反比例函数面积问题专题
反比例函数面积问题专题
【围矩形】
1.如图所示,点P是反比例函数图象上一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线,
如果构成的矩形面积是4,那么反比例函数的解析式是()
A. B.
C..
D.
2.反比例函数的图象如图所示,则k的值可能是()
A. -1
B.
C. 1
D. 2
3.如图,A、B是双曲线上的点,分别过A、B两点作x轴、y轴的垂线段.
S1,S2,S3分别表示图中三个矩形的面积,若S3=1,且S1+S2=4,则k值为()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4.如图,在反比例函数y=(x>0)的图象上,有点P1、P2、P3、P4,
它们的横坐标依次为1,2,3,4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线,
图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3,则S1+S2+S3=()
A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 无法确定
5.如图,两个反比例函数y=和y=(其中k1>0>k2)在第一象限内的图象是C1,
第二、四象限内的图象是C2,设点P在C1上,PC⊥x轴于点M,交C2于点C,
PA⊥y轴于点N,交C2于点A,AB∥PC,CB∥AP相交于点B,则四边形ODBE的面积为()A. |k1﹣k2| B. C. |k1?k2| D.
【围三角形】
6.如图,A、C是函数y=的图象上的任意两点,过A作x轴的垂线,垂足为B,
过C作y轴的垂线,垂足为D,记Rt△AOB的面积为S1,Rt△COD的面积为S2,则()
A. S1>S2
B. S1<S2
C. S1=S2
D. 关系不能确定
7.如图,过y轴上任意一点p,作x轴的平行线,与反比例函数的图象交于A点,
若B为x轴上任意一点,连接AB,PB则△APB的面积为()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.如图,A是反比例函数图象上一点,过点A作AB⊥x轴于点B,点P在y轴上,
△ABP的面积为1,则k的值为()A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
9.反比例函数y=与y=在第一象限的图象如图所示,作一条平行于x轴的直线
分别交双曲线于A、B两点,连接OA、OB,则△AOB的面积为()
A. B. 2 C. 3 D. 1
10.如图,过x轴正半轴上的任意一点P,作y轴的平行线,
分别与反比例函数y=﹣和y=的图象交于A、B两点.若点C是y轴上任意一点,
连接AC、BC,则△ABC的面积为() A. 3 B . 4 C . 5 D . 10
11.双曲线y1=与y2=在第一象限内的图象如图.作一条平行于x轴的直线交y1,y2于B、A,
连OA,过B作BC∥OA,交x轴于C,若四边形OABC的面积为3,则k=()
A. 2
B. 4 C .3 D . 5
12.如图,直线l和双曲线交于A、B两点,P是线段AB上的点(不与A、B重合),过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别为C、D、E,连接OA、OB、0P,设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3,则()
A. S1<S2<S3
B. S1>S2>S3
C. S1=S2>S3
D. S1=S2<S3
13.如图是反比例函数和在第一象限内的图象,在上取点M分别作两坐标轴的垂线交于点A、B,连接OA、OB,则图中阴影部分的面积为.
【对称点】
14.如图,直线y=kx(k>0)与双曲线y=交于A,B两点,BC⊥x轴于C,连接AC交y轴于D,下列结论:①A、B关于原点对称;②△ABC的面积为定值;③D是AC的中点;④S△AOD=.
其中正确结论的个数为()个 A. 1 B . 2 C . 3 D . 4
15.如图,直y=mx与双曲线y=交于点A,B.过点A作AM⊥x轴,垂足为点M,连接BM.
若S△ABM=1,则k的值是()A. 1 B. m﹣1 C. 2 D. m
16.正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点.AB⊥x轴于B,CD⊥y轴于D,
如图,则四边形ABCD的面积为()
A. 1
B.
C. 2
D.
17.如图,A,C是函数y=(k≠0)的图象上关于原点对称的任意两点,AB,CD垂直于x轴,
垂足分别为B,D,那么四边形ABCD的面积S是()
A. B. 2k C. 4k D. k
18.如图,反比例函数y=﹣的图象与直线y=﹣x的交点为A,B,
过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C,则△ABC的面积为()
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
【三角形叠梯形】
19.如图,点A和B是反比例函数y=(x>0)图象上任意两点,过A,B分别作y轴的垂线,
垂足为C和D,连接AB,AO,BO,△ABO的面积为8,则梯形CABD的面积为()
A. 6
B. 7
C. 8
D. 10
20.如图,△ABO的顶点A和AB边的中点C都在双曲线y=(x>0)的一个分支上,
点B在x轴上,CD⊥OB于D,若△AOC的面积为3,则k=()A. 2 B. 3 C. 4 D. 21.如图,A、B是双曲线上任意两点,过A、B两点分别作y轴的垂线,垂足分别
为C、D,连接AB,直线OB、OA分别交双曲线于点E、F,设梯形ABCD的面积和△EOF的面积分别为S1、S2,则S1与S2的大小关系是()A. S1=S2 B. S1>S2 C. S1<S2 D. 不能确定
【截矩形】
22.如图,过点P(2,3)分别作PC⊥x轴于点C,PD⊥y轴于点D,PC、PD分别交反比例函数y=(x>0)的图象于点A、B,则四边形BOAP的面积为()A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 5
23.如图,双曲线y=(k>0)经过矩形OABC的边BC的中点E,交AB于点D.
若梯形ODBC的面积为3,则k=.
24.函数y=和y=在第一象限内的图象如图,点P是y=的图象上一动点,PC⊥x轴于点C,交y=的图象于点B.给出如下结论:①△ODB与△OCA的面积相等;②PA与PB始终相等;
③四边形PAOB的面积大小不会发生变化;④CA=AP.其中所有正确结论的序号是()
A. ①②③
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②④
25.两个反比例函数和(k1>k2>0)在第一象限内的图象如图,P在C1上,作PC、PD 垂直于坐标轴,垂线与C2交点为A、B,则下列结论:
①△ODB与△OCA的面积相等;②四边形PAOB的面积等于k1﹣k2③PA与PB始终相等;
④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点.其中正确的是()
. ①② B. ①②④ C. ①④ D. ①③④
【截直角三角形】
26.如图,已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,
且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为(﹣8,6),则△AOC的面积为()
A. 20
B. 18
C. 16
D. 12
27.如图,双曲线经过Rt△OAB斜边OA的中点D,且与直角边AB相交于点C.
则△AOC的面积为()A. 9 B. 6 C. 4.5 D. 3
28.如图,已知矩形ABCO的一边OC在x轴上,一边OA在y轴上,双曲线交OB的中点于D,
交BC边于E,若△OBC的面积等于4,则CE:BE的值为()
A. 1:2 B . 1:3 C. 1:4 D. 无法确定
29.如图,已知梯形ABCO的底边AO在x轴上,BC∥AO,AB⊥AO,
过点C的双曲线交OB于D,且OD:DB=1:2,若△OBC的面积等于3,则k的值()A. 2 B. C. D. 无法确定
30.如图,反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M,
分别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为6,则k的值为()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
反比例函数
【围矩形】
1.解:由题意得:矩形面积等于|k|,∴|k|=4
又∵反比例函数图象在二、四象限.∴k<0∴k=﹣4∴反比例函数的解析式是y=﹣.故选C.2.解:∵反比例函数在第一象限,∴k>0,∵当图象上的点的横坐标为1时,纵坐标小于1,
∴k<1,故选B.
3.解:∵S1+S2=4,∴S1=S2═2,∵S3=1,∴S1+S3=1+2=3,∴k=3故选C.
4.解:由题意可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为:(1,2),(2,1),(3,),(4,).
∴由反比例函数的几何意义可知:S1+S2+S3=2﹣1×==1.5.故选B.
5.解:∵AB∥PC,CB∥AP,∠APC=90°,∴四边形APCB是矩形.
设P(x,),则A(,),C(x,),
∴S矩形APCB=AP?PC=(x﹣)(﹣)=,
∴四边形ODBE的面积=S矩形APCB﹣S矩形PNOM﹣S矩形MCDP﹣S矩形AEON
=﹣k1﹣|k2|﹣|k2|=.故选D.
【围三角形】
6.解:结合题意可得:A、C都在双曲线y=上,反比例函数系数k的几何意义有S1=S2;故选C.7.解:依题意得:△APB的面积S=|k|=×|4|=2.故选B
8.解:如图,连OA,∵AB⊥x轴,∴AB∥OP,∴S△OAB=S△PAB=1,∴|k|=2×1=2,
∵反比例函数图象过第二象限,∴k=﹣2.故选D.
9.解:分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作BC⊥y轴,点C为垂足,
∵由反比例函数系数k的几何意义可知,S四边形OEAC=6,S△AOE=3,S△BOC=,
∴S△AOB=S四边形OEAC﹣S△AOE﹣S△BOC=6﹣3﹣=.故选A.
10.解:设P(a,0),a>0,则A和B的横坐标都为a,
将x=a代入反比例函数y=﹣中得:y=﹣,故A(a,﹣);
将x=a代入反比例函数y=中得:y=,故B(a,),
∴AB=AP+BP=+=,则S△ABC=AB?x P的横坐标=××a=5.故选C
11.解:由题意得:S四边形OABC=|k1|﹣|k2|=|6|﹣|k|=3;又由于反比例函数位于第一象限,k>0;k=3.故选C.
12.解:结合题意可得:AB都在双曲线y=上,则有S1=S2;而AB之间,直线在双曲线上方;
故S1=S2<S3故选D.
13.解:∵在上取点M分别作两坐标轴的垂线交于点A、B,∴S△AOC=×5=2.5,
S△BOD=×5=2.5 S矩形MDOC=3∴S阴影=S△AOC+S△BOD﹣S矩形MDOC=5﹣3=2故答案为2.
【对称点】
14.解:①反比例函数与正比例函数若有交点,一定是两个,且关于原点对称,所以正确;
②根据A、B关于原点对称,S△ABC为即A点横纵坐标的乘积,为定值1,所以正确;
③因为AO=BO,OD∥BC,所以OD为△ABC的中位线,即D是AC中点,所以正确;
④在△ADO中,因为AD和y轴并不垂直,所以面积不等于k的一半,不等于,错误.故选C.15.解:由图象上的点A、B、M构成的三角形由△AMO和△BMO的组成,
点A与点B关于原点中心对称,∴点A,B的纵横坐标的绝对值相等,
∴△AMO和△BMO的面积相等,且为,
∴点A的横纵坐标的乘积绝对值为1,又因为点A在第一象限内,
所以可知反比例函数的系数k 为1.故选A .
16.解:根据反比例函数的对称性可知:OB=OD ,AB=CD , ∴四边形ABCD 的面积=S △AOB +S △ODA +S △ODC +S △OBC =1×2=2.故选C .
17. 解:∵A ,C 是函数y=(k≠0)的图象上关于原点对称的任意两点,
∴若假设A 点坐标为(x ,y ),则C 点坐标为(﹣x ,﹣y ).∴BD=2x ,AB=CD=y ,
∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △CBD =BD?AB+BD?CD=2xy=2k .故四边形ABCD 的面积S 是2k .故选B .
18.解:由于点A 、B 在反比例函数图象上关于原点对称,则△ABC 的面积=2|k|=2×4=8.故选A .
【三角形叠梯形】
19.解:过点B 向x 轴作垂线,垂足是G .由题意得:矩形BDOG 的面积是|k|=3,∴S △ACO =S △BOG =.所以△AOB 的面积=S 矩形BDOG +S 梯形ABDC ﹣S △ACO ﹣S △BOG =8,
则梯形CABD 的面积=8﹣3+3=8.故选C
20.解:过点A 作AM ⊥OB 于M ,设点A 坐标为(x ,y ),
∵顶点A 在双曲线y=(x >0)图象上,∴xy=k ,∴S △AMO =OM?AM=xy=k ,
设B 的坐标为(a ,0),∵中点C 在双曲线y=(x >0)图象上,CD ⊥OB 于D ,
∴点C 坐标为( ,),∴S △CDO =OD?CD=??=k ,∴ay=3k , ∵S △AOB =S △AOM +S △AMB =k+?(a ﹣x )y =k+ay ﹣xy=k+×3k ﹣k =k ,
又∵C 为AB 中点,∴△AOC 的面积为 ×k=3,∴k=4,故选C .
21. 解:∵直线OB 、OA 分别交双曲线于点E 、F ,∴S 2=S △AOB ,
∵S1=S△AOC+S△AOB﹣S△BOD,而S△AOC=S△BOD=k,∴S1=S△AOB,∴S1=S2.故选A.
【截矩形】
22.解:∵B、A两点在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴S△DBO=S△AOC=×2=1,
∵P(2,3),∴四边形DPCO的面积为2×3=6,∴四边形BOAP的面积为6﹣1﹣1=4,故选:C.23.解:连接OE,设此反比例函数的解析式为y=(k≠0),C(c,0),则B(c,b),E(c,),
设D(x,y),∵D和E都在反比例函数图象上,∴xy=k,=k,即S△AOD=S△OEC=×c×,
∵梯形ODBC的面积为3,∴bc﹣×c×=3,∴bc=3,∴bc=4,∴S△AOD=S△OEC=1,
∵k>0,∴k=1,解得k=2,故答案为:2.
24.解:∵A、B是反比函数y=上的点,∴S△OBD=S△OAC=,故①正确;
当P的横纵坐标相等时PA=PB,故②错误;
∵P是y=的图象上一动点,∴S矩形PDOC=4,
∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3,故③正确;
连接OP,===4,∴AC=PC,PA=PC,∴=3,
∴AC=AP;故④正确;综上所述,正确的结论有①③④.故选C.
25.解:①∵A、B两点都在y=上,∴△ODB与△OCA的面积都都等于,故①正确;
②S矩形OCPB﹣S△AOC﹣S△DBO=|k2|﹣2×|k1|÷2=k2﹣k1,故②正确;
③只有当P的横纵坐标相等时,PA=PB,错误;
④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点,正确.故选B.
【截直角三角形】
26.解:∵点A的坐标为(﹣8,6),O点坐标为(0,0),
∴斜边OA的中点D的坐标为(﹣4,3),
把D(﹣4,3)代入y=得k=﹣4×3=﹣12,∴反比例函数的解析式为y=﹣,
∵AB⊥x轴,∴C点和横坐标为点A相同,都为﹣8,
把x=﹣8代入y=﹣得y=,∴C点坐标为(﹣8,),∴AC=6﹣=,
∴△AOC的面积=AC?OB=××8=18.故选B.
27.解:∵OA的中点是D,双曲线y=﹣经过点D,∴k=xy=﹣3,
D点坐标为:(x,y),则A点坐标为:(2x,2y),∴△BOC的面积=|k|=3.
又∵△AOB的面积=×2x×2y=12,∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9.故选:A.
28.解:设D点的坐标是(x,y).∵点D是线段OB的中点,∴B点的坐标是(2x,2y);∵△OBC的面积等于4,∴×2x×2y=4,即xy=﹣2,∴k=﹣2;
又∵点E在双曲线上,∴点E的坐标为(2x,);
∴CE:BE=:(2y﹣)=:(2×﹣)=1:3;故选B.
29.解:方法1:设B点坐标为(a,b),∵OD:DB=1:2,∴D点坐标为(a,b),
根据反比例函数的几何意义,∴a?b=k,∴ab=9k①,
∵BC∥AO,AB⊥AO,C在反比例函数y=的图象上,∴设C点横坐标为m,
则C点坐标为(m,b)将(m,b)代入y=得,m=,BC=a﹣,
又因为△OBC的高为AB,所以S△OBC=(a﹣)?b=3,
所以(a﹣)?b=3,(a﹣)b=6,ab﹣k=6②,
把①代入②得,9k﹣k=6,解得k=.
方法2:延长BC交y轴于E,过D作x轴的垂线,垂足为F.
由△OAB的面积=△OBE的面积,△ODF的面积=△OCE的面积,
可知,△ODF的面积=梯形DFAB=△BOC的面积=,即k=,k=.故选B.
30.解:由题意得:E 、M 、D 位于反比例函数图象上,则S △OCE =
,S △OAD =, 过点M 作MG ⊥y 轴于点G ,作MN ⊥x 轴于点N ,则S □ONMG =|k|, 又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点,则S 矩形ABCO=4S □ONMG =4|k|, 由于函数图象在第一象限,k >0,则++6=4k ,k=2.故选B .