北京市西城区高三二模试卷

北京市西城区2015年高三二模试卷

数学（文科）2015.5

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项．

1．设集合{|10}A x x =->，集合3{|}B x x =≤，则A B =I （） （A ）(1,3)-

（B ）(1,3]

（C ）[1,3)

（D ）[1,3]-

3.设命题p ：函数1

()e x f x -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数.则

下列命题中真命题是（） （A ）p q ∧（B ）()p q ?∨ （C ）()()p q ?∧?（D ）()p q ∧?

2．已知平面向量,,a b c 满足(1,1)=-a ，(2,3)=b ，(2,)k =-c ，若()//+a b c ，则实数k =（） （A ）4 （B ）4- （C ）8 （D ）8-

4．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈，

则输出的s 属于（） （A ）{1,2} （B ）{1,3} （C ）{2,3}

（D ）{1,3,9}

5.一个几何体的三视图中，正（主）视图和侧(左)视图如图所示，则俯视图可以为（）

（A ） （B ）（C ）（D ）

6.某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与

x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x

为（）

（A ）3（B ）4 （C ）5（D ）6

7.“3m >”是“曲线22(2)1mx m y --=为双曲线”的（） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件

8.在长方体1111ABCD A B C D -

中，11AB BC AA =

==，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为

底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则1B P PQ +的最小值为（）

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.复数

10i

3i

=+____. 10.抛物线24C y x =：的准线l 的方程是____；以C 的焦点为圆心，且与直线l 相切的圆的 方程是____.

11．设函数,11

,

1()2,.

x x f x x x -?>?=??-?≤则[(2)]f f =____；函数()f x 的值域是____.

12．在ABC ?中,角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c

，若a =3b =，2c =， 则A =____；ABC ?的面积为____.

13.若,x y 满足,

2,1,y x y x x y +??

???

≥≤≤若z x my =+的最大值为

53

，则实数m =____.

14.如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋

转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为([0,π])x x ∈，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：

（A

（B

（C ）

32

（D ）2

○

1π()3f = ○2函数()f x 在区间π

(,π)2上为减函数； ○3任意π

[0,]2

x ∈，都有()(π)4f x f x +-=. 其中所有正确结论的序号是____.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数cos 2(sin cos )

()cos sin x x x f x x x

+=

-.

（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调增区间.

16．（本小题满分13分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，*11()n n a S n +=+∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 为等差数列，且11b a =，公差为2

1

a a .当3n ≥时，比较1n

b +与121n b b b ++++L 的大小．

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，

2AB =，3DE =

.

（Ⅰ）求棱锥C ADE -的体积； （Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；

（Ⅲ）在线段DE 上是否存在一点F ,使//AF 平面BCE ？若存在,求出EF ED

的值；若不存在，

说明理由.

18．（本小题满分13分）

某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.

为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．

（Ⅰ）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；

（Ⅱ）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a >b 的概率； （Ⅲ）若a =1，记乙型号电视机销售量的方差为s 2，根据茎叶图推断b 为何值时，s 2达到最小值．（只需写出结论） （注：方差2

222121

[()()()]n s x x x x x x n

=-+-++-L ，其中x 为1x ，2x ，…，n x 的平均数）

19．（本小题满分14分）

设1F ，2F 分别为椭圆22

22 + 1(0)x y E a b a b

=>>：的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B

为椭圆E 的上顶点，且||2AB =.

（Ⅰ）若椭圆E 3

，求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q .若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明：点P 在直线20x y +-=上.

20．（本小题满分13分）

已知函数2

1()1x

f x ax -=+，其中a ∈R .

（Ⅰ）当1

4a =-时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；

（Ⅱ）当0a >时，证明：存在实数0m >，使得对任意的x ，都有()m f x m -≤≤成立； （Ⅲ）当2a =时，是否存在实数k ，使得关于x 的方程()()f x k x a =-仅有负实数解？当12

a =-时的情形又如何？(只需写出结论)

北京市西城区2015年高三二模试卷参考答案及评分标准

高三数学（文科）2015.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．B2．D3．D4．A 5．C6．B7．A8．C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i +10．1x =-22(1)4x y -+=

11．52

-

[3,)-+∞12．

π313．214．○1○3

注：第10，11题第一问2分，第二问3分.第14题多选、漏选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由题意，得cos sin 0x x -≠，………………1分

即tan 1x ≠，………………2分 解得π

π4

x k ≠+

，………………4分 所以函数()f x 的定义域为π{|π,}4

x x k k ≠+∈Z .………………5分

（Ⅱ）解：cos 2(sin cos )

()cos sin x x x f x x x

+=

-

22(cos sin )(sin cos )

cos sin x x x x x x

-+=

-………………7分

(cos sin )(sin cos )x x x x =++

sin 21x =+，………………9分

由ππ2π22π22

k x k -++≤≤，

得ππππ4

4k x k -++≤≤，………………11分

又因为π

π4

x k ≠+，

所以函数()f x 的单增区间是ππ(π,π)44k k -++，k ∈Z .（或写成ππ[π,π)44

k k -++） ………………13分

16．（本小题满分13分） （Ⅰ）证明：因为11n n a S +=+，○1 所以当2n ≥时，11n n a S -=+，○2

由○1○2两式相减，得1n n n a a a +-=， 即12n n a a +=(2)n ≥，………………3分 因为当1n =时，2112a a =+=，

所以

2

12a a =，………………4分 所以*12()n n

a

n a +=∈N ．………………5分

所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 所以12n n a -=．………………7分

（Ⅱ）解：因为1(1)221n b n n =+-?=-，………………9分

所以121n b n +=+，212(121)

1112

n n n b b b n +-++++=+

=+L ，………………11分 因为2(1)(21)(2)n n n n +-+=-，………………12分 由3n ≥，得(2)0n n ->，

所以当3n ≥时，1121n n b b b b +<++++L .………………13分

17．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：在Rt ΔADE

中，AE =

=………………1分

因为CD ⊥平面ADE ，

所以棱锥C ADE -的体积

为Δ1

1332

C ADE ADE AE DE

V S CD CD -?=

=??=?

………………4分

（Ⅱ）证明：因为CD ⊥平面ADE ，AE ?平面ADE ，

所以CD AE ⊥.………………5分 又因为AE DE ⊥，CD DE D =I , 所以AE ⊥平面CDE .………………7分 又因为AE ?平面ACE ，

所以平面ACE ⊥平面CDE .…………………8分

（Ⅲ）结论：在线段DE 上存在一点F ,且

1

3EF

ED =

，使//AF 平面BCE .…………………9分

解：设F 为线段DE 上一点,且1

3

EF ED =，………………10分

过点F 作//FM CD 交CE 于M ，则1

=3FM CD .

因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以//CD AB . 又因为3CD AB = 所以MF AB =，//FM AB ,

所以四边形ABM F 是平行四边形， 则//AF BM .………………12分 又因为AF ?平面BCE ，BM ?平面BCE ，

所以//AF 平面BCE .………………14分

18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：根据茎叶图， 得甲组数据的平均数为

10101418222527304143

2410

+++++++++=，………2分

由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5.………………4分 （Ⅱ）解：记事件A 为“a >b ”，………………5分

因为乙组数据的平均数为26.7， 所以

10182022233132(30)(30)43

26.710

a b +++++++++++=，

解得8a b +=.………………7分

A

B

C

D F

M

所以a 和b 取值共有9种情况，它们是：(0,8)，(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)， (6,2)，(7,1)，(8,0)，………………8分

其中a >b 有4种情况，它们是：(5,3)，(6,2)，(7,1)，(8,0)，………………9分 所以a >b 的概率4

()9

P A =

.………………10分 （Ⅲ）解：当b =0时，2s 达到最小值．………………13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：设c ，

由题意，得224a b +=

，且

c a =

2分

解得a 1b =

，c =………………4分

所以椭圆E 的方程为2

213

x y +=.………………5分 （Ⅱ）解：由题意，得22

4a b +=，所以椭圆E 的方程为2222

14x y a a +

=-， 则1(,0)F c -，2(,0)F c

，c =.设00(,)P x y ，

由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率10

0F P y k x c

=

+，………………6分 直线2F P 的斜率20

0F P y k x c

=

-， 所以直线2F P 的方程为0

0()y y x c x c

=

--， 当0x =时，00y c

y x c -=

-，即点00(0,)Q y c x c

--， 所以直线1F Q 的斜率为10

F Q y k c x =

-，………………8分 因为以PQ 为直径的圆经过点1F ，

所以11PF F Q ⊥.

所以110000

1F P F Q y y

k k x c c x ?=

?=-+-，………………10分 化简，得222

00(24)y x a =--，○1

又因为P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，

所以22

00

22

14x y a a

+=-，00x >，00y >，○2 由○1○2，解得2

02

a x =，20122y a =-，………………12分

所以002x y +=，

即点P 在直线20x y +-=上.………………14分

20．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当14

a =-

时，函数21()114

x

f x x -=

-， 求导，得222222

24(1)3

()114(1)4(1)

44

x x x f x x x -+----'==--，………………2分

因为(1)0f =，(1)4

3

f '=-

，………………3分 所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为4340x y +-=.………………4分 （Ⅱ）证明：当0a >时，2

1()1x

f x ax -=

+的定义域为R .

求导，得222

21()(1)

ax ax f x ax --'=

+，………………5分

令()0f x '=

，解得110x =-<

，211x =+>，………………6分

当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：

………………8分

所以函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减.

又因为(1)0f =，当1x <时，2

1()01x f x ax

-=

>+；当1x >时，2

1()01x f x ax

-=

<+，

所以当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤；当1x >时，2()()0f x f x <≤.

记12max{()|,()|}||M f x f x =，其中12max{()|,()|}||f x f x 为两数1()||f x ，

2()||f x 中最大的数，

综上，当0a >时，存在实数[,)m M ∈+∞，使得对任意的实数x ，不等式()m f x m -≤≤ 恒成立.………………10分 （Ⅲ）解：当12

a =-与2a =时，不存在实数k ，使得关于实数x 的方程()()f x k x a =-仅

有负实数解.