抛物线的几个常见结论及其用

抛物线的几个常见结论及其应用

抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可

迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

结论一：若AB是抛物线y2 2px(p 0)的焦点弦(过焦点的弦)，

2

且A(x i,yy)，B(x2,y,)，贝卩：)xx2 —，y『2 p2。

4

例：已知直线AB是过抛物线y2 2px(p 0)焦点F,

求证：1 1为定值。

|AF| |BF|

结论二：(1)若AB是抛物线y2 2px(p 0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为a, 则AB2p(aM 0)。( 2)焦点弦中通径(过焦点且垂直于抛物线sin 2

对称轴的弦)最短。

例：已知过抛物线y2 9x的焦点的弦AB长为12,则直线AB

倾斜角为。AB倾斜角为—或乙。

3 3

结论三：两个相切：(1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

(2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，

以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

例：已知AB是抛物线寸2px(p 0)的过焦点F的弦，求证：(1 )以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

(2)分别过A、B做准线的垂线，

垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆

与直线AB相切。

结论四：若抛物线方程为y22pxp 0),过(2p , 0)的直线与之交于A B两点, 则OAL OB反之也成立。

结论五：对于抛物线x2 2py(p 0),其参数方程为％2pt；设抛物线x2 2py上动y 2 pt2,

点P坐标为(2pt,2p『),O为抛物线的顶点，显然心欝t，即t的几何意义为过抛物线顶点O的动弦OP的斜率.

例直线y 2x与抛物线y2 2px(p 0)相交于原点和A点，B为抛物线上一点，OB 和OA垂直，且线段AB长为5 13，求P的值.

解析：设点 A B 分别为(2pt A2,2pt A),(2pt B2,2pt B),

贝S t A 占1, t B 占k oA 2 .

k OA 2 k OB

A B的坐标分别为

2, p ,(8p, 4p) .|AB J 8p p (p 4p)2 I屆p 5厢./• p 2 .

练习：

1•过抛物线y ax2(a 0)的焦点F作一直线交抛物线于P, Q两点，若线段PF与FQ的长分

别是p, q,则丄1二 _____________________________ 故丄14a】

p q p q

2•设抛物线y2 2px(p 0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A B两点.点C在抛物线的准线上，且BC // x轴. 证明直线AC经过原点O .

【证明：抛物线焦点为F卫,0 .设直线AB的方程为x my卫,

2 2，代入抛物线方程，得y2 2 pmy p2 0 .若设A(X1 , y" ,

B(X2, y2), 则yy p2. T BC // x轴，且点C在准线k CO也；

y1

又由y2 2pX1 ,得k AO上空，故k CO k AO ,即直线AC经过原点O .]

为y1

3•已知抛物线的焦点是F(1,1)，准线方程是x y 2 0，求抛物线的方程以及顶点坐标

和对称轴方程.

【解：设P(x, y)是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义

得J(x 1)2 (y 1)2* £ 2 .

整理，得x2 y2 2xy 8x 8y 0 ,此即为所求抛物线的方程.

抛物线的对称轴应是过焦点F(1,1)且与准线x y 2 0垂直的直线，因此有对称轴方程y x .

设对称轴与准线的交点为M i可求得M( 1 1)，于是线段MF的中点就是抛物线的顶点，坐标是(0，)】

1•抛物线的顶点坐标是A(10) i准线I的方程是x 2y 2 0，试求该抛物线的焦点坐标和方程.

解：依题意，抛物线的对称轴方程为2x y 2 0 .

设对称轴和准线的交点是M i可以求得M §,-.设焦点为F i则FM的中

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点是A，故得焦点坐标为F 4,2. 再设P(x, y)是抛物线上的任一点，根据

5 5

抛物线的定义得,x 4 2 y 2 2三空二，化简整理得4x2 y2 4xy 4x 12y 0 ,

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即为所求抛物线的方程.

例2已知A B为抛物线x2 4y上两点，且OA OB ,

求线段AB中点的轨迹方程.