抛物线的几个常见结论及其应用
抛物线及其性质知识点及题型归纳总结
抛物线及其性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.注 若在定义中有l F ∈，则动点的轨迹为l 的垂线，垂足为点F . 二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：)0(2,2,2,22222>-==-==p py x py x px y px y ，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）1. 点),(00y x P 与抛物线)0(22>=p px y 的关系（1）P 在抛物线内（含焦点）0202px y <⇔. （2）P 在抛物线上0202px y =⇔. （3）P 在抛物线外0202px y >⇔.2. 焦半径抛物线上的点),(00y x P 与焦点F 的距离称为焦半径，若)0(22>=p px y ，则焦半径20px PF +=，2max p PF =. 3. )0(>p p 的几何意义p 为焦点F 到准线l 的距离，即焦准距，p 越大，抛物线开口越大.4. 焦点弦若AB 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦，),(11y x A ，),(22y x B ，则有以下结论：（1）4221p x x =.（2）221p y y -=.（3）焦点弦长公式1：p x x AB ++=21，p x x x x =≥+21212，当21x x =时，焦点弦取最小值p 2，即所有焦点弦中通径最短，其长度为p 2.焦点弦长公式2：α2sin 2pAB =（α为直线AB 与对称轴的夹角）.（4）AOB ∆的面积公式：αsin 22p S AOB =∆（α为直线AB 与对称轴的夹角）. 5.抛物线的弦若AB 为抛物线22(p 0)y px => 的任意一条弦，1122(x ,y ),B(x ,y )A ，弦的中点为000(x ,y )(y 0)M ≠ ，则（1） 弦长公式：1212(k k 0)AB AB x y y =-=-=≠ （2） 0AB p k y =（3） 直线AB 的方程为000(x x )py y y -=- （4） 线段AB 的垂直平分线方程为000(x x )y y y p-=-- 6．求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4A法） （1）2(A 0),y Ax =≠ 焦点为(,0)4A ，准线为4A x =-(2) 2(A 0),x Ay =≠ 焦点为(0,)4A ，准线为4A y =-如24y x =，即24y x =，焦点为1(0,)16 ，准线方程为116y =-7．参数方程22(p 0)y px => 的参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩（参数t R ∈）8．切线方程和切点弦方程抛物线22(p 0)y px =>的切线方程为0000(x x ),(x ,y )y y p =+为切点切点弦方程为00(x x ),y y p =+点00(x ,y )在抛物线外与中点弦平行的直线为00(x x ),y y p =+此直线与抛物线相离，点00(x ,y )（含焦点）是弦AB 的中点，中点弦AB 的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果。
抛物线中的常用结论
抛物线中的常用结论
抛物线是数学中的一个重要概念，它的常用结论有以下几个：
1.对于过抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 焦点 $F$ 的弦 $AB$，
$M$ 为 $AB$ 的中点，准线为 $l$，$A$、$B$、$M$ 在 $l$ 上
的射影分别为 $C$、$D$、$N$，则有 $y_1y_2=-p^2$。
2.对于同样的 $AB$，则有 $\frac{x_1}{2} \cdot
\frac{x_2}{2} = p^2$。
3.$A$、$O$、$D$ 三点共线，$B$、$O$、$C$ 三点共线，或者证明 $AD$ 过点 $O$，$BC$ 过点 $O$。
4.$CF \perp DF$。
5.$NF \perp AB$。
6.设 $MN$ 交抛物线于 $Q$，则 $Q$ 平分 $MN$。
7.设 $AB$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于 $E$，则有
$2FE=AB$。
8.$AN \perp BN$。
9.以 $AB$ 为直径的圆与准线 $l$ 相切。
10.设弦 $AB$ 的倾斜角为 $\alpha$，则有 $AB=\frac{1}{2} \cdot \frac{AF+BF}{P}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2P}{\sin \alpha}$。
11.对于 $\triangle AOB$，有 $S_{\triangle AOB}=p^2$。
以上就是抛物线中的常用结论。
抛物线焦点弦的八大结论
抛物线焦点弦的八大结论
第一类是常见的基本结论；
第二类是与圆有关的结论；
第三类就是由焦点弦得出结论有关直线横向的结论；
第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。
1、以焦点弦为直径的圆与准线切线（用抛物线的定义与梯形的中位线定理融合证明）。
2、1/|af|+1/|bf|=2/p(p为焦点到准线的距离，下同）。
3、当且仅当焦点弦与抛物线的轴横向（此时的焦点弦称作“通径”）时，焦点弦的长度获得最小值2p。
4、如果焦点弦的两个端点是a、b，那么向量oa与向量ob的数量积是-0.75p^2。
抛物线具备这样的性质，如果它们由反射光的材料做成，则平行于抛物线的对称轴前进并喷发其凹面的光被散射至其焦点，而不管抛物线在哪里出现散射。
恰好相反，从焦点处的点源产生的光被散射成平行（“电子束”）光束，并使抛物线平行于对称轴。
声音和其他形式的能量也可以产生相同的效果。
这种散射性质就是抛物线的许多实际应用领域的基础。
抛物线结论及证明
抛物线的常用结论抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路.结论1.若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-.即12,,2p x x 成等比数列.证明：焦点坐标为F(2p,0).设直线AB 的方程为：2p x my =+2222202y px y pmy p p x my ⎫=⎪⇒--=⎬=+⎪⎭2222121212122()224y y y y y y p x x p p p ⇒=-⇒=⋅= 2222()44p p p -== 推广：结论2.若AB 是过定点(,0)(0)P t t ≠的抛物线2(0)y ax a =≠的弦，且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：212x x t =，12y y at =-.即12,,x t x 成等比数列.（注：点P 不一定在抛物线的内部，开口向上或向下的情形可与此类推）证明：设直线AB 的方程为：x my t =+22y ax y amy at x my t ⎫=⇒--=⎬=+⎭222221212121222()()y y y y at y y at x x t a a a a-⇒=-⇒=⋅=== 特别地，当t a =时，212y y a =-，212.x x a =故12120x x y y OA OB +=⇒⊥. 可用文字叙述为：结论3.（1）过抛物线内对称轴上到顶点的距离等于通径的定点的弦对着顶点处的角是直角.（2）若抛物线的弦对着顶点处的角是直角，则弦过定点，定点是抛物线内部对称轴上到顶点的距离等于通径的点.以上性质可叙述为：抛物线的定点弦，端点坐标积恒定.结论4.过抛物线的准线与轴的交点作两条切线，则两切线垂直.当开口向左或向右时，切点的横坐标等于焦点的横坐标. 当开口向上或向下时，切点的纵等于焦点的纵坐标.（注：对抛物线的方程是标准方程时适用）推广：结论5.过抛物线2y ax =外一点(,0)t （(0)at <作抛物线的两切切线，则切点横坐标为 -t.证明：设两条切线中的任一条的方程为：x my t =+，220y ax y amy at x my t ⎫=⇒--=⎬=+⎭(*) ∵直线与抛物线相切.∴△=2222()41()040(4)0am at a m at a am t --⨯-=⇒+=⇒+= ∵ a ≠ 0 ∴am 2+4t =024am t ⇒=-.由（*）知：切点的纵坐标为2am . 代入x my t =+，得切点横坐标为2422am tt t t -+=+=-. 结论6.过抛物线2(0)y ax a =≠上一点P 00(,)x y 的切线的方程是：00()2ay y x x =+. 设过点P 00(,)x y 的切线的方程为：00()x x m y y -=-,则00x my x my =+-把00x my x my =+-代入2y ax =并整理，得200()0y amy a x my ---=由直线与抛物线相切知：22200004()0()2(2)40a m a x my am am y ax ∆=+-=⇒-+=由于点00(,)P x y 在抛物线上，故200y ax =，于是2220002()2()(2)(2)0(2)0y am am y y am y m a-+=⇒-=⇒=切线方程为：220000000002()()222y a a a x x y y y y y x x y y x x y a -=-⇒-=-⇒=-+ 00000()222a a ay y x x ax y y x x =++⇒=+. 结论7.过抛物线2(0)y ax a =≠的处侧一点00(,)P x y 作两条切线，则过两切点的直线方程为：00()2ay y x x =+ 证明：设两个切点为111222(,),(,)T x y T x y . 过111(,)T x y 的切线1PT 的方程为：11()2ay y x x =+由于点00(,)P x y 在切线1PT 上，故1001()2a y y x x =+，即：0110()2ay y x x =+ ∴点111(,)T x y 在直线00()2ay y x x =+上.同理可证：点222(,)T x y 在直线00()2ay y x x =+ ∴过两切点的直线方程为：00()2ay y x x =+ 结论8.过抛物线的两切线交点和切点弦中点的直线平行于对称轴或与对称轴重合，弦在对称轴上的截距与两切线交点的一次坐标反号.下面就抛物线方程为2(0)y ax a =≠的情形加以证明.证明：过抛物线2(0)y ax a =≠的处侧一点00(,)P x y 作两条切线，则过两切点的直线方程为：0000()22a y y x x ax y y ax =+⇒=-，代入2y ax =并整理，得20020y y y ax -+= 设两个切点为111222(,),(,)T x y T x y .12120022y y y y y y ++=⇒=. ∴切点弦120TT y 的中点的纵坐标为，与点P 的纵坐标示相同，故切点12T T 的中点和点P 的直线平于对称轴x 轴或与x 轴重合.把当0y =代入00()2ay y x x =+解得：0x x =-.即切点弦在对称轴上的截距与点的一次字母坐标，即横坐标互为相反数.以抛物线2(0)y ax a =≠内部一点00(,)P x y 为中点的弦所在的直线的方程是：200022a a y y x y x -=-. 结论9.抛物线的顶点为O,焦点为 F,焦准距为p ,抛物线上任一点为P,设∠OFP=θ, 证明：|0||||cos(180)EF PF θ=+-||cos p PF θ=-(1cos )||PF p θ⇒+=||1cos pPF θ⇒=+由前面结论知：0||1cos(180)1cos p pJF θθ==+-- 故||||||1cos 1cos p p PJ PF JF θθ=+=++-＝22221cos sin p pθθ==- 当090θ=时，2sin θ的最大值为1，22sin p θ有最小值22.1pp =焦点弦PJ 最短.这时的焦点弦称为通径.特别地，抛物线2(0)y ax a =≠的倾斜角为非直角θ的弦点弦长＝22||||1tan 1a a kθ=++. 抛物线2(0)x ay a =≠的倾斜角为非直角θ的弦点弦长＝2||(1tan )a θ+＝2||(1)a k + 结论10.通径是最短的焦点弦.结论11 焦点弦和顶点围成的三角形的面积等于半通径的平方除以弦与轴的夹角的正弦的商的一半.结论12.抛物线22(0)y px p =>（p 是焦准距）的焦点的两端点为1122(,)(,)A x y B x y 和，则1||2p FA x =+，2||2pFB x =+， 12||AB p x x =++ 例：已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 .解：12=29sin α（其中α为直线AB 的倾斜角），则sin 2α=±，所以直线AB 倾斜角为3π或23π. 结论13：三个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.（2）以焦点弦在准线上的射影为直径的圆和焦点弦相切. （3）以焦点弦为直径的圆和过顶点垂直于轴的直线相切.已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆与直线AB 相切.证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， 垂足分别为M 、P 、N ，连结AP 、BP.由抛物线定义：AM AF =，，∴111()()222QP AM BN AF BF AB =+=+=， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切（2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ，∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∠MFO ，∴∠AFM=∠MFO.同理，∠BFN=∠NFO ， ∴∠MFN=12（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90°， ∴12MP NP FP MN === ∴∠PFM=∠FMP∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP ⊥AB ∴以MN 为直径为圆与焦点弦AB 相切. 第三个相切的证明省略.结论14.焦点弦在准线上的射影对焦点处的角是直角.结论15.一条焦点弦的两条焦半径的倒数为定值，定值等于焦准距倒数的2倍. 下面对特殊情形加以证明：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值.证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+，22pBF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2124p x x =.则：212121211()()()2224AF BF AB AB p p p p AF BF AF BF x x x x x x ++===⋅+++++ =222()424AB p p p p AB p =+-+（常数） 练习：1. 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则11p q+= 【解析：化为标准方程，得21(0)x y a a =>，从而12p a=．取特殊情况，过焦点F 的弦PQ 垂直于对BN BF =BAMNQP yxO FO A MNP yxF B称轴，则PQ 为通径，即12PQ p a ==，从而12p q a==，故114a p q +=】2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴．证明直线AC 经过原点O ．【证明：抛物线焦点为02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，．设直线AB 的方程为2p x my =+，代入抛物线方程，得2220y pmy p --=．若设1122()()A x y B x y ，，，，则212y y p =-． BC x ∵∥轴，且点C 在准线12CO p k y =；又由2112y px =，得1112AO y p k x y ==， 故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O ．】 3.已知抛物线的焦点是(11)F ，，准线方程是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．【解：设()P x y ，是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得=．整理，得222880x y xy x y +---=，此即为所求抛物线的方程．抛物线的对称轴应是过焦点(11)F ，且与准线20x y ++=垂直的直线，因此有对称轴方程y x =．设对称轴与准线的交点为M ，可求得(11)M --，，于是线段MF 的中点就是抛物线的顶点，坐标是(00)，】 备选1.抛物线的顶点坐标是(10)A ，，准线l 的方程是220x y --=，试求该抛物线的焦点坐标和方程．解：依题意，抛物线的对称轴方程为220x y +-=．设对称轴和准线的交点是M ，可以求得6255M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．设焦点为F ，则FM 的中点是A ，故得焦点坐标为4255F ⎛⎫⎪⎝⎭，． 再设()P x y ，是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义得化简整理得22444120x y xy x y ++--=，即为所求的方程． 例2已知A B ，为抛物线24x y =上两点，且OA OB ⊥，求线段AB 中点的轨迹方程．解析：设OA k t =，1OB OB OA k t ⊥⇒=-，据t 的几何意义，可得2244(44)A t t B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，．设线段中点()P x y ，，则222214142214142.2x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，消去参数t 得P 点的轨迹方程为22(4)x y =-．抛物线焦点弦性质1.1224p x x ⋅=，122y y p ⋅=-;2. 123222()2sin p p AB x x p x α=++=+= 3. '90AC B ∠=o ，''90A FB ∠=o4. 以AB 为直径的圆与准线l 相切，以AF 和BF 为直径的圆都与y 轴相切；5.112AF BF p+=; 6. A 、O 、'B 三点共线；B 、O 、'A 三点共线；7. 22sin AOB P S α=V ，23()2AOB S PAB =V （定值）；(8. 1cos P AF α=-，1cos P BF α=+，22||1cos p AB α==-9. 'BC 垂直平分'B F ，'AC 垂直平分'A F ；10.'C F AB ⊥；12.11'('')22CC AB AA BB ==+；13.AB 3=p k y ；14.1OA k 15.412111y y y =+；16.1212tan =22y y p p x x α=--;17A'B'4AF BF =⋅;18.1C'F A'B'2=.椭双抛遇到焦半径可转成点准距。
一口气总结33条有关抛物线的结论
一、抛物线的定义抛物线是一种特殊的二次函数，其图像呈现出对称轴且开口方向确定的特点。
一般而言，抛物线的标准方程可表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数且a≠0。
二、抛物线的图像特点1. 抛物线的开口方向由二次项系数a决定，若a>0则开口向上，若a<0则开口向下。
2. 抛物线的对称轴是与顶点相关的直线，其方程为x=-b/2a。
3. 抛物线的顶点的纵坐标为c-b^2/4a。
4. 抛物线的焦点坐标为(-b/2a, c-b^2+1/4a)。
5. 抛物线的焦距为1/4a。
三、抛物线的焦点及直边1. 抛物线是缺点耀焦点在n位上。
2. 抛物线与其焦点的连线是垂直的。
3. 抛物线是直行的。
四、抛物线与直线的关系1. 抛物线与直线的交点个数与直线的位置关系有关，一般情况下有两个交点。
2. 若抛物线和直线相切，则称该直线为抛物线的切线。
五、抛物线与拱门的关系1. 拱门的形状大多呈现出抛物线的形态，这也是抛物线在建筑和土木工程中的应用之一。
2. 抛物线拱桥由于其结构特点，比较稳固且能够将荷载有效地传递到桥墩上，因此在桥梁工程中得到广泛应用。
六、抛物线的几何性质1. 抛物线的离心率为1，故它是一种特殊的椭圆。
2. 两条平行于抛物线对称轴的直线与抛物线所夹的面积是相等的。
3. 顶点位于原点的抛物线的焦点至原点的距离等于焦距的一半。
七、抛物线的物理应用1. 在物理学中，抛物线经常用来描述抛体运动的轨迹，比如抛出的子弹、投掷的物体等。
2. 抛物线还被用来研究光学中的抛物线面镜、抛物面反射器等设备。
八、抛物线的数学模型1. 抛物线可以用来建立二次函数方程的数学模型，利用这种模型，可以求解许多现实生活中的问题，比如自由落体运动、物体弹跳的高度等。
九、抛物线的轨迹方程1. 一个抛物线上的点P(x, y)的轨迹方程为y=ax^2。
十、抛物线的渐近线1. 抛物线的渐近线是与抛物线趋于无穷远时的方向呈现出一定的趋势的直线。
抛物线常用结论及其推导
抛物线常用结论及其推导抛物线是一种特殊的二次曲线，在很多领域都有它的重要作用。
下面我们就来看看抛物线的常用结论及其推导。
1.抛物线的根式表达式以抛物线的标准方程式 y= ax2+ bx + c 为例，它的表达式可以表示为：y = a(x-h)2 +k其中，a为抛物线的系数，h表示抛物线的焦点位置的横坐标，k 表示抛物线的焦点位置y坐标，根据 a以得到抛物线的凹凸，当a>0时表示抛物线是凹下的，当a<0时表示抛物线是凹上的。
2.抛物线的对称轴抛物线的x轴和y轴都是其对称轴，与x轴对称的轴称为垂直轴，与y轴对称的轴称为水平轴，以抛物线的标准方程式 y= ax2+ bx + c 为例，它的垂直轴为 x=-b/2a，水平轴为y=k。
3.抛物线的准线抛物线的准线，也就是抛物线上任一点到焦点的垂线，一般用直线表示，所以又叫“抛物线的格林线”。
若以抛物线的标准方程式 y= ax2+ bx + c 为例，它的准线方程式为 y-k= -(x-h)/a，其中h为抛物线的焦点位置的横坐标，k表示抛物线的焦点位置y坐标。
4.抛物线的焦点以抛物线的标准方程式 y= ax2+ bx + c 为例，它的焦点坐标可表示为（h，k），其中h为抛物线的焦点位置的横坐标，k表示抛物线的焦点位置y坐标，并且可以推算出抛物线的准线方程式为 y-k= -(x-h)/a。
5.抛物线的焦点外切圆抛物线的焦点外切圆可以用圆的一般式子表示为：(x-h)2 + (y-k)2 = c2其中，h为抛物线的焦点位置的横坐标，k表示抛物线的焦点位置y坐标，c表示圆半径。
综上所述，抛物线有很多特殊的性质，它们不仅可以用来解决实际问题，还可以用来描述现象，有效地阐述和描述客观事物，从而更好的推动科学的进步。
抛物线(几个常见结论证明及其应用)
抛物线(几个常见结论证明及其应用) 在几何学中，抛物线是一种非常有趣的图形。
它是由一个点和一条直线组成的，这条直线被称为抛物线的对称轴。
抛物线有很多种应用，比如在物理学、工程学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
本文将从几个方面来探讨抛物线的常见结论及其应用。
一、抛物线的定义及性质1.1 定义抛物线是指由一个点(焦点)和一条直线(准线)所确定的图形。
当这条直线与坐标轴平行时，我们称之为水平抛物线；当这条直线垂直于坐标轴时，我们称之为垂直抛物线。
还有斜抛物线，它的准线是一条与x轴成角度的直线。
1.2 性质抛物线有很多性质，下面我们来介绍几个比较重要的性质：(1)抛物线上的任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
这个性质叫做抛物线的定义。
(2)抛物线上的任意一点都满足一个方程，即y = ax^2 + bx + c。
这个方程叫做抛物线的方程。
其中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
(3)抛物线上的任意两点之间的连线都可以看作是一个割线段。
这条割线段的长度等于这两点到准线的距离之差的绝对值。
二、抛物线的图像及其变换2.1 图像抛物线的图像是一个光滑的曲线，它有最高点和最低点。
最高点就是抛物线的顶点，最低点就是抛物线的焦点。
在x轴上，最高点和最低点的y坐标相等；在y轴上，最高点的x坐标为0,最低点的x坐标也为0。
抛物线的图像还有一个特点，那就是它关于x轴对称。
这意味着如果我们沿着y轴翻转整个图像，那么得到的新图像仍然是一条抛物线。
2.2 变换除了基本的平移、旋转和缩放之外，我们还可以对抛物线进行一些更复杂的变换。
下面我们来介绍几种常见的变换：(1)平移：将整个图像沿着某一方向移动一定的距离。
例如，我们可以将图像向右平移5个单位长度，然后再向上平移3个单位长度。
这样做之后，原来的顶点就变成了新的顶点(7,8),原来的焦点就变成了新的焦点(5,3)。
(2)旋转：将整个图像绕着某一点按照一定的角度旋转。
抛物线的几个常见结论及其用
.实用文档..抛物线的几个常见结论及其应用抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速翻开思路。
结论一：假设AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦〔过焦点的弦〕，且11(,)A x y ，22(,)B x y ，那么：2124p x x =，212y y p =-。
例：直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ， 求证：11AF BF+为定值。
结论二：〔1〕假设AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，那么22sin PAB α=〔α≠0〕。
〔2〕焦点弦中通径〔过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦〕最短。
例：过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，那么直线AB 倾斜角为 。
AB 倾斜角为3π或23π。
结论三：两个相切：〔1〕以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
〔2〕过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线， 以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
例：AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：〔1〕以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆 与直线AB 相切。
精品文档.结论四：假设抛物线方程为22(0)y px p =>，过〔2p ，0〕的直线与之交于A 、B 两点，那么OA ⊥OB 。
反之也成立。
结论五：对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为222x pt y pt =⎧⎨=⎩，，设抛物线22x py =上动点P 坐标为2(22)pt pt ，，O 为抛物线的顶点，显然222OPpt k t pt==，即t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率．例 直线2y x =与抛物线22(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直，且线段AB长为，求P 的值．解析：设点A B ，分别为22(22)(22)A A B B pt pt pt pt ，，，， 那么112A OA t k ==，12B OA OBt k k ==-=-． A B ，的坐标分别为(84)2p p p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，．AB =∴=．2p =∴． 练习：1.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点，假设线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，那么11pq+= 故114a pq+=】2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线 于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴． 证明直线AC 经过原点O ．【证明：抛物线焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设直线AB 的方程为2p x my =+， 代入抛物线方程，得2220y pmy p --=．假设设1122()()A x y B x y ，，，， 那么212y y p =-．BC x ∵∥轴，且点C在准线12CO p k y =；又由2112y px =，得1112AO y p k x y ==， 故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O ．】.实用文档..3.抛物线的焦点是(11)F ，，准线方程是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．【解：设()P x y ，是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得．整理，得222880x y xy x y +---=，此即为所求抛物线的方程．抛物线的对称轴应是过焦点(11)F ，且与准线20x y ++=垂直的直线，因此有对称轴方程y x =．设对称轴与准线的交点为M ，可求得(11)M --，，于是线段MF 的中点就是抛物线的顶点，坐标是(00)，】1.抛物线的顶点坐标是(10)A ，，准线l 的方程是220x y --=，试求该抛物线的焦点坐标和方程．解：依题意，抛物线的对称轴方程为220x y +-=．设对称轴和准线的交点是M ，可以求得6255M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．设焦点为F ，那么FM 的中点是A ，故得焦点坐标为4255F ⎛⎫⎪⎝⎭，． 再设()P x y ，是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义得，化简整理得22444120x y xy x y ++--=，即为所求抛物线的方程．例2 A B ，为抛物线24x y =上两点，且OA OB ⊥，求线段AB 中点的轨迹方程．。
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抛物线的几个常见结论及其应用
抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。
结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：
2
124
p x x =，212y y p =-。
例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：
11AF BF
+为定值。
结论二：（1）若AB 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则
22sin P AB α
=
（α≠0）。
（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）
最短。
例：已知过抛物线
29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。
AB 倾斜角为
3
π或23π。
结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
例：已知AB 是抛物线
22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准
线相切。
(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线
结论四：若抛物线方程为22(0)
y px p
=>，过（2p，0）的直线与之交于A、B两点，则OA ⊥OB。
反之也成立。
结论五：对于抛物线22(0)
x py p
=>，其参数方程为
2
2
2
x pt
y pt
=
⎧
⎨
=
⎩
，
，
设抛物线22
x py
=上动点P 坐标为2
(22)
pt pt
，，O为抛物线的顶点，显然
2
2
2
OP
pt
k t
pt
==，即t的几何意义为过抛物线顶点O的动弦OP的斜率．
例直线2
y x
=与抛物线22(0)
y px p
=>相交于原点和A点，B为抛物线上一点，OB和OA垂直，且线段AB长为P的值．
解析：设点A B
，分别为22
(22)(22)
A A
B B
pt pt pt pt
，，，，则
11
2
A
OA
t
k
==，
1
2
B OA
OB
t k
k
==-=-．
A B
，的坐
标分别为
(84)2p p p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，
．AB =
∴==2p =∴．
练习：
1.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则
11p q += 故11
4a p q
+=】 2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴．证明直线AC 经过原点O ．
【证明：抛物线焦点为02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭，．设直线AB 的方程为2p x my =+，代入抛物线方程，得
2220y pmy p --=．若设1122()()A x y B x y ，，，，则212y y p =-． BC x ∵∥轴，且点C 在准线1
2CO p
k y =
； 又由2
112y px =，得111
2AO y p
k x y =
=
， 故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O ．】
3.已知抛物线的焦点是(11)F ，，准线方程是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．
【解：设()P x y ，
=
．
整理，得22
2880x y xy x y +---=，此即为所求抛物线的方程．
抛物线的对称轴应是过焦点(11)F ，且与准线20x y ++=垂直的直线，因此有对称轴方程
y x =．
设对称轴与准线的交点为M ，可求得(11)M --，，于是线段MF 的中点就是抛物线的顶点，坐标是
(00)，】
备选
1.抛物线的顶点坐标是(10)A ，，准线l 的方程是220x y --=，试求该抛物线的焦点坐标和方程．
解：依题意，抛物线的对称轴方程为220x y +-=．
设对称轴和准线的交点是M，可以求得
62
55
M
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，．设焦点为F，则FM的中点是A，故得焦点
坐标为
42
55
F
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，．再设()
P x y
，是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义
得
22
444120
x y xy x y
++--=，即为所求抛物线的方程．
例2已知A B
，为抛物线24
x y
=上两点，且OA OB
⊥，求线段AB中点的轨迹方程．
解析：设
OA
k t=，
1
OB
OB OA k
t
⊥⇒=-，据t的几何意义，可得2
2
44
(44)
A t t B
t t
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，，，．设线段中点()
P x y
，，则
22
22
141
42
2
141
42.
2
x t t
t t
y t t
t t
⎧⎛⎫⎛⎫
=-=-
⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
⎪
⎨
⎛⎫⎛⎫
⎪=+=+
⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎩
，。