-为半径的圆，并去掉点(0 , 0)和点(1, 0). 2 2—是纯虚数, z 120 , ••• z(z 1) z(z 1)0 ,得到 2 z22设 z x yi ( x , y R )，则 x y x ( y 0 )1-,0为圆心，丄为半径的圆，并去掉点 (0,0)和点(1, 0).2 2【例27】设复数z 满足z 2，求z 2 z 4的最值. 【解析】由题意，z z 4，贝U z 2 z 4 z 2 z zz z(z 1 z)设 z a bi( 2 w a < 2 , 2 < b < 2),则 z 2 z 42 a bi 1 a bi 2 2a 1 .•••当 a 1 时，z 2 z4. 0，此时 z -i ;2 min72 2当 a 2 时，z 2 z 410,此时 z 2.min?【例28】 若1 ：(z) 2zz 3i , f (z i) 63i ，试求 f( z).【答案】 6 4i【解析】•/ 1 ：(z) 2z z 3i ,• f(zI) 2(2 i) (z i) 3i2z 2i zi 3i 2z z2i.又知 1 f (z i) 6 3i ,• 2z z2i 6 3i设z abi (a ,b R ),则 za bi , •2(a bi) (abi) 6 i ，即 3a bi 6即z 的对应点的轨迹是以•z 的对应点的轨迹以23a 6由复数相等定义得b 1，解得a 2，bz 2 i -故 f ( z) f ( 2 i) 2( 2 i) ( 2 i) 3i 6 4i .【点评】复数的共轭与模长的相关运算性质： ①设 Z x yi ( x , y R )的共轭复数为z ,则z z2x ； z z2yi ；②Z 为实数 Z Z z 2 0 z 2 z?；③Z 为纯虚数 Z 2 0 z z 0(z 0)； 2Zi (z)；—④对任意复数有Z z ； Z Z 2 Z Z 2 ; z^Z Z 2 , 特别地有Z 2Z 12；Z 2Z 2 ZZ ZZ . Z i Z 2 Z 1 Z 2 , Z Z 2以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明.【例29】 已知虚数为1的一个立方根,即满足31，且 【答案】 【解析】 【点评】Z | |Z 2 W 乙 Z 2 W Z 2I |Z 2 .对应的点在第二象限，证明2，并求0；-2法一：—211 _的值._2i21 (x1)(x 2x 1)0,解得：x3i i .2由题意知 法二:利用 由题意知证明与计算略;故有(1)( 1)又实系数方程虚根成对出现, 由韦达定理有—21 ___ 1 __2i T i .0的两根为負的性质: 23n1,3n 1 3n 2 2 ,(n Z), 10可以快速计算些相关的复数的幕的问题.3 .【例30】 若a °a2a 2a 33[L a 2n2n0 ( nN ,a o , a 1 , a 2 ,L , a 2n R ,1 卫）22求证：a3 aLa 〔 a 7 La 2 aa 8L【解析】 a 0 a12 a2a33 i 2nLa 2n(a 。