人教A版选修4-4双曲线的参数方程抛物线的参数方程跟踪练习及答案解析(最新整理)
人教A版数学选修4人教版高中数学选修4-4《第二章参数方程》章节测试卷A(含答案).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作数学选修4-4《第二章 参数方程》章节测试卷A （含答案）一、选择题（每小题4分，共48分）1．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3．设椭圆的参数方程为()πθθθ≤≤⎩⎨⎧==0sin cos b y a x ，()11,y x M ，()22,y x N 是椭圆上两点，M ，N 对应的参数为21,θθ且21x x <，则（ ）A ．21θθ<B ．21θθ>C ．21θθ≥D ．21θθ≤4．经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动 点P 的位移t 为参数 的参数方程是( )A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211B. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211C. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=t y t x 235211D. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 2352115．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2 6．曲线1=xy 的参数方程是（ ）（A ）⎪⎩⎪⎨⎧==-.,2121t y t x （B ）⎩⎨⎧==.csc ,sin ααy x （C ）⎩⎨⎧==.sec ,cos ααy x （D ）tan ,cot .x y αα=⎧⎨=⎩ 7．参数方程()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθsin 1212sin 2cos y x ()πθ20<<表示( )(A) 双曲线的一支，这支过点⎪⎭⎫⎝⎛211，(B) 抛物线的一部分，这部分过⎪⎭⎫⎝⎛211，(C) 双曲线的一支，这支过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-211，(D) 抛物线的一部分，这部分过⎪⎭⎫ ⎝⎛-211，8．如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么yx的最大值是（ ）A ．12B ．32C ．33D ．39．已知抛物线12-=x y 上一定点)0,1(-B 和两动点P 、Q ,当P 点在抛物线上运 动时,PQ BP ⊥,则点Q 的横坐标的取值范围是 ( )A. ]3,(--∞B. ),1[∞+C. [-3, -1]D. ),1[]3,(∞+--∞10．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．1(,2)2-B ．31(,)42- C ．(2,3) D ．(1,3)11．直线112()3332x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ ）A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．(3,3)-12．直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）A ．98B ．1404 C ．82 D ．9343+二、填空题（每小题3分，共18分） 13．把参数方程{sin cos ()1sin 2x y θθθθ=+=+为参数化为普通方程为 。
高中数学选修4-4(人教A版)第二讲参数方程2.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修4-4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程一、知识清单参数方程二、知识讲解1.参数方程曲线的参数方程定义设平面上取定了一个直角坐标系，把坐标系，表示为第三个变量的函数如果对于的每一个值（），式所确定的点都是在一条曲线上；而这条曲线上的任一点，都可由的某个值通过式得到，则称式为该曲线的参数方程，其中变量称为参数．直线的参数方程直线的参数方程的一般形式是．圆的参数方程若圆心在点，半径为，则圆的参数方程为 ． 圆锥曲线的参数方程若椭圆的中心不在原点，而在点，相应的椭圆的参数方程为．抛物线的参数方程抛物线的参数方程为．双曲线的参数方程双曲线的参数方程为．摆线的参数方程一圆沿一直线作无滑动滚动式，圆周上的一定点的轨迹称为摆线．设半径为的圆在轴上滚动，开始时定点在原点处．取圆滚动时转过的角度（以弧度为单位）为参数．当圆滚过角时，圆心为，圆与轴的切点为，．所摆线的参数方程为．xOy x y t {a ≤t ≤b ．(2−3)x =f (t )y =g (t )t a ≤t ≤b (2−3)M (x ,y )M (x ,y )t (2−3)(2−3)t {t ∈R x =+lt x 0y =+mty 0(,)M 0x 0y 0R {0≤θ≤2πx =+R cos θx 0y =+R sin θy 0(,)M 0x 0y 0{0≤t ≤2πx =+a cos t x 0y =+b sin ty 0{x =2p t 2y =2pt{x =a sec θy =b tan θM a x M O t t B x A ∠ABM =t {x =a (t −sin t )y =a (1−cos t )下列方程中可以看成参数方程的是（ ）A． B． C．x −y −t =0+−2ax −9=0x 2y 2{=x 2t 2y =2t −1。
【同步练习】2020人教A版选修4-4课后练习本《双曲线的参数方程和抛物线的参数方程》含答案解析)
2020人教A 版选修4-4课后练习本： 双曲线的参数方程和抛物线的参数方程一、选择题1.方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t，y ＝e t －e －t(t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支 D ．双曲线下支2.已知点M(3，m)在以F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)上，则|MF|=( )A ．1B ．2C ．3D ．43.已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R)，它们的交点坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1，255 B ．(5,2) C ．(5，－2) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，454.已知过曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P 和原点O 的连线PO 的倾斜角为π4，则P 点的坐标是( ) A ．(3,4) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，125 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫322，22 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫125，1255.下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29=1B.y 23－x 29=－1C.y 23－x 2=1D.y 23－x 2=－16.若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1(θ为参数)与直线x=m 相交于不同的两点，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0，1)D ．[0，1)7.点P(1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (参数t∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．28.P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2=16(y≠0)B ．9x 2＋16y 2=16(y≠0)C ．9x 2－16y 2=1(y≠0)D ．9x 2＋16y 2=1(y≠0)二、填空题9.如果双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θ，y ＝6tan θ(θ为参数)上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的左焦点距离是________．10.双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec 2，y ＝tan 2的顶点坐标为________．11.设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．12.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)=－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．三、解答题13.过点A(1，0)的直线l 与抛物线y 2=8x 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．14.已知直线l过点A(1，0)，抛物线C的方程为y2=8x，若直线l与抛物线C交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．答案解析1.答案为：B ；解析：因为x 2－y 2=e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t)=4，且x=e t ＋e －t ≥2e t ·e －t=2，所以表示双曲线的右支．2.答案为：D ；解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t得⎩⎪⎨⎪⎧t 2＝x 4，t ＝y4，∴y 216=x 4，即y 2=4x ，∴p=2，∴|MF|=3＋p 2=4.故选D ．3.答案为：A ；解析：由⎩⎨⎧x ＝ 5 cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)，得x 25＋y 2=1(y≥0)．由x=54t 2，y=t(t ∈R)得x=54y 2，∴5y 4＋16y 2－16=0，解得y 2=45或y 2=－4(舍去)．所以x=54y 2=1.又θ≥0，得交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.4.答案为：D ；解析：直线PO 的方程是y=x ，又点P 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ上一点，故3cos θ=4sin θ即tan θ=34，因为倾斜角为π4，0≤θ≤π，所以曲线与直线的交点在第一象限，故sin θ=35，cos θ=45，所以x=y=125.5.答案为：B ；解析：双曲线的普通方程为x 23－y 2=1，离心率为23=233，渐近线为y=±33x.B 中y 23－x 29=－1，即x 29－y 23=1.其离心率为233，渐近线为y=±33x ，故选B.6.答案为：D ；解析：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1化为普通方程得(y ＋1) 2=－(x －1)(0≤x ≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m<1.7.答案为：B ；解析：设Q(x ，y)为曲线上任一点，则d 2=|PQ|2=(x －1)2＋y 2=(t 2－1)2＋4t 2=(t 2＋1)2.由t 2≥0得d 2≥1，所以d min =1.8.答案为：A ；解析：由题意知a=4，b=3，可得c=5，故F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设P(4sec θ，3tan θ)，重心M(x ，y)，则x=－5＋5＋4sec θ3=43sec θ，y=0＋0＋3tan θ3=tan θ.从而有9x 2－16y 2=16(y≠0)．9.答案为：10或6；解析：由双曲线参数方程可知a=1，故P 到它左焦点的距离|PF|=10或|PF|=6. 10.答案为：(±3，0)；解析：由双曲线的参数方程知双曲线的顶点在x 轴，且a=3，故顶点坐标为(±3，0)．11.答案为：ρcos 2θ－sin θ=0；解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y=x 2，由于ρcos θ=x ，ρsin θ=y ， 所以化为极坐标方程为ρsin θ=ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ=0.12.答案为：(2，－4)；解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y=－2，曲线C 2的普通方程为y 2=8x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2，y 2＝8x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)． 13.解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M(8t 21，8t 1)，N(8t 22，8t 2)，则k MN =8t 2－8t 18t 22－8t 21=1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.所以kAP=4（t 1＋t 2）4（t 21＋t 22）－1. 由k MN =k AP 知t 1·t 2=－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（t 21＋t 22），y ＝4（t 1＋t 2），则y 2=16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)=16⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－14=4(x －1)．所以所求轨迹方程为y 2=4(x －1)．14.解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M(8t 21，8t 1)，N(8t 22，8t 2)，则k MN =8t 2－8t 18t 22－8t 21=1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.所以k AP =4（t 1＋t 2）4（t 21＋t 22）－1. 由k MN =k AP 知t 1·t 2=－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（t 21＋t 22），y ＝4（t 1＋t 2），则y 2=16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)=16⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－14=4(x －1)．所以所求轨迹方程为y 2=4(x －1)．。
(压轴题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：22x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l ：230x y -+=的距离的最小值为（ ）A ．23B ．223C ．233D ．22．已知22451x y +=，则25x y +的最大值是（ ） A ．2 B ．1C ．3D ．93．在参数方程cos sin x a t y b t θθ=+⎧⎨=+⎩，(0θπ<，t 为参数)所表示的曲线上有,B C 两点，它们对应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） A ．122t t - B ．122t t + C ．122t t - D ．122t t + 4．曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．2D ．5．已知点()1,2A -，()2,0B ，P 为曲线2334y x =-上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ） A ．[]1,7B ．[]1,7-C ．1,33⎡+⎣D ．1,323⎡-+⎣6．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()y 4t?x t t 为参数=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=424πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个7．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t ⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．22B ．42C ．8D ．48．若曲线2sin301sin30x t y t =-︒⎧⎨=-+︒⎩（t 为参数）与曲线22ρ=相交于B ，C 两点，则BC 的值为（ ）A ．27B ．60C ．72D ．309．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[),2θππ∈）上，则点P 到直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离的取值范围是( )A ．3232,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．0tan 60x = C ．(2,22⎤⎦D ．:::2x r r q q q e αα==10．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（ ） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC ．2ρ（sin θ+cos θ）=rD ．2ρ（sin θ+cos θ）=-r 11．在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆上的是 （ ）A ．B ．C ．D ．12．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(02)且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．则α的取值范围为_________14．已知点B 在圆O ：2216x y +=上，()2,2,A OM OA OB =+，若存在点N 使得MN 为定长，则点N 的坐标是______． 15．直线1413x ty t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为______.16．点(),M x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2m x y =+的最大值为______17．设直线315:{45x tl y t=+=（t 为参数），曲线1cos :{sin x C y θθ==（θ为参数），直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则AB =__________.18．已知椭圆C 的方程为2212x y +=，若F 为C 的右焦点，B 为C 的上顶点，P 为C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值为__________． 19．曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x ty t =-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为__________．20．设(,0)M p 是一定点，01p <<，点(,)A a b 是椭圆2214xy +=上距离M 最近的点，则()==a f p ________.三、解答题21．已知直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求AB 的值．22．已知直线l的参数方程为12{2x ty ==(t 为参数)，曲线C 的参数方程为4cos {4sin x y θθ==(θ为参数)． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程：1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：2cos 0ρθ+=．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值，并求出此时点的坐标． 24．已知曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以直角坐标系的原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是：12cos sin 6θθρ+=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程：（Ⅱ）点P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值与最小值.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=.（1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C上点的坐标为()2t ， 则C 上的点到直线l的距离2233d===，即C 上的点到直线1． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．A解析：A 【分析】设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数有界性得到最值.【详解】22451x y +=，则设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当4πα=，即4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选：A 【点睛】本题考查了求最大值，利用参数方程1cos 25x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是解题的关键. 3．D解析：D 【解析】 【分析】根据参数的几何意义求解即可。
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课后训练1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )．A ．(2,3)B ．(1,5)C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(2,0) 2．将参数方程222sin ,sin x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程为( )． A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)3．设曲线C 的参数方程为23cos ,13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 的距离为71010的点的个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．若P (2，－1)为圆O ：15cos ,5sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线l 的方程是( )．A ．x －y －3＝0B ．x ＋2y ＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝05．圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r ＞0)，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，那么圆的参数方程为( )．A ．cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩ B ．1cos sin x r y r ϕϕ=(+)⎧⎨=⎩ C ．cos 1sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=(+)⎩ D ．1cos2sin2x r y r ϕϕ=(+)⎧⎨=⎩6．直线cos ,sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩(t 为参数)与圆42cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)相切，则θ＝__________. 7．两动直线3x ＋2y ＝6t 与3tx －2ty ＝6相交于点P ，若取t 为参数，则点P 的轨迹的参数方程为________．8．已知某条曲线C 的参数方程为212,x t y at =+⎧⎨=⎩(t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上． (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程． 9．已知弹道曲线的参数方程为2π2cos ,6π12sin ,62x t y t gt ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)(1)求炮弹从发射到落地所需的时间；(2)求炮弹在运动中达到的最大高度．10．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求：(1)点P (x ＋y ，xy )的轨迹；(2)点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹．参考答案1. 答案：D解析：当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0.2. 答案：C解析：转化为普通方程为y ＝x －2，但由于x ∈[2,3]，y ∈[0,1]，故普通方程为y ＝x －2(2≤x ≤3)．3. 答案：B解析：∵曲线C 的方程为23cos ,13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数)， ∴(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.而l 为x －3y ＋2＝0，∴圆心(2，－1)到l 的距离|232|7710101910d ++===+. 又∵710<310，1410>310，∴有2个点． 4. 答案：A解析：∵圆心O (1,0)，∴k PO ＝－1．∴k l ＝1．∴直线l 的方程为x －y －3＝0.5. 答案：D解析：如图，设圆心为O ′，连接O ′M .∵O ′为圆心，∴∠MO ′x ＝2φ.∴圆的参数方程为cos2,sin2.x r r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩ 6. 答案：π6或5π6解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，作出图形，相切时，易知倾斜角为π6或5π6. 7. 答案：221,312t x t t y t ⎧+=⎪⎪⎨(-)⎪=⎪⎩(t 为参数，t ≠0) 解析：两方程联立，得326,32 6.x y t tx ty +=⎧⎨-=⎩①②①×t ＋②，得21t x t +=；①×t －②，得2312t y t(-)=. ∴所求点P 的轨迹的参数方程为221,31.2t x t t y t ⎧+=⎪⎪⎨(-)⎪=⎪⎩(t 为参数，t ≠0) 8. 解：(1)由题意，可知2125,4,t at +=⎧⎨=⎩故2,1,t a =⎧⎨=⎩ 所以a ＝1．(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为212,.x t y t =+⎧⎨=⎩由第一个方程，得12x t -=，代入第二个方程，得212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即(x －1)2＝4y .故曲线C 的普通方程为(x －1)2＝4y .9. 解：(1)令y ＝0,2π12sin =062t gt -，∴t 1＝0， 220.204t g=≈.即从发射到落地需0.204. (2)22π132sin6263g y t gt x x =-=-+，是开口向下的抛物线， ∴2max 330.05146y g ⎛⎫- ⎪⎝⎭=≈⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭． 即最大高度为0.051．10. 解：(1)设点M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P (x ′，y ′)， 则cos sin ,cos sin ,x'y'θθθθ=+⎧⎨=⎩①② ①2－2×②，得x ′2－2y ′＝1，即21=2'2x'y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴所求点P 的轨迹为抛物线21=22x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一部分1||2,||2x y ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭. (2)设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则()()2121cos cos sin cos cos sin ,sin cos sin sin cos sin ,x y θθθθθθθθθθθθ⎧=+=+⎪⎨=+=+⎪⎩ ∴112111sin2,11sin2sin 2.22x y x y θθθ+=+⎧⎪⎨=+⎪⎩将sin 2θ＝x1＋y1－1代入另一个方程，整理得2211111222 x y⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴所求点Q的轨迹是以11,22⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以22为半径的圆．。
第二课时双曲线、抛物线的参数方程-人教A版高中数学选修4-4优化练习
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：抛物线方程化为普通方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1， 所以|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4.故选C. 答案：C2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t，y ＝e t－e －t (t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支D ．双曲线下支解析：∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t－(e 2t －2＋e－2t)＝4.且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t ＝2.∴表示双曲线的右支． 答案：B3．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (其中，参数t ∈R)上的点的最短距离是( )A ．0B ．1 C. 2D ．2解析：方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t表示抛物线y 2＝4x 的参数方程，其中p ＝2，设点M (x ，y )是抛物线上任意一点，则点M (x ，y )到点P (1,0)的距离d ＝(x －1)2＋y 2＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|≥1，所以最短距离为1，选B.答案：B4．若曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则曲线C 上的点的轨迹是( ) A ．直线x ＋2y －2＝0 B ．以(2,0)为端点的射线 C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析：将曲线的参数方程化为普通方程得x ＋2y －2＝0(0≤x ≤2,0≤y ≤1)． 答案：D5．已知某条曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12⎝⎛⎭⎫a ＋1a ，y ＝12⎝⎛⎭⎫a －1a (其中a 是参数)，则该曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一部分解析：将所给参数方程的两式平方后相减， 得x 2－y 2＝1.并且由|x |＝12⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥1，得x ≥1或x ≤－1， 从而易知结果． 答案：C6．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22·y sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0(θ为参数)，则圆心的轨迹方程是________．解析：圆心轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2θ，y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θcos θ，y ＝－(sin θ＋cos θ).消去参数得： y 2＝1＋2x (－12≤x ≤12)．答案：y 2＝1＋2x (－12≤x ≤12)7．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t(t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t 得y 2＝8x ，抛物线C 的焦点坐标为F (2,0)， 直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0. 因为直线y ＝x －2与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切， 由题意得r ＝|4－0－2|2＝ 2.答案： 28．曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec α，y ＝b tan α(α为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a tan β，y ＝b sec β(β为参数)的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＋e 2的最小值为________．解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec α，y ＝b tan α(α为参数)的离心率e 1＝a 2＋b 2a，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a tan β，y ＝b sec β(β为参数)的离心率e 2＝a 2＋b 2b ，∴e 1＋e 2＝a 2＋b 2(a ＋b )ab ≥22abab ＝2 2.当且仅当a ＝b 时取等号，所以最小值为2 2. 答案：2 29．已知抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p ＞0)上的点M ，N 对应的参数值为t 1，t 2，且t 1＋t 2＝0，t 1t 2＝－p 2，求M ，N 两点间的距离．解析：由题知M ，N 两点的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)，所以|MN |＝ (2pt 21－2pt 22)2＋(2pt 1－2pt 2)2＝(2pt 1－2pt 2)2＝2p |t 1－t 2|＝2p (t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝4p 2.故M ，N 两点间的距离为4p 2.10.如图所示，O 是直角坐标系的原点，A ，B 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上异于顶点的两动点，且OA ⊥OB ，A ，B 在什么位置时△AOB 的面积最小？最小值是多少？解析：根据题意，设点A ，B 的坐标分别为A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)(t 1≠t 2，且t 1t 2≠0)，则|OA |＝ (2pt 21)2＋(2pt 1)2＝2p |t 1|t 21＋1， |OB |＝(2pt 22)2＋(2pt 2)2＝2p |t 2|t 22＋1.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即2pt 21·2pt 22＋2pt 1·2pt 2＝0，所以t 1·t 2＝－1. 又因△AOB 的面积为： S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12·2p |t 1|t 21＋1·2p |t 2|t 22＋1 ＝2p 2|t 1t 2|(t 21＋1)(t 22＋1) ＝2p 2t 21＋t 22＋2＝2p 2t 21＋1t 21＋2≥2p 22＋2＝4p 2. 当且仅当t 21＝1t 21，即t 1＝1，t 2＝－1或t 1＝－1，t 2＝1时，等号成立． 所以A ，B 的坐标分别为(2p,2p )，(2p ，－2p )或(2p ，－2p )，(2p,2p )时，△AOB 的面积最小，最小值为4p 2.[B 组 能力提升]1．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0)B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0)C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0)D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)解析：由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ.从而有9x 2－16y 2＝16 (y ≠0)． 答案：A2．参数方程⎩⎨⎧x ＝⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2，y ＝12(1＋sin θ)(0＜θ＜2π)表示( )A ．双曲线的一支，这支过点⎝⎛⎭⎫1，12 B ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎫1，12 C ．双曲线的一支，这支过点⎝⎛⎭⎫－1，12 D ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎫－1，12解析：∵x 2＝(cos θ2＋sin θ2)2＝1＋sin θ＝2y ，∴方程x 2＝2y 表示抛物线．又∵x ＝⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π4， 且0＜θ＜2π， ∴0≤x ≤ 2，故选B. 答案：B3．抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝t ，关于直线x ＋y －2＝0对称的曲线的焦点坐标是________．解析：抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 的普通方程为y 2＝x ，是以x 轴为对称轴，顶点在原点，开口向右的抛物线，当关于直线x ＋y －2＝0对称时，其顶点变为(2,2)，对称轴相应变为x ＝2，且开口方向向下，所以焦点变为⎝⎛⎭⎫2，2－14，即⎝⎛⎭⎫2，74.答案：⎝⎛⎭⎫2，74 4．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．解析：先将参数方程与极坐标方程化为普通方程，再根据直线过焦点、直线与圆相切建立关于椭圆方程中a ，b ，c 的等式，再结合a 2＝b 2＋c 2求得离心率．由已知可得椭圆标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m ，又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 的右焦点(c,0)，可得c ＝m .又因为直线l 与圆O 相切，所以|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)，整理，得c 2a 2＝23，故椭圆C 的离心率为e ＝63. 答案：635.如图，自双曲线x 2－y 2＝1上一动点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 中点P 的轨迹方程．解析：设点Q 的坐标为(sec φ，tan φ)，(φ为参数)． ∵QN ⊥l ，∴可设直线QN 的方程为x －y ＝λ.① 将点Q 的坐标代入①得：λ＝sec φ－tan φ. 所以线段QN 的方程为x －y ＝sec φ－tan φ.② 又直线l 的方程为x ＋y ＝2.③由②③解得点N 的横坐标x N ＝2＋sec φ－tan φ2.设线段QN 中点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x N ＋x Q 2＝2＋3sec φ－tan φ4，④4×④－②得 3x ＋y －2＝2sec φ.⑤ 4×④－3×②得 x ＋3y －2＝2tan φ.⑥⑤2－⑥2化简即得所求的轨迹方程为 2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.6．已知曲线C 的方程为⎩⎨⎧x ＝12(e t ＋e －t )cos θ，y ＝12(e t－e－t)sin θ.(1)当t 是非零常数，θ为参数时，C 是什么曲线？(2)当θ为不等于k π2(k ∈Z)的常数，t 为参数时，C 是什么曲线？(3)两曲线有何共同特征？解析：(1)将原参数方程记为①，将参数方程①化为⎩⎨⎧2xe t ＋e －t＝cos θ，2ye t－e－t＝sin θ.平方相加消去θ，得x 2⎝⎛⎭⎫e t ＋e －t 22＋y 2⎝⎛⎭⎫e t －e －t 22＝1.②因为(e t ＋e －t )2＞(e t －e －t )2＞0，故方程②的曲线为椭圆，即C 为椭圆．(2)将方程①化为⎩⎨⎧2xcos θ＝e t ＋e－t，2ysin θ＝e t－e－t.平方相减消去t ，得x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1.③所以方程③的曲线为双曲线，即C 为双曲线． (3)在方程②中⎝⎛⎭⎫e t＋e －t22－⎝⎛⎭⎫e t －e －t22＝1，则c ＝1，椭圆②的焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，因此椭圆和双曲线有共同的焦点．。
最新整理高中数学人教A版选修4-4自我小测：第二讲二 圆锥曲线的参数方程 Word版含解析.doc
自我小测1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的焦点坐标为( ) A ．(±5,0) B ．(±4,0)C ．(±3,0)D ．(0，±4)2．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)所表示的曲线必经过点( ) A ．(0,2) B ．(1,3)C ．(2,3)D ．(2,0)4．若抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的参数方程是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4t 2，y ＝－4t (t 为参数) B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数) C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8t 2，y ＝－8t (t 为参数) D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数) 5．当θ取一切实数时，连接A (4sin θ，6cos θ)和B (－4cos θ，6sin θ)两点的线段的中点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．直线D ．线段6．若实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，则2x ＋3y 的最大值是________．7．以椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为焦点，以直线⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝4t(t 为参数)为渐近线的双曲线的参数方程是__________． 8．已知双曲线⎩⎨⎧x ＝3tan θ，y ＝sec θ(θ为参数)，则它的两条渐近线所成的锐角的度数是________．9．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设点P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹的普通方程．10．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值．参考答案1．解析：将参数方程化为普通方程，得x 225＋y 29＝1.故焦点坐标为(±4,0)． 答案：B2．解析：抛物线方程化为普通方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，所以|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4.故选C.答案：C3．解析：把方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)消去参数化为普通方程为x 24＋y 29＝1， 显然方程表示的图象经过点(2,0)，故选D.答案：D4．解析：由于抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，故p ＝4，抛物线的标准方程为y 2＝8x (x ≥0)．根据x ≥0，故排除A ，C ；再根据y 2x＝8，排除B.故选D. 答案：D5． 解析：设线段AB 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式，得x ＝2sin θ－2cos θ，y ＝3cos θ＋3sin θ，即x 2＝sin θ－cos θ，y 3＝sin θ＋cos θ，两式平方相加，得x 24＋y 29＝2，即所求中点的轨迹是椭圆．答案：B6． 解析：因为实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，所以设x ＝2cos α，y ＝3sin α， 则2x ＋3y ＝4cos α＋3sin α＝5sin (α＋φ)，其中sin φ＝45，cos φ＝35. 当sin (α＋φ)＝1时，2x ＋3y 有最大值为5.答案：57． 解析：椭圆x 225＋y 216＝1的焦点坐标为(25－16，0)，(－25－16，0)， 即为(3,0)，(－3,0)，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)， 直线⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝4t (t 为参数)，即为直线y ＝22x ，所以b a＝2 2. 由题意得，c ＝3，a 2＋b 2＝32，所以a ＝1，b ＝2 2.故双曲线的标准方程为x 2－y 28＝1. 因为sec 2θ－tan 2θ＝1，所以双曲线的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝sec θ，y ＝22tan θ(θ为参数)． 答案：⎩⎨⎧ x ＝sec θ，y ＝22tan θ(θ为参数) 8． 解析：因为⎩⎨⎧ x ＝3tan θ，y ＝sec θ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝tan θ， ①y ＝sec θ， ②②2－①2得y 2－x 23＝1，其渐近线为y ＝±33x ，故两条渐近线所成的锐角的度数是60°. 答案：60°9．解：(1)由椭圆上点A 到F 1，F 2的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又点A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上，因此14＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，得b 2＝3，于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)，线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )，则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02，所以x ＋12＝cos θ，2y 3＝sin θ.消去θ，得⎝⎛⎭⎫x ＋122＋4y 23＝1，故线段F 1P 的中点的轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋4y 23＝1.10． 解：(1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1. C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆．C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，设Q (8cos θ，3sin θ)， 故M ⎝⎛⎭⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ.C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|，其中φ为锐角，tan φ＝34.故d 的最小值为855.。
人教A版高中数学选修4-4同步练习双曲线的参数方程、抛物线的参数方程
2．4 双曲线的参数方程、抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程当以F 1，F 2所在的直线为x 轴，以线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，双曲线的普通方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．此时参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝□01a cos φ，y ＝□02b tan φ(φ为参数)．其中φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝□03b tan φ，y ＝□04a sec φ(φ为参数)．2．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝□052pt 2，y ＝□062pt(t ∈R )．(2)参数t 的几何意义是□07抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)双曲线x 29－y 216＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4sec φ，y ＝3tan φ(φ为参数)．( )(2)双曲线y 225－x 24＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2tan φ，y ＝5sec φ(φ为参数)．( )(3)y 2＝16x 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝16t 2，y ＝16t (t 为参数)．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的两焦点坐标是________．答案 (0，±43)(2)如果双曲线⎩⎨⎧x ＝sec θ，y ＝6tan θ(θ为参数)上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的左焦点距离是________．答案 10或6(3)过抛物线⎩⎨⎧y ＝2t ，x ＝t 2(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6．则|AB |＝________．答案 8(4)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)表示的曲线的焦距为________．答案 42探究1 双曲线的参数方程的应用例1 在双曲线x 2－y 2＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为2． 解 本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题需要先求出双曲线的参数方程，设出P 点的坐标，建立方程求解．设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|2＝2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos φ－sin φcos φ＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|， 平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即5sin 2φ－2sin φ－3＝0． 解得sin φ＝1或sin φ＝－35． sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45．∴P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－34或⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，34．本例的求解充分利用了双曲线的参数方程．一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x ，y 都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果．【跟踪训练1】 求证：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．证明 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，得两条渐近线的方程是bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0，设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)，它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2， 则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋(－a )2＝|a 2b 2(sec 2φ－tan 2φ)|a 2＋b 2＝a 2b 2a 2＋b 2(定值)．探究2 抛物线参数方程的应用例2 连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．解 设M (x ，y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在OM 的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2t ，y ＝2t 2，由中点坐标公式得⎩⎨⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2，变形为y 0＝14x 20，即x 2＝4y ．表示的为抛物线．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数化为普通方程，如果动点轨迹与圆锥曲线有关，通常以圆锥曲线参数方程中的参数作为中间变量．【跟踪训练2】 已知抛物线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l ．过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________．答案 2解析 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，F p 2，0，所以p 2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．探究3 圆锥曲线的参数方程的综合应用例3 如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线⎩⎨⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．解 ∵双曲线的普通方程为x 216－y 29＝1， ∴右焦点(5，0)，右顶点(4，0)． 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∴a ＝5，c ＝4，b ＝3． ∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1． 设椭圆上一点P (5cos θ，3sin θ)，双曲线一渐近线为3x －4y ＝0， ∴点P 到渐近线的距离d ＝|3×5cos θ－12sin θ|5＝3|41sin (θ－φ)|5⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝54．∴d max ＝3415．在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．【跟踪训练3】 已知抛物线C ：⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点M 的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．解 由⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝2t 得y 2＝2x ，即抛物线的标准方程为y 2＝2x ．又∵M 点的纵坐标为2，∴M 点的横坐标也为2． 即M (2，2)．又∵抛物线的准线方程为x ＝－12．∴由抛物线的定义知|MF |＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2＋12＝52．即点M 到抛物线焦点的距离为52．1．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数cot φ，sec φ，csc φ的意义分别为cot φ＝1tan φ，sec φ＝1cos φ，csc φ＝1sin φ．2．抛物线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，由于y x ＝1t ，因此t 的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数．3．利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等．1．曲线⎩⎨⎧x ＝t 2－1，y ＝2t ＋1(t 为参数)的焦点坐标是( )A ．(1，0)B ．(0，1)C ．(－1，0)D ．(0，－1) 答案 B解析 将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(x ＋1)，该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0，1)．2．方程⎩⎨⎧x ＝e t ＋e －t ，y ＝e t－e－t (t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支 D ．双曲线下支 答案 B解析 ∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4． x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t ＝2． ∴表示双曲线的右支．3．抛物线⎩⎨⎧x ＝2m ，y ＝－m 2(m 为参数)的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝1C ．y ＝－2D ．y ＝2 答案 B解析 由抛物线的参数方程，消去参数m ，得抛物线的普通方程为x 2＝－4y ，则p ＝2，p2＝1，故该抛物线的准线方程为y ＝1．4．将方程⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos2t1＋cos2t化为普通方程是________．答案 y ＝x 2解析 由y ＝1－cos2t 1＋cos2t＝2sin 2t2cos 2t ＝tan 2t ，将tan t ＝x 代入上式，得y ＝x 2，即为所求方程．A 级：基础巩固练一、选择题1．已知某条曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (其中a 是参数)，则该曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一部分 答案 C解析 将所给参数方程的两式平方后相减， 得x 2－y 2＝1．并且由|x |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥1，得x ≥1或x ≤－1，从而易知结果． 2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t 2(t 为参数)所表示的曲线是( )A ．抛物线B ．一条直线C ．两条射线D ．两条曲线 答案 D解析 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＝t 2＋2＋1t 2，故把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t 2(t 为参数)消去参数，化为普通方程为x 2＝y ＋2(x ≥2或x ≤－2)表示两条曲线，故答案为D ．3．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1，|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4．4．过点M (2，4)且与抛物线⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝4t (θ为参数)只有一个公共点的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条 答案 C解析 由⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝4t ，得y 2＝8x ，∴点M (2，4)在抛物线上．∴过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条．5．P 为双曲线⎩⎨⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0)B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0)C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0)D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0) 答案 A解析 由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ．从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)．6．若曲线⎩⎨⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1，M 2所对应的参数分别是t 1，t 2(且t 1≠t 2)，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )A ．t 1＋t 2B ．t 1－t 2C ．1t 1＋t 2 D ．1t 1－t 2答案 A解析 设M 1(2pt 1，2pt 21)，M 2(2pt 2，2pt 22)，因为t 1≠t 2，所以kM 1M 2＝2pt 22－2pt 212pt 2－2pt 1＝2p (t 2＋t 1)(t 2－t 1)2p (t 2－t 1)＝t 2＋t 1．二、填空题7．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，且0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t 为参数，且t ∈R )，它们的交点坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，255 解析 两曲线的普通方程分别为x 25＋y 2＝1(y ≥0)，y 2＝45x (x ≥0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1，y 2＝45x ，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝255.8．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P 为直线ρcos θ－ρsin θ－4＝0上一点，点Q 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝14t 2(t 为参数)上一点，则|PQ |的最小值为________．答案322解析 由题可知，点P 在直线x －y －4＝0上，点Q 在曲线y ＝14x 2上．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y ＝14x 2得x 2－4x －4b ＝0，由Δ＝0得b ＝－1．两直线x －y －4＝0，x －y－1＝0间的距离即为|PQ |的最小值，所以其最小值为|4－1|2＝322． 9．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ＝π4(ρ≥0)与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52解析 射线θ＝π4(ρ≥0)的直角坐标方程为y ＝x (x ≥0)，曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t为参数)的普通方程为y ＝(x －2)2．联立方程组⎩⎨⎧y ＝x (x ≥0)，y ＝(x －2)2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4.故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52．三、解答题10．已知抛物线⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p >0)上的点M ，N 对应的参数值为t 1，t 2，且t 1＋t 2＝0，t 1t 2＝－p 2，求M ，N 两点间的距离．解 由题知M ，N 两点的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)， ∴|MN |＝(2pt 21－2pt 22)2＋(2pt 1－2pt 2)2＝(2pt 1－2pt 2)2＝2p |t 1－t 2| ＝2p (t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4p 2． 故M ，N 两点间的距离为4p 2．B 级：能力提升练1．已知抛物线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4t ，y ＝1－4t2(t 为参数)，则它在x 轴上截得的线段的长是多少？解 令y ＝0，得抛物线与x 轴的交点对应的参数t ＝±12．当t ＝12时，x ＝2；当t ＝－12时，x ＝－2．故抛物线与x 轴的交点坐标为(2，0)，(－2，0)， 所以它在x 轴上截得的线段的长为4．2．已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值．解 设Q (sec θ，tan θ)，在△O 1QP 中，|O 1P |＝1，|O 1P |＋|PQ |≥|O 1Q |． 又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4)＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3．当tan θ＝1，即θ＝π4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝3．∴|PQ |min ＝3－1．。
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双曲线的参数方程抛物线的参数方程
跟踪练习
一、选择题
1．曲线Error!(t为参数)的焦点坐标是( )
A．(1,0) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(0，－1)
2．圆锥曲线Error!(θ是参数)的焦点坐标是( )
A．(－5,0) B．(5,0)
C．(±5,0) D．(0，±5)
3．方程Error!(t为参数)的图形是( )
A．双曲线左支B．双曲线右支
C．双曲线上支D．双曲线下支
4．点Μ0(0,2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( )
A．1 B．2 C.D．3
3
二、填空题
5．已知动圆方程x2＋y2－x sin 2θ＋2y·sin＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程
2(θ＋π4)
是________．
6．双曲线Error!(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．
7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为Error!(t为参数)和Error!(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
三、解答题
8．已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值．
9．已知双曲线方程为x2－y2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．
10．过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．
双曲线的参数方程抛物线的参数方程
跟踪练习答案
一、选择题
1．曲线Error!(t 为参数)的焦点坐标是( )
A ．(1,0)
B ．(0,1)
C ．(－1,0)
D ．(0，－1)
解析：选B 将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(x ＋1)，
该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到，
所以焦点为(0,1)．
2．圆锥曲线Error!(θ是参数)的焦点坐标是( )
A ．(－5,0)
B ．(5,0)
C ．(±5,0)
D ．(0，±5)
解析：选C 由Error!(θ为参数)得 －＝1，x 216y 29
∴它的焦点坐标为(±5,0)．
3．方程Error!(t 为参数)的图形是( )
A ．双曲线左支
B ．双曲线右支
C ．双曲线上支
D ．双曲线下支
解析：选B ∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4.
且x ＝e t ＋e －t ≥2＝2.
e t ·e －t ∴表示双曲线的右支．
4．点Μ0(0,2)到双曲线x 2－y 2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( )
A ．1
B ．2 C. D ．3
3解析：选C ∵双曲线方程为x 2－y 2＝1，∴a ＝b ＝1.
∴双曲线的参数方程为Error!(θ为参数)．
设双曲线上一动点为Μ(sec θ，tan θ)，
则2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2
|Μ0Μ|＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4)
＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3.
当tan θ＝1时，2取最小值3，
|Μ0Μ|此时有＝
.
|Μ0Μ|3二、填空题
5．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋2
y ·sin ＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程2(θ＋π4)是________．
解析：圆心轨迹的参数方程为Error!
即Error!消去参数，得
y 2＝1＋2x .(－12≤x ≤12)
答案：y 2＝1＋2x (－12≤x ≤12)
6．双曲线Error!(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．
解析：将参数方程化为y 2－＝1，x 23
此时a ＝1，b ＝，
3设渐近线倾斜角为α，则tan α＝±
＝±.1
333∴α＝30°或150°.
答案：30°或150°
7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为Error!(t 为参数)和Error!(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．
解析：由Error!(t 为参数)得y ＝，
x 又由Error!(θ为参数)得x 2＋y 2＝2.
由Error!得Error!
即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
三、解答题
8．已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值．
解：由题意可知O 1(0,2)，∵Q 为双曲线x 2－y 2＝1上一点，设Q (sec θ，tan θ)，在△O 1QP 中，|O 1P |＝1，|O 1P |＋|PQ |≥|O 1Q |.
又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2
＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4)
＝2tan 2θ－4tan θ＋5
＝2(tan θ－1)2＋3.
∴当tan θ＝1，即θ＝时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝.
π4
3∴|PQ |min ＝－1.39．已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数．
证明：设d 1为点Μ到渐近线y ＝x 的距离，d 2为点Μ到渐近线y ＝－x 的距离，因为点Μ在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设点Μ的坐标为(sec α，tan α)．d 1＝，d 2＝，|sec α－tan α|
2
|sec α＋tan α|2d 1d 2＝＝，|sec 2α－tan 2α|212
故d 1与d 2的乘积是常数．
10．过点A (1,0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．
解：法一：设抛物线的参数方程为Error!(t 为参数)，可设M (8t ，8t 1)，N (8t ，8t 2
)，212则k MN ＝＝.8t 2－8t 18t 2－8t 2
11t 1＋t 2又设MN 的中点为P (x ，y )，
则Error!∴k AP ＝，4(t 1＋t 2)
4(t 21＋t 2)－1
由k MN ＝k AP 知t 1t 2＝－，又Error!18
则y 2＝16(t ＋t ＋2t 1t 2)＝16＝4(x －1)．212(x 4－14)
∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．
法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由M ，N 在抛物线y 2＝8x 上知Error!
两式相减得y －y ＝8(x 1－x 2)，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2
)，212∴＝.设线段MN 的中点为P (x ，y )，∴y 1＋y 2＝2y .y 1－y 2x 1－x 28y 1＋y 2
由k PA ＝，又k MN ＝＝＝，y x －1y 1－y 2x 1－x 28y 1＋y 24y
∴＝.∴y 2＝4(x －1)．y x －14y
∴线段MN 的中点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －1)．。