八年级数学动点问题
[单选]容量不同的变压器，具有不同的短路电压，大容量的变压器（）。A.短路电压较小B.短路电压较大C.短路电压不固定 [单选]先天性肌性斜颈的最佳手术时间是（）A.出生后3个月以内B.出生后6个月以内C.1岁以内D.1岁以上E.12岁以上 [单选]亚急性感染性心内膜炎最常见的并发症是（）A.心肌脓肿B.心力衰竭C.急性心肌梗死D.肾脓肿E.化脓性脑膜炎 [单选]对银行贷款集中度的监管属于（）。A.预防性监管B.援救性监管C.事后补救措施D.机构监管 [单选]在海上拖运超大型沉箱施工应当在启拖开始之日（）天前向启拖地所在海区的区域主管机关递交发布海上航行警告、航行通告的书面申请。A.3B.5C.7D.10 [填空题]客运经营者在旅客运输途中擅自变更运输车辆或者将旅客移交他人运输的，由（）责令改正，处1000元以上3000元以下的罚款；情节严重的，由原许可机关吊销《道路运输经营许可证》。 [单选]道德存在于人们的内心当中，具有及时性和超前的警示性、（）的特点，可以随时调控人的不良行为。A、启示性B、防范性C、总结性D、暗示性 [多选]SS7信令协议有哪两种？（）A.ISUPB.SIGTRANC.TUPD.BICC [单选]农村集体经济审计是基于我国农村（）而产生的一种特殊的审计形式。A.集体所有制B.全民所有制C.股份合作制D.双层经营体制 [单选]铁路制梁场生产许可证实地核查时，要求必须具有的工艺文件是（）A、生产工艺细则和特殊工序作业指导书B、实施性施工组设计和专项技术方案C、指导性施工组织设计和工装设备设计计算书 [问答题,案例分析题]背景材料： [单选]使用浏览器上网时，不影响系统和个人信息安全的是（）。A.浏览包含有病毒的网站B.浏览器显示网页文字的字体大小C.在网站上输入银行账号、口令等敏感信息D.下载和安装因特网上的软件或者程序 [单选]口腔霉菌感染漱口液选择()A．1％～2％龙胆紫B．1％～3％碳酸氢钠溶液C．0．1％利凡诺溶液D．0．02％呋喃西林E．朵贝尔溶液 [单选,A1型题]连续使用后易产生生理依赖性、能成瘾癖的药品属于（）A.依赖药品B.麻醉药品C.精神药品D.医药用毒性药品E.放射性药品 [单选]一捻金的功能是（）A.消食化滞，泻火通便B.消食导滞，祛痰通便C.消食化滞，健脾和胃D.健脾和胃，消食化滞E.健胃消积，驱虫 [单选]当签订合同后，当事人对合同的格式条款的理解发生争议时，以下做法不正确的是（）。A.应按通常的理解予以解释B.有两种以上解释的，应做出有利于提供格式条款的一方的解释C.有两种以上解释的，应做出不利于提供格式条款的一方的解释D.在格式条款与非格式条款不一致时，应采用 [填空题]提高党的执政能力，关键在于搞好（）。 [单选,A1型题]中药说明书中所列的【主要成分】系指处方中所含的（）A.有效部位B.主要药味C.有效成分D.有效部位或有效成分E.主要药味、有效部位或有效成分 [单选]在下列装置中，属于外燃机的是（）。Ⅰ.锅炉Ⅱ.空气压缩机Ⅲ.蒸汽机Ⅳ.煤气机Ⅴ.蒸汽轮机Ⅵ.电动机A．Ⅱ＋Ⅲ＋Ⅳ＋ⅥB．Ⅰ＋Ⅱ＋ⅣC．Ⅲ＋ⅤD．Ⅰ＋Ⅲ＋Ⅴ＋Ⅵ [单选]关于鼻咽纤维血管瘤不正确的是()A．鼻出血或口中吐血是其主要症状B．多发生于30岁以上的男性C．是鼻咽部最常见的良性肿瘤D．手术是其主要治疗方法E．肿瘤可引起一侧或双侧鼻塞 [单选,A2型题,A1/A2型题]重度二尖瓣狭窄是指（）A.瓣口面积2.5cm2以下B.瓣口面积3.0cm2以下C.瓣口面积2.0cm2以下D.瓣口面积1.5cm2以下E.瓣口面积1.0cm2以下 [单选,A2型题,A1/A2型题]最适宜用于鉴别慢性粒细胞白血病与类白血病反应的细胞化学染色是（）A.过氧化物酶B.糖原C.酸性磷酸酶D.碱性磷酸酶E.血清溶菌酶 [单选]颈髓损伤患者的临床表现中，不包括（）A.上下肢无力B.感觉丧失C.双下肢肌肉牵张反射减弱D.双下肢肌张力增加E.巴彬斯基征阳性 [单选,A型题]患者男性，38岁，因突发心悸、头晕1小时就诊。既往心电图检查提示为A型预激综合征。查体：血压为70／40mmHg，心界不大，无杂音。心悸时记录的心电图如图3-16-2所示，最可能的诊断是（）。A.多形性室性心动过速B.预激综合征合并心房颤动C.阵发性室上性心动过速D.心房颤 [判断题]受教育权是一种内容广泛的民事权利，既包括财产权，又包括人格权。A.正确B.错误 [单选,A型题]现行中华人民共和国药典颁布使用的版本为A、1990年版B、1993年版C、1995年版D、1998年版E、2000年版 [判断题]马氏体的含碳量越高，其硬度越低。（）A.正确B.错误 [单选]（）是实现旅游发展目的的环境支撑。A.充分利用旅游地资源B.满足旅游者的利益C.满足旅游地居民的利益D.满足当地政府和开发商的利益 [单选]VCO电路中，通过改变回路电抗元件参数改变频率，此可变器件为（）。A.电感B.电容C.变容二极管 [问答题,简答题]如遇突然停电如何操作？ [填空题]水准仪主要由基座、（）、望远镜组成。 [单选,A2型题,A1/A2型题]人巨噬细胞的获取来源一般不包括（）A.外周血B.斑蝥敷贴形成的皮泡液C.肺泡漂洗液D.患者腹膜透析液E.肝组织 [单选]雌激素与下列哪项激素共同作用.雄激素 [单选]事业单位年终结账时，下列项目中不应转入“结余分配”科目的是()。A."事业结余"科目借方余额B."事业结余"科目贷方余额C."经营结余"科目借方余额D."经营结余"科目贷方余额 [不定项选择]生产单位产品消耗的主要原料和辅料的量，也就是原辅材料消耗定额，也可用（）等工艺指标反映物耗水平。A.重复利用率B.转化率C.产品收率D.循环率 [单选,A2型题,A1/A2型题]DSA需要对两次采集的图像进行数字图像处理中的（）A.图像相加B.图像相减C.图像相乘D.图像相除E.图像积分 [填空题]曳引机采用刚性联轴器安装时同轴度应不大于（）mm。 [单选]下列关于大额支付系统的处理，（）是不正确的。A、城市商业银行签发银行汇票，应及时通过行内系统将汇票资金移存至城市商业银行汇票处理中心。B、代理兑付行兑付银行汇票，应通过大额支付系统向汇票处理中心发送银行汇票资金清算请求。C、系统参与者应加强对查询、查复的管 [问答题]对初步核实的结果如何处理？ [多选]下列关于成本计算平行结转分步法的表述中，正确的有()。A.不必逐步结转半成品成本B.各步骤可以同时计算产品成本C.能提供各个步骤半成品的成本资料D.能直接提供按原始成本项目反映的产成品成本资料
初二几何之动点问题知识讲解
初二几何之动点问题中考数学动点几何问题※动点求最值:两定一动型（“两个定点，一个动点”的条件下求最值。
例如上图中直线l 的同侧有两个定点A 、B,在直线l 上有一动点）例1、以正方形为载体 如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形内，在对角线AC 上有一动点P ，使PD+PE 的值最小，则其最小值是例2、以直角梯形为载体 如图，在直角梯形中，AD ∥BC ，AB ⊥BC,AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，当PA+PD 取得最小值时，△APD 中AP 边上的高为一定两动型（“一个定点”+“两个动点”）例3、以三角形为载体如图，在锐角△ABC 中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D,M 、N 分别是AD 、AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是例4、以正方形、圆、角为载体 正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上的一动点.连接BP ，EP ，则PB+PE 的最小值是例5、⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB, ∠AOC=60°，P 是OB 上的一动点，PA+PC 的最小值是例6、如图，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值是 .例7：在△ABC 中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM,(1)求△ABC 的面积；(2)现有动点P 从A 点出发，沿射线AB 向点B 方向运动，动点Q 从C 点出发，沿射线CB 也向点B 方向运动。
如果点P 的速度是4CM/秒，点Q 的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ 的面积是△ABC 的面积的一半？ (3)在第（2）问题前提下，P,Q 两点之间的距离是多少？A例8：如图（3），在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．（1）求边的长； （2）当为何值时，与相互平分；（3）连结设的面积为求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？求最大值？※动点构成特殊图形例9、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．ABCD 906DC AB A AD ∠==∥，°，4DC =BC 34i =∶，P A AB B Q B B C D →→D t BC t PC BQ PQ ，PBQ △y ，y t t y 图精品文档B（备用例10、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.例11、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=o ，且EF 交正方形外角DCG ∠的平分线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请A D EB FC 图4 ADE BF C 图5A D E B F C 图图A D E B F C P N M 图A D EB F CP N M （第25说明理由．例12、如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC，∠C =30°.点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）.过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF .（1）求证：AE =DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由. （3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由.※利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
八年级数学动点题型归纳
八年级数学动点题型归纳一、动点与三角形相关题型1. 动点在三角形边上运动求线段长度或周长题目：在等腰三角形公式中，公式，公式，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，设运动时间为公式秒。
当公式时，求公式的长度。
解析：过点公式作公式于点公式。
因为公式，等腰三角形三线合一，所以公式。
在公式中，根据勾股定理公式。
当公式时，公式，则公式。
在公式中，根据勾股定理公式。
2. 动点运动过程中三角形面积的变化题目：在公式中，公式，公式，公式，点公式从点公式出发，沿公式向点公式以每秒公式个单位长度的速度运动，同时点公式从点公式出发，沿公式向点公式以每秒公式个单位长度的速度运动，设运动时间为公式秒公式，求公式的面积公式与公式的函数关系式。
解析：已知公式，则公式，公式。
根据三角形面积公式公式，对于公式，底为公式，高为公式。
所以公式。
二、动点与四边形相关题型1. 动点在四边形边上运动判断四边形形状题目：在矩形公式中，公式，公式，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，设运动时间为公式秒。
当公式时，四边形公式是什么四边形？解析：当公式时，公式，公式。
因为四边形公式是矩形，所以公式，公式。
则公式，公式。
在四边形公式中，公式（因为公式），公式，公式（此时公式运动到公式点），公式。
因为公式且公式，所以四边形公式是梯形。
2. 动点运动过程中四边形面积的变化题目：在平行四边形公式中，公式，公式，公式，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，设运动时间为公式秒。
求四边形公式的面积公式与公式的函数关系式。
解析：四边形公式的面积公式。
过点公式作公式于点公式，在公式中，公式，公式，则公式，公式。
所以公式。
因为公式，则公式。
公式。
所以公式。
三、动点与函数图象相关题型1. 根据动点运动情况确定函数图象题目：如图，在边长为公式的正方形公式中，点公式以每秒公式个单位长度的速度从点公式出发，沿公式的路径运动，到点公式停止。
完整版)八年级数学一次函数动点问题
完整版)八年级数学一次函数动点问题八年级数学一次函数动点问题1、如图所示，以等边三角形OAB的边OB所在直线为x 轴，点O为坐标原点，在第一象限建立平面直角坐标系。
其中，△OAB边长为6个单位。
点P从O点出发沿折线OAB 向B点以3单位/秒的速度运动，点Q从O点出发沿折线OBA向A点以2单位/秒的速度运动。
两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止。
①点A的坐标为（3，3），P、Q两点相遇时交点的坐标为（3，3）；②当t=2时，△OPQ的面积为3/2；当t=3时，△OPQ的面积为9/4；③设△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式为S=(3t-t^2)/4；④当△OPQ的面积最大时，在y轴上无法找到一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是直角三角形。
2、如图所示，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动。
设点P、Q移动的时间为t秒。
1) 直线AB的解析式为y=-x+6；2) 当t=5时，△APQ的面积为24/5平方单位；3) △OPQ为直角三角形的时间范围为2≤t≤4；4) 无论t为何值，△OPQ都不可能为正三角形。
若点Q的运动速度为4个单位/秒，则此时t=2.3、如图所示，在直角三角形△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点。
它们同时分别从点A、O向B 点匀速运动，速度均为1cm/秒。
设P、Q移动时间为t（≤t≤4）。
1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）。
证明：由于△OPM与△OAB相似，因此有PM/OB=AO/AB，即PM=AO*OB/AB=9/5.又因为△APM与△AOB相似，因此有AM/OA=PM/OB，即AM=OA*PM/OB=27/20.因此AM：AO=PM：BO=AP：AB=9：15：20.P点的坐标为（3t/5，18t/5）。
(完整版)初二动点问题(含答案)
动态问题一、所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键：动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想类型：1。
利用图形想到三角形全等，相似及三角函数2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程,速度(动点怎么动)3.结合图形和题目,得出已知或能间接求出的数据4。
分情况讨论,把每种可能情况列出来，不要漏5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路6。
动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示,就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论二、例题：1、如图1,梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。
当t= 时,四边形是平行四边形；当t= 时,四边形是等腰梯形.2、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1，N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为．的长为 ；的长为 ;4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；（2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证：DE=AD—BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.5、数学课上，张老师出示了问题:如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BCEFCF于点F，求证：AE=EF．AB的中点M,连接ME,则AM=EC在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点"改为“点E是边BC上(除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由;（2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确,请说明理由．ACBAED图1NMA BCDEMN图2ACBEDNM图36、如图， 射线MB上，MB=9，A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求（1）△ PAB为等腰三角形的t值；(2)△ PAB为直角三角形的t值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °,其他条件不变，直接写出△ PAB为直角三角形的t值（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向CCA上由C点向A点运动①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时，能（2）若点Q以②中的运动速度从点C来的运动速度从点B边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次哪条边上相遇?A DFC GEB图1A DFC GEB图3A DFC GEB图2。
初二数学动点问题归类复习(含例题、练习及答案)
初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。
一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题例1：（2013年上海市虹口区中考模拟第25题）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图思路点拨1．第（2）题BP＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．解答：（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以315tan544ED CD C=⋅∠=⨯=，254EC=．（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以43PM DMQN DN==．所以34QN PM=，43PM QN=．图2 图3 图4①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时3344QN PM==．所以319444CQ CN QN=+=+=．②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时31544QN PM==．所以1531444CQ CN QN=+=+=．（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，3tan4QD DNQPDPD DM∠===．在Rt△ABC中，3tan4BACCA∠==．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．此时4433PM QN==．所以45333BP BM PM=-=-=．②如图6，当QC＝QD时，由cosCHCCQ=，可得5425258CQ=÷=．所以QN＝CN－CQ＝257488-=（如图2所示）．此时4736PM QN==．所以725366BP BM PM=+=+=．③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．图5 图6考点伸展：如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解256BP=．二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题例2：（2008年河南省中考第23题）如图1，直线434+-=xy和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．图1思路点拨：1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点．2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能． 解答：（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）． Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5． 因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-．定义域为2＜t ≤5．图2 图3②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455t t -=．解得12t =，22t =．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时2t = ③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =， 所以535t t -=．解得258t =． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =． 不存在∠ONM ＝90°的可能．所以，当258t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．图4 图5考点伸展：在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5．图6 图7三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题 例3：（2010年山西省中考第26题）在直角梯形OABC 中，CB //OA ，∠COA ＝90°，CB ＝3，OA ＝6，BA＝．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B 的坐标；（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2EB ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2思路点拨：1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB 与DF 垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO 为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM 、DO 与DN 为邻边．解答：(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)．(2) 因为OE＝2EB，所以223E Bx x==，243E By y==，E(2,4)．设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得5,2 4.bk b=⎧⎨+=⎩解得12k=-，5b=．所以直线DE的解析式为152y x=-+．(3) 由152y x=-+，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝．①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5,52)，点N的坐标为(－5,52)．②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P．由△NPO∽△DOF，得NP PO NODO OF DF==，即510NP PO==NP=，PO=．此时点N的坐标为(-．图3 图4考点伸展如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．图5 图6四、相似三角形：因动点产生的相似三角形问题例4：（2013年苏州中考28题）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t=s时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．思路点拨：（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）△EBF与△FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在．解答：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，即：10﹣t=3t，解得t=2.5；（2）分两种情况，讨论如下：①若△EBF∽△FCG ，则有，即，解得：t=2.8；②若△EBF∽△GCF ，则有，即，解得：t=﹣14﹣2（不合题意，舍去）或t=﹣14+2．∴当t=2.8s或t=（﹣14+2）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM =BC﹣BF=6﹣3t，OM=5，由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即：52+（6﹣3t）2=（3t）2解得：t =；过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，即：62+（5﹣t）2=（10﹣t）2解得：t=3.9．∵≠3.9，∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．考点伸展：本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在．拓展练习：1、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒。
人教版八年级上册数学期末动点问题训练题(含简单答案)
人教版八年级上册数学期末动点问题训练题(1)若点在线段上，如图所示，且，则______(2)若点在边上运动，如图所示，则、、之间的关系为(3)如图，若点在斜边的延长线上运动，请写出(1)求证：；(2)探究与的数量关系，并证明你的结论．(3)若，直接写出的值为__________P AB ①50α∠=︒12∠+∠=P AB ②α∠1∠2∠③P BA ()CE CD <α∠AF EF =AD CF 2AD CD =CF(1)求的面积；(2)如图1，若，，作交于，平分，平分交求出（用表示）；(3)如图2．若，轴于，点从点出发，在射线(1)如图1，若，则_______°ABO V 60ACB ∠=︒180NFC FCN FNC ∠+∠+∠=︒GF AB ∥AC F FP GFC ∠FN AFP ∠BAC ∠α()36P ，PC x ⊥C M P 15α=︒CBA ∠'=(2)如图2，点P 在延长线上，且．①连接，试探究，，之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．②连接，若，C ，P 三点共线，，，求的长．6．如图1，，，，．(1)求C 点的坐标；(2)如图2，P 为y 轴负半轴上一个动点，当P 点在y 轴负半轴上向下运动时，始终保持，，过D 作轴于E 点，求的值；(3)如图3，已知点F 坐标为，当G 在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持，与y 轴负轴交于点，与x 轴正半轴交于点，当G 点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，求的值．7．如图，中，，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为秒．(1)当点在上时，______时，把的周长分成相等的两部分？(2)当点在上时，______时，把的面积分成相等的两部分？(3)当点在所有运动过程中，连接或，求当为何值时，的面积为12？BD DAP DBC α∠=∠=CP AP BP CP CA 'A '10BP =1CP =CA '2OA =4OB =90BAC ∠=︒AB AC =PA PD =90APD ∠=︒DE x ⊥OP DE -(44)--，Rt FGH V 90GFH ∠=︒FG (0)G m ，FH (0)H n ，m n +ABC V 90C ∠=︒8cm AC =6cm BC =10cm AB =P C C A B C →→→2cm t P AB t =CP ABC V P AB t =CP ABC V P PC PB t BCP V(1)请直接写出，两点的坐标；(2)如图，分别以，为直角边向右侧作等腰交轴于点，连接，求证：；(3)如图，点为y 轴上一动点，点在直线侧作等腰，若连接E ，，三点按逆时针顺序排列B C 1AB BC Rt x M BM BM DE ⊥2F (),33G m m -+Rt BCE V F G ((1)如图1，当点D 在边上时．①求证：；②直接判断结论，，的关系 (2)如图2，当点D 在边的延长线上时，其他条件不变，请写出(1)求的度数；(2)当点运动到使时，求(3)当点运动时，与BC ABD ACE ≌△△BC DC CE BC CBD ∠P ACB ABD =∠∠P APB ∠ADB ∠(1)如图①，动点在轴负半轴上，且交于点、交于点，求证：．(2)如图，在（1）的条件下，连接，求证：．(3)如图③，E 为的中点，动点G 在轴上，，，连接，作交轴于F ，猜想，、之间的数量关系，并说明理由．13．已知中．(1)如图1、2，若点是上一点，且，点是上的动点，将沿对折，点的对应点为（点和点在直线的异侧），与交于点．①当时，求的度数．②当是等腰三角形时，求的度数．(2)如图3，若点是上一点，且，是线段上的动点，以为直角构造等腰直角（三点顺时针方向排列），在点的运动过程中，直接写出的最小值．14．在平面直角坐标系中，点B 、C 的坐标分别为、，点A 在第一象限，且是等边三角形．点D 的坐标为，E 是边上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接．(1)求出A 点坐标；(2)当点F 落在边上时，与全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由；(3)当以为腰的是等腰三角形时，的长为_________．C x AH BC ⊥BC H OB P △≌△AOP BOC ②OH 2OHP AHB ∠=∠AB y (0,)G n 0n <GE EF GE ⊥x GB OB AF Rt ABC △90930∠︒∠︒C BC B ＝，且＝，＝D CB 2CD =E AB DBE V DE B B'B'C AB 'DB AB H 20∠=︒'B EA EDB ∠B HE 'V DEB ∠D CB 2CD =M AC MDN ∠DMN V D M N ，，M CN NB +(0,0)(12,0)ABC V (4,0)AB DE DE DE DEF V CF AC CDF V BED V DF CDF V BE(1)若，① ，②判断线段，之间有怎样的位置关系并说明理由；(2)设，，则x ，y 之间的数量关系为(3)如图2，当时，若线段，90BAC ∠=︒BCA ∠=BC CE BAC x ∠=︒BCE y ∠=︒CE AB ∥3BC =ABC V______．17．已知：如图，在平面直角坐标系中，点B是x轴上的动点，点，点，轴于点D．(1)当点B坐标为时，求证：；(2)在（1）的条件下，探究并证明和的位置关系；(3)当的周长最小时，求点B的坐标．()0,2A()5,3CCD x⊥()3,0OAB DBC≌△△AB BCABCV参考答案：(4)17． (2)，(3)CEP DBP BPB +∠∠=∠AB BC ⊥()2,0B。
八年级上册数学动点问题三角形全等
一、动点问题概述动点问题是数学中的一个重要概念，它涉及到物体或点在特定条件下的运动轨迹和位置变化。
在数学中，我们常常会遇到关于动点问题的题目，通过对动点的运动进行分析和建模，从而得出数学解决方案。
在八年级上册数学学习中，动点问题也是一个重要的内容，尤其是在进行三角形全等的学习中，动点问题的应用更是凸显出其重要性。
二、三角形全等的概念1. 三角形全等是指在平面解析几何中，两个三角形在形状和大小上完全相同。
当两个三角形的对应边长相等，对应角度相等时，我们就可以认为它们是全等三角形。
2. 三角形全等的性质：全等的三角形，对应边相等，对应角相等，面积相等。
三、动点问题与三角形全等的联系1. 在动点问题中，三角形全等常常被用来描述动点的运动轨迹。
一个动点在平面内作定点旋转、平移等运动时，可以利用三角形全等的性质来描述动点的位置变化。
2. 通过观察动点在三角形内的运动，我们可以将动点与三角形全等的概念进行结合，从而更深刻地理解动点问题和三角形全等。
四、动点问题三角形全等的举例分析1. 假设动点A在平面内作匀速直线运动，点B、点C分别为该平面内两个定点，且直线AB与BC共线，以BC为直线方向。
如果C到A的距离等于B到A的距离，根据三角形全等的性质，我们可以推断出△ABC与△ACB是全等三角形，即两个三角形的三边和三个角都相等。
2. 再做一个动点问题的三角形全等的举例，如果A、B、C三个点共线，并且A点到B点的距离等于B点到C点的距离。
那么，如果D是AC 上的一个任意一点，那么我们可以得出△ABD与△BCD是全等三角形。
五、动点问题三角形全等的解题方法在解决动点问题与三角形全等的题目时，我们需要遵循以下步骤：1. 观察动点在平面内的运动轨迹，分析三角形的形状和位置变化。
2. 利用三角形全等的性质，建立动点与三角形全等的关系。
3. 根据题目给出的条件和要求，构建方程或等式，求解动点问题与三角形全等。
六、动点问题三角形全等的应用举例1. 在解析几何中，我们常常会遇到这样的动点问题：一个点以一定的规律在平面内作运动，问它经过的点的轨迹是什么形状？这种问题就可以通过分析三角形全等来解决。
初二数学动点问题练习(含答案)
动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。
当t= 时，四边形是平行四边形；6当t= 时，四边形是等腰梯形. 82、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 53、如图，在Rt ABC△中，9060ACB B∠=∠=°，°，2BC=．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.∴AB=4,AC∴AO=12AC.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.（备用图）CBED图1NMA BCDEMN图2ACBEDNM图3(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．解：（1）正确． 证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°． CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠． 90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=． （2）正确．证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°． 四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=．6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t. 求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值AD FC G E B 图1 AD FG B 图3A D FC GE B 图2A D F C GB M A D FC G B N7、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD BC∥，E是AB的中点，过点E作EF BC∥交CD于点F．46AB BC==，，60B=︒∠.求：（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF⊥交BC于点M，过M作MN AB∥交折线ADC 于点N，连结PN，设EP x=.①当点N在线段AD上时（如图2），P M N△的形状是否发生改变？若不变，求出PMN△的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由解（1）如图1，过点E作EG BC⊥于点G．∵E为AB的中点，∴122BE AB==．在Rt EBG△中，60B=︒∠，∴30BEG=︒∠．∴112BG BE EG====，A DEBFC图4（备用）A DEBFC图5（备用）A DEBFC图1 图2A DEBFCPNM图3A DEBFCPNM（第25题）即点E 到BC（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，， ∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥， ∴EP GM =，PM EG == 同理4MN AB ==． 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥，∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=． 则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==． ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-= 当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠． 因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=． 此时，6114x EP GM ===--=． 综上所述，当2x =或4或(5-时，PMN △为等腰三角形．8、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．(1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动图3A D E BFCPN M 图4A D EBF CP MN 图5A DEBF （P ） CM NGGRG图1A D EBF CG 图2A D EBFCPNMG H①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ②∵P Qv v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t===厘米/秒。
初二数学动点问题归类复习(含例题练习及答案)
初二数学动点问题归类复习(含例题练习及答案)所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。
一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题例1：（2022年上海市虹口区中考模拟第25题）如图1，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1备用图思路点拨1．第（2）题BP＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．解答：（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以EDCDtanC531525，EC．444（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PD M＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以34PMDM4．所以QNPM，PMQN．43QNDN3图2图3图4①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时QN33319PM．所以CQCNQN4．4444②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．3151531PM．所以CQCNQN4．4444QDDN3（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，tanQPD．PDDM4BA3在Rt△ABC中，tanC．所以∠QPD＝∠C．CA4此时QN由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠P DF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．此时PM4445QN．所以BPBMPM3．33335425CH，可得CQ．258CQ②如图6，当QC＝QD时，由coC所以QN＝CN－CQ＝4此时PM257．（如图2所示）8847725．QN．所以BPBMPM33666③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．图5图6考点伸展：如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解BP25．64某4和某轴、y轴的交点分别为B、C，点3二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题例2：（2022年河南省中考第23题）如图1，直线yA的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿某轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．2图1思路点拨：1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ON M＝90°的可能．解答：（1）直线y4某4与某轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．3Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．在Rt△BNH中，BN＝t，inB44，所以NHt．55如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时S11424OMNH(2t)tt2t．定义域为0＜t≤2．2255511424OMNH(t2)tt2t．定义域为2＜t≤5．22555如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时S图2图3②把S＝4代入S22424tt，得t2t4．5555解得t1211，t2211（舍去负值）．因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时t211．③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM5t，coB3，53所以5t325．解得t．t58如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，t5．不存在∠ONM＝90°的可能．所以，当t25或者t5时，△MON为直角三角形．8图4图5考点伸展：在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．图6图7三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题例3：（2022年山西省中考第26题）在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为某轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交某轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在某轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图1图2思路点拨：1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，4DO与DM、DO与DN为邻边．解答：(1)如图2，作BH⊥某轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝35，所以BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)．(2)因为OE＝2EB，所以某E22某B2，yEyB4，E(2,4)．33设直线DE的解析式为y＝k某＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得以直线DE的解析式为y(3)由yb5,1解得k，b5．所22kb4.1某5．21某5，知直线DE与某轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝55．2①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5,55)，点N的坐标为(－5,)．22②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交某轴于P．由△NPO∽△DOF，得NPPODOOFNONPPO5，即．解得NP5，DF51055PO25．此时点N的坐标为(25,5)．图3图4考点伸展如果第（3）题没有限定点N在某轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．图5图65参考答案：1、解：：（1）要使四边形PQCD为平行四边形，则PD=CQ，∵AD=18cm，即18-t=2t，解得：t=6；（2）设经过t，四边形PQCD是等腰梯形．过Q点作QE⊥AD，过D点作DF⊥BC，∵四边形PQCD是等腰梯形，∴PQ=DC．又∵AD∥BC，∠B=90°，∴AB=EQ=DF．∴△EQP≌△FDC．∴FC=EP=BC-AD=21-18=3．又∵AE=BQ=21-2t，EP=t-AE，∴EP=AP-AE=t-（21-2t）=3．得：t=8．∴经过8，四边形PQCD是等腰梯形．2、5；3、解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.∵CE//AB,∴四边形EDBC是平行四边形在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,∴∠A=300.1AC32∴AB=4,AC=2.∴AO==3.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2.∴BD=BC.又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形4、解：（1）①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE∵AC=BC∴△ADC≌△CEB②∵△ADC≌△CEB∴CE=AD，CD=BE∴DE=CE+CD=AD+BE(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE又∵AC=BC∴△ACD≌△CBE∴CE=AD，CD=BE∴DE=CE-CD=AD-BE(3)当MN旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD.5、解：（1）正确．．AEEF．BAECEF．△AME≌△BCF（ASA）（2）正确．C，连接证明：在BA的延长线上取一点N．使ANNE．BNBE．NPCE45°．四边形ABC是D正方形，AD∥BE．DAEBEA．NAEC．△ANE≌△ECFEEF（ASA）．A．116、解：解：（1）作AE⊥BM于E。
初二数学动点问题总结
初二动点问题1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥ BC，∠ B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm ，动点 P 从 A 开始沿 AD 边向 D 以 1cm/s 的速度运动；动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向 B 以 3cm/s 的速度运动． P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当此中一点到达端点时，别的一点也随之停止运动，设运动时间为ts ．2.3.4. 解析：（1）当 t 为什么值时，四边形 PQCD 为平行四边形？（2）当 t 为什么值时，四边形 PQCD 为等腰梯形？（3）当 t 为什么值时，四边形 PQCD 为直角梯形？（1）四边形 PQCD 为平行四边形时 PD=CQ ．（2）四边形 PQCD 为等腰梯形时 QC-PD=2CE ．（3）四边形 PQCD 为直角梯形时 QC-PD=EC ．全部的关系式都可用含有 t 的方程来表示，即此题只需解三个方程即可．解答：解：（ 1）∵四边形 PQCD 平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得： t=6即当 t=6 时，四边形 PQCD 平行为四边形．（2）过 D 作 DE⊥BC 于 E则四边形 ABED 为矩形∴ BE=AD=24cm∴ EC=BC-BE=2cm∵四边形 PQCD 为等腰梯形∴ QC-PD=2CE即 3t- （24-t ）=4解得： t=7 （ s）即当 t=7 （ s）时，四边形 PQCD 为等腰梯形．（3）由题意知： QC-PD=EC 时，四边形 PQCD 为直角梯形即 3t- （24-t ）=2解得： t=6.5 （ s）即当 t=6.5 （ s）时，四边形PQCD 为直角梯形．评论：此题主要观察了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判断，难易程度适中．5.如图，△ ABC 中，点 O 为 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线 MN∥ BC ，设 MN 交∠ BCA 的外角均分线 CF 于点 F，交∠ ACB 内角均分线 CE 于 E．（1）试说明 EO=FO ；（2）当点 O 运动到哪处时，四边形 AECF 是矩形并证明你的结论；（3）若 AC 边上存在点 O，使四边形 AECF 是正方形，猜想△ ABC 的形状并证明你的结论．解析：（1）依据 CE 均分∠ ACB ，MN ∥BC ，找到相等的角，即∠ OEC= ∠ ECB ，再依据等边同等角得 OE=OC ，同理 OC=OF ，可得 EO=FO ．（2）利用矩形的判断解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解答：解：（ 1）∵ CE 均分∠ ACB ，∴∠ ACE= ∠ BCE ，∵MN∥BC ，∴∠ OEC= ∠ECB ，∴∠ OEC= ∠OCE ，∴OE=OC ，同理， OC=OF ，∴OE=OF ．（ 2）当点 O 运动到 AC 中点处时，四边形AECF 是矩形．如图 AO=CO ，EO=FO ，∴四边形 AECF 为平行四边形，∵CE 均分∠ ACB ，∴∠ ACE=∠ ACB，同理，∠ ACF=∠ ACG，∴∠ ECF= ∠ ACE+ ∠ACF=（∠ ACB+∠ ACG）=×180°=90°，∴四边形 AECF 是矩形．（3）△ ABC 是直角三角形∵四边形 AECF 是正方形，∴AC⊥ EN ，故∠ AOM=90°，∵MN∥BC ，∴∠ BCA=∠AOM ，∴∠BCA=90°，∴△ ABC 是直角三角形．评论：此题主要观察利用平行线的性质“等角同等边”证明出结论（1），再利用结论（ 1）和矩形的判断证明结论（ 2），再对（ 3）进行判断．解答时不但要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题供给思路，有相似的思虑方法．是矩形的判断和正方形的性质等的综合运用．6.如图，直角梯形 ABCD 中， AD∥ BC ，∠ ABC=90°，已知 AD=AB=3 ， BC=4 ，动点 P 从 B 点出发，沿线段 BC 向点 C 作匀速运动；动点 Q 从点 D 出发，沿线段DA 向点 A 作匀速运动．过 Q 点垂直于 AD 的射线交 AC 于点 M，交 BC 于点N． P、Q 两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度．当 Q 点运动到 A 点， P、Q 两点同时停止运动．设点 Q 运动的时间为 t 秒．（1）求 NC ， MC 的长（用 t 的代数式表示）；（2）当 t 为什么值时，四边形 PCDQ 构成平行四边形；（3）能否存在某一时辰，使射线 QN 恰好将△ ABC 的面积和周长同时均分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明原由；（4）研究： t 为什么值时，△ PMC 为等腰三角形．解析：（1）依照题意易知四边形ABNQ 是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ ，BC 、AD 已知，DQ 就是t ，即解；∵AB ∥QN ，∴△CMN ∽△CAB ，∴CM ： CA=CN ：CB ，（2） CB 、CN 已知，依据勾股定理可求 CA=5 ，即可表示CM ；四边形 PCDQ 构成平行四边形就是 PC=DQ ，列方程 4-t=t 即解；（3）可先依据 QN 均分△ ABC 的周长，得出 MN+NC=AM+BN+AB ，据此来求出 t 的值．而后依据得出的 t 的值，求出△ MNC 的面积，即可判断出△ MNC 的面积能否为△ ABC 面积的一半，由此可得出能否存在吻合条件的t 值．（4）因为等腰三角形的两腰不确立，所以分三种状况进行谈论：①当 MP=MC 时，那么 PC=2NC ，据此可求出 t 的值．②当 CM=CP 时，可依据 CM 和 CP 的表达式以及题设的等量关系来求出 t 的值．③当 MP=PC 时，在直角三角形 MNP 中，先用 t 表示出三边的长，而后依据勾股定理即可得出 t 的值．综上所述可得出吻合条件的t 的值．解答 :解：（ 1）∵ AQ=3-t∴CN=4- （ 3-t ） =1+t在 Rt △ ABC 中， AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在 Rt △ MNC 中， cos ∠NCM==，CM=．（2）因为四边形 PCDQ 构成平行四边形∴ PC=QD ，即 4-t=t解得 t=2 ．（3）假如射线 QN 将△ ABC 的周长均分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：（ 1+t） +1+t=（3+4+5）解得： t= （5 分）而 MN= NC= （1+t ）∴ S△MNC=（1+t）2=（1+t） 2当 t=时，S△MNC=（1+t）2=≠×4×3∴不存在某一时辰t ，使射线 QN 恰好将△ ABC 的面积和周长同时均分．（4）①当 MP=MC 时（如图 1）则有： NP=NC即 PC=2NC ∴4-t=2 （ 1+t ）解得： t=②当 CM=CP 时（如图 2）则有：（1+t ）=4-t解得： t=③当 PM=PC 时（如图 3）则有：在 Rt △ MNP 中， PM2=MN2+PN2而 MN= NC= （1+t ）PN=NC-PC= （1+t ）-（4-t ） =2t-3∴[ （ 1+t ）]2+ （2t-3 ）2=（ 4-t ） 2解得： t1=，t2=-1（舍去）∴当 t=，t=，t=时，△ PMC为等腰三角形评论：此题繁琐，难度中等，观察平行四边形性质及等腰三角形性质．观察学生分类谈论和数形联合的数学思想方法．7.如图，在矩形 ABCD 中， BC=20cm ， P， Q，M，N 分别从 A，B ，C， D 出发沿 AD ，BC ，CB ， DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在同样时间内，若BQ=xcm （ x≠0），则 AP=2xcm ，CM=3xcm ， DN=x2cm ．（1）当 x 为什么值时，以 PQ， MN 为两边，以矩形的边（ AD 或 BC ）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当 x 为什么值时，以 P， Q，M， N 为极点的四边形是平行四边形；（ 3）以 P， Q，M，N 为极点的四边形能否为等腰梯形？假如能，求 x 的值；假如不可以，请说明原由．解析：以 PQ ，MN 为两边，以矩形的边（ AD 或 BC ）的一部分为第三边构成一个三角形的一定条件是点 P 、 N 重合且点 Q 、 M 不重合，此时 AP+ND=AD 即2x+x2=20cm ，BQ+MC≠B C 即 x+3x≠ 20cm；也许点 Q 、M 重合且点 P、N 不重合，此时 AP+ND≠AD 即 2x+x2≠20cm ，BQ+MC=BC 即 x+3x=20cm ．所以可以依据这两种状况来求解 x 的值．以 P，Q，M，N 为极点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q 只能在点 M 的左边．当点 P 在点 N 的左边时， AP=MC ，BQ=ND ；当点 P 在点 N的右边时， AN=MC ， BQ=PD ．所以可以依据这些条件列出方程关系式．假如以 P， Q，M， N 为极点的四边形为等腰梯形，则一定使得AP+ND≠AD即2x+x2≠ 20cm，BQ+MC≠ BC即x+3x≠ 20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x ， x≠0．这些条件不可以同时满足，所以不可以成为等腰梯形．解答：解：（ 1）当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时，以 PQ ，MN 为两边，以矩形的边（ AD 或 BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点 P 与点 N 重合时，由 x2+2x=20 ，得 x1=-1，x2=--1（舍去）．因为 BQ+CM=x+3x=4 （-1）＜ 20，此时点 Q 与点 M 不重合．所以 x=-1 吻合题意．②当点 Q 与点 M 重合时，由 x+3x=20 ，得 x=5 ．此时 DN=x2=25 ＞ 20，不吻合题意．故点 Q 与点 M 不可以重合．所以所求 x 的值为-1．（2）由（ 1）知，点 Q 只好在点 M 的左边，①当点 P 在点 N 的左边时，由 20- （x+3x ）=20-（2x+x2 ），解得 x1=0 （舍去），x2=2 ．当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形．②当点 P 在点 N 的右边时，由 20- （x+3x ）=（ 2x+x2 ）-20 ，解得 x1=-10 （舍去），x2=4 ．当 x=4 时四边形 NQMP 是平行四边形．所以当 x=2 或 x=4 时，以 P， Q，M， N 为极点的四边形是平行四边形．（3）过点 Q ，M 分别作 AD 的垂线，垂足分别为点 E， F．因为 2x ＞x ，所以点 E 必定在点 P 的左边．若以 P，Q， M， N 为极点的四边形是等腰梯形，则点 F 必定在点 N 的右边，且 PE=NF ，即 2x-x=x2-3x ．解得 x1=0 （舍去），x2=4 ．因为当 x=4 时，以 P， Q，M，N 为极点的四边形是平行四边形，所以以 P， Q， M， N 为极点的四边形不可以为等腰梯形．评论：此题观察到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特色．8.如图，在梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=14cm ，AD=15cm ，BC=21cm ，点 M 从点 A 开始，沿边 AD 向点 D 运动，速度为 1cm/s ；点 N 从点 C 开始，沿边CB 向点 B 运动，速度为 2cm/s 、点 M、N 分别从点 A 、C 出发，当此中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．（1）当 t 为什么值时，四边形 MNCD 是平行四边形？（2）当 t 为什么值时，四边形 MNCD 是等腰梯形？解析：（1）依据平行四边形的性质，对边相等，求得（2）依据等腰梯形的性质，下底减去上底等于t 值；12，求解即可．解答：解：（ 1）∵ MD ∥NC，当 MD=NC ，即 15-t=2t ，t=5 时，四边形 MNCD 是平行四边形；（2）作 DE ⊥BC ，垂足为 E，则 CE=21-15=6 ，当 CN-MD=12 时，即 2t-（ 15-t ） =12 ，t=9 时，四边形 MNCD 是等腰梯形评论：观察了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的要点内容．9.如图，在直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠C=90°，BC=16 ，DC=12 ，AD=21 ，动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动， P、 Q 分别从点 D、C 同时出发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动，设运动时间为 t （ s）．（1）设△ BPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系；（2）当 t 为什么值时，以 B 、 P、 Q 三点为极点的三角形是等腰三角形？解析：（1）若过点 P 作 PM ⊥BC 于 M，则四边形 PDCM 为矩形，得出 PM=DC=12 ，由QB=16-t ，可知： s= PM× QB=96-6t ；（ 2）此题应分三种状况进行谈论，①若PQ=BQ ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2 ，PQ=QB ，将各数据代入，可将时间②若 BP=BQ ，在 Rt△PMB 中，由 PB2=BM2+PM2t 求出；，BP=BQ ，将数据代入，可将时间t 求出；③若 PB=PQ ，PB2=PM2+BM2 ，PB=PQ ，将数据代入，可将时间t 求出．解答：解：（ 1）过点 P 作 PM ⊥ BC 于 M，则四边形 PDCM 为矩形．∴PM=DC=12 ，∵ QB=16-t ，∴ s= ?QB?PM=（16-t）×12=96-6t（0≤t≤ ）．（2）由图可知， CM=PD=2t ，CQ=t ，若以 B 、 P、Q 为极点的三角形是等腰三角形，可以分三种状况：①若 PQ=BQ ，在 Rt △PMQ 中，PQ2=t2+122 ，由 PQ2=BQ2 得 t2+122=（ 16-t ）2，解得；②若 BP=BQ ，在 Rt △PMB 中，PB2=（16-2t ）2+122 ，由 PB2=BQ2 得（16-2t ） 2+122= （16-t ） 2，此方程无解，∴ BP≠ PQ．③若 PB=PQ ，由 PB2=PQ2 得 t2+122= （16-2t ）2+122 得，t2=16（不合题意，舍去）．综上所述，当或时，以B、P、Q 为极点的三角形是等腰三角形．评论：此题主要观察梯形的性质及勾股定理．在解题（ 2）时，应注意分状况进行谈论，防范在解题过程中出现漏解现象．10.直线 y=- 34x+6 与坐标轴分别交于 A、B 两点，动点 P、Q 同时从 O 点出发，同时到达 A 点，运动停止．点 Q 沿线段 OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点P沿路线O? B? A运动．（1）直接写出 A、B 两点的坐标；（2）设点 Q 的运动时间为 t （秒），△ OPQ 的面积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式；（ 3）当 S= 485 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点O、P、 Q 为极点的平行四边形的第四个极点M 的坐标．解析：（ 1）分别令 y=0 ，x=0 ，即可求出 A、B 的坐标；（ 2））因为 OA=8 ，OB=6 ，利用勾股定理可得 AB=10 ，从而可求出点 Q 由 O 到A 的时间是 8 秒，点 P 的速度是 2，从而可求出，当 P 在线段 OB 上运动（或 0≤t ≤3）时， OQ=t ， OP=2t ，S=t2 ，当 P 在线段BA 上运动（或 3＜t ≤8）时， OQ=t ， AP=6+10-2t=16-2t ，作 PD⊥ OA 于点 D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5 ，利用 S= 12OQ× PD ，即可求出答案；（ 3）令 S= 485 ，求出 t 的值，从而求出OD 、 PD ，即可求出 P 的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，联合简单的计算即可写出M 的坐标．解答：解：（ 1） y=0 ，x=0 ，求得 A（ 8，0）B （0，6），（2）∵ OA=8 ， OB=6 ，∴ AB=10 ．∵点 Q 由 O 到 A 的时间是 81=8 （秒），∴点 P 的速度是6+108=2 （单位长度 /秒）．当 P 在线段 OB 上运动（或 O≤t ≤3）时，OQ=t ，OP=2t ，S=t2 ．当 P 在线段 BA 上运动（或 3＜ t ≤8）时，OQ=t ，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做 PD⊥OA 于点 D，由 PDBO=APAB ，得 PD= 48-6t5 ．∴ S= 12OQ?PD= -35t2+245t ．（3）当 S= 485 时，∵ 485 ＞12×3×6∴点 P 在 AB 被骗 S= 485 时， - 35t2+245t= 485∴ t=4∴ PD= 48-6×45= 245 ， AD=16-2× 4=8AD= 82-(245)2= 325∴OD=8- 325= 85∴P（ 85， 245）M1（ 285， 245），M2（- 125 ， 245 ）， M3（ 125，- 245 ）评论：此题主要观察梯形的性质及勾股定理．在解题（ 2）时，应注意分状况进行谈论，防范在解题过程中出现漏解现象．。