(完整版)抛物线中的常用结论
关于抛物线的常用二级结论
关于抛物线的常用二级结论抛物线是数学中的一种曲线，常用二级结论是指在学习与应用抛物线时常用的一些性质与公式。
1.标准式抛物线的标准式是y = ax² + bx + c，其中a、b、c分别为一次、常数和零次系数。
这个式子是最基本的抛物线。
在平面直角坐标系中，根据a的正负性，可以确定抛物线开口的方向；根据a的大小可以确定抛物线的“瘦胖”程度。
2.抛物线的对称轴对称轴是指抛物线上任意一点到对称轴的距离相等。
抛物线的对称轴是垂直于x轴的一条直线，方程为x = -b/2a。
这个式子的推导可以参考平面几何中对称轴的性质。
3.抛物线的焦点与准线焦点是指平面上所有到定点F距离r的点构成的集合，其中r是焦距。
焦距与a的关系是f = 1/4a。
抛物线的准线是与对称轴平行，但离对称轴的距离等于焦距的一条直线。
准线的方程为y = (c - f)，或者y = (c + f)，取决于a的符号。
4.抛物线的切线方程抛物线上某一点的切线是过该点斜率与该点一致的一条直线。
在抛物线上任意一点(x₀, y₀)处，切线的斜率为2ax₀ + b。
根据点斜式，得到该切线方程为y - y₀ = (2ax₀ + b)(x - x₀)。
5.抛物线的顶点坐标抛物线的顶点就是抛物线的最低点或最高点，具体取决于a的正负性。
顶点的横坐标为x = -b/2a，就是抛物线的对称轴的横坐标。
顶点的纵坐标为y = c - b²/4a，这个式子应该很容易理解：当抛物线的y值最小时，即为顶点，这时x = -b/2a。
把这个x代入抛物线的标准式，求出此时的y即可。
6.抛物线的面积抛物线上方的面积可以通过定积分求得。
由于抛物线的轮廓对称，可以只考虑抛物线右半部分的面积，乘以2即可。
某一段区间[a, b]的抛物线面积可以表示为∫[a, b] y dx = (ax²/3 + bx²/2 + cx)[b,a]。
也就是说把（b - a）fx换成x，a代入b代入化差，可以得到上述式子。
一口气总结33条有关抛物线的结论
一、抛物线的定义抛物线是一种特殊的二次函数，其图像呈现出对称轴且开口方向确定的特点。
一般而言，抛物线的标准方程可表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数且a≠0。
二、抛物线的图像特点1. 抛物线的开口方向由二次项系数a决定，若a>0则开口向上，若a<0则开口向下。
2. 抛物线的对称轴是与顶点相关的直线，其方程为x=-b/2a。
3. 抛物线的顶点的纵坐标为c-b^2/4a。
4. 抛物线的焦点坐标为(-b/2a, c-b^2+1/4a)。
5. 抛物线的焦距为1/4a。
三、抛物线的焦点及直边1. 抛物线是缺点耀焦点在n位上。
2. 抛物线与其焦点的连线是垂直的。
3. 抛物线是直行的。
四、抛物线与直线的关系1. 抛物线与直线的交点个数与直线的位置关系有关，一般情况下有两个交点。
2. 若抛物线和直线相切，则称该直线为抛物线的切线。
五、抛物线与拱门的关系1. 拱门的形状大多呈现出抛物线的形态，这也是抛物线在建筑和土木工程中的应用之一。
2. 抛物线拱桥由于其结构特点，比较稳固且能够将荷载有效地传递到桥墩上，因此在桥梁工程中得到广泛应用。
六、抛物线的几何性质1. 抛物线的离心率为1，故它是一种特殊的椭圆。
2. 两条平行于抛物线对称轴的直线与抛物线所夹的面积是相等的。
3. 顶点位于原点的抛物线的焦点至原点的距离等于焦距的一半。
七、抛物线的物理应用1. 在物理学中，抛物线经常用来描述抛体运动的轨迹，比如抛出的子弹、投掷的物体等。
2. 抛物线还被用来研究光学中的抛物线面镜、抛物面反射器等设备。
八、抛物线的数学模型1. 抛物线可以用来建立二次函数方程的数学模型，利用这种模型，可以求解许多现实生活中的问题，比如自由落体运动、物体弹跳的高度等。
九、抛物线的轨迹方程1. 一个抛物线上的点P(x, y)的轨迹方程为y=ax^2。
十、抛物线的渐近线1. 抛物线的渐近线是与抛物线趋于无穷远时的方向呈现出一定的趋势的直线。
高中数学抛物线复习(几个常见结论及其应用)
抛物线的几个常见结论及其应用抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。
结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。
证明：因为焦点坐标为F(2p,0),当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为： ()2p y k x =-，由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得: 2220ky py kp --= ∴212y y p =-，2242121222244y y p p x x p p p =⋅==。
当AB ⊥x 轴时，直线AB 方程为2p x =，则1y p =，2y p =-，∴212y y p =-，同上也有：2124p x x =。
例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值。
证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+，22pBF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2124p x x =。
则：212121211()()()2224AF BF AB AB p p AF BF AF BF x x x x x x ++===⋅+++++ =222()424AB p p p p AB p =+-+（常数） 结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α=（α≠0）。
（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
证明：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB:()2p y k x =- 由2()22p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得:,2220ky py kp --= ∴122p y y k+=，212y y p =-，∴12AB y -==222222(1)2(1tan )2tan sin p k p P k ααα++===。
抛物线的有关结论
探索与研究圆锥曲线中抛物线的有关结论山东省德州市实验中学 肖成荣由于抛物线的离心率是常数，导致了许多自身具有的规律性，再加上抛物线的方程比较简单，所以灵活性就更加显现，了解了抛物线的规律性后在处理抛物线的相关问题时会起到事半功倍的效果。
下面就抛物线的结论作以归整，供参考！ 一、焦点)0,2(pF 处的结论 1、焦半径长：),(11y x A ，)0,2(p F ，2||1p x AF +=；2、焦点弦长：),(11y x A 、),(22y x B 在抛物线上，且AB 过焦点F ，则p x x AB ++=21||，或θ2sin 2||pAB =（θ为直线l 与抛物线对称轴的夹角）； 3、过焦点的直线与抛物线相交于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为M 、N ，MN 的中点为G 。
（1）两相切：①以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切；②以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.（2）三直角：①∠AGB ②090=∠MFN ③GF （3）六定值：),(11y x A 、),(22y x B 的乘积是定值：21x x =243p OB OA -=⋅；②n BF m AF ==,mn GF =||.③22sin AOBp S θ∆= 二、点)0,(p D 处的结论例：抛物线px y 22=上的点到)0,(a A 的最近距离是多少？结论：)0,(p D 是抛物线px y 22=上到点)0,(a A 的距离最近的点为顶点的分界点，)0,(a A 在)0,(p D 左边顶点到点)0,(a A 的距离最近，右边横坐标为p a -的那两个抛物线上的点到点)0,(a A 的距离最近. 三、点)0,2(p E 处的结论B A ,是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，OB OA ⊥，),(11y x A ，),(22y x B ，则ⅰ.2214p x x =，2214p y y -=；ⅱ.直线AB 过定点)0,2(p ；ⅲ.求AB 中点的轨迹方程；ⅳ.过O 向AB 引垂线，求垂足T 的轨迹方程；ⅴ.求AOB ∆面积的最小值.结论：),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，O 为抛物线的顶点，（1）090=∠AOB ⇔直线AB 过点)0,2(p E .（2）2214p x x =，2214p y y -=.四、准线上的有关结论 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点B A ,，再以B A ,为切点作抛物线的切线，其交点在抛物线的准线上，且两切线垂直。
抛物线经典性质总结30条
抛物线经典性质总结30条1.已知抛物线y=2px(p>0)，AB是抛物线的焦点弦，点C 是AB的中点。
AA’垂直准线于A’，BB’垂直准线于B’，CC’垂直准线于C’，CC’交抛物线于点M，准线交x轴于点K。
证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，即|AB|=2|CC’|。
2.证明：|BF|=x^2/(2p)。
3.证明：CC’=AB=(AA’+BB’)/2.4.证明：以AB为直径的圆与准线L相切。
5.证明：∠A’FB’=90°。
6.证明：AA’FK，∴∠A’FK=∠FA’A；|AF|=|AA’|，∴∠AA’F=∠AFA’；同理可证∠B’FK=∠XXX，得证。
7.证明：C’F= A’B’=C’A’=C’B’。
8.证明：AC’平分∠A’AF，BC’平分∠B’BF，A’F平分∠AFK，B’F平分∠XXX。
9.证明：C’F垂直AB，即C’F⋅AB=0.10.证明：AF=(y+y1)/2p(1-cosα)，BF=(y2-y)/(2p(1+cosα))。
11.证明：AF/BF=p/(1-cosα)。
12.证明：点A处的切线为y=y1+p(x+x1)。
1.证明y = 2px的两种方法：方法一：代入y = kx^2求解k，得到k = 2p，证毕。
方法二：对y = 2px两边求导得到2yy' = 2p，解出y' = p/x，证毕。
2.证明切线AC'和BC'交于焦点F：易证点A处的切线为y = px + py1，点B处的切线为y = px + py2，解得两切线的交点为C'(-p(y1-y2)。
(y1+y2)/2)，证毕。
3.对于抛物线y^2 = 2px，过准线上任一点P(-2p。
t)作切线，证明过两切点Q1、Q2的弦必过焦点，且PQ1⊥PQ2：设切点为Q(x。
y)，则有y' = p/x，代入y^2 = 2px得到x = y^2/(2p)，进而得到Q1、Q2的坐标。
初中数学抛物线中必知的六大结论(含真题反馈练习)
初中数学抛物线中必知的六大结论由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象确定系数a、b、c以及相应的关系式，一般是给出3-6个结论，然后判断正确结论的个数或选出正确的结论，要解决此类问题，需要祭出一件制胜法宝——数形结合思想！下面就带你见识一下数形结合思想在解题时如何大显神威：1.由抛物线开口方向确定a2.由对称轴的位置确定b、ab3.由抛物线与y轴的交点位置确定c4.由抛物线与x轴的交点个数确定b2-4ac5.由对称轴为x=±1时确定2a±b6.特殊式子集锦真题反馈:1.（2018•遂宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（）A．B．C．D．2.（2018•白银）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤3.（2018•达州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4.（2018•衡阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5.（2018•枣庄）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=06.（2018•大庆）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B （3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1，则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47.（2018•随州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）8. 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，下列结论：①20a b +>；②0abc <；③240b ac ->；④0a b c ++<；⑤420a b c -+<，其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59. 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，下列说法：①20a b +=， ②当13x -≤≤时，0y <，③若（1x ，1y ）、（2x ，2y ）在函数图象上，当12x x <时，12y y <，④930a b c ++=，其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①④C ．①②③D ．③④10. 如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P =a b c ++，则P 的取值范围是（ ）A ．﹣3＜P ＜﹣1B ．﹣6＜P ＜0C ．﹣3＜P ＜0D ．﹣6＜P ＜﹣3 11. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，记2m a b c a b c =-++++， 2n a b c a b c =+++--．则下列选项正确的是（ ）A ．m n <B ．m n >C ．m n =D ．m 、n 的大小关系不能确定 12. 已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，① abc >0，②a 3>b 2，③()m am b a b +≤-（m 为任意实数），④c b a +-24<0，以下结论中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4。
抛物线的有关结论
抛物线的有关结论由于抛物线具有常数离心率，因此具有许多自身规律性。
加上抛物线方程相对简单，使得其灵活性更加突出。
了解这些规律性可以在处理相关问题时事半功倍。
下面整理了抛物线的结论以供参考。
一、焦点F(p22sin二、点D(p,)处的结论对于抛物线y2=2px，点D(p,)是到点A(a,)距离最近的点，其中A为抛物线上的一点，且A为顶点的分界点。
当A(a,)在D(p,)左侧时，右侧横坐标为a-p的两个点到点A(a,)的距离最近。
三、点E(2p,)处的结论设A(x1,y1)和B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点，且OA 垂直于OB。
则有以下结论：1.焦半径长：AF为直线FB上的点到焦点F的距离。
2.焦点弦长：AB为过点A和B的直线，且过焦点F。
|AB|=x1+x2+p或2psinθ。
3.过焦点F的直线与抛物线相交于A和B两点，分别过A和B两点作准线的垂线，垂足分别为M和N，MN的中点为G。
1) 两相切：以焦半径AF为直径的圆与y轴相切。
以焦点弦AB为直径的圆与抛物线准线相切。
2) 三直角：①∠AGB=90°；②直线AB过定点(2p,)；③求AB中点的轨迹方程。
3) 六定值：焦点弦两端点MA和RA；直线AB与抛物线的交点C；过O向AB引垂线，垂足T的轨迹方程；求ΔAOB 面积的最小值。
四、准线上的有关结论对于抛物线y2=2px，点P(x,y)在准线上，其横坐标为p2/x，纵坐标为-py/2x+p。
其中x和y的乘积为定值：x1x2=4p2.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点A、B，以A、B 为切点作抛物线的切线，交点在抛物线的准线上，并且两条切线垂直。
反过来，准线上任意一点做抛物线的切线有两条，且两条切线垂直，两切点连线过抛物线的焦点。
下面对上述结论进行证明。
一、焦点F(p/2,0)处的结论1.焦半径长：设点A(x1,y1)，则|AF|=x1+ p/2.证明：根据抛物线的定义，|AF|=AM=x1+ p/2.2.焦点弦长：设点A(x1,y1)、B(x2,y2)在抛物线上，且AB 过焦点F，则|AB|=x1+x2+p，或|AB|=2p*sinθ（θ为直线l与抛物线对称轴的夹角）。
抛物线必记8个结论
抛物线必记8个结论
1. 抛物线的顶点坐标可以通过公式(h, k) = (-b/2a, f(-b/2a)) 来计算，其中 a 是抛物线的二次项系数，b 是一次项系数，f(x) 是抛物线的方程。
2. 抛物线的轴对称轴是与x 轴平行的直线，过抛物线的顶点。
它的方程可以通过 x = -b/2a 来表示。
3. 抛物线的开口方向由二次项系数 a 的正负号决定。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
4. 抛物线的焦点是轴对称轴上距离顶点最近的点，它的坐标可以通过公式 (h, k + 1/4a) 来计算。
5. 抛物线的直线y = mx + c 是它的切线，当且仅当直线与抛物线相切于顶点。
6. 抛物线的判别式 D = b^2 - 4ac 可以用来判断抛物线的性质。
当 D > 0 时，抛物线与 x 轴有两个交点；当 D = 0 时，抛物线与 x 轴有一个交点；当 D < 0 时，抛物线与 x 轴没有交点。
7. 抛物线的对称性质：设点 P 在抛物线上，点 Q 是点 P 关于抛物线的轴对称点，则点 Q 也在抛物线上。
8. 两个抛物线的和或差的方程仍为抛物线的方程。