4抛物线的参数方程
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。
圆由圆心和半径唯一确定。
2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。
椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。
3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。
双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。
4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。
抛物线由焦点和直线唯一确定。
二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。
2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。
3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。
4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。
三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。
2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。
3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。
4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。
四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。
2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。
3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。
4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。
双曲线相关公式总结大全
双曲线相关公式总结大全双曲线是一种数学曲线,与椭圆和抛物线类似,双曲线也是由参数方程描述的。
以下是双曲线的一些常见公式和参数方程:1. 椭圆参数方程:a =b * sqrt(5),c = b * sqrt(5), e = c / sqrt(a^2 + b^2)2. 抛物线参数方程:a =b * sqrt(3),c = b * sqrt(3), e = c / sqrt(a^2 + b^2)3. 双曲线的一般参数方程:x = a * sin(t), y = b * cos(t), t = (x^2 + y^2) / (2 * b^2)4. 双曲线的切线公式:y - y1 = y2 - y3,其中y1, y2, y3是双曲线上的点。
5. 双曲线的离心率公式:e = c / a,其中a, b是双曲线的参数。
6. 双曲线的向量参数方程:x = a * cos(t), y = b * sin(t), v = (x^2 + y^2) / (2 * b^2)7. 双曲线的切线向量公式:y - y1 = y2 - y3,其中y1, y2, y3是双曲线上的点。
这些公式只是双曲线的一小部分,实际上还有许多其他的公式和参数方程可以用来描述双曲线。
了解这些公式可以帮助我们更好地理解双曲线的性质和应用。
拓展:1. 双曲线的对称性:双曲线有两个对称轴,即x轴和y轴。
在对称轴的两侧,双曲线具有相同的形状。
2. 双曲线的渐近线:双曲线的渐近线是双曲线上的一条直线,它的斜率等于双曲线的离心率。
3. 双曲线的极值:双曲线有许多可能的极值,包括最大值和最小值。
极值点通常也是双曲线的对称轴的交点。
4. 双曲线的离心率公式的应用:在工程和科学领域,双曲线的离心率公式可以用来计算双曲线的极值、形状、对称性等。
双曲线是一种非常重要的数学曲线,它的参数方程和性质可以用来描述许多物理和工程问题。
了解双曲线的公式和参数方程,可以帮助我们更好地理解和应用双曲线。
抛物线的参数方程
即 P(x,y)为 抛 物 线 上 任 意 一 点 ,则 有 t=
x y .
思考：P33
怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2=2py(p>0)的 参数方程？
例3、
如 图 ， O 是 直 角 坐 标 原 点 ， A， B 是 抛 物 线 y = 2 p x ( p > 0 ) 上
2
异 于 顶 点 的 两 动 点 ， 且 OA OB， OM AB并 与 AB相 交 于 点 M， 求 点 M的 轨 迹 方 程 。
解： 据 条 件 ， 设 点 M ， A， B 的 坐 标 分 别 为 根
（ x , y ） , ( 2 p t 1 , 2 p t 1 ) , ( 2 p t 2 , 2 p t 2 ) ( t 1 t 2 , 且 t 1 t 2 0） . 2 则 O M = （ x , y ） ， A = ( 2 p t1 , 2 p t1 ) , O 2 2 2 O B = ( 2 p t 2 , 2 p t 2 ) ， B = ( 2 p ( t 2 - t1 ) , 2 p ( t 2 - t1 ) ) . A
小结
作业
P35 4、5
2
抛物线的参数方程
抛 物 线 y =2px(p>0)的 参 数 方 程 为 :
x=2pt , ( t为 参 数 ， t R ) y 2 p t.
其 中 参 数 t= 1 tan ( 0),当 =0时 ， t=0.
2
y
M(x，y)
2
o
H
x
几何意义为： 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
2 2
y A M O x
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲二第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程
x＝sec θ，
解：把双曲线方程化为参数方程
(θ 为参
y＝tan θ
数)，
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18
设双曲线上点 Q(sec θ，tan θ)，则
|PQ|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)＝
2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，
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5
2．抛物线的参数方程
如图，抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为
x＝2pt2，
____y_＝__2_p_t ____t为参数，t＝tan1
α.
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6
温馨提示 t＝sin1 α(α 是以射线 OM 为终边的角)，即 参数 t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的 斜率的倒数．
第二讲 参数方程
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1
二、圆锥曲线的参数方程 第 2 课时 双曲线的参数方程和
抛物线的参数方程
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2
[学习目标] 1.了解抛物线和双曲线的参数方程，了 解抛物线参数方程中参数的几何意义(重点)． 2.利用抛 物线和双曲线的参数方程处理问题(重点、难点)．
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当 tan θ－1＝0，即 θ＝π4时，
|PQ|2 取最小值 3，此时有|PQ|＝ 3.
即 P、Q 两点间的最小距离为 3.
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19
[迁移探究] (变换条件)已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2－y2＝1 上一点 Q，求 P，Q 两点间 距离的最小值．
解：设 Q(sec θ，tan θ)， 由题意知|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|. |O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
高考数学抛物线的参数方程
6. 抛物线的参数方程学习目标：1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：椭圆参数方程的应用，学习难点：椭圆参数方程中参数的意义. 学习过程：一、课前准备：阅读教材3334P P -的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，并复习以下问题： 1.将下列参数方程化为普通方程：（1）223x ty t t =-⎧⎨=+-⎩（t 为参数），答： ； （2）224x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），答： .2.将下列普通方程化为参数方程： （1）22x y =，其中1x t t=-（t 为参数），答： ；（2）234y x =，其中x t =（0t ≥为参数），答： . 二、新课导学： （一）新知：抛物线的参数方程的推导过程：如图：设(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角记为α，当α在(,)22ππ-内变化时，点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的M 点与对应.因此，可以取α为参数探求抛物线的参数方程.根据三角函数的定义得，tan yxα=，即tan y x α=，联立22y px =，得22tan 2tan p x p y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数），这为抛物线的不含顶点的参数方程，但方程的形式不够简洁， 设1tan t α=，(,0)(0,)t ∈-∞+∞ ，则222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数 ），当0t =时，由参数方程得，正好为顶点(0,0)O ，因此当(,)t ∈-∞+∞时，上式为22y px =的参数方程.注意：参数t 的几何意义为：表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.动动手：（1）选择适当的参数t ，建立抛物线22x py =的参数方程.【解析】（2）可选择M 到准线的距离t 为参数，22y px =的参数方程是怎样的？ 【解析】（二）典型例题： 【例1】A 、B 是抛物线22y x =上异于顶点的两动点，且OA OB ⊥，OM AB ⊥并与AB 相交于M ，求点M 的轨迹方程.【解析】方法一 ：设(,)M x y ，211(2,2)A t t ，222(2,2)B t t 1212(,0)t t t t ≠⋅≠且.由OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅= ，221212(2)20t t t t +=，121t t =-………① 又OM AB ⊥ ，所以0OM AB ⋅=， 2221212()2()0x t t t t -+-=.所以12()0x t t y ++=，12(0)yt t x x+=-≠……………②又211(2,2)AM x t y t =-- ，222(2,2)MB t x t y =-- 且A ，M ，B 共线.∴221212(2)(2)(2)(2)x t t y y t t x --=--，即1212()20y t t t t x +--=……③由①，②代入③，得到 2220(0)x y x x +-=≠，这就是所求M 点的轨迹方程.方法二：设2111(,)(0)2y A y y ≠，2222(,)(0)2y B y y ≠，因为OA OB ⊥，所以221212022y y y y ⋅+=，124y y =-， 直线AB 的方程为：211122()2y y y x y y -=-+，即122(2)y x y y =-+， 所以直线AB 过定点(2,0)C p又OM AB ⊥，所以点M 的轨迹是以OC 为直径的圆，则M 的轨迹方程为 222()(0)x p y p y -+=≠.动动手：已知O 是坐标原点，A 、B 是抛物线222x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数）上异于顶点的两动点，且OA OB ⊥，求AB M 中点的轨迹方程．【解析】三、总结提升：1.弄清抛物线参数方程中参数的几何意义，特别是参数t 对应的角的取值范围，会将抛物线的参数方程与普通方程互化.2.抛物线22(0)y px p =>上任意一点可以设为2(2,2)M pt pt .3.在求轨迹方程时，可以考虑用参数的方式设出动点的坐标. 四、反馈练习：1. 若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2. 抛物线22x my m=⎧⎨=-⎩（m 为参数）的焦点坐标是 （ ） A ．(1,0)- B ．(0,1)- C ．(0,2)- D ．(2,0)-3. 已知曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数为正常数,上的两点,M N 对应的参数分别为12t t 和，120t t +=且，那么MN = （ ）A ．1p tB ．12p tC ．14p tD ．18p t4. 若曲线222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数）上异于原点的不同的两点1M 、2M 所对应的参数分别是1t 、2t ，求12M M 所在直线的斜率.【解析】5. A 、B 是抛物线22y x =上异于顶点的两动点，且OA OB ⊥，点A 、B 在什么位置时，AOB ∆的面积最小？最小值是多少？ 【解析】。
抛物线的参数方程及其应用
一、抛物线的参数方程抛物线的标准方程的形式有四种，故对应参数方程也有四种形式．下面仅介绍22(0)x py p =>及22(0)y px p =>两种情形．（1）对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为222x pt y pt =⎧⎨=⎩，，设抛物线22x py =上动点P 坐标为2(22)pt pt ，，O 为抛物线的顶点，显然222OP pt k t pt==，即t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率． （2）同理，以圩抛物线22(0)y px p =>，其参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩，，设抛物线22x py =上动点P 坐标为2(22)pt pt ，，O 为抛物线的顶点，可得22112OP OPpt k t pt t k ==⇒=，t 的几何意义是过抛物线的顶点O 的动弦OP 的斜率的倒数．二、应用举例例1 直线2y x =与抛物线22(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直，且线段AB 长为513，求P 的值．解析：设点A B ，分别为22(22)(22)A A B B pt pt pt pt ，，，，则112A OA t k ==，12B OA OBt k k ==-=-． A B ，的坐标分别为(84)2p p p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，． 228(4)2p AB p p p ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∴5135132p ==．2p =∴．例2 已知A B ，为抛物线24x y =上两点，且OA OB ⊥，求线段AB 中点的轨迹方程．解析：设OA k t =，1OB OB OA k t⊥⇒=-， 据t 的几何意义，可得2244(44)A t t B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，． 设线段中点()P x y ，，则222214142214142.2x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，t得P点的轨迹方程为22(4)=-．x y。
抛物线的参数方程
探究： 在例3中，点A, B在什么位置时，AOB的面积 最小？最小值是多少?
由例3可得 OA ＝ (2 pt ) (2 pt1 ) 2 p t1 t 1
2 2 1 2 2 1
OB (2 pt ) (2 pt2 ) 2 p t 2 t 1
2 2 2 2 2 2
所以，AOB的面积为
2 2
所以( x 2 pt )( 2 pt2 y ) (2 pt x)( y 2 pt1 )
2 1 2 2
化简，得y (t1 t 2 ) 2 pt1t 2 x 0.......... .....(10) 将(8), (9)代入(10), 得到 y y ( ) 2 p x 0 x 2 2 即x y 2 px 0( x 0) 这就是点M的轨迹方程
2 1 2 2
OM ( x, y ), OA (2 pt ,2 pt1 ), OB (2 pt ,2 pt2 )
2 1 2 2
AB (2 p (t t ), 2 p(t 2 t1 ))
2 2 2 1
因为OA OB, 所以 OA OB 0,即 (2 pt1t 2 ) (2 p ) t1t 2 0, 所以t1t 2 1.......... .(8)
1 如果令t , t (,0) (0,), 则有 tan x 2 pt 2 (t为参数) y 2 pt 当t 0时，由参数方程表示的点正好就是抛物线 的顶点(0,0)因此当t (,)时，参数方程就表 示抛物线。参数t表示抛物线上除顶点外的任意 一点与原点连线的斜率的倒数。
c
)
B、t1 t 2 1 D、 t1 t 2
解：由于M 1 , M 2两点对应的参数方程分 别是t1和t 2，则可得点M 1和M 2的坐标分别为 M 1 (2 pt ,2 pt1 ), M 2 (2 pt ,2 pt2 ) k M 1M 2 2 pt1 2 pt2 1 2 2 2 pt1 2 pt2 t1 t 2
抛物线射程公式
抛物线射程公式斜抛运动轨迹方程式：y=xtanθ-gx^2/2(vcosθ)^2。
1、抛物线方程公式一般式:ax²+bx+c(a、b、c为常数，a≠0）顶点式:y=a(X-h）2+k（a、h、k为常数，a≠0）交点式（两根式）：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）其中抛物线y=aX2+bX+c(a、b、c为常数，a≠0）与x轴交点坐标，即方程aX2+bX+c=0的两实数根。
2、抛物线标准方程右开口抛物线：y^2=2px左开口抛物线:y^2= -2px上开口抛物线：x^2=2py y=ax^2（a大于等于0）下开口抛物线:x^2= -2py y=ax^2（a小于等于0）[p为焦准距（p>0）]3、抛物线四种方程的异同共同点：①原点在抛物线上，离心率e均为1；②对称轴为坐标轴；③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。
不同点：①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y 轴）的负半轴上，方程的右端取负号。
抛物线顶点坐标公式y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标公式是（-b/2a，（4ac-b²）/4a)y=ax²+bx的顶点坐标是（-b/2a，-b²/4a)抛物线标准方程右开口抛物线：y^2=2px左开口抛物线:y^2= -2px上开口抛物线：x^2=2py y=ax^2（a大于等于0）下开口抛物线:x^2= -2py y=ax^2（a小于等于0）[p为焦准距（p>0）]特点在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0），准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：x≥0；在抛物线y^2= -2px 中，焦点是( -p/2，0），准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0；在抛物线x^2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：y≥0；在抛物线x^2= -2py中，焦点是（0，-p/2），准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0；抛物线面积弧长公式。
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2 所以( x − 2 pt12 )(2 pt 2 − y ) = (2 pt 2 − x )( y − 2 pt1 )
化简，得y( t1 + t 2 ) − 2 pt1 t 2 − x = 0...............(10) 将(8),(9)代入(10), 得到 y y( − ) + 2 p − x = 0 x 2 2 即x + y − 2 px = 0( x ≠ 0) 这就是点M的轨迹方程
α ∈ (−
π π
, ) 2 2
1 , t ∈ ( −∞ , 0) ∪ (0, +∞ ), 则 有 如果令t = tan α x = 2 pt 2 ( t为 参 数 ) y = 2 pt 当 t = 0时 ， 由 参 数 方 程 表 示 的 点 正 好 就 是 抛 物 线 的 顶 点(0, 0)因 此 当 t ∈ ( −∞ , +∞ )时 ， 参 数 方 程 就 表 示抛物线。参数t表示抛物线上除顶点外的任意 一点与原点连线的斜率的倒数。
4. 见教材P 35第4题）已知A, B , C 是抛物线 ( y 2 = 2 px ( p > 0)上的三个点，且BC 与x轴垂直， 直线AB , AC 分别与抛物线的轴交于D，E 两点. 求证：抛物线的顶点平分线段DE .
5.(见教材P 35第5题)经过抛物线y 2 = 2 px ( p > 0) 的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB ,以直 线OA的斜率k为参数, 求线段AB的中点M的轨迹 的 参数 方 程.
y o
A M
x
B
解 : 根据条件, 设点M , A, B的坐标分别为( x , y ),
2 (2 pt12 , 2 pt1 ),(2 pt 2 , 2 pt 2 )( t1 ≠ t 2 , 且t1 ⋅ t 2 ≠ 0) 2 则 OM = ( x , y ), OA = (2 pt12 , 2 pt1 ), OB = (2 pt 2 , 2 pt 2 ) → → →
x = 2 pt 2 1.若曲线 ( t为参数)上异于原点的不同 y = 2 pt 两点M 1，M 2所对应的参数分别是t1 , t 2 , 则弦 M 1 M 2 所 在 直 线 的 斜 率 是( C ) A、t1 + t 2 , 1 C、 , t1 + t 2 B、t1 − t 2 1 D、 t1 − t 2
抛物线的参数方程
y M(x,y)
α
o
α ∈ (−
x
π π
, ) 2 2
设 抛 物 线 的 普 通 方 程 为 y 2 = 2 px ...........(5) 因 为 点 M 在 α的 终 边 上 ， 根 据 三 角 函 数 的 y 定义可得 = tan α ..................................(6) x 2p x = tan 2 α (α 为 参 数 ） 由(5),(6)解 出 x , y， 得 到 y = 2p tan α 这 就 是 抛 物 线(5)(不 包 括 顶 点)的 参 数 方 程
小节： 小节： 1、抛物线的参数方程的形式 、 2、抛物线参数的意义 、
2 2 px( t 2 − t12 ) + 2 py( t 2 − t1 ) = 0→→→→
所以x ( t1 + t 2 ) + y = 0, y 即t1 + t 2 = − ( x ≠ 0)................................(9) x 因为 AM = ( x − 2 pt12 , y − 2 pt1 ), MB = (2 pt − x , 2 pt 2 − y )且A, M , B三点共线，
2 1 2 2
例 2.设 M 为 抛 物 线 y = 2 x 上 的 动 点 , 给
2
定 点 M 0 ( − 1, 0), 点 P 为 线 段 M 0 M 的 中 点 , 求 点 P的 轨 迹 方 程 。
例 3.如 图 O是 直 角 坐 标 原 点, A, B是 抛 物 线 y 2 = 2 px ( p > 0)上 异 于 顶 点 的 两 动 点 , 且 OA ⊥ OB , OM ⊥ AB并 于 AB相 交 于 点 M ， 求 点 M的 轨 迹 方 程 。
AB = (2 p( t − t ), 2 p( t 2 − t1 ))
2 2 2 1
→
因为 OA ⊥ OB , 所以 OA⋅ OB = 0,即 (2 pt1t 2 )2 + (2 p )2 t1t 2 = 0, 所以t1t 2 = −1...........(8)
→
→
→
→
因为 OM ⊥ AB , 所以 OM ⋅ OB = 0, 即
说明： 简化运算。 说明：设出参数能大大 简化运算。
探 究 ： 在 例 3中 , 点 A , B 在 什 么 位 置 时 , ∆ AOB的 面 积 最 小 ？ 最 小 值 是 多 少 ?
由 例 3可 得 OA ＝ (2 pt12 ) 2 + (2 pt1 ) 2 = 2 p t1 OB =
2 (2 pt 2 ) 2 + (2 pt 2 ) 2 = 2 p t 2
解：由于M 1 , M 2 两点对应的参数方程分 别是t1和t 2，则可得点M 1和M 2的坐标分别为 M 1 (2 pt , 2 pt1 ), M 2 (2 pt , 2 pt 2 ) ∴ k M1 M 2 2 pt1 − 2 pt 2 1 = = 2 2 2 pt1 − 2 pt 2 t1 + t 2
t12 + 1
2 t2 + 1
所 以 ， ∆ AOB的 面 积 为 S ∆ AOB = 2 p 2 t1 t 2
2 ( t12 + 1) ⋅ ( t 2 + 1) 2 = 2 p 2 t12 + t 2 + 2 = 2 p 2 ( t1 + t 2 ) 2 + 4 ≥ 4 p 2
当 且 仅 当 t1 = − t 2， 即 当 点 A , B 关 于 x 轴 对 称 时 ， ∆ AOB的 面 积 最 小 ， 最 小 值 为 4 p 2 .