抛物线的参数方程
数学导学案抛物线的参数方程及答案
数学导学案 主备人： 审核人： 学科领导： 班级： 小组： 姓名： 抛物线的参数方程【学习目标】1.了解抛物线的参数方程及参数的意义；2.能选取适当的参数求抛物线的参数方程；【重点难点】1、抛物线参数方程的定义及方法．(重点)2．选取适当的参数求抛物线的参数方程．(难点)【问题导学】一、复习圆、椭圆、双曲线的标准方程和对应的参数方程。
1、圆的标准方程： 圆的参数方程：2、椭圆的标准方程 椭圆的参数方程：（1）焦点在X 轴：（2）焦点在Y 轴：3、双曲线的标准方程（焦点在X 轴）： 双曲线的参数方程：（1）焦点在X 轴：（2）焦点在Y 轴：二、自主预习抛物线)0(22>=p px y 的参数方程___________________________抛物线)0(2-2>=p px y 的参数方程___________________________抛物线)0(y 2x 2>=p p 的参数方程___________________________抛物线)0(y 2-x 2>=p p 的参数方程___________________________ 【合作探究】 例1：已知O 是直角坐标原点，A,B 是抛物线)0(22>=p px y 上异于顶点的两动点， 且OB OA ⊥，AB OM ⊥并与AB 相交于点M ，求点M 的轨迹方程。
课本第33页例3 例2：在上例中，点A ，B 在什么位置时，△AOB 的面积最小？最小值是多少？ 课本第34页探究成功的秘诀公式是A x y z =++其中A 代表成功，x 代表艰苦的劳动，y 代表正确的方法，z 代表少说空话. ——爱因斯坦【当堂检测】 1、若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（ C ）A ．2B ．3C ．4D ．52、 抛物线22x my m =⎧⎨=-⎩（m 为参数）的焦点坐标是 （ C ）A ．(1,0)-B ．(0,1)-C ．(0,2)-D ．(2,0)-3. 已知曲线22()2x pt t p y pt ⎧=⎨=⎩为参数为正常数,上的两点,M N 对应的参数分别为12tt 和，120t t +=且，那么MN = （ C ）A ．1p tB ．12p tC ．14p tD ．18p t4、已知经过点)0,2(P ，斜率为34的直线和抛物线x y 22=相交于A,B 两点，设线段AB 的中点为M 。
抛物线公式高中
抛物线公式高中
抛物线顶点坐标公式：
y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标公式是（-b/2a，（4ac-b²）/4a)
y=ax²+bx的顶点坐标是（-b/2a，-b²/4a)
抛物线标准方程：
右开口抛物线：y^2=2px
左开口抛物线:y^2= -2px
上开口抛物线：x^2=2py y=ax^2（a大于等于0）
下开口抛物线:x^2= -2py y=ax^2（a小于等于0）
[p为焦准距（p>0）]
特点：
在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0），准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：x≥0；在抛物线y^2= -2px 中，焦点是( -p/2，0），准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0；在抛物线x^2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：y≥0；在抛物线x^2= -2py中，焦点是（0，-p/2），准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0；
抛物线面积弧长公式：
面积Area=2ab/3
弧长Arc length ABC
=√(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+√(b^2+16a^2 ))/b)
抛物线参数方程：
抛物线y^2=2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt^2
y=2pt
其中参数p的几何意义，是抛物线的焦点F(p/2,0)到准线x=-p/2的距离，称为抛物线的焦参数。
椭圆双曲线抛物线的参数方程
椭圆双曲线抛物线的参数方程简介椭圆、双曲线和抛物线是常见的平面曲线，它们具有广泛的应用于数学、物理、工程等领域中。
在本文中，我们将探讨椭圆、双曲线和抛物线的参数方程形式，以及它们的基本性质和应用。
一、椭圆的参数方程1. 椭圆的定义椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合。
椭圆的参数方程可以通过将直角坐标系中的x和y用参数形式表示得到。
2. 椭圆的参数方程形式椭圆的参数方程形式如下：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，t为参数，a为椭圆的长半轴长度，b为椭圆的短半轴长度。
3. 参数方程的优势使用参数方程形式表示椭圆可以简化计算和表达。
通过改变参数t的取值范围，我们可以绘制椭圆的各个部分，包括角点和曲线的弧段。
二、双曲线的参数方程1. 双曲线的定义双曲线可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点的集合。
双曲线的参数方程可以通过将直角坐标系中的x和y用参数形式表示得到。
2. 双曲线的参数方程形式双曲线的参数方程形式如下：x = a * sec(t)y = b * tan(t)其中，t为参数，a为双曲线的横轴长度，b为双曲线的纵轴长度。
3. 参数方程的应用双曲线的参数方程可以用于解决各种问题，如天体运动中的轨道计算、物体运动中的抛物线模型等。
双曲线也在工程领域中具有广泛的应用，如电磁场分析、无线通信、流体力学等。
三、抛物线的参数方程1. 抛物线的定义抛物线可以被定义为平面上到一个定点F的距离等于点到一条直线L的垂直距离的点的集合。
抛物线的参数方程可以通过将直角坐标系中的x和y用参数形式表示得到。
2. 抛物线的参数方程形式抛物线的参数方程形式如下：x = a * t^2y = 2a * t其中，t为参数，a为抛物线的参数，控制抛物线的曲率。
3. 参数方程的特点抛物线的参数方程形式非常简洁，能够准确地描述抛物线的形状和位置。
通过改变参数a的取值，可以获得不同形状和大小的抛物线。
3抛物线的参数方程
3抛物线的参数方程抛物线是一种常见的曲线形式，其参数方程和一般的曲线方程有所不同。
参数方程是通过引入一个参数来描述曲线上的点的位置，使得我们可以用参数的取值来确定点的坐标。
抛物线的参数方程可以表示为：x=a*t^2+b*t+cy=d*t^2+e*t+f其中，a，b，c，d，e，f是任意常数，t是参数。
下面我们来详细解释抛物线的参数方程。
1.抛物线的基本定义抛物线是平面上一条曲线，在点到定点和直线的距离相等的条件下生成。
抛物线通常由焦点和直线称为准线组成，准线是一条与抛物线对称的直线，与抛物线联接焦点的所有线段都会与准线垂直。
2.抛物线的标准方程抛物线的标准方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a，b，c是由抛物线的特征决定的常数。
通过标准方程，我们可以了解抛物线的开口方向、焦点位置等。
3.将抛物线的标准方程转化为参数方程为了将抛物线的标准方程转化为参数方程，我们需要引入一个参数t。
在参数方程中，t是用来确定点的位置的。
具体转化步骤如下：1)首先，假设曲线上的一个点为P(x,y)，其中x和y是点P的坐标。
2)令x=a*t^2+b*t+c，并代入抛物线的标准方程中得到：y=a*(a*t^2+b*t+c)^2+b*(a*t^2+b*t+c)+c3)对于参数方程来说，x和y是t的函数，也就是说x=x(t)和y=y(t)。
因此我们可以将上述方程进一步简化为：y(t)=a*(a*t^2+b*t+c)^2+b*(a*t^2+b*t+c)+c通过将抛物线的标准方程转化为参数方程，我们可以通过给定t的值来求得抛物线上任意一点的坐标。
4.抛物线的参数方程的性质抛物线的参数方程具有一些特殊的性质，如下所示：1)抛物线是关于t对称的，也就是说如果点P(x,y)在抛物线上，那么点P(-x,y)也在抛物线上。
2)抛物线的开口方向由参数a的正负决定。
如果a大于0，抛物线向上开口；如果a小于0，抛物线向下开口。
抛物线的参数方程
抛物线的参数方程什么是抛物线抛物线是一种经典的数学曲线，具有独特的特点和应用。
它是由一个平面上一点（焦点）和一条不经过该点的直线（直准线）确定的曲线，其形状呈现出对称性。
抛物线在物理学、工程学和计算机图形学等领域都有广泛的应用。
抛物线的标准方程一般来说，抛物线可以用标准方程表示。
标准方程如下：y = ax^2 + bx + c其中，a、b和c是常数，决定了抛物线的形状、方向和位置。
当a的值大于0时，抛物线开口向上；当a的值小于0时，抛物线开口向下。
抛物线的参数方程除了标准方程外，抛物线还可以用参数方程来描述。
参数方程是将x和y用参数t表示的方式，通常表示为：x = 2pty = pt^2其中，p是一个常数，表示焦点到准线的距离和焦距的倒数。
参数t的取值范围可以是任意实数。
抛物线参数方程的解释通过抛物线的参数方程，我们可以更直观地理解抛物线的特点。
参数t代表了实际的时间或位置，通过改变t的值，可以在坐标系中绘制出抛物线上的各个点。
在抛物线的参数方程中，x的值是关于t的一阶多项式，而y的值则是关于t的二阶多项式，这使得抛物线的轨迹呈现出曲线的特性。
抛物线参数方程的应用抛物线参数方程有许多应用。
在物理学中，可以通过抛物线参数方程描述自由落体运动的轨迹。
在工程学和建筑学中，通过抛物线参数方程可以计算建筑物的弧形结构。
在计算机图形学中，抛物线参数方程可以用来绘制曲线和生成动画效果。
示例下面是一个具体的例子，展示了如何使用抛物线的参数方程绘制一条抛物线。
import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as np# 设置参数pp = 1# 设置参数t的取值范围t = np.linspace(-10, 10, 100)# 计算x和y的值x = 2 * p * ty = p * t**2# 绘制抛物线plt.plot(x, y)# 设置图形属性plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('Parabolic Curve')plt.grid(True)# 显示图形plt.show()在这个例子中，使用了Python的matplotlib库来绘制抛物线。
抛物线的参数方程
抛物线的参数方程抛物线的参数方程是在数学中研究特殊数学曲线的重要方程。
抛物线又称二次曲线，它是一类几何图形，具有两个控制点，即它们位于抛物线上下两个对称的位置。
它们之间的距离称为抛物线的焦距。
抛物线的参数方程是用来研究这类曲线的特殊方程。
抛物线的参数方程，可以用一般式来表示：y=ax^2+bx+c其中，a,b,c 为参数，而 a≠0，它们代表抛物线的不同参数，即抛物线的形状受到这些参数的影响。
关于抛物线的参数方程，它的定义域主要有以下三种：1、标准参数方程：x=at^2+bt+cy=mt^2+nt+p2、任意参数方程：x=at^2+bt+c+dy=mt^2+nt+p+q3、双参数方程：x=at^2+bt+c+u*vy=mt^2+nt+p+u*v这三种定义域的抛物线参数方程，都具有相同的特点，即抛物线的两个控制点都是对称的，而且在抛物线上存在一个焦点，也就是通过抛物线的两个控制点，可以求得抛物线的焦点。
由抛物线的参数方程，可以求得抛物线的焦点的坐标。
抛物线的焦点的坐标为：（-b/2a, -D/4a）其中，D=b^2-4ac由抛物线的参数方程，可以求得抛物线的焦距：c=2√AD/a其中，A=D/b而参数方程，可以求得抛物线的离心率：e=c/a抛物线的参数方程，也可以用来计算抛物线的重心、面积和弧长。
首先，求抛物线的重心：重心的坐标为：（-b/3a, -D/6a）然后，求抛物线的面积：A=πa/3*(b^2+3D)最后，求抛物线的弧长：l=2π√(a^3/D)以上就是抛物线的参数方程的主要内容，随着数学发展，抛物线的参数方程也在不断发展。
抛物线的参数方程不仅可以用来描述抛物线的特征，而且也在许多应用领域，如机械、电子、结构分析等方面发挥着重要的作用。
抛物线的参数方程
抛物线的参数方程抛物线是几何中一种特殊的曲线，其函数表达式以及参数方程都被广泛应用于解决实际问题中，特别是应用于工程中。
因此，了解抛物线的参数方程对解决实际问题非常重要。
本文旨在介绍抛物线的参数方程及其特性。
什么是抛物线抛物线指的是方程解析图形的一类，它是由一元二次函数表示的。
抛物线表达式一般形式为：y = ax2 + bx + c（其中a，b，c为常数，x、y均为未知数）。
如果a>0，抛物线的准线方向朝向上，叫凸抛物线；如果a<0，抛物线的准线方向朝向下，叫凹抛物线。
抛物线的参数方程抛物线的参数方程可以用以下形式表示：x=at2+bt+c（a，b，c为常数，t为参数）y=at3+bt2+ct+d（a，b，c，d为常数，t为参数）参数方程的含义是：把函数表达式中的未知数x或y视为参数t，然后将原函数表达式中的常量a、b、c、d替换为参数t，便可以组成参数方程。
特性1、参数方程表示出抛物线的准线形状，即抛物线的弧线的方向以及抛物线的准线之间的夹角。
2、从参数方程中可以求出抛物线的焦点平分线和准线的交点。
3、参数方程还可以用来求解抛物线上任意一点的坐标。
4、参数方程可以用来判断抛物线是凸抛物线还是凹抛物线。
5、参数方程也可以用来求解抛物线的焦点，以及抛物线的极值点。
总结以上就是关于抛物线的参数方程的相关介绍。
可以看出，抛物线的参数方程非常重要，它可以用来求抛物线的弧线形状，以及抛物线的焦点平分线和准线的交点等。
此外，参数方程还可以用来求解抛物线上任意一点的坐标，以及抛物线的极值点。
因此，了解抛物线的参数方程对解决实际问题有着重要的意义。
抛物线参数方程
抛物线参数方程抛物线参数方程：一、定义：1.抛物线：抛物线是一种由平面曲线，由弧线或曲线形成的图形，一般是上半部分是渐开线，下半部分也称为下凹处是渐封线，它的凹陷处最高点为焦点；2.抛物线参数方程：抛物线的参数方程是表示抛物线形状的一种数学方法，它是一种特殊的二元二次函数方程，包含两个未知数a, b，和三个未知数x, y, c。
二、抛物线参数方程的表示形式：1.概括形式：ax² + by + c = 0；2.对称形式：(x - a)² + b = 0；3.双曲线形式：y² = -4a(x - a) + b；4.标准参数形式：x² = 4ay + b；5.焦点和指数形式：(x - x_0)² = 4ae^(y/a) + b；三、抛物线参数方程的特征：1.焦点：通过参数方程可以确定一条抛物线的焦点，焦点的坐标一般由参数方程的系数确定，如果一条抛物线没有一个明显的焦点，则参数方程中的系数a和b都为零，x和y也可以确定将焦点位置；2.指数形式：抛物线参数方程也可以表示为指数形式，这种形式的抛物线的焦点可以和参数方程的系数a和b确定，指数形式的抛物线一般是从下凹处开始开口向上或向下延伸；3.双曲线形式：参数方程的双曲线形式表示的是双曲线，这种参数方程的系数a和b决定了这种双曲线的起始点位置，双曲线一般以一个拱形形状展开；4.位移形式：双曲线也可以通过任意位置相邻点的位移形式表示，也就是其参数方程的系数a和b可以确定两点的距离，从而确定双曲线的位置；5.标准参数形式：参数方程的标准参数形式表示的就是标准抛物线，这样的抛物线一般是以放射性增长，而且系数a只会影响抛物线曲率，不会影响抛物线的坐标。
四、抛物线参数方程的应用：1.绘图应用：抛物线参数方程可以帮助我们自动推算出抛物线的形状，根据抛物线参数方程的参数，可以一次性将抛物线画出，这样可以大大减少设计工作的时间，提高工作效率；2.力学与物理方面的应用：抛物线参数方程在物理和力学方面也有着重要的应用，比如抛物线参数方程可以确定物体的运动轨迹，它也可以用于分析重力和物体的水平等速运动；3.测绘与地理方面的应用：抛物线参数方程也可以用于测绘地形及河流模型的绘制，抛物线参数方程可以帮助我们精准测绘出各种曲线，运用他可以准确描绘出海湾、河流等自然地理景观。
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此时抛物线的参数方程为：Βιβλιοθήκη x y2tan 2
p
2
p
(为参数),
(
2
,0)
(0,
2
)
tan
思考1：参数t的几何意义是什么？
参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点 连线的斜率的倒数
t 1 1
tan k 思考2：抛物线 x2 2 py( p 0) 的参数方程
A M
o
x
变式：在上题中，点 A, B在什么位置时， B AOB的面积最小？最小值是多少？
3、设M为抛物线 y2 2x 上的动点，给定点 M0 (1, 0)，点 P为线段 M0M 的中点，求点 P的轨迹方程。
二、圆锥曲线的参数方程
3、抛物线的参数方程
对于一般的抛物线，怎样建立相应的参数方程呢？
y 设抛物线的普通方程为： 2 2 px, ( p 0)
其中p表示焦点到准线的距离。
设M(x，y）为抛物线上除顶点外的任意一点
以射线OM为终边的角记作 y
当在(- , )内变化时，
22
点M在抛物线上运动。
1、若曲线{x 2 pt2 (t为参数)上异于原点的不同 y 2 pt
两点 M1，M 2 所对应的参数分别是t1, t2 , 则弦 M1M 2 所在直线的斜率是 ( c )
A、t1 t2 B、t1 t2
C、 1 t1 t2
D、 1 t1 t2
2、如图O是直角坐标原点，A, B是抛物线 y2 2 px( p 0)上异于顶点的两动点,且 OA OB, OM AB并于AB 相交于点M， 求点M的轨迹方程。 y
M(x,y)
并且对于的每一个值， o
x
在抛物线上都有唯一的点M与之对应。
因此，可以取 为参数来探求抛物线的参数方程
一、抛物线的参数方程
1.抛物线y2 2 px( p 0)的参数方程
x
2
pt
2
(t为参数,
t
R)
y 2 pt
1
如果除去顶点，设上面公式中的t=
tan
是什么？
2.抛物线x2 2 py( p 0)的参数方程
x y
2 pt 2 pt 2
(t为参数,
t
R)
设上面公式中的t= tan
此时抛物线的参数方程为：
x 2 p tan y 2 p tan 2
(为参数),
0,
2
)
(
2
,
)
典例解析